高二立体几何练习题(理科附答案)

高二立体几何练习题

(理科附答案)

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高2013级理科立体几何练习题答案

1．（重庆理19）如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，

AB BC ⊥，AD CD =，CAD ∠=30?.

（Ⅰ）若AD =2，AB BC =2，求四面体ABCD 的体积；

(Ⅱ) 若二面角C AB D --为60?，求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值.

（I ）解：如答（19）图1，设F 为AC 的中点，由于AD=CD ，所以DF ⊥AC. 故由平面ABC ⊥平面ACD ，知DF ⊥平面ABC ， 即DF 是四面体ABCD 的面ABC 上的高， 且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=3. 在Rt △ABC 中，因AC=2AF=23，AB=2BC ，

由勾股定理易知

215415

,.BC AB =

=

故四面体ABCD 的体积

1114152154

.3325ABC V S DF ?=

??=???=

（II ）解法一：如答（19）图1，设G ，H 分别为边CD ，BD 的中点，则FG//AD ，GH//BC ，从而∠FGH 是异面直线AD 与BC 所成的角或其补角. 设E 为边AB 的中点，则EF//BC ，由AB ⊥BC ，知EF ⊥AB.又由（I ）有DF ⊥平面ABC ，

故由三垂线定理知DE ⊥AB.

所以∠DEF 为二面角C —AB —D 的平面角，由题设知∠DEF=60°

设

,sin .2a

AD a DF AD CAD ==?=

则

在

33

,cot ,236a Rt DEF EF DF DEF a ?=?=

?=中

从而

13.2GH BC EF a =

==

因Rt △ADE ≌Rt △BDE ，故BD=AD=a ，从而，在Rt △BDF 中，

122a

FH BD =

=，

又

1,22a

FG AD =

=从而在△FGH 中，因FG=FH ，由余弦定理得

2223

cos 22FG GH FH GH FGH FG GH FG +-===

? 因此，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为3

.6

解法二：如答（19）图2，过F 作FM ⊥AC ，交AB 于M ，已知AD=CD ， 平面ABC ⊥平面ACD ，易知FC ，FD ，FM 两两垂直，以F 为原点，射线FM ，FC ，FD 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系F —xyz. 不妨设AD=2，由CD=AD ，∠CAD=30°，易知点A ，C ，D 的坐标分别为

(0,3,0),(0,3,0),(0,0,1),(0,3,1).

A C D AD -=则

显然向量(0,0,1)k =是平面ABC 的法向量. 已知二面角C —AB —D 为60°，

故可取平面ABD 的单位法向量(,,)n l m n =，

使得

1

,60,.

2n k n <>==从而 2223,30,.661,.3

n AD m n m l m n l ⊥+==-++==±

由有从而由得

设点B 的坐标为

6

(,,0);,,3B x y AB BC n AB l ⊥⊥=

由取，有

2246

3,,0,,()63

3(3)0,73,36x y x x y x y y ??+==?=????

???=-?

-+=???=???解之得舍去

易知

6

l =-

与坐标系的建立方式不合，舍去.

因此点B 的坐标为4673(

,,0).B 所以4623

(,,0).CB =-

从而

22

23

3()3

9

cos ,.6

||||

462331(

)()99

AD CB AD CB AD CB -

?<>=

=

=-

++-

故异面直线AD 与BC 所成的角的余弦值为3.

2．（北京理16）如图，在四棱锥P ABCD -中，

PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD =∠=.

(Ⅰ)求证：BD ⊥平面;PAC （Ⅱ）若,PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.

解（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，

所以AC ⊥BD.又因为PA ⊥平面ABCD.所以PA ⊥BD.所以BD ⊥平面PAC. （Ⅱ）设AC∩BD=O.因为∠BAD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=3.

如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O —xyz ，则

P （0，—3，2），A （0，—3，0），B （1，0，0），C （0，3，0）. 所以).0,32,0(),2,3,1(=-=AC PB 设PB 与AC 所成角为θ，则

4

63

2226|

|||cos =?=

??AC PB AC PB θ

.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知).0,3,1(-=BC

设P （0，－3，t ）（t>0），则),3,1(t BP --= 设平面PBC 的法向量),,(z y x m =,则0,0=?=?m BP m BC

所以?????-+--=+-03,03tz y x y x 令,3=y 则.6,3t z x ==所以)6,3,3(t m = 同理，平面PDC 的法向量

)

6

,3,3(t n -= 因为平面PCB ⊥平面PDC,所以n m ?=0，即036

62=+

-t

解得6=t

所以PA=6

3．（天津理17）如图，在三棱柱

111

ABC A B C -中，H 是正方形

11AA B B

的中

心，122AA =，1C H ⊥平面11AA B B

，且1 5.C H =（Ⅰ）求异面直线AC 与

A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角

111

A AC

B --的正弦值；

（Ⅲ）设N 为棱

11

B C 的中点，点M 在平面

11AA B B

内，且MN ⊥平面

11A B C

，求线段BM 的

长．

解：方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点. 依题意得(22,0,0),(0,0,0),(2,2,5)A B C - 111(22,22,0),(0,22,0),(2,2,5)A B C

（I ）解：易得11(2,2,5),(22,0,0)AC A B =--=-，

于是

1111112

cos ,,

3||||322AC A B AC A B AC A B ?=

==??

所以异面直线AC 与A1B1所成角的余弦值为2.

3

（II ）解：易知111(0,22,0),(2,2,5).AA AC

==-- 设平面AA1C1的法向量(,,)m x y z =，

则11100m A C m AA ??=???=??即2250,

220.x y z y ?--+=??

=??

不妨令5,x =可得(5,0,2)m =，

同样地，设平面A1B1C1的法向量(,,)n x y z =，

则11110,0.n A C n A B ??=???=??即2250,

220.x y z x ?--+=??

-=??不妨令5y =，

可得(0,5,2).n =

于是

2cos ,,||||777m n m n m n ?=

==??从而35sin ,.m n =

所以二面角A —A1C1—B 的正弦值为35

.

