偏导数

三. 设z =u 2+v 2, 而u =x +y , v =x -y , 求x z ??, y z ??.

解 x

v v z x u u z x z ?????+?????=??=2u ?1+2v ?1=2(u +v )=4x ,

y v v z y u u z y z ?????+?????=??=2u ?1+2v ?(-1)=2(u -v )=4y .

四. 设z =arcsin(x - y ), 而x +3t , y =4t 3, 求dt

dz .

解 dt dy y z dt dx x z dt dz ???+???=2

2

212)(113)(11t y x y x ?---+?--= 2

32)

43(1)

41(3t t t ---=. 五. 求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数): (1) u =f (x , xy , xyz ).

解 yz f y f f x

u ?'+?'+?'=??3211321f yz f y f '+'+'=,

3232f xz f x xz f x f y u '+'=?'+?'=??,

33f xy xy f z u '=?'=??.

(2)(, )x y w f y z

=

;

解 1211()()w x y f f f x x y x z y ???'''=?+?=???,

12()()w x y f f y y y y z ???''=+????2121f z

f y x '+'-=,

12()()w x y f f z z z z z

???''=+????22f z

y '

?-=.

六. 设022=-++xyz z y x , 求x z ??及y z ??.

解 令xyz z y x z y x F 22),,(-++=, 则 xyz yz F x -

=1, xyz xz F y -=2, xyz

xy

F z -=1,

xy xyz xyz yz F F x z z x --=-=??, xy xyz xyz xz F F y z z y --=

-=??2. 七．设(,,)z F x y z x y z e =+--，则

1x F '=，1y F '=，1z z F e '=--

1

1x z

z F z x F e ?=-=?+，11y z

z F z

y F e

'?=-='?+

223

(1)(1)z

z z z z

e z e y

x y e e ???=-=-??++

八. 求曲线x =t -sin t , y =1-cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12 (-π处的

切线及法平面方程.

解 x '(t )=1-cos t , y '(t )=sin t , 2

cos 2)(t t z ='. 因为点)22 ,1 ,12

(-π所对应的参数为2 π=t , 故在点

)22 ,1 ,12

(-π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T . 因此在点)22 ,1 ,12

(-π处, 切线方程为

22211

121-=-=-+z y x π, 法平面方程为

0)22(2)1(1)12(1=-+-?++-?z y x π, 即

42

2+=++πz y x .

九. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点, 使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4.

解 已知平面的法线向量为n =(1, 2, 1).

因为x '=1, y '=2t , z '=3t 2, 所以参数t 对应的点处的切向量为

T =(1, 2t , 3t 2). 又因为切线与已知平面平行, 所以

T ?n =0, 即1+4t +3t 2=0,

解得t =-1, 3

1-=t . 于是所求点的坐标为(-1, 1, -1)和

)271 ,91 ,31(--. 十. 求曲面e z -z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程. 解 令F (x , y , z )=e z -z +xy -3, 则

n =(F x , F y , F z )|(2, 1, 0)=(y , x , e z -1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),

点(2,1, 0)处的切平面方程为

1?(x -2)+2(y -1)+0?(z -0)=0, 即x +2y -4=0,

法线方程为

02112-=-=-z y x . 十一. 在曲面z =xy 上求一点, 使这点处的法线垂直于平面x +3y +z +9=0, 并写出这法线的方程. 解 已知平面的法线向量为n 0=(1, 3, 1).

设所求的点为(x 0, y 0, z 0), 则曲面在该点的法向量为n =(y 0, x 0, -1). 由题意知

n //n 0, 即1

13

1

00-==x y ,

于是x 0=-3, y 0=-1, z 0=x 0y 0=3, 即所求点为(-3, -1, 3), 法线方程为 1

33

11

3-=+=+z y x .

十二. 求函数f (x , y )=4(x -y )-x 2-y 2的极值.

解 解方程组???=--==-=024),(0

24),(y y x f x y x f y

x , 求得驻点为(2,-2).

f xx =-2, f xy =0, f yy =-2, 在驻点(2,-2)处, 因为

f xx f yy -f xy 2=(-2)(-2)-0=4>0, f xx =-2<0,

所以在点(2, -2)处, 函数取得极大值, 极大值为f (2, -2)=8.

