体积形态连续介质有限变形理论—输运方程

方程的简单变形 1

6.2.1方程的简单变形（第2课时） 课型：新授 执笔： 学习目标： 1、能灵活运用方程的简单变形规则解一元一次方程 2,通过尝试，探究，掌握解较为复杂的方程基本方法 学习重点：方程的简单变形 学习难点：移项要变号和系数化为1 学法指导：自主，合作，探究 学习过程： 一、知识回顾： 1.方程的两条简单变形法则_____________________________________________ _____________________________________________________________________ 2.什么叫移项？_______________________________________________________ 二、自主学习、合作探究： 探究一：解下列方程： (1)3x+2=14; (2)x x -=12 1 (3)1-2x=2x (4)5=4n-3 (5)1-x 21 =x+3 1 探究二：已知y 1=2x-3,y 2=3x+2,当X 取何值时，y 1 = y 2 ？ 探究三：甲班人数有35人，乙班人数有47人，应从乙班调出多少人进入甲班，才能使两班人数一样多？ 三、当堂训练 1、已知等式3a=2b+5，则下列等式中不一定成立的是（ ） A 、3a-5=2b B 、3a+1=2b+6 C 、3ac=2bc+5 D 、a=3 532+b

2、一元一次方程3x+6=2x-8移项后正确的是（ ） A 、3x+2x=6-8 B 、3x-2x=-8+6 C 、3x-2x=-6-8 D 、3x-2x=8-6 3、下列变形中属于移项的是（ ） A 、由2X=-1得x=2 1- B 、由22=x 得x=4 C 、由5x+6=0得5x=-6 D 、由4-3x=0得-3x+4=0 4下列方程变形正确的是 (只填序号) ①3x+6=0可变为3x=6 ②2x=x-1可变为2x-x=-1 ③2+x-3=2x+1可变为2-3-1=2x-x ④4x-2=5+2x 可变为4x-2x=5-2 5、方程3x+2=0的解是 6、已知2a-3与12-5a 互为相反数，则a= 四、课后巩固 1、解方程-x=-30，，系数化为1正确的是（ ） A 、-x=30 B 、x=-30 C 、x=30 D 、x=3 2、若a=b ，则（1）a-4141-=b ,（2）b a 5141=,（3）b a 3434-=-,（4）3a-1=3b-1, （5）1-2a=2b-1中，正确的有 （只填序号） 3、若单项式123-n ab 与单项式1+n ab 是同类项，则n 的值是 4、如果55222-=+-a b a ，那么b= 5、已知92,4321-=-=x y x y ，解答下列问题：（1）当x 取何值时，21y y =？ （2）当x 取何值时，1y 比2y 小18？ 6、若x=2是关于的方程a x x -=+242的解，求代数式a a 12-的值. 五、小结： 六教（学）后感：----------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------

材料力学_强度理论与组合变形1

第八章强度理论与组合变形 §8-1 强度理论的概念 １．不同材料在同一环境及加载条件下对“破坏”（或称为失效）具有不同的抵抗能力（抗力）。 例1常温、静载条件下，低碳钢的拉伸破坏表现为塑性屈服失效，具有屈服极限 σ， s 铸铁破坏表现为脆性断裂失效，具有抗拉强度 σ。图9-1a,b b ２．同一材料在不同环境及加载条件下也表现出对失效的不同抗力。 例2常温静载条件下，带有环形深切槽的圆柱形低碳钢试件受拉时，不再出现塑性变形，而沿切槽根部发生脆断，切槽导致的应力集中使根部附近出现两向和三向拉伸型应力状态。图（9-2a,b）

例3 常温静载条件下，圆柱形铸铁试件受压时，不再出现脆性断口，而出现塑性变形，此时材料处于压缩型应力状态。图（9-3a ） 例4 常温静载条件下，圆柱形大理石试件在轴向压力和围压作用下发生明显的塑性变形，此时材料处于三向压缩应力状态下。图９－３b ３．根据常温静力拉伸和压缩试验，已建立起单向应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，其强度条件为 []σσ≤ ，根据薄壁圆筒扭转实验，可建立起纯剪应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，强度条件为 []ττ≤ 。 建立常温静载一般复杂应力状态下的弹性失效准则——强度理论的基本思想是： １）确认引起材料失效存在共同的力学原因，提出关于这一共同力学原因的假设； ２）根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验（如拉伸），建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的弹性失效准则和强度条件。 ３）实际上，当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和塑性屈服两类失效形式，分别提出共同力学原因的假设。 §8-２四个强度理论 １．最大拉应力准则（第一强度理论） 基本观点：材料中的最大拉应力到达材料的正断抗力时，即产生脆性断裂。 表达式：u σσ=+ max 复杂应力状态

涡量输运方程

粘性流体运动的基本性质包括：运动的有旋性，旋涡的扩散性，能量的耗散性。 1、粘性流体运动的涡量输运方程 为了讨论旋涡在粘性流体流动中的性质和规律，推导涡量输运方程是必要的。推导过程如下： 其Lamb型方程是： 引入广义牛顿内摩擦定理： Lamb型方程变为： 对上式两边取旋度，得到： 整理后得到： 这是最一般的涡量输运方程。该式清楚地表明：流体的粘性、非正压性和质量力无势，是破坏旋涡守恒的根源。在这三者中，最常见的是粘性作用。由于：