7

（III ）解：由N 为棱B1C1的中点，得

2325(

,,).222N 设M （a ，b ，0），

则2325(,,)

MN a b =--由MN ⊥平面A1B1C1，得11110,0.MN A B MN AC ??=???=??

即2

()(22)0,22325()(2)()(2)50.a a b ?-?-=????-?-+-?-+?=??

解得2

,22.4a b ?

=????=??

故22(,,0).M

因此

22(

,,0)24BM =，所以线段BM 的长为10

||.4BM =

方法二：（I ）解：由于AC//A1C1，故111

C A B ∠是异面直线AC 与A1B1所成的

角. 因为

1C H ⊥

平面AA1B1B ，又H 为正方形AA1B1B 的中心，

可得

1111 3.

AC B C ==

因此222

111111

11111112cos .

23AC A B B C C A B AC A B +-∠==?

所以异面直线AC 与A1B1所成角的余弦值为2

.

（II ）解：连接AC1，易知AC1=B1C1，又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1， 所以

11

AC A ?≌

11B C A

?，过点A 作

11

AR A C ⊥于点R ，

连接B1R ，于是

111B R AC ⊥，故

1

ARB ∠为二面角A —A1C1—B1的平面角.

在11

Rt A RB ?中，

2111112214

sin 221(

).3B R A B RA B =?∠=?-=

连接AB1，在

1

ARB ?中，

2221111114,,cos 2AR B R AB AB AR B R ARB AR B R +-==∠=?27=-

，

从而

135sin .ARB ∠=

所以二面角A —A1C1—B1的正弦值为35

.

1122,5,

AA C H ==

（III ）解：因为MN ⊥平面A1B1C1，所以

11.

MN A B ⊥

取HB1中点D ，连接ND ，由于N 是棱B1C1中点，

所以ND//C1H 且

11522ND C H =

=.又1C

H ⊥平面AA1B1B ，

所以ND ⊥平面AA1B1B ，故11.

ND A B ⊥又,MN ND N =

所以

11A B ⊥

平面MND ，连接MD 并延长交A1B1于点E ，

则111,//.ME A B ME AA ⊥故由1111111

,

4B E B D DE AA B A B A ===

得

12DE B E ==

，延长EM 交AB 于点F ，可得12

.

BF B E ==连接NE.

在Rt ENM ?中，

2,.ND ME ND DE DM ⊥=?故 所以252

.

ND DM DE ==

可得

2.4FM =

连接BM ，在Rt BFM ?中，

2210.BM FM BF =+=

4.（陕西理16） 如图，在ABC ?中，60,90,ABC BAC AD ∠=∠=是BC 上的高，沿AD 把ABC ?折起，使∠ ＢＤＣ＝90?。（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ ⊥平面ＢＤＣ；

（Ⅱ）设Ｅ为ＢＣ的中点，求AE 与DB 夹角的余弦值。

解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高， ∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD ⊥ＤＣ，AD ⊥ＤＢ， 又DB ?ＤＣ＝Ｄ，∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ， ∵AD 平面

平面BDC ．∴平面ABD ⊥平面BDC 。

（Ⅱ）由∠ ＢＤＣ＝90?及（Ⅰ）知DA ，ＤＢ，DC 两两垂直，不防设

DB

=1，以D 为坐标原点，以,,DB DC DA 所在直线,,x y z 轴建立如图所示的空

间直角坐标系，易得D （0,0,0），B （1,0,0），C （0,3,0），A （0,0，3），E

（12，3

2，0）， AE ∴=13,,322??- ?

??， DB =（1，0,0,）， AE ∴与DB 夹角的余弦值为

cos ＜AE ，DB ＞=

1222.22

||||

2214

AE DB

AE DB ?=

=

??

．

5（全国新课标理18） 如图，四棱锥

P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=?，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．

（I ）证明：PA BD ⊥；

（II ）若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值．

解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD2+AD2= AB2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD

（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则

()

1,0,0A ，

(

)03,0

B ，，()1,

3,0

C -，()0,0,1P ．

(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-

设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则

0,0,

{n

AB n PB ?=?=

即 30

30x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m

0,m 0,

{PB BC ?=?=

可取m=（0，-1，3-）

27

cos ,727

m n =

=-

故二面角A-PB-C 的余弦值为

27

7-

6.（四川理19） 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中．∠ BAC=90°，

AB=AC=AA1 =1．D 是棱CC1上的一P 是AD 的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA ．

（I ）求证：CD=C1D ：

（II ）求二面角A-A1D-B 的平面角的余弦值； （Ⅲ）求点C 到平面B1DP 的距离．

．解：（1）连接

1B A

交

1

BA 于

O ,1//B P 1面BDA ,111,,B P AB P AB P D OD ?=1面面面BA

1//B P OD

∴,又O 为

1B A

的中点，

D ∴为AP 中点，1C ∴1为A P ,1ACD PC D ∴???1C D CD ∴=,D 为1CC 的中点。

（2）由题意

11,AB AC AB AA AB C C

⊥⊥?⊥1面AA ,过B 作AH AD ⊥,连接

BH ，则

BH AD ⊥,AHB ∴∠为二面角1A A D B --的平面角。在1AA D ?中，

1155

1,AA AD A D ===

,则25

5352555335AH AH BH AHB BH ==∠===

（3）因为

11C B PD

B PCD

V V -=，所以11111

33B PD PCD h S A B S ???=?,111A B =

11111

244PCD PC C PC D S S S ???=-=

-=,

在

1B DP

?中，

1111

9553525544,5,32252B D B P PD DB P DB P +-

==∠==∠=?，

1135315,2243B PD S h ?∴=

???==

7.（福建理20）

如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB+AD=4，CD=2，?=∠45CDA ．（I ）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；（II ）设AB=AP ．

（i ）若直线PB 与平面PCD 所成的角为?30，求线段AB 的长；

（ii ）在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等？说明理由。 解法一：

（I ）因为PA ⊥平面ABCD ，

AC ?平面ABCD ， 所以PA AB ⊥， 又,,AB AD PA

AD A ⊥=

所以AB ⊥平面PAD 。

又AB ?平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD 。 （II ）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系 A —xyz （如图）

在平面ABCD 内，作CE//AB 交AD 于点E ，则.CE AD ⊥ 在Rt CDE ?中，DE=cos451CD ??=，

sin 451,CE CD =??=

设AB=AP=t ，则B （t ，0，0），P （0，0，t ） 由AB+AD=4，得AD=4-t ，

所以(0,3,0),(1,3,0),(0,4,0)E t C t D t ---，

(1,1,0),(0,4,).CD PD t t =-=--

（i ）设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，

由n CD ⊥，n PD ⊥，得0,(4)0.x y t y tx -+=??

