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本科毕业论文---浅谈数学归纳法的应用

浅谈数学归纳法的应用

摘要

数学归纳法是数学上证明与自然数N有关的命题的一种常用的方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，基本思想就是将无限化为有限。数学归纳法在数学的各个分支中都有着广泛的应用，包括整除问题、恒等式证明、公理证明、排列和组合、以及几何领域等等。在本论文中，首先，我们介绍数学归纳法的由来、基本思想、基本步骤、以及近年来的发展趋势；其次，针对各类数学问题给予实例以展示数学归纳法的应用；最后，通过各类实例应用总结、归纳出在应用数学归纳法时的一些技巧和方法，以便可以更加深刻的理解和掌握数学归纳法的“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。

关键词：数学归纳法，猜想，证明，结论

The Application of Mathematical Induction

ABSTRACT

Mathematical induction is a method that related to the natural number m witch is lager than every whole number N. It is mainly used to study math problems related to the positive integer, the basic idea is to infinite to limited. Mathematical induction in every branch of mathematics has a wide range of applications, including divisible problems, identity certificates, certificate of axiom, permutations and combinations, and geometric fields and so on. In this thesis, first of all, we introduce the origin of the mathematical induction, basic thought, basic steps, and in recent years, the trend of development. Secondly, according to all kinds of mathematical problem give examples to show the application of mathematical induction. Finally, through various examples application summary, induces some skills in the application of mathematical induction and method, so as to more profound understanding and grasp of mathematical induction "induction - guess - proof" the discovery of thinking method.

KEY WORDS:Mathematical induction, guess, proof, conclusion

摘要 .................................................................... I ABSTRACT ................................................................ II 1 绪论 . (1)

1.1 引言 (1)

1.2 数学归纳法的来源 (1)

2 数学归纳法的概述 (3)

2.1 常用的数学证明方法 (3)

2.1.1 演绎法 (3)

2.1.2 归纳法 (3)

2.2 数学归纳法基本原理及其它形式 (3)

2.2.1 数学归纳法概念 (3)

2.2.2 数学归纳法的基本原理 (4)

2.2.3 第一数学归纳法 (5)

2.2.4 第二数学归纳法 (5)

2.2.5 数学归纳法的其它形式 (7)

3 数学归纳法的步骤 (9)

3.1 数学归纳法的步骤 (9)

3.2 三个步骤缺一不可 (9)

4 数学归纳法的典型应用 (11)

4.2 证明不等式 (12)

4.3 证明整除问题 (15)

4.4 证明几何问题 (15)

4.5 行列式与矩阵的证明 ................................ 错误！未定义书签。

5 运用数学归纳法时容易出现的错误分析 (18)

5.1 忽略了归纳奠定基础的必要性 (18)

5.2 弄不清n从k变化到1

k命题发生变化时到底增加了几项 (18)

5.3 在第二步证明中没有利用归纳假设 (19)

6 应用数学归纳法时的一些技巧 (20)

6.1 灵活选取“起点” (20)

6.2 恰当选取“跨度” (21)

6.3 选取合适的假设方式 (21)

6.3.1 以“假设k

=时成立” (21)

n≤时成立”代替“假设n k

6.3.2 以“假设n k

=时成立” (22)

=，1

=+时成立”代替“假设n k

n k

7 数学归纳法的地位和作用 (24)

致谢 (25)

浅谈数学归纳法的应用 1

1 绪论

在高中数学教科书中，我们已经学习过数学归纳法。在高中阶段，我们主要接触的是第一数学归纳法，常用来证明数列的通项公式，目的是为了了解数学归纳法的证明三步骤以便模仿证明一些表达式是否成立。高中阶段的学生也往往满足于“k时命题成立，那么1

k时命题也成立”的证明方法，但是却不了解数学归纳法的真正原理是什么，更+

不知道其理论依据是什么，因此就造成了一定的盲目性。我们都知道，数学归纳法是一种重要并且独特的证明方法,对与自然数n有关的命题证明是可行有效的；但是对于数学归纳法的本质及其理论依据却知之甚少。在本文中，我们首先将数学归纳法的理论依据、原理进行了详细的阐述；其次，我们给出相关的经典例题帮助读者更进一步地了解和掌握数学归纳法；最后，在用数学归纳法证明恒等式时，我们应该选择哪一种数学归纳法证明，这对于解题是至关重要的，本文对解决此类问题的方法也给出了一些总结。事实上，数学归纳法也有其本身的局限性，数学归纳法只是证明这个等式的正确性而不能求解，可见数学归纳法也有着自己的限制和适用范围，那么在这个等式的成立过程中数学归纳法到底扮演一个什么样的角色呢？我想通过本文，大家将会对此有个更深刻的了解。

