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金丽衢十二校2015学年高三第一次联考

数学试卷(理科)

命题人：高雄略 王飞龙 审题人：卢 萍 郑惠群

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是符合题目要求的.

1. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ▲ ) A ．y =0 B ．y =sin2x C ．y =x +lg x

D ．y =2x +2-x 2. 设两直线l 1：(3+m )x +4y =5-3m 与l 2：2x +(5+m )y =8，则“l 1∥l 2”是“m <-1”的( ▲ )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3. 要得到函数cos 43y x π=-??

??

?的图象，只需要将函数sin 42y x π=+??

???

的图象( ▲ ) A ．向左平移π

12

个单位

B ．向右平移

π

12

个单位

C ．向左平移

π

3

个单位 D ．向右平移

π

3

个单位

4. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是( ▲ )cm 3

A ．23

B ．2

C. 2 3

D. 233 5. 设a ，b ∈R ，定义：M(,)2

a b a b

a b ++-=,

m(,)2

a b a b

a b +--=

．下列式子错误的是( ▲ )

A ．M(a ,b )+ m(a ,b )= a +b

B ．m(|a+b|,|a -b|)=| a|-|b|

C ．M(|a+b|,|a -b|)=| a|+|b|

正视图

2

俯视图

侧视图

第4题图

D ．m(M(a ,b ), m(a ,b ))= m(a ,b )

6．设m ∈R ，实数x ，y 满足23603260

x m x y x y -+--??

???≥≥≤，若| x +2y|≤18，则实数m 的取值范围是( ▲ )

A ．-3≤m ≤6

B ．m ≥-3

C ．- 68

7

≤m ≤6

D ．-3≤m ≤3

2

7．若函数f (x )是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有f ?

???f (x )+22x +1=1

3，则f (log 23) =( ▲ )

A ．1

B ．45

C ．1

2 D ．0

8．如图，AB 是平面α外固定的斜线段，B 为斜足. 若点C 在平面α内运动，且∠CAB 等于直线AB 与平面α所成的角，则动点C 的轨迹为( ▲ ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线

D ．抛物线

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

9．已知全集U =R ，集合{}2A x x =≥，{}

05B x x =<≤，则A B = ▲ ，(C U A ) B = ▲ .

10．函数f (x )=4sin x cos x +2cos 2x -1的最小正周期为 ▲ ，最大值为 ▲ . 11．若抛物线x 2

=8y 的焦点与双曲线y 2m

-x 2

=1的一个焦点重合，则m = ▲ .

12．设函数 f (x )= 3log (1),10tan(),

01

x x x x π+-<<

??

≤，则f [f (

33-1)]= ▲ ，若f (a )< f (1

2

)，则实数a 的取值范围是 ▲ .

13．已知过点P (t ,0)(t >0)的直线l 被圆C ：x 2+y 2-2x +4y -4=0截得弦AB 长为4. 若直线l 唯一，

则该直线的方程为 ▲ .

14. 已知????

??

f (n )n 是等差数列，f (1)=2， f (2)=6，则f (n )= ▲ ，数列{a n }满足a n +1= f (a n ),

a 1=1，数列????

??

11+a n 的前n 项和为S n ，则S 2015+1a 2016 = ▲ .

15．如图，在三棱锥中D -ABC 中，已知AB =2，AC BD ?

= -3.

设AD =a ，BC =b ，CD =c ，则c 2

ab +1

的最小值为 ▲ .

三、解答题：本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

B

C

α

A

第8题图

第15题图 D

A

B C

16．(本小题15分) 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，AD 为边BC 上的高．已

知AD =

3

6

a ，

b =1. (Ⅰ) 若A = 2

3π，求c ； (Ⅱ) 求1c c

+的最大值.

17．(本小题15分) 在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，

∠CDA =∠BAD =90°

，AB =AD =2DC =22，且E 、F 分别为PD 、PB 的中点. (Ⅰ) 求证：CF //平面P AD ；

(Ⅱ) 若直线P A 与平面CEF 的交点为G ，且PG =1，求截面CEF 与底面ABCD 所成锐二

面角的大小.