--=?

取x t =，得平面PCD 的一个法向量{,,4}n t t t =-，

又(,0,)PB t t =-，故由直线PB 与平面PCD 所成的角为30?，得

222221

cos 60||,,

2

||||(4)2n PB n PB t t t x ??==?++-?即

解得445t t ==或（舍去，因为AD 40t =->），所以

4.5AB = （ii ）假设在线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等，

设G （0，m ，0）（其中04m t ≤≤-）

则(1,3,0),(0,4,0),(0,,)GC t m GD t m GP m t =--=--=-，

由||||GC GD =得222

(4)t m m t --=+，（2） 由（1）、（2）消去t ，化简得2

340m m -+=（3）

由于方程（3）没有实数根，所以在线段AD 上不存在一个点G ， 使得点G 到点P ，C ，D 的距离都相等。 从而，在线段AD 上不存在一个点G ， 使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等。 解法二： （I ）同解法一。

（II ）（i ）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A —xyz （如图） 在平面ABCD 内，作CE//AB 交AD 于E ， 则CE AD ⊥。

在平面ABCD 内，作CE//AB 交AD 于点E ，则.CE AD ⊥ 在Rt CDE ?中，DE=cos451CD ??=，

sin 451,CE CD =??=

设AB=AP=t ，则B （t ，0，0），P （0，0，t ） 由AB+AD=4，得AD=4-t ，

所以(0,3,0),(1,3,0),(0,4,0)E t C t D t ---，

(1,1,0),(0,4,).CD PD t t =-=--

设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，

由n CD ⊥，n PD ⊥，得0,(4)0.x y t y tx -+=??

--=?

取x t =，得平面PCD 的一个法向量{,,4}n t t t =-，

又(,0,)PB t t =-，故由直线PB 与平面PCD 所成的角为30?，得

222221

cos 60||,,

2||||(4)2n PB n PB t t t x ??==?++-?即

解得4

45t t ==或（舍去，因为AD 40t =->）， 所以

4.

5AB = （ii ）假设在线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等，

由GC=CD ，得45GCD GDC ∠=∠=?， 从而90CGD ∠=?，即,CG AD ⊥

∴sin 451,GD CD =??=

设,AB λλ=则AD=4-,

3AG AD GD λ=-=-，

在Rt ABG ?中，2222

(3)GB AB AG λλ=+=+-

239

2()1,

22λ=-+>

这与GB=GD 矛盾。

所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点B ，C ，D 的距离都相等， 从而，在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等。

8.(湖北理18） 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合． （Ⅰ）当CF =1时，求证：EF ⊥1A C ；

（Ⅱ）设二面角C AF E --的大小为θ，求tan θ的最小值． 解法1：过E 作EN AC ⊥于N ，连结EF 。

（I ）如图1，连结NF 、AC1，由直棱柱的性质知， 底面ABC ⊥侧面A1C 。 又度面ABC

侧面A ，C=AC ，且EN ?底面ABC ，

所以EN ⊥侧面A1C ，NF 为EF 在侧面A1C 内的射影，

在Rt CNE ?中，cos60CN CE =?=1，则由11

4CF CN CC CA ==

，得NF//AC1，

又

11,

AC AC ⊥故

1NF A C

⊥。由三垂线定理知

1.

EF A C ⊥

（II ）如图2，连结AF ，过N 作NM AF ⊥于M ，连结ME 。 由（I ）知EN ⊥侧面A1C ，根据三垂线定理得,EM AF ⊥ 所以EMN ∠是二面角C —AF —E 的平面角，即EMN θ∠=， 设,045FAC αα∠=?<≤?则在Rt CNE ?中，sin 603,NE EC =??= 在,sin 3sin ,Rt AMN MN AN a a ?=?=中故

3

tan .NE MN θ=

=

又

2045,0sin ,a α?<≤?∴<≤

故当2sin ,45a α==?即当时，tan θ达到最小

值；

36

tan 2θ=

?=，此时F 与C1重合。

解法2：（I ）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得

1(0,0,0),

(23,2,0),(0,4,0),(0,0,4),(3,3,0),(0,4,1),A B C A E F 于是1(0,4,4),(3,1,1).CA EF =-=-

则1(0,4,4)(3,1,1)0440,CA EF ?=-?-=-+=故1.

EF A C ⊥

（II ）设,(04)CF λλ=<≤，

平面AEF 的一个法向量为(,,)m x y z =，则由（I ）得F （0，4，λ）

(3,3,0),(0,4,)AE AF λ==，于是由,m AE m AF ⊥⊥可得

0,330,40.0,m AE x y y z m AF λ???=+=??

?