十三. 要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池, 应如何选择水池的尺寸方可使表面积最小.

解 设水池的长为x , 宽为y , 高为z , 则水池的表面积为 S =xy +2xz +2yz (x >0, y >0, z >0). 本题是在条件xyz =k 下, 求S 的最大值. 作函数

F (x , y , z )=xy +2xz +2yz +λ(xyz -k ). 解方程组

??

???==++==++==++=k xyz xy y x F xz z x F yz z y F z y x 0220

202λλλ,

得唯一可能的极值点)221 ,2 ,2(333k k k . 由问题本身可知S 一定

有最小值, 所以表面积最小的水池的长和宽都应为.23k 高为322

1k . 十四. 在平面xOy 上求一点, 使它到x =0, y =0及x +2y -16=0三直线距离平方之和为最小.

解 设所求点为(x , y ), 则此点到x =0的距离为|y |, 到y =0的距离为|x |, 到x +2y -16=0的距离为

2

2

1|

162|+-+y x , 而距离平方之和为

222)162(51-+++=y x y x z .

解方程组

??

???=-++=??=-++=??0)162(5420)162(522y x y y z y x x x z , 即{

03292083=-+=-+y x y x . 得唯一的驻点)5

16 ,58(, 根据问题的性质可知, 到三直线的距离平

方之和最小的点一定存在, 故)5

16 ,58(即为所求.

求导法则与求导公式

§2.2 求导法则与导数的基本公式 教学目标与要求 1. 掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则 2. 理解反函数的导数并能应用； 3. 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数； 4. 熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。 教学重点与难度 1. 会用函数的和、差、积、商的求导法则求导； 2. 会求反函数的导数； 3. 会求复合函数的导数 前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数。 一、函数的和、差、积、商求导法则 1.函数的和、差求导法则 定理1 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =±在点x 处也可导，且 [()()]()()y u x v x u x v x ''''=±=± 同理可证：' ' ' [()()]()()u x v x u x v x -=- 即证。 注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即 12''' ' 12[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ±± ±=±±±， 即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。

例1 求函数4 cos ln 2 y x x x π =+++ 的导数 解 4 c o s l n 2y x x x π'??'=+++ ?? ? ()()()4 cos ln 2x x x π'??'''=+++ ??? 3 1 4s i n x x x =-+ 2.函数积的求导公式 定理2 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =在点x 也可导，且 ''''[()()]()()()()y u x v x u x v x u x v x ==+。 注意：1）特别地，当u c =（c 为常数）时， '''[()]()y cv x cv x ==， 即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得： ''''[()()]()()y au x bv x au x bv x =±=±。 2）函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即 ''' '12 1212 12 ()n n n n u u u u u u u u u u u u =+++。 例2 求下列函数的导数。 1）32 3254sin y x x x x =+-+； 解 ()()()()3 2 3254sin y x x x x '''''=+-+

讨论二元函数连续性_偏导存在性及可微性间的关系.

第23卷哈尔滨师范大学自然科学学报 Vol .23,No .22007 第2期 NAT URAL SC I E NCES JOURNAL OF HARB I N NOR MAL UN I V ERSI TY 讨论二元函数连续性、偏导存在性 及可微性间的关系 张鸿 (哈尔滨师范大学阿城学院 门艳红 (青岛飞洋职业技术学院 【摘要】通过具体实例对二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系进行 讨论. 关键词:连续性;偏导存在性;可微性 收稿日期:2006-11-08 0引言 多元函数是一元函数的推广,因此它保留着一元函数的许多性质,但也有某些差异,这些差异

主要是由于多元函数的“多元”(即自变量由一个增加到多个而产生的.对于多元函数我们着重讨论二元函数,在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后,再将它推广到一般的多元函数中去.本文将通过具体实例来讨论二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系. 1二元函数连续性与偏导存在性间 的关系 1.1函数f (x,y 在点P 0(x 0,y 0连续,但偏 导不一定存在. 例1证明函数f (x,y =x 2 +y 2 在点(0, 0连续偏导存在. 证明因为li m ( x,y →(0,0 f (x,y = li m (x,y →( 0,0 x 2 +y 2

=0=f (0,0 故函数f (x,y =x 2+y 2 在点(0,0连续.由偏导数定义: f x (0,0=li m Δx →x f (0+Δx,0-f (0,0 Δx = li m Δx →x Δx 2 Δx =1,Δx >0,-1,Δx <0.故f x (0,0不存在.同理可证f y (0,0也不存在. 1.2函数f (x,y 在点P 0(x 0,y 0偏导存在,但不 一定连续 例2函数f (x,y = x 2 +y 2 ,xy =0 1,xy ≠0 在点 (0,0处f x (0,0,f y (0,0存在,但不连续.