（1）如果质量力有势、流体正压、且无粘性，则涡量方程简化为： 这个方程即为Helmholtz涡量守恒方程。 （2）如果质量力有势，流体为不可压缩粘性流体，则涡量输运方程变为： 张量形式为。 （3）对于二维流动，上式简化为： 2、粘性流体运动的有旋性 理想流体运动可以是无旋的，也可以是有旋的。但粘性流体运动一般总是有旋的。用反证法可说明这一点。对于不可压缩粘性流体，其运动方程组为： 根据场论知识，有：

代入上式，得到： 如果流动无旋，则： 这与不可压缩理想流体的方程组完全相同，粘性力的作用消失，说明粘性流体流动与理想流体流动完全相同，且原方程的数学性质也发生了变化，由原来的二阶偏微分方程组变成一阶偏微分方程组。但问题出在固壁边界上。在粘性流体中，固壁面的边界条件是：不穿透条件和不滑移条件，即：。要求降阶后的方程组同时满足这两个边界条件一般是不可能的。这说明粘性流体流动一般总是有旋的。 但也有特例。如果固壁的切向速度正好等于固壁面处理想流体的速度，也就是固壁面与理想流体质点不存在相对滑移，这时不滑移条件自动满足，这样理想流体方程自动满足固壁面边界条件。说明在这种情况下，粘性流体流动可以是无涡的。但一般情况下，固壁面与理想流体质点总是存在相对滑移的，受流体粘性的作用，必然要产生旋涡。由此可得出结论：粘性流体旋涡是由存在相对运动的固壁面与流体的粘性相互作用产生的。 3、粘性流体旋涡的扩散性 粘性流体中，旋涡的大小不仅可以随时间产生、发展、衰减、消失，而且还会扩散，涡量从强度大的地方向强度小的地方扩散，直至旋涡强度均衡为止。 以一空间孤立涡线的扩散规律为例说明之。涡线强度的定解问题为：

6.2.1方程的简单变形(一)

6.2.1方程的简单变形(一) (时间:45分钟 总分:100分) 考点导航:1.理解方程简单变形的依据; 2.理解移项要变号的要求; 3.中考时重点考查移项在解方程中的应用. 1．下列说法不正确的是（ ） Ａ、若x y =，则x a y a +=+ Ｂ、若x y =，则x b y b -=- Ｃ、若x y =，则22 77x y = Ｄ、若x y =，则x y a a = 2．下列方程变形中正确的是（ ） ① 360x +=可变形为36x =；② 21x x =-可变形为21x x -=-； ③ 2321x x +-=+可变形为2312x x --=-； ④ 4252x x -=+可变形为4252x x -=-． Ａ、①②③ Ｂ、②③ Ｃ、②④ Ｄ、②③④ 3.把方程1 74 x - =系数化为1,下列选项正确的是( ) A 、714x = B 、174x ?? =?- ??? C 、714 x =- D 、174x =+ 4．3x =-是方程4x a +=的解，则a 的值是（ ） Ａ、7 Ｂ、1 Ｃ、1- Ｄ、7- 5.下列说法正确的是（ ）。 A 、将方程11 22x x x -+=-变形，得到22x -=-。 B 、将方程(1)(2)1x x x --=-两边都除以1x -，得到2x -=0，这两个方 程的解相同。C 、将方程322x =系数化为1，得4 3 x =。D 、将方程344x x =-变形，得4x =。 6.①由 13 x =得1x =的变形是移项；②方程的解也可以说是方程的根； ③当,a b 是有理数且0a ≠时，关于x 的方程ax b =的解为b x a =； ④若(2)(2)a x a y -=-，且2a ≠，则x y =。 对于以上四种说法正确的是（ ） A 、①③ B 、②④ C 、③④ D 、①④ 二 精心填一填，你会轻松（每题4分，共28分） 7.(1)方程的基本变形一:方程两边都加上或都减去___________或__________,方程的解不变; (2)方程的基本变形二:方程的两边都乘以或除以________________________,方程的解不变; (3)移项的依据是__________________,将未知数的系数化为1的依据是_________________. 8.下列方程的变形是否正确?若不正确请改正. (1)由233x x +=-,得233x x -=(对,不对) 改正:___________________; (2)由85x =-,得8 5 x =-(对,不对) 改正:_____________________. 9.若()2 310x y -++=,则2008 () xy =______________________. 10.若关于x 的方程53=-ax 的解是=x 2,则=a __________. 11.在等式3215?-?= 的两个方格内分别填入一个数，使这两个数互为相