1.1 引言

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，它是一个递推的数学论证方法。事实上，数学归纳法有各种各样的表达形式，我们在解决问题时选哪一个会比较方便？各种形式之间有什么联系与区别？了解这些内容对于我们合理、正确的运用数学归纳法是非常重要的。通常，数学归纳法分为第一数学归纳法、第二数学归纳法、完全归纳法、以及不完全归纳法。第一数学归纳法和第二数学归纳法是本论文要着重介绍的内容。通过对适合应用数学归纳法解决的一些问题进行整理、总结可以更深刻的了解数学归纳法的基本思想和解题技巧，选取典型例题来体现数学归纳法的基本思想有助于我们抓住其最基本的证明步骤，同时也可以更彻底的掌握数学归纳法的证明方法。

1.2 数学归纳法的来源

数学归纳法的产生经历了一个较长的历史时期。数学家毕达哥拉斯利用点子数对级数求和问题进行探讨。他确信无疑地得出：

毕达哥拉斯可能以为这就是一种证明，他的几乎所有的有关点子数的命题，都是由

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归纳结果，因此是不完全的归纳推理。尽管如此，他仍为数学归纳法的确定奠定了一定的基础。

而对于数学归纳法的应用，李文林翻译的美国数学史《数学史通论》（第二版）中:“J. Z. Katz教授表明，十四世纪法国数学家、物理学家和工程师师莱文.本.热尔森（Levi ben Gerson,1288--1344）在其1321年出版的代表作《计算技术》中也已经本质上使用了数学归纳法”；更有资料表明，在中世纪伊斯兰数学中就已经较清楚、广泛地使用了数学归纳法及其原理[1]。

真正明确使用数学归纳法的是意大利数学家、物理天文学家、工程师莫洛里科斯（F.Maurolycus,1494~1575），真正明确数学归纳法证明两步的应该是17世纪的数学家帕斯卡(B. Pascal, 1623 ~1662)，他最早将数学归纳法的证明用形式的两步明确下来。“数学归纳法”的名称则是由英国数学家创立,并由英国教科书作者普遍采用而推广的[1]。

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2 数学归纳法的概述

2.1 常用的数学证明方法

数学是一门非常注重学习方法的学科,而数学的证明更是将这些方法体现的淋漓尽致，常用的数学证明方法有很多种，本文主要研究的是数学归纳法。

2.1.1 演绎法

要说归纳法，那不得不先提一下演绎法。演绎法是从一般性原理得出特殊结论的推理方法，即从一般到特殊的推理方法。演绎法的特点是它从真实的前提一定能推出真实的结论。因此，演绎法是一种必然的推理，它是一种严格的逻辑证明方法。

2.1.2 归纳法

归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳推理。根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，归纳法又可分为不完全归纳法和完全归纳法[2]。

不完全归纳法是根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法。不完全归纳法所得到的命题并不一定成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法。但是，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段。在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想。因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高数学能力十分重要。不完全归纳法又可分为枚举归纳法和因果归纳法两类。枚举归纳法是以某个对象的多次重复作为判断根据的归纳方法；因果归纳法是把一类事物中部分对象的因果关系作为判断的前提而做出一般性猜想的方法[2]。

完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的。通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法[2]。

此外，动态博弈理论里面也广泛运用了一种数学归纳法，只不过此类归纳法的逻辑模式与上文所说的数学归纳法正好相反称为反向归纳法，在此不做赘述[12]。

2.2 数学归纳法基本原理及其它形式

2.2.1 数学归纳法概念

数学归纳法概念：数学归纳法是数学上证明与正整数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题。

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2.2.2 数学归纳法的基本原理

在了解数学归纳法的基本原理前，我们不妨先来回想一下小时候对正整数的认识过程，首先，父母叫我们数1,后来数2,有2必有3，每一个正整数后面都有一个正整数，于是我们说：会数数了。事实上，数学归纳法正是基于这样一个简单原理。