(完整word版)导数的概念、导数公式与应用

导数的概念及运算 知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△ y=f(x 0+△x)-f(x )，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。 若，，则平均变化率可表示为，称为函数从 到的平均变化率。 注意： ①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。 ③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。 （2）平均变化率的几何意义 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。 事实上，。 作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。

知识点二：导数的概念： 1．导数的定义： 对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或） 注意： ①增量可以是正数，也可以是负数； ②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。 2．导函数： 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在 处的函数值，反映函数在附近的变化情况。 3．导数几何意义： （1）曲线的切线 曲线上一点P(x 0，y )及其附近一点Q(x +△x,y +△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ， 其倾斜角为当点Q(x 0+△x,y +△y)沿曲线无限接近于点P(x ，y )， 即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。 若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。 即：。

函数连续,函数可微,函数可导,偏导数存在,偏导数连续之间的关系

1、可导即设y=f(x)是一个单变量函数，如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导。 如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。 函数可导定义： （1）设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若[f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。 （2）若对于区间(a,b)上任意一点(m，f(m))均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。连续函数可导条件：函数在该点的左右偏导数都存在且相等。 即就是一个函数在某一点求极限，如果极限存在，则为可导，若所得导数等于函数在该点的函数值，则函数为连续可导函数，否则为不连续可导函数2、连续 函数连续必须同时满足三个条件：函数在x0处有定义；x->x0极限limf(x)存在；x->x0时limf(x)=f(x0) 定理有：函数可导必然连续；不连续必然不可导。 3、可微

定义：设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx) 其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx 当x= x0时，则记作dy∣x=x0. 可微条件： 必要条件：若函数在某点可微，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。 充分条件：若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。 4、可积函数定义 如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在[a,b]上可积。即f(x)是[a,b]上的可积函数。 函数可积的充分条件 定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积。 定理3设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。 可积的必要条件： 被积函数在闭区间上有界。 总结： 对于一元函数：

偏导数

偏导数 在数学中，一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数，而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。 函数f关于变量x的偏导数写为或。偏导数符号是圆体字母，区别于全导数符号的 正体d。这个符号是阿德里安-马里·勒让德介入的并在雅可比的重新介入后得到普遍接受。 简介 假设?是一个多元函数。例如： f(x,y) = x2 + xy + y2。 f = x2 + xy + y2的图像。我们希望求出函数在点（1, 1, 3）的对x的偏导数；对应的切线与xOz平面平行。 因为曲面上的每一点都有无穷多条切线，描述这种函数的导数相当困难。偏导数就是选择其中一条切线，并求出它的斜率。通常，最感兴趣的是垂直于y轴（平行于xOz平面）的切线，以及垂直于x轴（平行于yOz平面）的切线。 定义

这是右图中y = 1时的图像片段。 一种求出这些切线的好办法是把其他变量视为常数。例如，欲求出以上的函数在点（1, 1, 3）的与xOz平面平行的切线，我们把变量y视为常数。右图中显示了函数的图像以及这个平面。左图中显示了函数在平面y = 1上是什么样的。通过求出这个图中的切线，我们发现?在点（1, 1, 3）的与xOz平面平行的切线的斜率是3。我们把它记为： 在点（1, 1, 3），或称“f在（1, 1, 3）的关于x的偏导数是3”。 定义 函数f可以解释为y为自变量而x为常数的函数： 。 也就是说，每一个x的值定义了一个函数，记为f x，它是一个一元函数。也就是说： f x(y) = x2 + xy + y2。 一旦选择了一个x的值，例如a，那么f(x,y)便定义了一个函数f a，把y映射到a2+ ay + y2： f a(y) = a2 + ay + y2。 在这个表达式中，a是常数，而不是变量，因此f a是只有一个变量的函数，这个变量是y。这样，便可以使用一元函数的导数的定义： f a'(y) = a + 2y。