组合变形及强度理论

组合变形和强度理论习题及解答 题1．图示，水平放置圆截面直角钢杆（2 ABC p ?），直径100d mm =，2l m =，1q k N m =，[]MPa 160=σ，试校核该杆的强度。 解： 1）各力向根部简化，根截面A 为危险面 扭矩：212nA M ql = ，弯矩 23 2 zA M ql =+，剪力2A Q ql = 2) 2348ZA M ql W d s p ==， 3132W d p =，3 116 p W d p =， 扭转剪应力：2 3 810.18n P M ql MPa W d t p ===， 3) []364.42r MPa s s = =<， ∴梁安全 题2、 平面曲杆在C 端受到铅重力P 作用。材料的 [σ]=160MPa 。若P=5KN ，l =1m ，a=0.6m 。试根据第四强度理论设计轴AB 的直径d. 解：属于弯扭组合变形 危险面A 处的内力为： 题3、平面曲拐在C 端受到铅垂力P 作用，材料的[σ]=160MPa ，E=2.1?10 5 MPa ，。 杆的直径 d=80mm ，l =1.4m ，a=0.6m ，l 1=1.0m 。若P=5KN (1) 试用第三强度理论校核曲拐的强度。 (2) 求1-1截面顶端处沿45?方向的正应变。 解： （1）危险A 上的内力为：5 1.4 7z M kN m =?? B

曲拐安全 （2）1-1截面内力：5,3z M kN m T kN m =?? 顶点的应力状态 题4. 图示一悬臂滑车架，杆AB 为18 号工字钢，其长度为 2.6l m =。试求当荷载F =25kN 作用在AB 的中点D 处时，杆内的最大正应力。设工字钢的自重可略去不计。 B 解：18号工字钢4 3421851030610.,.W m A m --=?? AB 杆系弯庄组合变形。 题5. 砖砌烟囱高30h m =，底截面m m -的外径13d m =，内径22d m =，自重 2000P kN =，受1/q kN m =的风力作用。试求： （1）烟囱底截面上的最大正应力； （2）若烟囱的基础埋深04h m =，基础及填土自重按21000P kN =计算，土壤的许用应力 []0.3MPa s =圆形基础的直径D 应为多大？ 注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。 解：烟囱底截面上的最大正应力：

浅析材料力学四种基本变形的异同点

浅析材料力学四种基本变形的异同点 公主岭市职业教育中心宋静辉 机械基础高等教育中材料力学的研究范围主要限于杆件，即长度远大于宽度和厚度的构件。作用远杆件上的外力有各种形式，但杆件的基本变形形式只有四种：拉伸或压缩（简称拉压）、剪切、扭转和弯曲。这四种基本变形是材料力学的重点内容，构成了材料力学理论体系中的一个个独立部分，学生学习时后很容易混淆。现分析和总结四种基本变形的异同点，便于学生学习和理解。 一、四种变形的不同点 1.受力特点不同。受拉伸或压缩的构件大多是等截面直杆，其受力特点是：作用在杆端的两外力（或外力的全力）大小相等，方向相反，力的作用线与杆件的轴线重合。工程中的连接件（如铆钉、螺栓等）会发生剪切变形，其受力特点是：作用的构件两侧面上外力的全力大小相等，作用线平行且相距很近；另外，承受剪切作用的连接件在传力的接触面上同时还受挤压力作用。机械中的轴类零件往往产生扭转变形，其受力特点是：在垂直于轴线的平面内，作用着一对大小相等、方向相反的力偶。梁是机器设备和工程结构中最重要的构件，主要发生弯曲变形，其受力特点是:作用在梁上的外边与其轴线垂直.若这些外力只是一对等值反向的力偶时,则称为纯弯曲。 2.变形特点不同。构件在外力作用下发生的几何形状和尺寸变化称为变形。拉压变形的特点是杆件沿轴线方向伸长或缩短；剪切变形的变形特点是介于两作用之间的各截面有沿作用力方向发生相对错动的趋势；扭转变形的变形特点是轴的各截面绕轴线将由直线变成曲线。 3.内力不同。物体内某一部分与另一部分间相互作用的力称为内力。构件在受到外力作用的同时，其内部将产生相应的内力。对于发生拉压变形的杠件，内力遍及整个杆体内部，因为外力的作用线与杆件的轴线重合，故分布内力的合力作用线也必与杆件轴线重合，这种内力称为轴力。轴力或为拉力或为压力。构件受剪切时的内力称为剪刀，剪力分布在剪切面上（受剪件中发生相对错动的截面），其分布比较复杂，在工程实力是一个截面平面内的力偶，其力偶矩称为截面上的扭矩。梁弯曲时，横