数学归纳法来源于皮亚诺自然公理，自然数有以下性质：

(1)1是自然数

(2)每一个确定的自然数a ,都有一个确定的随从'a ，'a 也是自然数

(3)1非随从，即'1a ≠

(4)一个数只能是某一个数的随从，或者根本不是随从，即由

''b a =

一定能推得

b a =

(5)任意一个自然数的集合，如果包含1，并且假设包含a ，也一定包含a 的随从'a ,那么这个集合包含所有的自然数。

后来因为把0也作为自然数，所以公理中的1要换成0。其中的性质(5)是数学归纳法的根据，有了这一原理，就可以定义如下的数学归纳法：

设是与正整数有关的数学命题，如果：

(1)命题当k n =时正确，即1+=k n 正确；

(2)在假设正确的前提下，可以证明命题也正确，那么命题对任意正整数都是正确的。

数学归纳法的正确性验证是根据数学归纳法的原理，能否完成对与自然数有关命题的无限次论证，即数学归纳法是否可靠，下面我将结合“正整数最小原理”，即“任何非空正整数集合一定含有最小数”来验证数学归纳法是否正确。

命题1：任何非空正整数集合一定含有最小数。

证明：在这集合里任意取一个数n ,大于n 的不必讨论了，我们需要讨论的是那些不大于n 的自然数里一定有一个最小的数。

应用归纳法，如果1=n ,它本身就是自然数里的最小的数，如果这集合里没有小于n 的自然数存在，那么n 就是最小的，也不必讨论了，如果有一个,那么由数学归纳法的假设知道集合里不大于m 的自然数一定有一个最小的数存在，这个数也就是原集合里最小的数，即得证。

反过来，也可以用这个性质来推出数学归纳法。

假设对于某些自然数是不正确的，那么，一定有一个最小的自然数k n =使这个命题不正确，也就是，当1-=k n 的时候，命题正确，而当k n =的时候，这个命题也不正确，这与归纳法的假定是矛盾的。

也许从理论上来看，我们有可能还不是很懂得数学归纳法原理的正确性，我们可以从我们生活上的例子比较直观的理解它。

浅谈数学归纳法的应用 5

例2.1 从袋子里摸球问题。

如果袋子里的东西是有限的，总可以把它摸完而得出一个确定的结论，但是，当东西是无穷的，怎么办？如果有这样一个论证：“当你这一次摸出红玻璃球的时候，下一次摸出的，也一定是红玻璃球”，那么，在这样的保证下，只要第一次摸出的确定是红玻璃球，就可以不再检查地做出正确的结论：“袋里的东西，全部是红玻璃球”。

上面的道理采用形式上的讲法，也就是：有一批编了号码的数学命题，能够证明第1号命题正确，如果能够证明在第k 号命题正确的时候，第1+k 号命题也正确，那么，这一批命题就全部正确。

2.2.3 第一数学归纳法

定义：在教科书里我们常见到的就是第一数学归纳法，介绍如下：原理：设有一个与正整数n 有关的命题()P n 。如果：（1）当1n =时命题成立（2）假设n k =时命题成立

（3）若能证明1n k =+时命题也成立。

证明：反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立。令S 表示使该命题不成立的正整数做成的集合，那么S ≠?，于是由最小数原理，S 中有最小数a ,因为命题对于1n =时成立，所以a ≠1，1a >，从而1a -是个正整数，又由于条件（3）当n a =也成立.因此a S ?，导致矛盾，因此该命题对于一切正整数都成立，定理证毕。

在应用数学归纳法时，有些命题不一定从c 开始的，这时在叙述上只要将1n =换成

n c =即可，第一数学归纳法主要可概括为以下三步：

（1）归纳基础：证明c 时命题成立（2）归纳假设：假设n k =时命题成立（3）归纳递推;由归纳假设推出1n k =+时命题也成立[3]。

2.2.4 第二数学归纳法

第二数学归纳法与第一数学归纳法时等价的，在有些情况下，由归纳法“假设n k =时命题成立”还不够，而需要更强的假定。也就是说，对于命题()P n ，在证明(1)P k +成立，不仅依赖()P k 成立，而且依赖于前面各步成立。这时一般要选用第二数学归纳法。