二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系

目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 (1) 2二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系 (2) 2.1二元函数连续与偏导数存在之间的关系 (2) 2.2二元函数连续与可微之间的关系 (3) 2.3二元函数可微与偏导数存在之间的关系 (3) 2.4二元函数可微与偏导数连续之间的关系 (4) 二元函数连续、偏导数、可微的关系图 (6) 参考文献 (7) 致谢 (8)

本科生毕业论文 2 二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系 摘要 一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性. 关键词 二元函数 连续 偏导数 可微 The Relationship among Continuation, Partial Derivatives and Differentiability in Binary Function Abstract Unary function differentiable with derivative equivalent, will be continuously differentiable. But the dual function is not the case, the following article gives a continuous function of two variables, partial derivatives, can be said the relationship between them, and gives a simple show, and illustrated with examples related between them and under certain conditions have in common.. Key words binary function continuation partial derivatives differentiability 引言 二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系. 1 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 定义1 设f 为定义在点集2D R ?上的二元函数，0D P ∈（0P 或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点），对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要0,)(D P U P δ?∈， 就有0)||()(f P f P ε<-，则称f 关于集合 D 在点0P 连续. 定义2 设函数(,),(,)z f x y x y D =∈，若00,)(y D x ∈且0,)(y f x 在0x 的某一邻域内 有定义，则当极限00000000(,))(,) (,lim lim x x x f x y f x y f x x y x x ?→?→+-=????存在时，则称这个极限 为函数f 在点00,)(y x 关于x 的偏导数，记作0 (,) |x y f x ??. 定义3 设函数(,)z f x y =在点000,)(y P x 某邻域0()U P 内有定义， 对于0()U P 中的点00,)(,)(y P x y x x y ++=??，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为

偏导数

三. 设z =u 2+v 2, 而u =x +y , v =x -y , 求x z ??, y z ??. 解 x v v z x u u z x z ?????+?????=??=2u ?1+2v ?1=2(u +v )=4x , y v v z y u u z y z ?????+?????=??=2u ?1+2v ?(-1)=2(u -v )=4y . 四. 设z =arcsin(x - y ), 而x +3t , y =4t 3, 求dt dz . 解 dt dy y z dt dx x z dt dz ???+???=2 2 212)(113)(11t y x y x ?---+?--= 2 32) 43(1) 41(3t t t ---=. 五. 求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数): (1) u =f (x , xy , xyz ). 解 yz f y f f x u ?'+?'+?'=??3211321f yz f y f '+'+'=, 3232f xz f x xz f x f y u '+'=?'+?'=??, 33f xy xy f z u '=?'=??. (2)(, )x y w f y z = ; 解 1211()()w x y f f f x x y x z y ???'''=?+?=???, 12()()w x y f f y y y y z ???''=+????2121f z f y x '+'-=, 12()()w x y f f z z z z z ???''=+????22f z y ' ?-=. 六. 设022=-++xyz z y x , 求x z ??及y z ??. 解 令xyz z y x z y x F 22),,(-++=, 则 xyz yz F x - =1, xyz xz F y -=2, xyz xy F z -=1,

函数连续,函数可微,函数可导,偏导数存在,偏导数连续之间的关系

即设y=f(x)就是一个单变量函数, 如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导。 如果一个函数在x0处可导,那么它一定在x0处就是连续函数。 函数可导定义: (1)设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若[f(x0+a)-f(x0)]/a 的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。 (2)若对于区间(a,b)上任意一点(m,f(m))均可导,则称f(x)在(a,b)上可导。连续函数可导条件:函数在该点的左右偏导数都存在且相等。 即就就是一个函数在某一点求极限,如果极限存在,则为可导,若所得导数等于函数在该点的函数值,则函数为连续可导函数,否则为不连续可导函数 2、连续 函数连续必须同时满足三个条件:函数在x0处有定义;x->x0极限limf(x)存在;x->x0时limf(x)=f(x0) 定理有:函数可导必然连续;不连续必然不可导。