七年级数学下册 等式的性质与方程的简单变形 由等式的性质到方程简单变形同步测试

6.2 1. 第1课时 由等式的性质到方程简单变形 一、选择题 1．若x ＝1是关于x 的方程2x －a ＝0的解，则a 的值是( ) A ．－2 B ．2 C ．－1 D ．1 2．方程2x ＋3＝7的解是( ) A ．x ＝2 B ．x ＝4 C ．x ＝3.5 D ．x ＝5 3．下列说法正确的是( ) A ．若a ＋m ＝b ＋m ，则a ＝b B ．若a 2＝b 2，则a ＝b C ．若ma ＝mb ，则a ＝b D ．若x ＝y ，则x a ＝y b 4．下列等式变形正确的是( ) A ．如果x ＝y ，那么x －2＝y －2 B ．如果－12 x ＝8，那么x ＝－4 C ．如果mx ＝my ，那么x ＝y D ．如果|x|＝|y|，那么x ＝y 5．当x ＝2时，代数式ax －2的值是4，那么当x ＝－2时，这个代数式的值是( ) A ．－4 B ．－8 C ．8 D ．2 二、填空题 6．用适当的数或式子填空，使方程的解不变． (1)如果5x ＋3＝－7，那么5x ＝________； (2)如果x 5＝y 2 ，那么2x ＝________. 7．下列结论：①若m ＝n ，则m 3＝n 3 ；②若－2x ＋2＝－2y ＋2，则x ＝y ；③若am ＝bm ，则a ＝b ；④若a ＝b ，则am ＝bm.你认为正确的结论有________(填序号)． 8．若2x －3与1互为相反数，则x ＝________． 9．图K －2－1中标有相同字母的物体的质量相同，若物体A 的质量为20克，当天平处于平衡状态时，物体B 的质量为________克． 图K －2－1 三、解答题 10．解方程：(1)5x ＋3＝8； (2)5x ＋2＝3x ； (3)－34x ＝43； (4)35x －17＝－25 x.

材料力学章节重点和难点

材料力学章节重点和难点 第一章绪论 1．主要内容：材料力学的任务；强度、刚度和稳定性的概念；截面法、内力、应力，变形和应变的基本概念；变形固体的基本假设；杆件的四种基本变形。 2．重点：强度、刚度、稳定性的概念；变形固体的基本假设、内力、应力、应变的概念。 3．难点： 第二章杆件的内力 1．主要内容：杆件在拉压、扭转和弯曲时的内力计算；杆件在拉压、扭转和弯曲时的内力图绘制；平面弯曲的概念。 2．重点：剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图。 3. 难点：绘制剪力图和弯矩图、剪力和弯矩间的关系。 第三章杆件的应力与强度计算 1．主要内容：拉压杆的应力和强度计算；材料拉伸和压缩时的力学性能；圆轴扭转时切应力和强度计算；梁弯曲时正应力和强度计算；梁弯曲时切应力和强度计算；剪切和挤压的实用计算方法；胡克定律和剪切胡克定律。 2．重点：拉压杆的应力和强度计算；材料拉伸和压缩时的力学性能；圆轴扭转时切应力和强度计算；梁弯曲时正应力和强度计算。 3．难点：圆轴扭转时切应力公式推导和应力分布；梁弯曲时应力公式推导和应力分布；

第四章杆件的变形简单超静定问题 1．主要内容：拉（压）杆的变形计算及单超静定问题的求解方法；圆轴扭转的变形和刚度计算；积分法和叠加法求弯曲变形；用变形比较法解超静定梁。 2．重点：拉（压）杆的变形计算；；圆轴扭转的变形和刚度计算；叠加法求弯曲变形；用变形比较法解超静定梁。 3．难点：积分法和叠加法求弯曲变形；用变形比较法解超静定结构。 第五章应力状态分析? 强度理论 1．主要内容：应力状态的概念；平面应力状态分析的解析法和图解法；广义胡克定律；强度理论的概念及常用的四种强度理论。 2．重点：平面应力状态分析的解析法和图解法；广义虎克定律；常用的四种强度理论。 3．难点：主应力方位确定。 第六章组合变形 1．主要内容：拉伸(压缩)与弯曲、斜弯曲、扭转与弯曲组合变形的强度计算； 2．重点: 弯扭组合变形。 3．难点：截面核心的概念 第七章压杆稳定 1．主要内容：压杆稳定的概念；各种支座条件下细长压杆的临界载荷；欧拉公式的适用范围和经验公式；压杆的稳定性校核。

材料力学期末复习题库

第一章 一、选择题 1、均匀性假设认为，材料内部各点的是相同的。 A：应力 B：应变 C：位移 D：力学性质 2、各向同性认为，材料沿各个方向具有相同的。 A：力学性质 B：外力 C：变形 D：位移 3、在下列四种材料中，不可以应用各向同性假设。 A：铸钢 B：玻璃 C：松木 D：铸铁 4、根据小变形条件，可以认为： A：构件不变形 B：构件不破坏 C：构件仅发生弹性变形 D：构件的变形远小于原始尺寸 5、外力包括: A:集中力和均布力 B:静载荷和动载荷 C:所有作用在物体外部的力 D:载荷与支反力 6、在下列说法中，正确的是。 A：内力随外力的增大而增大； B：内力与外力无关； C：内力的单位是N或KN； D：内力沿杆轴是不变的； 7、静定杆件的内力与其所在的截面的有关。 A：形状；B：大小；C：材料；D：位置 8、在任意截面的任意点处，正应力σ与切应力τ的夹角α＝。 A：α＝90O； B：α＝45O； C：α＝0O；D：α为任意角。 9、图示中的杆件在力偶M的作用下，BC段上。 A：有变形、无位移； B：有位移、无变形； C：既有位移、又有变形；D：既无变形、也无位移； 10、用截面法求内力时，是对建立平衡方程而求解的。 A：截面左段 B：截面右段 C：左段或右段 D：整个杆件 11、构件的强度是指，刚度是指，稳定性是指。 A：在外力作用下抵抗变形的能力； B：在外力作用下保持其原有平衡态的能力； C：在外力的作用下构件抵抗破坏的能力； 答案：1、D 2、A 3、C 4、D 5、D 6、A 7、D 8、A 9、B 10、C 11、C、B、A 二、填空 1、在材料力学中，对变形固体作了，，三个基本假设，并且是在，范围内研究的。 答案：均匀、连续、各向同性；线弹性、小变形 2、材料力学课程主要研究内容是：。 答案：构件的强度、刚度、稳定性；