第二数学归纳法原理：设有一个与正整数n 有关的命题()P n 。如果：（1）当1n =时命题成立（2）在假设命题对于一切正整数n k ≤成立时（3）若能证明1n k =+时命题也成立，则这个命题对于一切正整数n 都成立其证明方法与上述证明方法类似，在这个地方就不重复了。

第二数学归纳法可概括为以下三步：

（1）归纳基础：证明1n =时命题成立（2）归纳假设：假设n k ≤时命题成立（3）归纳递推：由归纳假设推出1n k =+时命题也成立.第二数学归纳法与第一数学归纳法基本形式的区别在于归纳假设。

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第一数学归纳法（简称“一归”）和第二数学归纳法（简称“二归”）的关系，指出“一归”和“二归”是等效的，并加以证明。

设N 表示全体自然数集合；()P n 表示含有自然数n 的一个命题；“A B ?”表示A 和B 互为充要条件；对“?”表示“任意的”或“所有的”；“?”表示“有一个”“存在一个”。

所谓“一归”是指，对?一个()P n ：

（1）当1n =时，验证(1)P 真；

（2）若当n k =时，()P k 真，证明当1n k =+时，(1)P k +真.从而断定对?n N ∈，()P n 都真。

所谓“二归”是指，对?一个()P n ：

（1）当1n =时，验证(1)P 真；

（2）若对n k ≤时，()P n 都真即(1)P ,(2)P ,(3)P , ，()P k 都真，来证明当1n k =+时，(1)P k +真.从而断定?n N ∈，()P n 对都真。

“一归”和“二归”都是数学证明方法，这是可以从理论上加以严格证明的，现在着重谈一下它们之间的关系。实际上“一归”和“二归”是等效的，即“一归”证明的()P n 可以用“二归”证明，反之亦然.下面就从理论上来证明上面的结论。

定理1：设?个()P n ，()P n 能用“一归”证明真?()P n 能用“二归”证明真。证明：必要性（?）。先分析一下如何证明。对()P n 下面的“一归”的条件都成立，即（1）当1n =时，(1)P 真；（2）若当n k =时，()P k 真，则当1n k =+时，(1)P k +真。这是已知条件，来证明“二归”的条件（1）（2）对()P n 真。事实上，“一归”和“二归”的条件（1）是相同的，只须证明“二归”的条件（2）对()P n 也真即可，也即证明：若对n k ≤时，()P k 真，则当1n k =+时，(1)P k +真即可。事实上，因为当n k ≤时，()P n 真，即(1)P ,(2)P ,(3)P , ，()P k 都真，所以特别当n k =时，()P k 真.由“一归”

条件（2）对()P n 成立，故(1)P k +真。所以若当n k ≤时，()P n 真，则当1n k =+时，

(1)P k +真。所以“二归”的条件（1）（2）对()P n 都真，故()P n 能用“二归”证明真[4]。

充分性（?）.由“二归”的条件（1）（2）对()P n 成立来证明“一归”的条件（1）、

（2）对()P n 也成立.因它们的条件（1）相同，只须证明：若当n k ≤时，()P k 真，能推出(1)P k +真时，则若()P k 真，能推出(1)P k +真即可。用反证法来证明。事实上，若由()P k 真可以推出(1)P k +真不能对?k N ∈都成立，则?0k N ∈,使得由0()P k 真推不出0(1)P k +真.N 中这样的0k 组成一个非空的自然数的集合0N ，由最小数原理（任意非空

的自然数的集合中都有一个最小数）知，0N 中有一个最小数，设为0m 因为“二归”的条件（1）（2）对()P n 真，所以对?n N ∈，当n m <时()P n 真可以推出(1)P n +真（这里n m <的n 是存在的，因为“二归”的条件知(1)P 真，故(2)P 真，所以1m ≠）所以(1)P ,(2)P ,(3)P , ，(1)P m -都真。故由“二归”的条件（2）知()P m 真，因而