定义:设函数y= f(x),若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx) 其中A与Δx无关,则称函数f(x)在点x可微,并称AΔx为函数f(x)在点x 的微分,记作dy,即dy=A×Δx 当x= x0时,则记作dy∣x=x0、 可微条件: 必要条件:若函数在某点可微,则该函数在该点对x与y的偏导数必存在。 充分条件:若函数对x与y的偏导数在这点的某一邻域内都存在,且均在这点连续,则该函数在这点可微。 4、可积函数定义 如果f(x)在[a,b]上的定积分存在,我们就说f(x)在[a,b]上可积。即f(x)就是[a,b]上的可积函数。函数可积的充分条件 定理1设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积。 定理2设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个第一类间断点,则f(x)在[a,b]上可积。 定理3设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。 可积的必要条件:

二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系

摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 (1) 2二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系 (2) 二元函数连续与偏导数存在之间的关系 (2) 二元函数连续与可微之间的关系 (3) 二元函数可微与偏导数存在之间的关系 (3) 二元函数可微与偏导数连续之间的关系 (4) 二元函数连续、偏导数、可微的关系图 (6) 参考文献 (7) 致谢 (8) 二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系

摘要 一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性. 关键词 二元函数 连续 偏导数 可微 The Relationship among Continuation, Partial Derivatives and Differentiability in Binary Function Abstract Unary function differentiable with derivative equivalent, will be continuously differentiable. But the dual function is not the case, the following article gives a continuous function of two variables, partial derivatives, can be said the relationship between them, and gives a simple show, and illustrated with examples related between them and under certain conditions have in common.. Key words binary function continuation partial derivatives differentiability 引言 二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系. 1 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 定义1 设f 为定义在点集2D R ?上的二元函数，0D P ∈（0P 或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点），对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要0,)(D P U P δ?∈，就有0)||()(f P f P ε<-，则称f 关于集合D 在点0P 连续. 定义2 设函数(,),(,)z f x y x y D =∈，若00,)(y D x ∈且0,)(y f x 在0x 的某一邻域内 有定义，则当极限00000000(,))(,) (,lim lim x x x f x y f x y f x x y x x ?→?→+-=????存在时，则称这个极限为函数f 在点00,)(y x 关于x 的偏导数，记作0 (,)|x y f x ??. 定义3 设函数(,)z f x y =在点000,)(y P x 某邻域0()U P 内有定义，对于0()U P 中的点 00,)(,)(y P x y x x y ++=??，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为

函数连续函数可微函数可导偏导数存在偏导数连续之间的关系

函数连续函数可微函数可导偏导数存在偏导数连续 之间的关系 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

1、可导 即设y=f(x)是一个单变量函数，如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在 x=x[0]处可导。 如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。 函数可导定义： （1）设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。 （2）若对于区间(a,b)上任意一点(m，f(m))均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。 连续函数可导条件：函数在该点的左右偏导数都存在且相等。 即就是一个函数在某一点求极限，如果极限存在，则为可导，若所得导数等于函数在该点的函数值，则函数为连续可导函数，否则为不连续可导函数 2、连续 函数连续必须同时满足三个条件：函数在x0处有定义；x->x0极限limf(x)存在；x->x0时limf(x)=f(x0) 定理有：函数可导必然连续；不连续必然不可导。 3、可微 定义：设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)

其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx 当x= x0时，则记作dy∣x=x0. 可微条件： 必要条件：若函数在某点可微，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。 充分条件：若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。 4、可积函数定义 如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在[a,b]上可积。即f(x)是[a,b]上的可积函数。 函数可积的充分条件 定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积。 定理3设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。 可积的必要条件： 被积函数在闭区间上有界。 总结：

求导法则及求导公式

§2 求导法则 上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数（不管它是简单函数,还是复杂函数）,总可用定义求其导数（只要极限存在）.但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计算（用定义求导）都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象. 因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数： x x x f cos sin )(1+= x x g 2sin )(1= x x x f cos sin )(2?= )sin()(2ax x g = x x x f a log cos )(3= x x g arcsin )(3= x c x f sin )(4= x x g arccos )(4= 一、导数的四则运算 问题1 设x x x f cos sin )(±=,求)('x f . 分析 利用导数的定义及极限的四则运算知,)'(cos )'(sin sin cos )('x x x x x f ±== .即 )'(cos )'(sin )'cos (sin x x x x ±=± 一般地,有如下和的导法则： 定理1（和的导数） 设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则 )()(])()([x g x f x g x f '±'='± （求导是线性运算） 证明 令 )()()(x g x f x y += 。时当0)()()()()()()]()([)]()([→?'+'→?-?++ ?-?+=?+-?++?+=??x x g x f x x g x x g x x f x x f x x g x f x x g x x f x y 问题2 设x a x x f ?=sin )(,则a a x a x x f x x ln cos )'()'(sin )('??=?=对吗？