?+=??=???即

取(3,,4).m λλ=-

又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为(1,0,0)n =，

于是由θ为锐角可得

||

cos ||||m n m n θ?=?222

316,sin 2424λλθλλ+==++， 所以

22

16116

tan 333λθλλ+==+， 由04λ<≤，得1

1

4λ≥

，即

116tan ,33θ≥+= 故当4λ=，即点F 与点C1重合时，tan θ取得最小值6

,

9．如图，在三棱锥P-ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝k PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥平面ABC ．

⑴当k ＝1

2

时，求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值； ⑵当k 为何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？

解:连OB ，由AB ＝BC 得OA ⊥OB ，又OP ⊥平面ABC ，得OP ⊥OA ，OP ⊥OB ．

故以O 为原点，射线OA 、OB 、OP 分别为、y 、z 轴的正半轴建立空间直

角坐标系．设AB ＝a ，OP ＝h ，则A a ，0，0)，B (0a ，0)，C (－

a ， 0，0)，P (0，0，h)．

⑴当k ＝12时，P (0，0，PA ＝a ，0．

可求得平面PBC 的一个法向量为n ＝(1，－1，

∴cos＝PA n |PA ||n |

??＝PA 与平面PBC 所成角的正弦

值为

30

；

⑵△PBC 的重心G (a a ，13

h)． 若O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心G ，需OG ⊥平面PBC ，即OG ⊥PB ，且OG ⊥BC ．

由OG ?PB ＝(－

6a ，6a ，13h)?(0，2a ，－h )＝0，解得h ＝2a ．

从而OG ?BC ＝(－6a ，6a ，1

3

h)?(0，－2a ，2a)＝－16a 2＋6ah

＝0．

∴当h 时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心G ，此时

PA ＝a ．

故k ＝1时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心（此时三棱锥O-PBC 为正三棱锥）．

10．如图，在三棱锥V-ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，且AC ＝BC ＝a ，∠VDC ＝θ（0＜θ＜

π

2

）． ⑴求证：平面VAB ⊥VCD ；

⑵当角θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围．

解:以CA 、CB 、CV 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (0，a ，0)，D (a 2，a 2

，0)，V (0，0

，

2

tan θ)． ⑴2211(a 0)00022

2

2

a a AB

CD a a ??=-=-++= ???

·，a ，·，，，即AB CD ⊥

22

11(0)tan 002222a a AB VD a a a a θ??=-=-++= ? ???

·，，·，，，即AB VD ⊥ 又CD VD D =，AB ⊥∴平面VCD ．

⑵设直线BC 与平面所成的角为φ，平面VAB 的一个法向量为

()x y z =，，n ．

则由00AB VD ==，n n ··

，得-ax ay 0

a a x y θ02

2+=??

?+=?

?

，可取)θ=n ．

M

S

C

又BC (0a 0)=-，

，，于是2BC 2

sin 2

BC

22cot a ?θθ

==

=

+···n n ． π02θ<<

∵，0sin 1θ<<∴，20sin 2?<<．又π

02

?≤≤，

π

04

?<<

∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04??

???

，．

11.（本小题12分）如图，在三棱锥ABC S -中，ABC ?是边长为4的正三角形，平面⊥SAC 平面ABC ，22==SC SA ，M 为AB 的中点. （1）证明：SB AC ⊥；

（2）求二面角A CM S --的余弦值； （3）求点B 到平面SCM 的距离.

解：（1）证明：取AC 的中点O ，连接OB OS , 因为SC SA =，BC BA =，所以SO AC ⊥且BO AC ⊥.

因为平面⊥SAC 平面ABC ，平面?SAC 平面AC ABC =，所以⊥SO 平面ABC 所以BO SO ⊥.

如右图所示，建立空间直角坐标系xyx O - 则)0,32,0(),2,0,0(),0,0,2(),0,0,2(B S C A - 所以)2,32,0(),0,0,4(-=-=BS AC 因为0)2,32,0()0,0,4(=-?-=?BS AC 所以SB AC ⊥

（2）由（1）得)0,3,1(M ，所以)2,0,2(),0,3,3(==CS CM

高二数学-空间向量与立体几何测试题

1 / 10 高二数学 空间向量与立体几何测试题 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ） A ．0 B.1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ） A ．// B ．⊥ C ．也不垂直于不平行于, D ．以上三种情况都可能 4．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于 （ ） A. 627 B. 637 C. 647 D. 65 7 5．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ） A.+-a b c B. -+a b c C. -++a b c D. -+-a b c 6．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角><,为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 7．若a 、b 均为非零向量，则||||?=a b a b 是a 与b 共线的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 8．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9．已知则35,2,23+-=-+= （ ） A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－1

高考立体几何大题20题汇总情况

高考立体几何大题20 题汇总情况 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

(2012江西省）（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5， BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG. （1） 求证：平面DEG ⊥平面CFG ； （2)求多面体C DEFG 的体积。 2012，山东(19) (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直 底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中，,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中 点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 （Ⅰ）证明：（i） 11;EF A D //ii （）111;BA B C EF ⊥平面 （Ⅱ）求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C

（2010四川）18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点， （Ⅰ）求证：OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线； （Ⅱ）求二面角''M BC B --的大小； 2010辽宁文（19）（本小题满分12分） 如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ （Ⅰ）证明：平面11A B C ⊥平面11A BC ； （Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//AB 平面1B CD ，求11:A D DC 的值。

高二数学立体几何试题及答案

【模拟试题】 一.选择题（每小题5分，共60分） 1. 给出四个命题： ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱； ②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④长方体一定是正四棱柱。 其中正确命题的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列四个命题： ①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ③棱锥的所有面可能都是直角三角形； ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。 正确的命题有 ________ 个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3,它的表面积为88，则它的对角线长为（） A. 12 B. 24 C. 2 14 D. 4 14 4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为8cm的空穴，则该球的半径是（） A. 8cm B. 12cm C. 13cm D. 8 2cm 5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是 （） 1亠2二1亠4二1亠2二1亠4二 A. 2 二 B. 4 二 C. ■: D. 2 二 6. 已知直线1-平面 '，直线m 平面1，有下面四个命题： ①：/ /I- = |_m ?②：-=l / /m ?③ l //m二:.?④ l_m= ■■ II-。 其中正确的两个命题是（） A.①② B.③④ C.②④ D.①③ 7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ A. 6后cm B. 6cm C. 2^18 D. *‘12

立体几何大题练习题答案

立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E B F

（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC = ，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又 平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．