6.2.1等式的性质与方程的简单变形(一)

6.2.1等式的性质与方程的简单变形（一） 知识技能目标 1.理解并掌握方程的两个变形规则； 2.使学生了解移项法则，即移项后变号，并且能熟练运用移项法则解方程； 3.运用方程的两个变形规则解简单的方程． 过程性目标 1.通过实验操作，经历并获得方程的两个变形过程； 2.通过对方程的两个变形和等式的性质的比较，感受新旧知识的联系和迁移； 3.体会移项法则：移项后要变号． 课前准备 托盘天平，三个大砝码，几个小砝码． 教学过程 一、创设情境 同学们，你们还记得“曹冲称象”的故事吗？请同学说说这个故事． 小时候的曹冲是多么地聪明啊！随着社会的进步，科学水平的发达，我们有越来越多的方法测量物体的重量． 最常见的方法是用天平测量一个物体的质量． 我们来做这样一个实验，测一个物体的质量（设它的质量为x）．首先把这个物体放在天平的左盘内，然后在右盘内放上砝码，并使天平处于平衡状态，此时两边的质量相等，那么砝码的质量就是所要称的物体的质量． 二、探究归纳 请同学来做这样一个实验，如何移动天平左右两盘内的砝码，测物体的质量． 实验1：如图(1)在天平的两边盘内同时取下2个小砝码，天平依然平衡，所测物体的质量等于3个小砝码的质量． 实验2：如图(2)在天平的两边盘内同时取下2个所测物体，天平依然平衡，所测物体的质量等于2个小砝码的质量．

实验3：如图(3)将天平两边盘内物体的质量同时缩少到原来的二分之一，天平依然平衡，所测物体的质量等于3个小砝码的质量． 上面的实验操作过程，反映了方程的变形过程，从这个变形过程，你发现了什么一般规律？ 方程是这样变形的： 方程的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，所得结果仍是等式。 请同学们回忆等式的性质和方程的变形规律有何相同之处？并请思考为什么它们有相同之处？ 通过实验操作，可求得物体的质量，同样通过对方程进行适当的变形，可以求得方程的解． 三、实践应用 例1 解下列方程． (1)x －5 = 7； (2)4x = 3x －4． 分析：(1)利用方程的变形规律，在方程x －5 = 7的两边同时加上5，即x －5 + 5 = 7 + 5，可求得方程的解． (2)利用方程的变形规律，在方程4x = 3x －4的两边同时减去3x ，即4x －3x = 3x －3x －4,可求得方程的解． 即 x = 12． 即 x =－4 ． 像上面，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项(transposition )． 注 (1)上面两小题方程变形中，均把含未知数x 的项，移到方程的左边，而把常数项移到了方程的右边． (2)移项需变号，即：跃过等号，改变符号． 例2 解下列方程： (1)－5x = 2； (2)3 123=x ； 分析：(1)利用方程的变形规律，在方程－5x = 2的两边同除以－5，即－5x ÷(－ 5)= 2÷(－5)(或5255-=--x )，也就是x =5 2-,可求得方程的解．

初一数学·方程的简单变形

初一数学·方程的简单变形 广西大新县雷平中学何勇新 通过天平实验，让学生在观察、思考的基础上归纳出方程的两种变形，并能利用它们将简单的方程变形以求出未知数的值。 1．重点：方程的两种变形。 2．难点：由具体实例抽象出方程的两种变形。 上一节课我们学习了列方程解简单的应用题，列出的方程有的我们不会解，我们知道解方程就是把方程变形成x＝a 形式，本节课，我们将学习如何将方程变形。 让我们先做个实验，拿出预先准备好的天平和若干砝码。 测量一些物体的质量时，我们将它放在天干的左盘内，在右盘内放上砝码，当天平处于平衡状态时，显然两边的质量相等。 如果我们在两盘内同时加入相同质量的砝码，这时天平仍然平衡，天平两边盘内同时拿去相同质量的砝码，天平仍然平衡。 如果把天平看成一个方程，课本第4页上的图，你能从天平上砝码的变化联想到方程的变形吗？ 让同学们观察图的左边的天平；天平的左盘内有一个大