18．(本小题14分) 已知函数)(log )(2t a x f x a +=，其中0>a 且1≠a .

(Ⅰ) 当a =2时，若x x f <)(无解，求t 的范围；

(Ⅱ) 若存在实数m ，n （n m <），使得[]n m x ,∈时，函数()x f 的值域都也为[]n m ,，求

t 的范围.

19．(本小题15分) 已知点M (0，3)是椭圆C ：x 2a 2 + y 2

b

2=1(a ＞b ＞0)的一个顶点，椭圆C 的离

心率为12

.

(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；

A B

C D E F

P 第17题图

(Ⅱ) 已知点P (x 0，y 0)是定点，直线l ：1()2

y x m m =

+∈R 交椭圆C 于不同的两点A ，B ，

记直线P A ，PB 的斜率分别为k 1, k 2. 求点P 的坐标，使得k 1+k 2恒为0.

20．(本小题15分) 已知f n (x )=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ，且f n (-1)= (-1)n ·n ，n =1，2，3，….

(Ⅰ) 求321,,a a a ；

(Ⅱ) 求数列{n a }的通项公式；

(Ⅲ) 当7k >且N *k ∈时，证明：对任意n ∈N *都有

2

3

12121212121>+?++++++-++nk n n n a a a a 成立．

金丽衢十二校2015学年高三第一次联考

数学试卷（理科）参考答案

一、选择题.每小题5分，共40分.

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 9．{}0x x ≥,{}

02x x <≤. 10．π. 11．3 . 12．

1, 21,

32-??

???

.

13．220x y +-=.

14．()2f n n n =+, 1.

15．2.

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）11sin 2

2

S bc A a AD ABC =

=

??

，即12

6

c a a ??

=?

，即2

3c a =，根据余弦

定理2

2

2

2c o s A a b c b c =+-，有2

1312()2

c c

c =+-?-，即2

(1

)

0c -=，即

1c =；………………8分

(Ⅱ) ∵

2

11ABC 226

S BC AD a =?=?

?，又11sin sin ABC 22S AC

AB A c A =??=?， ∴

2sin 6

c A =，则2

sin A a =，………………10分

又 2

2

2

11sin A

cos A 22c a

c c

c

+-+-==

， ∴ 1A 2cos A 4sin(A )6

c c

π

+=+=+

，

当3A π

=

时，有max 1

()4c c

+=．………………15分 17. 解：（Ⅰ）取P A 的中点Q ，连接QF 、QD ， ∵ F 是PB 的中点，∴ QF ∥AB 且1=

2

QF AB ，

∵ 底面ABCD 为直角梯形，∠CDA =∠BDA =90°，

AB =AD =2DC =22，即//CD AB ，12CD AB =

，

∴ QF ∥CD 且=QF CD ，∴ 四边形QFCD 是平行四边形， ∴ FC ∥QD ，又FC ?平面P AD ，QD ?平面P AD

∴

FC //平面P AD …………………………………………………………6分

(Ⅱ) 取PC 的中点M ，连接AC 、EM 、FM 、QM ，QM ∩EF =N ，连接CN 并延长交P A 于G ，

已知PG =1.

z

x

∵ CF ∥平面APD ，且平面CDEF ∩平面APD =直线EG ， ∴ CF ∥EG ,又CF ∥DQ ，∴ EG ∥DQ ，

又∵ E 为中点，∴ G 为PQ 中点，∴ P A =4. …………………………………10分 建立直角坐标系如图所示，A (0,0,0），B

(0,,0)，

C(

，D

(,0,0)， E

(

，F (0

，

,0)，则平面ABCD 的法向量为1(0,0,1)n =

，(2)CE =

，

(2)CF =- ,设平面CEF 的法向量为2(,,)n x y z =

，则有220

CE n CF n ?=?=????? ，

即{

20

20

y z z +=+=

，取z =x =1，y =1,

，即2(1,1n = .