立体几何测试题带答案解析

内且与平而平行的直线 A.有无数条 B.有2条 姓名 ____________ 班级 _____________ 学号_____________ 分数 ________________ 3?厶仏仏是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 A. 人丄S 厶亠厶/仏 B. 厶丄z 2/z 2///3=>z, 113 C. /2//Z 3///3=>厶丄仏共面 D . I }J 2J 3共点共面 4. 如图 JE 方体 ABCD -t E f F e 分别为棱AB f CC x 的中点准平而ADD.A. ?、选择题 1.下列说法正确的是 A.三点确定一个平而 C.梯形一泄是平而图形 个交点 2 .若 a p a p p u0 止视图 左視图 ( ) B.四边形一立是平而图形 D ?平而G 和平而”有不同在一条直线上的三 8A /3 俯矗图 12龙 24兀 36兀 48龙 a b c a c b 爲4 A " 3 3 C.2U D.28^ B ?14兀 E B

二.填空题 5. 已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图.侧视图都是由半圆和矩形组成，根据 图中标出的尺寸,计算这个几何体的表而积是______ ? 正视图侧视图 僻视因 6. 如图准正方体ABCD-A^QD,中，点P是上底而ABC?内 一动点，则三棱锥P-ABC的主视图与左视图的而积的比值 为_________? 7?如图,正方体ABCD — AQCQ中,AB = 2, AD的中点，点F在CD上，若EF //平面 AB{C, EF= _________ ? 8. 一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体，则水 而在容器中的形状可以是:⑴三角形;⑵矩形;⑶正方形;⑷正六边形.苴中正确的结论是?（把你认为正确的序号都填上） 三、解答题 9. 如图1,空间四边形ABCD中，E, H分別是边AB, AQ的中点，F，G分别是边BC, CD上的点，且——=求证：直线EF, GH、AC交于一点? CB CD 3

高中立体几何大题20题汇总

(2012江西省）（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=42，DE=4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与 点G，得到多面体CDEFG. （1）求证：平面DEG⊥平面CFG； （2)求多面体CDEFG的体积。 【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得EGGF又因为CF底面EGF,可得CFEG，即EG面CFG所以平面DEG⊥ 平面CFG. （2）过G作GO垂直于EF，GO即为四棱锥G-EFCD的高，所以所求体积为 1112 S正方形GO5520 DECF 335 Word资料

2012，山东(19)(本小题满分12分) 如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形， CBCD,ECBD. (Ⅰ)求证：BEDE； (Ⅱ)若∠BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC. 解：设BD中点为O，连接OC，OE，则由BCCD知，COBD， 又已知CEBD，所以BD平面OCE. 所以BDOE，即OE是BD的垂直平分线， 所以BEDE. (II)取AB中点N，连接MN,DN， ∵M是AE的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是等边三角形，∴DNAB. 由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即BCAB，所以ND∥BC， 所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC. Word资料

BC2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直 底面的四棱锥ABCDA1B1C1D1中，AD//BC,AD A D FE AB,AB2,AD2,BC4,AA2,E是DD的中点，F 11 是平面B1C1E与直线AA1的交点。A1 B1 D1 (第20题图) C1 （Ⅰ）证明：（i）E F//A 1D1;（ii）BA1平面B1C1EF; （Ⅱ）求B C与平面 1 B CEF所成的角的正弦值。 11 解析：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理认证能力。 （Ⅰ）（i）因为C1B1//A1D1,C1D1平面ADD1A1,所以C1B1//平面A1D1DA. 又因为平面B1C1EFI平面A1D1DAEF,所以C1B1//EF, 所以A1D1//EF. （ii）因为BB1平面A1B1C1D1,所以BB1B1C1. 又因为B1C1B1A1,所以B1C1平面ABB1A1,所以B1C1BA1. 2 在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点，tanA1B1FtanAA1B, 2 即A1B1FAA1BBA1B1F. 所以BA1平面B1C1EF. A B C D （Ⅱ）设BA1与B1F交点为H，连接C1H, 由（Ⅰ）知BA1平面B1C1EF. F E H B1 A1 D1 C1

高二立体几何试题(详细答案)

一、选择题： (本大题共12小题,每小题3分,共36分.) 1、已知),1,2,1(),1,1,0(-=-=则与的夹角等于 A ．90° B ．30° C ．60° D ．150° 2、设M 、O 、A 、B 、C 是空间的点，则使M 、A 、B 、C 一定共面的等式是 A ．0=+++OC OB OA OM B ．O C OB OA OM --=2 C ．4 13 12 1++= D ．0=++ 3、下列命题不正确的是 A ．过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直； B ．如果平面的一条斜线在平面内的射影与某直线垂直，则这条斜线必与这条直线垂直； C ．两异面直线的公垂线有且只有一条； D ．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。 4、若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确的个数为 ①//m n n m αα??⊥?⊥?②//m m n n αα⊥???⊥?③//m m n n αα⊥??⊥??④//m n m n αα??⊥?⊥? A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5、四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是 A ．各侧面是正三角形 B ．底面是正方形 C ．各侧面三角形的顶角为45度 D ．顶点到底面的射影在底面对角线的交点上 6、若点A （42 +λ，4－μ，1+2γ）关于y 轴的对称点是B （－4λ，9，7－γ），则λ，μ，γ的值依次为 A ．1，－4，9 B ．2，－5，－8 C ．－3，－5，8 D ．2，5，8 7、已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数V 与面数F 满足的关系式是 A ．2F+V=4 B ．2F －V=4 C ．2F+V=2 （D ）2F －V=2 8、侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积是 A ． 239 B ．433 C ．233 D ．4 3 9 9、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AB ，BB 1的中点，A 1E 与C 1F 所成的角是θ，则 A ．θ=600 B ．θ=450 C ．52cos = θ D ．5 2 sin =θ

立体几何高考真题大题

立体几何高考真题大题 1．（2016高考新课标1卷）如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD, 90AFD ∠=o ,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60o ． （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）19 - 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先证明F A ⊥平面FDC E ,结合F A ?平面F ABE ,可得平面F ABE ⊥平 面FDC E ．（Ⅱ）建立空间坐标系,分别求出平面C B E 的法向量m u r 及平面C B E 的法向量 n r ,再利用cos ,n m n m n m ?=r r r r r r 求二面角． 试题解析：（Ⅰ）由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E ． 又F A ?平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E ． （Ⅱ）过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由（Ⅰ）知DG ⊥平面F ABE ． 以G 为坐标原点,GF u u u r 的方向为x 轴正方向,GF u u u r 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -． 由（Ⅰ）知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E =o ,则DF 2=,DG 3=,可得()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E - ,(D ． 由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E ． 又平面CD AB I 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E ． 由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角, C F 60∠E =o ．从而可得(C -． 所以(C E =u u u r ,()0,4,0EB =u u u r ,(C 3,A =--u u u r ,()4,0,0AB =-u u u r ． 设(),,n x y z =r 是平面C B E 的法向量,则 C 0 0n n ??E =???EB =??u u u r r u u u r r , 即040x y ?=?? =??, 所以可取(3,0,n =r ．