砝码和2个小砝码，右盘上有5个小砝码，天平平衡，表示左右两盘的质量相等。如果我们用x表示大砝码的质量，1表示小砝码的质量，那么可用方程x+2＝5表示天平两盘内物体的质量关系。 问：图右边的天平内的砝码是怎样由左边天平变化而来的？它所表示的方程如何由方程x+2＝5变形得到的？ 学生回答后，教师归纳：方程两边都减去同一个数，方程的解不变。 问：若把方程两边都加上同一个数，方程的解有没有变？如果把方程两边都加上同一个整式呢？ 让同学们看图。左天平两盘内的砝码的质量关系可用方程表示为3x＝2x+2，右边的天平内的砝码是怎样由左边天平变化而来的？ 把天平两边都拿去2个大砝码，相当于把方程3x＝2x+2两边都减去2x，得到的方程的解变化了吗？如果把方程两边都加上2x呢？ 由图、可归结为； 方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变。 让学生观察，由学生自己得出方程的第二个变形。 即方程两边都乘以或除以同一个不为零的数，方程的解不变：

组合变形与强度理论

组合变形和强度理论习题及解答 题1．图示，水平放置圆截面直角钢杆（2 ABC p ?），直径100d mm =，2l m =，1q k N m =，[]MPa 160=σ，试校核该杆的强度。 解： 1）各力向根部简化，根截面A 为危险面 扭矩：212nA M ql = ，弯矩 23 2 zA M ql =+，剪力2A Q ql = 2) 23 48ZA M ql W d s p ==， 3132W d p =，3 116p W d p =， 扭转剪应力：2 3 810.18n P M ql MPa W d t p ===， 3) []364.42r MPa s s = =<， ∴梁安全 题2、 平面曲杆在C 端受到铅重力P 作用。材料的 [σ]=160MPa 。若P=5KN ，l =1m ，a=0.6m 。试根据第四强度理论设计轴AB 的直径d. 解：属于弯扭组合变形 危险面A 处的内力为： 53z M kN m T kN m =?

4 5.6371r M kN m d mm = = = 题3、平面曲拐在C 端受到铅垂力P 作用，材料的[σ]=160MPa ，E=2.1?105 MPa ，。 杆的直径d=80mm ，l =1.4m ，a=0.6m ，l 1=1.0m 。若P=5KN (1) 试用第三强度理论校核曲拐的强度。 (2) 求1-1截面顶端处沿45?方向的正应变。 解： （1）危险A 上的内力为：5 1.47z M kN m =? 50.6 3T kN m =? []33 3344 6 4 7.6280 5.031032 7.62101511605.0310r z r r z M kN m W mm M MPa MPa W p s s = ?? ′===<=′ 曲拐安全 （2）1-1截面内力：5,3z M kN m T kN m =? 顶点的应力状态 6 4 510 99.45.0310MPa s ′==′ 6 4 31029.82 5.0310MPa t ′==创 B

§6.2.1 方程的简单变形(1)

§6.2.1 方程的简单变形(1) 科目：七年级数学 备课人：王淑轶 【教学目标】 1.了解等式的两条性质，理解并掌握“移项”和“将未知数的系数化为1”的意义和方法； 2.能正确地应用等式的性质对方程进行简单的变形求出方程的解； 3.初步体会数学建模的过程和思想，渗透化归的数学思想，培养观察、分析和概括能力。 【教学重点】 理解和应用等式的性质。 【教学难点】 应用等式的性质把简单的方程化为“x =a ”的形式。 【教学过程】 一、复习回顾，导入新课 1.解下列方程： (1)3+x=8 (2)17-2x=6 (3)3x-7=11 (4)-7x=21 2.观察以上各方程的解的书写形式，有什么共同点？ 二、自主探索 自学课本4页～6页内容，完成下列问题： 1、方程两边都加上或都减去 ，方程的解不变。 2、方程两边都乘以或都除以 ，方程的解不变。 3、将方程中的某些项 后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。 4、解方程的过程，实质上就是对方程进行适当的变形得到 的形式。 5、试用适当的数或整式填空： (1) 若3x=5-4x ，则3x+（ ）=5； (2) 若x 3 +4=2x ，则2x-（ ）=4； (3) 若-y=2，则y=（ ）； (4) 若8-2x=4，则x=（ ）. 三、合作探究 1、解下列方程： (1)x-5＝7； (2)4x ＝3x-4； (3)-5x ＝2； (4)32 x=13 。

2、试直接写出下列方程的解： (1)x-8＝5，（ ）； (2)9x ＝8x-5，（ ）； (3)-6x ＝-36 ，（ ）； (4)- 15 x=110 ，（ ）。 四、巩固练习 1、解方程2x-4=3x+5，移项正确的是（ ）。 A.2x+3x=5-4； B.2x+3x=5+4； C.2x-3x=5-4； D.2x-3x=5+4. 2、下列方程的变形中，移项正确的是（ ）。 A.由8+x=12，得x=12+8； B.由5x+8=4x ，得5x-4x=8； C.由10x-2=4-2x ，得10x+2x=4+2； D.由2x=3x-5，得3x+2x=5。 3、方程6x=3+5x 的解为（ ）。 A.x=2； B.x=3； C.x=-2； D.x=-3. 4、解下列方程： (1)x+1=-2； (2)5x=4x-2； (3)- 35 x=6； (4)34 x=-5. 五、整体感知 本节课我们通过天平实验，得出方程的两种变形： ①把方程两边都加上或减去同一个数或整式方程的解不变。 ②把方程两边都乘以或除以(不等零)的同一个数，方程的解不变。 第①种变形又叫移项，移项时别忘了要先变号，注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别。 六、拓展延伸 1、若3x-1与4x+3的值相等，求x 的值。 2、方程∣2x-k ∣=23 的解是x=0，求k 的值。