讨论多元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系

讨论多元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系 祁丽梅 学院数学与统计学院 ， 024000 摘要: 本文先是对二元函数连续性、偏导数存在及可微之间的关系就具体实例进行了讨论，然后推广到多元函数由此来总结有关多元函数微分学中关于上述三个概念之间的关系，并通过二元函数具体的实例详细加以证明。 关键词: 二元函数；多元函数；连续；偏导数；存在；可微 一、引言 多元函数微分学是数学学习中的重要容,是微积分学在多元函数中的具体体现，多元函数的连续性，偏导数存在及可微性之间的关系是学生在数学学习中易发生的概念模糊和难以把握的重要知识点。尽管它与一元函数的微分学有许多共同点，但它们之间也同样有一些差异，这些差异是由“多元”这一特殊性引起的。 二、二元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系 1、若二元函数f 在其定义域某点可微，则二元函数f 在该点偏导数存在，反过来则不一定成立。 可微的必要条件： 若二元函数在()000,y x p 可微，则二元函数()y x f z ,=在()000,y x p 存在两个偏导数，且全微分 y B x A dz ?+?=中的A 与B 分别是()00,y x f A x '=与()00,y x f B y '= 其中y x ??,为变量y x ,的改变量，则dy y dx x =?=?,，于是 二元函数的全微分为()()dy y x f dx y x f dz y x 0000,,'+'= 类似的n 元函数()n x x x f u ,,,21 =在点()n x x x Q ,,,21 的全微分为 n n dx x f dx x f dx x f dx x f du ??++??+??+??= 222211 我们知道一元函数的可微与可导是等价的，但通过上述情况可以知道二元函数可微一定存在两

二元函数连续可微偏导之间的关系解读

一、引言 对于一元函数而言,函数y=f(x在点x0处连续、导数存在、可微这三个概念的关系是很清楚的,即可微一定连续,但连续不一定可微,可微和导数存在是等价的。对多元函数而言,由于偏导数的出现,使得他们之间的关系要复杂的多。下面以二元函数为例,探讨其在点(x0,y0处连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系。 二、二元函数连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系 1.可微与连续的关系 若函数f(x,y在点(x0,y0处可微,则在该点连续,但反之不成立(同一元函数。 证明:因为f(x,y在点(x0,y0处可微,因此有0≤f(x0+△x,y0+△y- f(x0,y0≤A△x+B△y+O(O→(△x→0,△y→0, 所以lim (△x,△y→(0,0 f(x0+△x,y0+△y=f(x0,y0,故f(x,y在 点(x0,y0处连续。反之不成立。 例1.f(x,y= x2y x2+y2 ,x2+y2≠0 0,x2+y2= $

在点(0,0处连续, 但在该点不可微。 2.偏导数存在与可微的关系 由定理17.1[1](可微的必要条件,函数f(x,y在点(x0,y0处可微,则f(x,y在点 (x0,y0的偏导数一定存在;但反之不成立,如例1中函数f(x,y在点(0,0处偏导数存在,但在此点不可微。 3.偏导数连续与可微的关系 由定理17.2[2](可微的充分条件知,函数f(x,y在点(x0,y0处偏导数连续,则f(x,y 在点(x0,y0处可微;但反之不成立, 例2.f(x,y=(x2+y2sin1 x2+y2 ,x2+y2≠0 0,x2+y2= % ’ ’ ’ & ’ ’