高二空间几何练习题

练习1 一、选择题： 1．a 、b 是两条异面直线，下列结论正确的是 （ ） A ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个平面与a 、b 都平行 B ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都相交 C ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都平行 D ．过a 可以且只可以作一个平面与b 平行 2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为 ( ) Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．1或4 Ｄ．无法确定 3．在正方体1111ABCD A BC D -中， M 、N 分别为棱1AA 、1BB 的中点，则异面直线CM 和1D N 所成角的正弦值为 ( ) Ａ．19 Ｂ．23 Ｃ．Ｄ．4．已知平面α⊥平面β,m 是α内的一直线,n 是β内的一直线,且m n ⊥，则:①m β⊥； ②n α⊥；③m β⊥ 或n α⊥；④m β⊥且n α⊥。这四个结论中，不正确．．． 的三个是( ) Ａ．①②③Ｂ．①②④Ｃ．①③④Ｄ．②③④ 5.一个简单多面体的各个面都是三角形，它有6个顶点，则这个简单多面体的面数是 ( ) A. 4 B.5 C. 6 D. 8 6. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为（设地球半径为R ） ( ) A. R π4 2 B.R 3π C.R 2π D.3R 7. 直线l ⊥平面α，直线m ?平面β，有下列四个命题： (1)m l ⊥?βα//(2)m l //?⊥βα(3) βα⊥?m l //(4)βα//?⊥m l 其中正确的命题是 ( ) A. (1)与(2) B. (2)与(4) C. (1)与(3) D. (3)与(4) 8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为α，则下列不等式成立的是 ( ) A.6 0π α< < B. 4 6 π απ < < C. 3 4 π απ < < D. 2 3 π απ < < 9．ABC ?中，9AB =，15AC =，120BAC ∠=?，ABC ?所在平面α外一点P 到点A 、 B 、 C 的距离都是14，则P 到平面α的距离为 ( ) Ａ．7 Ｂ．9 Ｃ．11 Ｄ．13 10．在一个45?的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角45?，则此直线与二面角的 另一个平面所成角的大小为 ( ) Ａ．30? Ｂ．45? Ｃ．60? Ｄ．90? 11. 如图,E, F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D,DD 2的中点,沿SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使D 1,D,D 2重合,记作D.给出下列位置关系: ①SD ⊥面DEF; ②SE ⊥面DEF; ③DF ⊥SE; ④EF ⊥面SED, 其中成立的有: ( ) Ａ. ①与② B. ①与③ C. ②与③ D. ③与④

(完整版)高一必修二经典立体几何专项练习题

高一必修二经典立体几何专项练习题 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内——有无数个公共点 （2）直线与平面相交——有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行——没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a∩α=A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示： aβ bβ a∩b =pβ∥α a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a ∥α a β a∥b α∩β= b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： α∥β α∩γ=a a∥b β∩γ=b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 P a L 2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A

高二数学立体几何试题及答案

【模拟试题】 一. 选择题（每小题 5 分，共60 分） 1. 给出四个命题： ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱； ②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④长方体一定是正四棱柱。 其中正确命题的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列四个命题： ①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ③棱锥的所有面可能都是直角三角形； ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。 正确的命题有________个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（） A. 12 B. 24 C. 2 14 D. 4 14 4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为8cm 的空穴，则该球的半径是（） A. 8cm B. 12cm C. 13cm D. 8 2cm 5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是 （） 1 2 1 4 1 2 1 4 2 B. 4 C. 2 A. D. 6. 已知直线l 平面，直线m 平面，有下面四个命题： ①/ / l m；②l / /m ；③l / /m ；④l m / / 。 其中正确的两个命题是（） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③ 7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（） 2 A. 6 3cm B. 6cm C. 2 18 3 D. 3 12 1

高中数学《立体几何》大题和答案与解析

.WORD 格式整理 .. 高中数学《立体几何》大题及答案解析( 理) 1.（ 2009 全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， SD底面ABCD，AD 2 ，DC SD 2 ，点 M 在侧棱 SC 上，∠ABM=60。 （I ）证明：M是侧棱SC的中点； 求二面角 S AM B 的大小。 2.（ 2009 全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱ABC-A 1B1C1中， AB ⊥ AC,D 、E 分别为 AA 1、 B1C 的中点，DE ⊥平面 BCC 1（Ⅰ）证明： AB=AC（Ⅱ）设二面角A-BD-C 为 60°,求 B 1C 与平面 BCD 所成 的角的大小 A 1 C1 B1 D E A C B 3. （ 2009浙江卷）如图， DC平面 ABC， EB//DC ， AC BC EB 2DC 2， ACB120 ， P,Q 分别为 AE , AB 的中点．（I）证明： PQ / / 平面ACD；（II）求AD与平面 ABE 所成角的正弦值．

.WORD 格式整理 .. 4.（ 2009 北京卷）如图，四棱锥P ABCD 的底面是正方形， PD 底面ABCD ，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面 AEC平面PD B；（Ⅱ）当 PD2AB 且E为PB的中点时， 求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小. 5.（ 2009 江西卷）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面ABCD， PA AD 4 ， AB 2 ．以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交PD于点 M ． （1）求证：平面ABM⊥平面PCD； （2）求直线PC与平面ABM所成的角； （3）求点O到平面ABM的距离． P M A D O B C 6（. 2009 四川卷）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ ABE是等腰直角三角形，AB AE, FA FE, AEF45 （I）求证： EF平面 BCE ； （ II）设线段 CD 、 AE 的中点分别为 P 、 M ，求证： PM ∥平面BCE （ III）求二面角 F BD A 的大小。