浅谈数学归纳法的应用 7 以m 不属于0N 。这与0m N ∈矛盾。因此，0N 中不能有最小数m ，即0N 是空集.所以对

?k N ∈，由()P k 真都能推出(1)P k +真。由“一归”的条件（1）（2）知对()P n 真，所以()P n 能用“一归”证明真[4]。

2.2.5 数学归纳法的其它形式

数学归纳法原理本质上来看由两个重要步骤构成，首先是奠基步，这往往比较容易，但却是必须的，然后需要一个一般意义的演绎规则，按照这个演绎规则，反复应用，从奠基步开始，在有限步之内达到任意指定的情形，通常，这个一般的演绎规则是从所谓的归纳法假设开始，从较少规模成立的假设推导出较大规模的情形成立，从而建立一个一般的演绎规则，因此，从这一本质出发，数学归纳法可演绎出丰富的“变着”，概括起来有两个方面：一是奠基点的前提或后推，增多或减少：二是递推跨度和递推途径的变通，而正是因为是“变着”的多样性和应用技巧的灵活性，才使数学归纳法显示出广泛的应用性[5]。

(a)不一定从1开始，也就是数学归纳法里的两句话，可以改成：如果当0k n =的时候，这个命题是正确的，又从假设当)(0k k k n ≥=时，这个命题是正确的，可以推出当1+=k n 时，这个命题也是正确的，那么这个命题0k n ≥时都正确。这是第一数学归纳法的“变着”，也叫做跳跃数学归纳法[5]。

例2.2 求证：n 边形n 个内角的和等于π)2(-n ，（3≥n ）。

证明：当3=n 时，我们知道三角形三个内角的和是π，所以当3=n 时，命题是正确的，假设当)3(≥=k k n 时命题也是正确的，设121,,+k A A A 是1+k 边形的顶点，做线段k A A 1，它把这个1+k 边形分成两个图形，一个是k 边形k A A A 21,另一个是三角形11A A A k k +,并且1+k 边形内角的和等于后面两个图形的内角和的和，就是：

[]ππππ2)1()1()2(-+=-=+-k k k

也就是说，当1+=k n 时这个命题也是正确的，因此定理得证。

第二句话也可以改为“如果当n 适合于k n ≤≤1时命题正确，那么当1+=k n 时，命题也正确”，由此同样可以证明对于所有命题都正确。这种属于第二数学归纳法的“变着”。