求导基本法则和公式

四、基本求导法则与导数公式 １. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导，且

求偏导数的三种方法分析

高等数学的内容基本可划分为一元函数和多元函数两大块，其中多元函数包括多元函数微分学和多元函数积分学，而偏导数的计算是多元函数微分学的基础。所谓偏导数就是将多元函数中的某个自变量看作变量，而将其它自变量看作常量，对该变量的导数就称为多元函数对它的偏导数。计算偏导数的方法有多种，下面考研数学的蔡老师对这些不同的方法做些分析和比较，供学习高等数学和复习考研数学的同学们参考。 一，求偏导数的三种方法 求多元函数在某点处的偏导数有以下三种方法： 1）定义求导：按偏导数的定义计算，f x ’(x 0，y 0)=lim x→x 0f(x ，y 0)?f(x 0，y 0)x?x 0 （或lim ?x→0f(x 0+?x ，y 0)?f(x 0，y 0)?x ，?x 也可用字母表示，如t ，h ，x 等） f y ’(x 0，y 0)=lim y→y 0f(x 0，y)?f(x 0，y 0)y?y 0 （或 lim ?y→0f(x 0，y 0+?y)?f(x 0，y 0)?y ） 2） 先求导后代值：先求偏导数，再带入该点坐标，即先按偏导数的运算法则求出f x ’(x ，y)和f y ’(x ，y) ，再将(x ，y)用(x 0，y 0)代入得f x ’ (x 0，y 0) 和f y ’(x 0，y 0)； 3）先代值后求导：先将非偏导变量值代入，再按一元函数求导数的方法求导，即先将y =y 0代入z =f(x ，y)得z =f(x ，y 0),再按一元函数对x 求导的方法计算得f x ’(x 0，y 0)，同理可求f y ’(x 0，y 0) 二，典型题型分析 例1.设f(x ，y)=x 2+y 4+y ，求ef ex | (0,0), ef ey | (0,0) 。 解：先求偏导再代值：ef ex =2x ，ef ey =4y 3+1，ef ex | (0,0)=0，ef ey | (0,0)=1。 注：此题也可按另外两种方法计算。 例2.已知f(x ，y)={xy x 2+y 2，(x,y)≠(0,0) 0 ，(x,y )=(0,0) , 求ef ex | (0,0), ef ey | (0,0) 。 解：由偏导数的定义得 ef ex | (0,0)=lim x→0f (x,0)?f(0,0)x =lim x→00x =0 , 同理 ef ey | (0,0)=0 也可按先代值再求导的方法计算：由 f (x,0)=0，所以ef ex | (0,0)=0 ， 同理 ef ey | (0,0)=0 注：此题中函数是一个分段函数，不能像普通函数那样先求偏导再代值计算。

函数连续 函数可微 函数可导 偏导数存在 偏导数连续之间的关系

即设y=f(x)是一个单变量函数，如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导。 如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。 函数可导定义： （1）设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若[f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。 （2）若对于区间(a,b)上任意一点(m，f(m))均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。连续函数可导条件：函数在该点的左右偏导数都存在且相等。 即就是一个函数在某一点求极限，如果极限存在，则为可导，若所得导数等于函数在该点的函数值，则函数为连续可导函数，否则为不连续可导函数2、连续 函数连续必须同时满足三个条件：函数在x0处有定义；x->x0极限limf(x)存在；x->x0时limf(x)=f(x0) 定理有：函数可导必然连续；不连续必然不可导。

定义：设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy 有关系Δy=A×Δx+ο(Δx) 其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx 当x= x0时，则记作dy∣x=x0. 可微条件： 必要条件：若函数在某点可微，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。 充分条件：若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。 4、可积函数定义 如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在[a,b]上可积。即f(x)是[a,b]上的可积函数。 函数可积的充分条件 定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积。 定理3设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。

函数连续函数可微函数可导偏导数存在偏导数连续之间的关系

函数连续函数可微函数可导偏导数存在偏导数连续之间的关系 标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]

1、可导 即设y=f(x)是一个单变量函数，如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在 x=x[0]处可导。 如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。 函数可导定义： （1）设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。 （2）若对于区间(a,b)上任意一点(m，f(m))均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。 连续函数可导条件：函数在该点的左右偏导数都存在且相等。 即就是一个函数在某一点求极限，如果极限存在，则为可导，若所得导数等于函数在该点的函数值，则函数为连续可导函数，否则为不连续可导函数 2、连续 函数连续必须同时满足三个条件：函数在x0处有定义；x->x0极限limf(x)存在；x->x0时limf(x)=f(x0) 定理有：函数可导必然连续；不连续必然不可导。

3、可微 定义：设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx) 其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx 当x= x0时，则记作dy∣x=x0. 可微条件： 必要条件：若函数在某点可微，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。 充分条件：若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。 4、可积函数定义 如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在[a,b]上可积。即f(x)是[a,b]上的可积函数。 函数可积的充分条件 定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