高二立体几何试题详细答案(供参考)

高二数学立体几何 一、选择题： (本大题共12小题,每小题3分,共36分.) 1、已知),1,2,1(),1,1,0(-=-=则与的夹角等于 A ．90° B ．30° C ．60° D ．150° 2、设M 、O 、A 、B 、C 是空间的点，则使M 、A 、B 、C 一定共面的等式是 A ．0=+++OC O B OA OM B ．OM --=2 C ．413121++= D ．0=++MC MB MA 3、下列命题不正确的是 A ．过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直； B ．如果平面的一条斜线在平面内的射影与某直线垂直，则这条斜线必与这条直线垂直； C ．两异面直线的公垂线有且只有一条； D ．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。 4、若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确的个数为 ①//m n n m αα??⊥?⊥?②//m m n n αα⊥???⊥?③//m m n n αα⊥??⊥??④//m n m n αα??⊥?⊥? A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5、四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是 A ．各侧面是正三角形 B ．底面是正方形 C ．各侧面三角形的顶角为45度 D ．顶点到底面的射影在底面对角线的交点上 6、若点A （42 +λ，4－μ，1+2γ）关于y 轴的对称点是B （－4λ，9，7－γ），则λ，μ，γ的值依次为 A ．1，－4，9 B ．2，－5，－8 C ．－3，－5，8 D ．2，5，8 7、已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数V 与面数F 满足的关系式是 A ．2F+V=4 B ．2F －V=4 C ．2F+V=2 （ D ）2F －V=2 8、侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积是 A ．239 B ．433 C ．233 D ．439 9、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， E 、 F 分别是棱AB ，BB 1的中点，A 1E 与C 1F 所成的角是θ，则 A ．θ=600 B ．θ=450 C ．5 2cos =θ D ．52sin =θ

高二数学立体几何试题及答案

【模拟试题】 一. 选择题（每小题5分，共60分） 1. 给出四个命题： ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱； ②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④长方体一定是正四棱柱。 其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列四个命题： ①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ③棱锥的所有面可能都是直角三角形； ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。 正确的命题有________个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（ ） A. 12 B. 24 C. 214 D. 414 4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm ，深为8cm 的空穴，则该球的半径是（ ） A. 8cm B. 12cm C. 13cm D. 82cm 5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（ ） A. 122+π π B. 144+ππ C. 12+π π D. 142+ππ 6. 已知直线l m ⊥?平面，直线平面αβ，有下面四个命题： ①αβ//?⊥l m ；②αβ⊥?l m //；③l m //?⊥αβ；④l m ⊥?αβ//。 其中正确的两个命题是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③ 7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ） A. 63cm B. 6cm C. 2182 D. 3123

高中立体几何练习题(根据历年高考题改编)

立体几何复习精选 一．选择 10 1模 5．已知p ：直线a 与平面α内无数条直线垂直，q ：直线a 与平面α垂直．则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 三．大题 18．如图5所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，ADP BAD △∽△． （1）求线段PD 的长； （2）若11PC R =，求三棱锥P ABC -的体积． C P A B 图5 D

09 1模 如图4，A A 1是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径， C 是底面圆周上异于,A B 的任意一点， 12AA AB ==． （1）求证：BC ⊥平面AC A 1； （2）求三棱锥1A ABC -的体积的最大值．

18在长方体1111112,ABCD A B C D AB BC A C -==中，过、、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图4所示的几何体111ABCD A C D -，且这个几何体的体积为 403 。 （1）证明：直线1A B ∥平面11CDD C ; （2）求棱1A A 的长; （3）求经过11A C 、、B 、D 四点的球的表面积。 10 1模 17．（本小题满分14分） 如图6，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且3AE =，6AB =． （1）求证：AB ⊥平面ADE ； （2）求凸多面体ABCDE 的体积． A B C D E 图5

高二数学立体几何试题及答案.doc

【模拟试题】 一 . 选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1.给出四个命题：①各侧面都是正方形的棱柱一定是 正棱柱；②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是 长方体；③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱 柱；④长方体一定是正四棱柱。 其中正确命题的个数是（） A.0 B.1 C.2 D.3 2.下列四个命题：①各侧面是全等的等腰三角形的四 棱锥是正四棱锥；②底面是正多边形的棱锥是正棱 锥；③棱锥的所有面可能都是直角三角形；④四棱锥 中侧面最多有四个直角三角形。 正确的命题有 ________个 A.1 B.2 C.3 D.4 3.长方体的一个顶点处的三条棱长之比为 1：2：3，它的表面积为 88，则它 的对角线长为（） A. 12 B. 24 C.214 D. 4 14 4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为 8cm 的空穴，则该球的半径是（） A. 8cm B. 12cm C. 13cm D. 8 2cm 5.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是 （） 1 2 1 4 1 2 1 4 A. 2 B. 4 C. D. 2 6.已知直线l平面，直线m平面 ，有下面四个命题： ① / /l m ；②l / /m ；③ l / /m ；④ l m/ / 。 其中正确的两个命题是（） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③ 7.若干毫升水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为 6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（） A. 6 3cm B. 6cm 2 3 C.218 D. 312

高中立体几何经典题型练习题(含答案)

高中数学立体几何练习题精选试卷 姓名班级学号得分 说明： １、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分100分。考试时间90分钟。 ２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。考试结束后，只收第Ⅱ卷 第Ⅰ卷（选择题） 一．单选题（每题2分，共40分） 1．设直线l，m和平面α，β，下列条件能得到α∥β的有（） ①l?α，m?α，且l∥β，m∥β； ②l?α，m?α且l∥m； ③l∥α，m∥β且l∥m． A．1个B．2个C．3个D．0个 2．一个四面体中如果有三条棱两两垂直，且垂足不是同一点，这三条棱就象中国武术中的兵器--三节棍，所以，我们常把这类四面体称为“三节棍体”，三节棍体ABCD四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为A（0，0，0）、B（0，4，0）、C（4，4，0）、D（0，0，2），则此三节棍体外接球的表面积是（） A．36πB．24πC．18πD．12π

