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浙江省金丽衢十二校2016届高三上学期第一次联考数学(理)试题 Word版含答案

保密★考试结束前

金丽衢十二校2015学年高三第一次联考

数学试卷(理科)

命题人:高雄略 王飞龙 审题人:卢 萍 郑惠群

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一

个选项是符合题目要求的.

1. 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ▲ ) A .y =0 B .y =sin2x C .y =x +lg x

D .y =2x +2-x 2. 设两直线l 1:(3+m )x +4y =5-3m 与l 2:2x +(5+m )y =8,则“l 1∥l 2”是“m <-1”的( ▲ )

A .充分而不必要条件

B .必要而不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件

3. 要得到函数cos 43y x π=-??

??

?的图象,只需要将函数sin 42y x π=+??

???

的图象( ▲ ) A .向左平移π

12

个单位

B .向右平移

π

12

个单位

C .向左平移

π

3

个单位 D .向右平移

π

3

个单位

4. 某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积是( ▲ )cm 3

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A .23

B .2

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C. 2 3

D. 233 5. 设a ,b ∈R ,定义:M(,)2

a b a b

a b ++-=,

m(,)2

a b a b

a b +--=

.下列式子错误的是( ▲ )

A .M(a ,b )+ m(a ,b )= a +b

B .m(|a+b|,|a -b|)=| a|-|b|

C .M(|a+b|,|a -b|)=| a|+|b|

正视图

2

俯视图

侧视图

第4题图

D .m(M(a ,b ), m(a ,b ))= m(a ,b )

6.设m ∈R ,实数x ,y 满足23603260

x m x y x y -+--??

???≥≥≤,若| x +2y|≤18,则实数m 的取值范围是( ▲ )

A .-3≤m ≤6

B .m ≥-3

C .- 68

7

≤m ≤6

D .-3≤m ≤3

2

7.若函数f (x )是R 上的单调函数,且对任意实数x ,都有f ?

???f (x )+22x +1=1

3,则f (log 23) =( ▲ )

A .1

B .45

C .1

2 D .0

8.如图,AB 是平面α外固定的斜线段,B 为斜足. 若点C 在平面α内运动,且∠CAB 等于直线AB 与平面α所成的角,则动点C 的轨迹为( ▲ ) A .圆 B .椭圆 C .双曲线

D .抛物线

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.

9.已知全集U =R ,集合{}2A x x =≥,{}

05B x x =<≤,则A B = ▲ ,(C U A ) B = ▲ .

10.函数f (x )=4sin x cos x +2cos 2x -1的最小正周期为 ▲ ,最大值为 ▲ . 11.若抛物线x 2

=8y 的焦点与双曲线y 2m

-x 2

=1的一个焦点重合,则m = ▲ .

12.设函数 f (x )= 3log (1),10tan(),

01

x x x x π+-<<

??

≤,则f [f (

33-1)]= ▲ ,若f (a )< f (1

2

),则实数a 的取值范围是 ▲ .

13.已知过点P (t ,0)(t >0)的直线l 被圆C :x 2+y 2-2x +4y -4=0截得弦AB 长为4. 若直线l 唯一,

则该直线的方程为 ▲ .

14. 已知????

??

f (n )n 是等差数列,f (1)=2, f (2)=6,则f (n )= ▲ ,数列{a n }满足a n +1= f (a n ),

a 1=1,数列????

??

11+a n 的前n 项和为S n ,则S 2015+1a 2016 = ▲ .

15.如图,在三棱锥中D -ABC 中,已知AB =2,AC BD ?

= -3.

设AD =a ,BC =b ,CD =c ,则c 2

ab +1

的最小值为 ▲ .

三、解答题:本大题共5小题,共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

B

C

α

A

第8题图

第15题图 D

A

B C

16.(本小题15分) 在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,AD 为边BC 上的高.已

知AD =

3

6

a ,

b =1. (Ⅰ) 若A = 2

3π,求c ; (Ⅱ) 求1c c

+的最大值.