∴ 1cos n <

，12212

122n n n n n ?=

=??

≥，即两个法向量的夹角为45°. ∴截面ECF 与底面ABCD 所成锐二面角的大小为45°.……………………15分 18. 解：(Ⅰ) 222log (2)log 2x x t x +<= ，22

2x

x t ∴+<无解，等价于22

2x

x

t +≥恒成立，

即 222()x x t g x -+=≥恒成立，即max ()t g x ≥，求得2

1

max 1()(1)22

4

g x g --=-=-+=

，

14

t ∴≥

……………………6分

(Ⅱ) 2()log ()x a f x a t =+是单调增函数.

(()()f m m f n n

=∴=???，即22m m n n

a t a a t a +=+=?????，问题等价于关于k 的方程20k k

a a t -+=有两个不相等的解，令0k a u =>，则问题等价于关于u 的二次方程2

0u u t -+=在(0,)u ∈+∞上

有两个不相等的实根，即1212000u u u u +>?>?>?????

，即0

14t t >

???，得104t <<………………14分

19. 解：(Ⅰ) 由题意

, b =12

c a =, 又222,1,2a c b c a -=∴== ，

所以所求的椭圆方程为:22

143

x y +=……………………5分 (Ⅱ) 设()()1122,,,A x y B x y ,把12

y x m =

+代入椭圆方程化简得:2

2

30x +mx+m =-

∴ △=m 2-4(m 2-3)=-3m 2+12>0, ∴ m 2<4………………………………7分 又()1212122

121323

2

2

x x m y y x x m m x x m +=-∴+=

++=

=-??

? ……………………9分

而10201210

20

0y y y y k k x x x x --+=

+

=--

∵（y 1-y 0）(x 2-x 0)+(y 2-y 0)(x 1-x 0)=0 ∴ y 1 x 2+ y 2 x 1+2 x 0 y 0- y 0 (x 1+ x 2)- x 0(y 2+ y 1)=0 ∴ ()()122100012021112022x m x x m x x y y x x x y y ++++-+-+=????

? ?????

()()()121200012021000000000000203032302

2230

11

33

22

,x x m x x x y y x x x y y y x m y x x y x y x x y y ∴+++-+-+=-=∴-+-=∴-===-∴==-?

??

?? ???????????????

31,2p ∴?? ??? 或31,2p --?

? ??

? …………………………15分

20. 解：(Ⅰ) 由11(1)1f a -=-=-得11a =，由212(1)2f a a -=-+=得23a =， 又3123(1)3f a a a -=-+-=-，所以35a =；……………………4分 (Ⅱ) 由题得：123(1)(1)(1)n n n n f a a a a n -=-+-++-=-?

1

1

11231(1)(1)

(1)

(1)n n n n f a a a a n -----=-+-++-=-?- ，2n ≥

两式相减得：1(1)(1)(1)(1)(1)(21)n n n n n a n n n --=-?---=--

得当2n ≥时，21n a n =-，又11a =符合，所以21n a n =-（n ∈N *）．…………9分

(Ⅲ) 令12

n n a b n +==

则12111111

121

111n n n nk S b n n n nk b b b ++-=

=++++++-++++ ……11分 ∴1

1111111

2()()()()1122

1S n

nk n nk n nk n

=+

+++++++-+-+- …………(*) 当0,0x y >>时，x y +≥11x y +≥ ∴11()()4x y x y ++≥

∴114

x y x y

++≥

, 当且仅当x y =时等号成立． 上述(*)式中，7k >，0n >，1,2,,1n n nk ++- 全为正，所以

44444(1)

21122311n k S n nk n nk n nk nk n n nk ->

++++=

+-++-++--++- ∴2(1)2(1)223

2(1)2(1)1117121k k S k k k n -->>=->-=++++-

，得证． …………15分