例 2.3 我们知道，对于任意自然数n ，有2113)(∑∑==n

n i i i ,反之，若0>n a ，且2131)(∑∑==n i n i i a a ,有n a n =成立吗？

证明：当1=n 时，由2131a a =及01>a ,得11=a 。命题成立。

假设当k n ≤时，命题成立，即i a i =，k i ,2,1=。

当1+=k n 时，因为

2331)(++==∑∑∑k k k a a a a ，

------大学毕业论文 8 由于

211211311)()(∑∑∑+++=+=+==k

i k i k i i k i i a a a a ，2

111212)(∑∑=++=++=k i k i k k i i a a a a 于是

，2

111312∑=++++=k i k i k k a a a a 因为k i i a i ,2,1,==，所以∑=+=

k i i k k a 12

)1(。又因为01>+k a ,故 0)1(12

1=+--++k k a a k k 。解得11+=+k a k ，或)(1舍去k a k -=+。

所以1+=k n 时命题也成立，从而对任意自然数n ，命题成立。

(b)设)(n p 是关于自然数N 的命题，若)(n p 对无限多个自然数成立；假设)1(+k p 成立可推出)(k p 成立，则命题一切自然数n 都成立。

总之，数学归纳法原理还隐含着许多“变着”，这便使得数学归纳法在证题中发挥着重要的作用，除此之外，还有其它的数学归纳法，如跷跷板数学归纳法，双重数学归纳法[6]。

浅谈数学归纳法的应用 9

3 数学归纳法的步骤

3.1 数学归纳法的步骤

在高中阶段，我们常用第一数学归纳法，其证明过程步骤分为三步。从实质上来说，其实数学归纳法也可以分为两个步骤：

（1）当1=n 时，这个命题是正确的，

（2）假设当k n =时，这个命题是正确的，

（3）证明当1+=k n 时，这个命题也是正确的。

从而推出这个命题在1≥n 自然数中都是成立的。

例3.1 对任意正自然数n ，有2)12(531n n =-++++ 。

证明：当1=n 时，1=左，1=右，所以等式成立。

假设当k n =时，等式也成立，则有

，2)12(531k k =-+++

当1+=k n 时，

。

22)1(1

12()12(531+=++=++-++++k k k k k

1+=∴k n 时，等式也成立。综上所述，等式对一切正自然数n 都成立[7]。 3.2 三个步骤缺一不可

在实际的教学过程中，重点在于如何利用假设k n =时命题的结论来推出1+=k n 时命题也成立，因为之前的两部相当于第三步而言比较简单，因此，学生做题时往往会在第三步感到困难，然而，即使学生经过一段时间的训练，能够一步不漏正确的做下来，学生多半仍处于知其然不知所以然的处境，有不少学生心中疑问：为什么要有三步？尤其第一步，看上去很“傻”，只不过是代入一个最简单的数字去看看命题对不对，这一步会有多少作用，为什么非要不可。并且用k n =的假设命题去推1+=k n 的必要性。

以上问题都涉及到数学归纳法的原理，本质，也是它能够成为一种重要的数学证明方法的巧妙之处。其实，数学归纳法的三个步骤有着十分密切的关系，三个步骤缺一不可。下面用例题来说明：

例3.2 证明：所有的正整数都相等。

分析：这个命题显然是荒谬的，但是如果我们丢开“当1+k 的时候，这个命题是正确的”不管，那么可以用“数学归纳法”来“证明”它。

这里，第k 号命题是：“第1-k 个正整数等于第k 个正整数”，就是

------大学毕业论文 10 两边都加上1，就得

1+=k k 。

这就是说，第k 个正整数等于第1+k 个正整数，这不是说明了所有的正整数都相等了吗？错误就在于，我们没有考虑1=k 的情况。

例3.3 724912++n n 在正自然数上都是素数。

分析：当11000,,3,2,1 =n 的时候，式子724912++n n 的值都是素数,即使如此，我们还不能确立是任何正整数的时候，这个式子的值都是素数，事实上，只要72490=n 的时候它的值就不是素数。

这也就是说，即使我们试了11000次，式子724912++n n 的值都是素数，我们仍旧不能断定这个命题一般的正确性。

这就足够说明了1=n 是递推的基础,二，三两步相互循环论证关系是递推的过程，它解决了从特殊值0n n =到一般0n n ≥的过渡。这三个步骤密切相关，缺一不可。如果只有奠基步骤，而无归纳步骤，那就属于不完全归纳法，因而，论断的普遍性是不可靠的。反之，如果只有归纳步骤而无奠基步骤，那么归纳步骤的假设就失去了依据，从而使归纳法步骤的证明失去意义，这一步即使得以证出，其结果也是建立在不可靠的基础上，所以仍然不能断定原命题是否正确。

所以，运用数学归纳法时，关键在归纳步骤，而归纳步骤的关键在于合理应用假设。因此，熟悉归纳步骤的证明思路是十分必要的，就中学教材而论，应用数学归纳法证明命题大概有两种类型：

（1）能直接应用归纳假设来证明的，证明这类问题时，通常在归纳假设的两边同加（或同减）某项，通过适当变换完成证明，对于这种类型的题目，在中学的课本中比较常见。

（2）不能直接应用归纳假设来证明的，这类命题解题时，一般通过下面的两种途径为应用归纳假设创造条件,先将1+=k n 代入原式，然后将所得表达式作适当的变换，从而得到结论；利用其它数学知识，建立)(k p 与)1(+k p 的联系，从而得到结论成立，对于这种类型题目在中学数学的学习中出现的概率也是很大的[7]。

浅谈数学归纳法的应用 11

4 数学归纳法的典型应用

数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种极为有效的方法，它在证明中的应用是十分广泛的。应用数学归纳法可以证明与正整数n 有关的恒等式、不等式、证明整除问题、证明几何问题以及矩阵问题等。