七年级数学下册 方程的简单变形(二)教案 华东师大版

七年级数学下册 方程的简单变形（二）教案 华东师大版 知识技能目标 1.运用方程的变形规律熟练解方程； 2.理解解方程的步骤，掌握移项变号规则． 过程性目标 通过解方程过程的探讨，使学生获得解方程的步骤，体会数学中由特殊到一般的思想方法． 教学过程 一、创设情境 方程的变形是怎样的？请同学们利用方程的变形，求方程2x + 3 = 1的解．并讨论： (1)解方程的每一步的依据是什么？ (2)解方程应解到什么形式为止？ (3)通过解方程，你能归纳出解方程的一般步骤吗？ 二、探究归纳 解2x = 1－3，………………移项； 2x = －2，………………合并同类项； x = －1．………………未知数的系数化为1． (1)第一步的依据是方程的变形：在方程的两边同时减去3； 第二步的依据是合并同类项； 第三步的依据是方程的变形：方程的两边同时除以2． (2)解方程应得到x = a 的形式． (3)解方程的一般步骤是： ①移项； ②合并同类项； ③系数化为1． 三、实践应用 例1 解下列方程，并能说出每一步的变形过程． (1)8x = 2x －7 ； (2)6 = 8 + 2x ； (3)2y －21 =32 1 y ； (4)3y － 2 = y + 1 + 6y ． 解(1)8x = 2x －7， 移项，得 8x －2x =－7， 合并同类项，得 6x = －7， 系数化为1，得 x = －6 7． (2)分析本题含有未知数的项在方程的右边，在解题时可考虑先把8 + 2x 放到方程的左边，把6放到方程的右边，然后再解方程． 解8 + 2x = 6， 移项 2x = 6－8， 合并同类项

方程的简单变形(二)

方程的简单变形（二） 知识技能目标 1.运用方程的变形规律熟练解方程； 2.理解解方程的步骤，掌握移项变号规则． 过程性目标 通过解方程过程的探讨，使学生获得解方程的步骤，体会数学中由特殊到一般的思想方法． 教学过程 一、创设情境 方程的变形是怎样的？请同学们利用方程的变形，求方程2x + 3 = 1的解．并讨论： (1)解方程的每一步的依据是什么？ (2)解方程应解到什么形式为止？ (3)通过解方程，你能归纳出解方程的一般步骤吗？ 二、探究归纳 解 2x = 1－3，………………移项； 2x = －2，………………合并同类项； x = －1．………………未知数的系数化为1． (1)第一步的依据是方程的变形：在方程的两边同时减去3； 第二步的依据是合并同类项； 第三步的依据是方程的变形：方程的两边同时除以2． (2)解方程应得到x = a 的形式． (3)解方程的一般步骤是： ①移项； ②合并同类项； ③系数化为1． 三、实践应用 例1 解下列方程，并能说出每一步的变形过程． (1)8x = 2x －7 ； (2)6 = 8 + 2x ； (3)2y －21 =32 1 y ； (4)3y － 2 = y + 1 + 6y ． 解 (1)8x = 2x －7， 移项，得 8x －2x =－7， 合并同类项，得 6x = －7， 系数化为1，得

x = － 6 7． (2)分析 本题含有未知数的项在方程的右边，在解题时可考虑先把8 + 2x 放到方程的左边，把6放到方程的右边，然后再解方程． 解 8 + 2x = 6， 移项 2x = 6－8， 合并同类项 2x = －2， 系数化为1 x = －1． 注意：(1)移项和改变多项式各项的顺序是不同的，把8 + 2x 放在方程左边，6放到方程的右边时，符号不变． (2)也可考虑直接把含未知数的项2x 移到方程的左边，然后再解方程． 或解 6 = 8 + 2x ， 移项 － 2x = 8 － 6， 合并同类项 － 2x =2， 系数化为1 x = －1． 或解 6 = 8 + 2x ， 移项 6－8 = 2x ， 合并同类项 －2 = 2x ， 即 2x = －2， 系数化为1 x =－1． 以上三种解法，让学生通过对比分析，体会每种方法的优点，寻求较简捷的方法． (3) 2y －21 =32 1 y 移项 2y －y 21=－3 + 2 1， 合并同类项 y 23= －2 5， 系数化为1 y = －25÷23= －25×3 2， 即 y = －35．