17.(本小题15分) 在四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,

∠CDA =∠BAD =90°

,AB =AD =2DC =22,且E 、F 分别为PD 、PB 的中点. (Ⅰ) 求证:CF //平面P AD ;

(Ⅱ) 若直线P A 与平面CEF 的交点为G ,且PG =1,求截面CEF 与底面ABCD 所成锐二

面角的大小.

18.(本小题14分) 已知函数)(log )(2t a x f x a +=,其中0>a 且1≠a .

(Ⅰ) 当a =2时,若x x f <)(无解,求t 的范围;

(Ⅱ) 若存在实数m ,n (n m <),使得[]n m x ,∈时,函数()x f 的值域都也为[]n m ,,求

t 的范围.

19.(本小题15分) 已知点M (0,3)是椭圆C :x 2a 2 + y 2

b

2=1(a >b >0)的一个顶点,椭圆C 的离

心率为12

.

(Ⅰ) 求椭圆C 的方程;

A B

C D E F

P 第17题图

(Ⅱ) 已知点P (x 0,y 0)是定点,直线l :1()2

y x m m =

+∈R 交椭圆C 于不同的两点A ,B ,

记直线P A ,PB 的斜率分别为k 1, k 2. 求点P 的坐标,使得k 1+k 2恒为0.

20.(本小题15分) 已知f n (x )=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ,且f n (-1)= (-1)n ·n ,n =1,2,3,….

(Ⅰ) 求321,,a a a ;

(Ⅱ) 求数列{n a }的通项公式;

(Ⅲ) 当7k >且N *k ∈时,证明:对任意n ∈N *都有

2

3

12121212121>+?++++++-++nk n n n a a a a 成立.

金丽衢十二校2015学年高三第一次联考

数学试卷(理科)参考答案

一、选择题.每小题5分,共40分.

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二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分. 9.{}0x x ≥,{}

02x x <≤. 10.π. 11.3 . 12.

1, 21,

32-??

???

.

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13.220x y +-=.

14.()2f n n n =+, 1.

15.2.

三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解:(Ⅰ)11sin 2

2

S bc A a AD ABC =

=

??

,即12

6

c a a ??

=?

,即2

3c a =,根据余弦

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定理2

2

2

2c o s A a b c b c =+-,有2

1312()2

c c

c =+-?-,即2

(1

)

0c -=,即

1c =;………………8分

(Ⅱ) ∵

2

11ABC 226

S BC AD a =?=?

?,又11sin sin ABC 22S AC

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AB A c A =??=?, ∴

2sin 6

c A =,则2

sin A a =,………………10分

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又 2

2

2

11sin A

cos A 22c a

c c

c

+-+-==

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, ∴ 1A 2cos A 4sin(A )6

c c

π

+=+=+

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当3A π

=

时,有max 1

()4c c

+=.………………15分 17. 解:(Ⅰ)取P A 的中点Q ,连接QF 、QD , ∵ F 是PB 的中点,∴ QF ∥AB 且1=

2

QF AB ,

∵ 底面ABCD 为直角梯形,∠CDA =∠BDA =90°,

AB =AD =2DC =22,即//CD AB ,12CD AB =

∴ QF ∥CD 且=QF CD ,∴ 四边形QFCD 是平行四边形, ∴ FC ∥QD ,又FC ?平面P AD ,QD ?平面P AD

FC //平面P AD …………………………………………………………6分

(Ⅱ) 取PC 的中点M ,连接AC 、EM 、FM 、QM ,QM ∩EF =N ,连接CN 并延长交P A 于G ,

已知PG =1.

z

x

∵ CF ∥平面APD ,且平面CDEF ∩平面APD =直线EG , ∴ CF ∥EG ,又CF ∥DQ ,∴ EG ∥DQ ,

又∵ E 为中点,∴ G 为PQ 中点,∴ P A =4. …………………………………10分 建立直角坐标系如图所示,A (0,0,0),B

(0,,0),

C(

,D

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(,0,0), E

(

,F (0

,0),则平面ABCD 的法向量为1(0,0,1)n =

,(2)CE =

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(2)CF =- ,设平面CEF 的法向量为2(,,)n x y z =

,则有220

CE n CF n ?=?=????? ,

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即{

20

20

y z z +=+=

,取z =x =1,y =1,

,即2(1,1n = .