3．一个圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，它的表面积为a，则它的底面积为（）A．B．C．D． 4、如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱AA1⊥底面ABC，其主视图是边长为4的正方形，则此三棱柱的侧视图的面积为（） A．16B．2C．4D． 5．三棱锥P-ABC的侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=2，则三棱锥P-ABC的外接球的体积是（） A．2πB．4πC．πD．8π 6．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD‘的一个平面交AA′于点E，交CC′于点F．则下列结论正确的是（） ①四边形BFD′E一定是平行四边形 ②四边形BFD′E有可能是正方形 ③四边形BFD′E在底面ABCD的投影一定是正方形 ④四边形BFD′E有可能垂于于平面BB′D． A．①②③④B．①③④C．①②④D．②③④ 7．如图，在四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=BC=CD=1，则AD=（）

高中立体几何练习题(根据历年高考题改编)

立体几何复习精选 一．选择 10 1模 5．已知p ：直线a 与平面α无数条直线垂直，q ：直线a 与平面α垂直．则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 三．大题 18．如图5所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，ADP BAD △∽△． （1）求线段PD 的长；

（2）若11 PC R =，求三棱锥P ABC -的体积． C P A B 图5 D

09 1模 如图4，A A 1是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径， C 是底面圆周上异于,A B 的任意一点， 12AA AB ==． （1）求证：BC ⊥平面AC A 1； （2）求三棱锥1A ABC -的体积的最大值．

18在长方体1111112,ABCD A B C D AB BC A C -==中，过、、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图4所示的几何体111ABCD A C D -，且这个几何体的体积为 403 。 （1）证明：直线1A B ∥平面11CDD C ; （2）求棱1A A 的长; （3）求经过11A C 、、B 、D 四点的球的表面积。 10 1模 A B

17．（本小题满分14分） 如图6，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面 CDE ，且3AE =，6AB =． （1）求证：AB ⊥平面ADE ； （2）求凸多面体ABCDE 的体积．

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ． （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求点O 到平面ABM 的距离． B

高中立体几何测试题及答案理科

立体几何测试题 1．如图，直二面角D —AB —E 中， 四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. （Ⅰ）求证AE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小的余弦值； 2．已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且1,60AA AD DAB =?=∠，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点. （1）求证：直线MF//平面ABCD ； （2）求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1； （3）求平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小.

3、在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ． （1） 证明：BD ⊥平面PAC ； （2） （2）若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A 的正切值； 4、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11 2 AC BC AA == ，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1（1）证明：BC DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小.

5. 如图，P ABCD -是正四棱锥,1111ABCD A B C D -是正方体，其中 2, 6AB PA ==． （Ⅰ）求证：11PA B D ⊥； （Ⅱ）求平面PAD 与平面11BDD B 所成的锐二面角θ的大小； （Ⅲ）求1B 到平面PAD 的距离． 6. 已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC = AD = CD = DE = 2a ，AB = a ，F 为CD 的中点. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CDE ； （Ⅱ）求异面直线AC ，BE 所成角余弦值； （Ⅲ）求面ACD 和面BCE 所成二面角的大小.

高中立体几何模拟题(附答案)

高中立体几何模拟题 一．选择题（共9小题） 1．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（） ①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，﹣y，z）； ②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，﹣y，﹣z）； ③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，﹣y，z）； ④点P关于原点对称的点的坐标是P4（﹣x，﹣y，﹣z）． A．3 B．2 C．1 D．0 2．空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，﹣1，﹣4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（） A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1）D．（﹣5，2，﹣1）3．设平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，若α∥β，则k=（） A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．4 4．已知=（3，﹣2，﹣3），=（﹣1，x﹣1，1），且与的夹角为钝角，则x 的取值范围是（） A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，）∪（，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（，+∞） 5．若=（1，λ，2），=（2，﹣1，1），与的夹角为60°，则λ的值为（）A．17或﹣1 B．﹣17或1 C．﹣1 D．1

6．设平面α内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（﹣1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是（） A．（﹣1，﹣2，5） B．（﹣1，1，﹣1） C．（1，1，1）D．（1，﹣1，﹣1）7．若=（1，﹣2，2）是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是（） A．（1，﹣2，0）B．（0，﹣2，2）C．（2，﹣4，4）D．（2，4，4）8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为（） A．B．C．D． 9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（） A．B．C．D． 二．填空题（共3小题） 10．设平面α的一个法向量为=（1，2，﹣2），平面β的一个法向量为=（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=． 11．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是． 12．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，

立体几何大题2020-10

1. 已知三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥底面ABC ，1AB AC AA ==，AB AC ⊥，D 为线段AC 的中点. （1）证明：1//B C 平面1BA D ； （2）求11C A 与平面BD A 1正弦值. （3）求二面角1B A D C --的余弦值. （2）36 （3）66 -

2. 四棱锥P ABCD -中，AP AC =，底面ABCD 为等腰梯形，//CD AB ，222AB CD BC ===，E 为线段PC 的中点，PC CB ⊥. （1）证明：AE ⊥平面PCB ； （2）若2PB =，求直线DP 与平面APC 所成角正弦值. （2）10 10

3. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=?，6AC BC ==，D ?E 分别为棱AB ?BC 的中点，M 是棱1AA 上的点，满足6 tan MDA ∠=. （1）证明：DE ⊥平面11B BCC ； （2）求直线CD 与平面MDE 所成角的正弦值. （2）4 2

4．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，45,ADC ∠=? 1,AD AC O ==为AC 中点， 2PO ABCD PO M PD ⊥平面，＝，为的中点. (1) 证明：AD PAC ⊥平面； (2)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值. (3)求二面角P AC M --的余弦值. （2）554（2）5 52 M O C A D P

5如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面0,90ABCD ABC BCD ∠=∠=, 1 2PA PD DC CB AB ====,E 是PB 的中点. （1）求证：//EC 平面APD ； （2）求BP 与平面ABCD 所成的角的正切值； （3）求二面角P AB D --的余弦值. （2）55（3）3 3