4.1 证明恒等式

应用数学归纳法证明的恒等式，包括与正整数有关的代数恒等式、三角恒等式、组合数公式及其恒等式等，证明过程中只要实现等式左右两边相等即可[9]。下面举例说明．

例4.1 用数学归纳法证明：

)(12)12)(12(1531311+∈+=+-++?+?N n n n n n 。证明：当1n =时，左边31311=?=，右边3

11121=+?=。 ∴左边=右边

假设n k =时，等式成立。即

。12)12)(12(1531311+=+-???+?+?k k k k 当1n k =+时，

。1

)1(21)

32)(12()1)(12()

32)(12(1)32()

32)(12(112)

32)(12(1)12)(12(1531311+++=++++=++++=++++=++++-++?+?k k k k k k k k k k k k k k k k k k ∴当1n k =+时，等式也成立。由上面的分析可知，等式对任何+∈N n 都成立。

例4.2（2010江苏卷（理科））已知△ABC 的三边长都是有理数。

（a ）求证：cos A 是有理数；

（b ）求证：对任意正整数n ，nA cos 是有理数．

证明：(a)由于AB 、BC 、AC 为有理数，利用余弦定理可知

BC AC AB A -+=cos 2

------大学毕业论文 12 是有理数。

(b)用数学归纳法证明nA cos 和nA A sin sin ?都是有理数。

1)当1n =时，由（a ）知A c o s 是有理数，

从而有A A A 2cos 1sin sin -=?也是有理数。 2)假设当(1)n k k =≥时，kA cos 和kA A sin sin ?都是有理数。

当1+=k n 时，由于

A A A kA A A kA A kA A A k A kA

A kA A A k cos )sin (sin cos )sin (sin )sin cos cos (sin sin )1sin(sin sin sin cos cos )1cos(??+??=?+??=+?-?=+

由1)和2)归纳假设，知cos(1)k A +与sin sin(1)A k A ?+都是有理数。即当1n k =+时，结论成立。综合1),2)可知，对任意正整数n ，cos nA 是有理数。

数学归纳法最简单的应用之一，是用来研究排列和组合的公式，通过高中的学习，我们已经知道：“从n 个不同的元素里，每次取r 个，按照一定的顺序摆成一排，称做从

n 个元素里每次取出r 个元素的排列。

”排列的种数，称做排列数。从n 个不同的元素里每次取r 个元素所有不同的排列数，可以用符号r n A 来表示。对于r n A 有下面的公式：

定理1 (1)(2)(1)r n

A n n n n r =---+ 证明：首先，1n

A n =，这是显然的。如果再能证明 11--=r n r n nA A

那么，这个定理就可以应用数学归纳法来证明。

我们假定n 个元素是12,,,,n a a a 在每次取出r 个元素的r n A 种排列法里，以1a 为首的

共有11--r n A 种，以2a 为首的同样也有11--r n A 种，由此即得

11--=r n r n nA A 。

于是定理得证[9]。

4.2 证明不等式

应用数学归纳法证明不等式，分为严格不等式和非严格不等式两种。严格不等式的证明，只要保证原不等式中的“﹥”或“﹤”成立即可。对于非严格不等式，情况略显复杂，在证明过程的第一步验证中，对于“<”或“≤”的处理，存在两种不同的看法，一种观点认为：在第一步中，既要验证“A B =”成立，也要说明()A B A B <>成立。

只有如此，才能更充分地体现非严格不等式B A <)(B A >成立。另一种观点认为：在第一步中，只要证明A B =或()A B A B <>有一个成立，即可说明非严格不等式()A B A B 常成立。从逻辑连接词的角度，我倾向于后者。事实上，用数学归纳法证明非严格不等式时，A B =是B A <或B A ≤的基础[9]。

例4.3 求证：2111()(

)(0)a a a n a ++++++≥≥ 。

浅谈数学归纳法的应用 13

证明：1）当1n =时，不等式成立。

2）假设当()n k k N =∈时命题成立，即

。22121)111)((k a a a a a a k

k ≥+++++ 那么当1+=k n 时，。222221112122111212121121121)1(1

21)111(1)(21)111(1)()111)(()1111)(

(+=++=++≥+++?++++≥+++++++++++++=+++++++++++++k k k k k a a a a a a a a k a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k

k k k k

k k k k k k k k k

即当1+=k n 时，命题成立。根据1）和2），可知命题对任何+∈N n 都成立[9]。