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∴ 1cos n <

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,12212

122n n n n n ?=

=??

≥,即两个法向量的夹角为45°. ∴截面ECF 与底面ABCD 所成锐二面角的大小为45°.……………………15分 18. 解:(Ⅰ) 222log (2)log 2x x t x +<= ,22

2x

x t ∴+<无解,等价于22

2x

x

t +≥恒成立,

即 222()x x t g x -+=≥恒成立,即max ()t g x ≥,求得2

1

max 1()(1)22

4

g x g --=-=-+=

14

t ∴≥

……………………6分

(Ⅱ) 2()log ()x a f x a t =+是单调增函数.

(()()f m m f n n

=∴=???,即22m m n n

a t a a t a +=+=?????,问题等价于关于k 的方程20k k

a a t -+=有两个不相等的解,令0k a u =>,则问题等价于关于u 的二次方程2

0u u t -+=在(0,)u ∈+∞上

有两个不相等的实根,即1212000u u u u +>?>?>?????

,即0

14t t >

???,得104t <<………………14分

19. 解:(Ⅰ) 由题意

, b =12

c a =, 又222,1,2a c b c a -=∴== ,

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所以所求的椭圆方程为:22

143

x y +=……………………5分 (Ⅱ) 设()()1122,,,A x y B x y ,把12

y x m =

+代入椭圆方程化简得:2

2

30x +mx+m =-

∴ △=m 2-4(m 2-3)=-3m 2+12>0, ∴ m 2<4………………………………7分 又()1212122

121323

2

2

x x m y y x x m m x x m +=-∴+=

++=

=-??

? ……………………9分

而10201210

20

0y y y y k k x x x x --+=

+

=--

∵(y 1-y 0)(x 2-x 0)+(y 2-y 0)(x 1-x 0)=0 ∴ y 1 x 2+ y 2 x 1+2 x 0 y 0- y 0 (x 1+ x 2)- x 0(y 2+ y 1)=0 ∴ ()()122100012021112022x m x x m x x y y x x x y y ++++-+-+=????

? ?????

()()()121200012021000000000000203032302

2230

11

33

22

,x x m x x x y y x x x y y y x m y x x y x y x x y y ∴+++-+-+=-=∴-+-=∴-===-∴==-?

??

?? ???????????????

31,2p ∴?? ??? 或31,2p --?

? ??

? …………………………15分

20. 解:(Ⅰ) 由11(1)1f a -=-=-得11a =,由212(1)2f a a -=-+=得23a =, 又3123(1)3f a a a -=-+-=-,所以35a =;……………………4分 (Ⅱ) 由题得:123(1)(1)(1)n n n n f a a a a n -=-+-++-=-?

1

1

11231(1)(1)

(1)

(1)n n n n f a a a a n -----=-+-++-=-?- ,2n ≥

两式相减得:1(1)(1)(1)(1)(1)(21)n n n n n a n n n --=-?---=--

得当2n ≥时,21n a n =-,又11a =符合,所以21n a n =-(n ∈N *).…………9分

(Ⅲ) 令12

n n a b n +==

则12111111

121

111n n n nk S b n n n nk b b b ++-=

=++++++-++++ ……11分 ∴1

1111111

2()()()()1122

1S n

nk n nk n nk n

=+

+++++++-+-+- …………(*) 当0,0x y >>时,x y +≥11x y +≥ ∴11()()4x y x y ++≥

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∴114

x y x y

++≥

, 当且仅当x y =时等号成立. 上述(*)式中,7k >,0n >,1,2,,1n n nk ++- 全为正,所以

44444(1)

21122311n k S n nk n nk n nk nk n n nk ->

++++=

+-++-++--++- ∴2(1)2(1)223

2(1)2(1)1117121k k S k k k n -->>=->-=++++-

,得证. …………15分