偏导数与高阶偏导数详细解法

第二节偏导数 教学目的：使学生了解偏导数的概念；熟练掌握一阶及二阶偏导数 的计算方法；了解偏导数存在与函数连续的关系。 教学重点：一阶及二阶偏导数的计算 教学过程： 一、偏导数的定义及其计算法 对于二元函数z =f (x ,y ),如果只有自变量x 变化,而自变量y 固定,这时它就是x 的一元函数,这函数对x 的导数,就称为二元函数z =f (x ,y )对于x 的偏导数. 定义设函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)的某一邻域内有定义,当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量?x 时,相应地函数有增量 f (x 0+?x ,y 0)-f (x 0,y 0). 如果极限 x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000 存在,则称此极限为函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处对x 的偏导数,记作 00y y x x x z ==??,00y y x x x f ==??,00y y x x x z ==,或),(00y x f x . 例如 x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?),(),(lim ),(0000000. 类似地,函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处对y 的偏导数定义为 y y x f y y x f y ?-?+→?),(),(lim 00000 , 记作00y y x x y z ==??,0 0y y x x y f ==??,00y y x x y z ==,或f y (x 0,y 0). 偏导函数:如果函数z =f (x ,y )在区域D 内每一点(x ,y )处对x 的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x 、y 的函数,它就称为函数z =f (x ,y )对自变量x 的偏导函数,记作 x z ??,x f ??,x z ,或),(y x f x . 偏导函数的定义式:x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?),(),(lim ),(0 .

全微分方向导数偏导数与连续四者之间的关系

全微分方向导数偏导数与连续四者之间的关系 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

全微分、方向导数、偏导数与连续四者之间的关系 朱丽娜 郑州工业安全职业学院 451192 摘要 本文结合具体实例分三种情况分别讨论了二元函数的全微分、偏导数和连续之间的关系，全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系，任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系，从而得出他们四者之间的所有关系。 关键词 全微分，任意方向上的方向导数，偏导数，连续 对于多元函数的偏导数、方向导数、偏导数和连续等基本概念及其内在联系，既是多元函数微分学中的重难点知识，也是我们教学过程中容易出现的误解和错误盲点．本文就该问题分三种情况、以二元函数为例来加以阐述，以做到加强理解和灵活掌握的目的． 一、 全微分、偏导数和连续三者之间的关系 定理１：（必要条件）如果函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微分，则该函数在点(,)x y 连续且一阶偏导数存在． 定理２：（充分条件）函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对,x y 的一阶偏导数存在且连续，则在该点处必可微分． 读者还可以从可微的定义看到函数在可微点处必连续，但是在函数的连续点处不 一定存在偏导数，当然更不能保证函数在该点可微．如z =在原点连续，但是在该点处偏导数不存在，也不可微． 偏导数存在，函数却不一定可微，也不一定连续． 二、 全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系

定理3：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微分，则在该点处任意方向上的方向导数存在，反之不成立． 例1 ：函数z =在点(0,0)处对,x y 的全微分不存在，但在该点处沿任意方向的方向导数存在． 证明：0(0,0)(,0)(0,0)lim x z z x z x x ?→??-=?? 故z =在点(0,0)处对x 的偏导数不存在， 同理z =在点(0,0)处对y 的偏导数不存在， 由定理1 z =在点(0,0)处对,x y 的全微分不存在． 但z =在点(0,0)处沿任意方向的方向导数为 即任意方向上的方向导数存在． 三、任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系 咱们下面介绍一个更易出错的概念，大多数人以为“若函数在一点处沿任意方向的方向导数存在，则函数在该点处必连续”．这是一个完全错误的概念，如： 例2： 2 222422,0,0,0,xy x y z x y x y ?+≠?=+??+=? 它在任意方向上的方向导数为： 这一结果表明2 222422,00,0xy x y z x y x y ?+≠?=+??+=? 在点(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在． 但是222001lim (0,0)2 y x x x z z x x ++ →→==≠+，即函数在该点不连续． 定理4：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 沿任意方向上的方向导数存在，则在该点处偏导数必存在． 证明：函数在点00(,)x y 的任意方向的方向导数为：