第八章组合变形构件的强度习题

第八章组合变形构件的强度习题 一、填空题 1、两种或两种以上基本变形同时发生在一个杆上的变形,称为（） 变形。 二、计算题 1、如图所示的手摇绞车，最大起重量Q=788N，卷筒直径D=36cm,两轴承间的距离l=80cm,轴的许用应力[]σ=80Mpa。试按第三强度理论设计轴的直径d。 2、图示手摇铰车的最大起重量P=1kN，材料为Q235钢，[σ]=80 MPa。试按第三强度理论选择铰车的轴的直径。 3、图示传动轴AB由电动机带动，轴长L=1.2m,在跨中安装一胶带轮，重G=5kN,半径R=0.6m,胶带紧边张力F1=6kN,松边张力F2=3kN。轴直径d=0.1m，材料许用应力[σ]=50MPa。试按第三强度理论校核轴的强度。

4、如图所示，轴上安装有两个轮子，两轮上分别作用有F=3kN及重物Q，该轴处于平衡状态。若[σ]=80MPa。试按第四强度理论选定轴的直径d。 5、图示钢质拐轴，AB轴的长度l AB=150mm, BC轴长度l BC=140mm，承受集中载荷F的作用，许用应力[σ]=160Mpa，若AB轴的抗弯截面系数W z=3000mm3，。试利用第三强度理论，按AB轴的强度条件确定此结构的许可载荷F。 (注：写出解题过程) 6、如图所示，由电动机带动的轴上，装有一直径D=1m的皮带轮，皮带紧边张力为2F=5KN，松边张力为F=，轮重F P=2KN，已知材料的许用应力[σ]=80Mpa，试按第三强度理论设计轴的直径d。 7、如图所示，有一圆杆AB长为l，横截面直径为d，杆的一端固定，一端自由，在自由端B处固结一圆轮，轮的半径为R，并于轮缘处作用一集中的切向力P。试按

方程的简单变形(华师大版.教案)

方程的简单变形(华师大版.教案) 1．方程的简单变形 (广西大新县雷平中学何勇新) 教学目的 通过天平实验，让学生在观察、思考的基础上归纳出方程的两种变形，并能利用它们将简单的方程变形以求出未知数的值。 重点、难点 1．重点：方程的两种变形。 2．难点：由具体实例抽象出方程的两种变形。 教学过程 一、引入 上一节课我们学习了列方程解简单的应用题，列出的方程有的我们不会解，我们知道解方程就是把方程变形成x＝a 形式，本节课，我们将学习如何将方程变形。 二、新授 让我们先做个实验，拿出预先准备好的天平和若干砝码。 测量一些物体的质量时，我们将它放在天干的左盘内，在右盘内放上砝码，当天平处于平衡状态时，显然两边的质量相等。 如果我们在两盘内同时加入相同质量的砝码，这时天平仍然平衡，天平两边盘内同时拿去相同质量的砝码，天平仍

然平衡。 如果把天平看成一个方程，课本第4页上的图，你能从天平上砝码的变化联想到方程的变形吗? 让同学们观察图(1)的左边的天平；天平的左盘内有一个大砝码和2个小砝码，右盘上有5个小砝码，天平平衡，表示左右两盘的质量相等。如果我们用x表示大砝码的质量，1表示小砝码的质量，那么可用方程x+2＝5表示天平两盘内物体的质量关系。 问：图(1)右边的天平内的砝码是怎样由左边天平变化而来的?它所表示的方程如何由方程x+2＝5变形得到的? 学生回答后，教师归纳：方程两边都减去同一个数，方程的解不变。 问：若把方程两边都加上同一个数，方程的解有没有变?如果把方程两边都加上(或减去)同一个整式呢? 让同学们看图(2)。左天平两盘内的砝码的质量关系可用方程表示为3x＝2x+2，右边的天平内的砝码是怎样由左边天平变化而来的? 把天平两边都拿去2个大砝码，相当于把方程3x＝2x+2两边都减去2x，得到的方程的解变化了吗?如果把方程两边都加上2x呢? 由图(1)、(2)可归结为； 方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程

材料力学考试题库

材料力考试题 姓名学号 一、填空题：（每空1分，共计38分） 1、变形固体的变形可分为：弹性变形和塑性变形。 2、构件安全工作的基本要求是：构件必须具有足够的强度、足够刚度________________ 和 __________ 。 3、杆件变形的基本形式有拉（压）变形、剪切变形、扭转变形_____________________ 和 _____________ 。 4、吊车起吊重物时，钢丝绳的变形是拉伸变形 ;汽车行驶时，传动轴的变形是扭转变形；教 室中大梁的变形是弯曲变形；螺旋千斤顶中的螺杆受压杆受压变形。5、图中（T ―― ￡曲线上，对应p点的应力为比例极限，符号p__、对应y点的应力称 为屈服极限，符号s_、对应b点的应力称为强化极限符号b _____________ 。 6内力是外力作用引起的，不同的外力引起不同的内力，轴向拉、压变形时的内力称为轴力。剪切变形时的内力称为剪力，扭转变形时内力称为扭矩，弯曲变形时的内力称为弯矩。 7、下图所示各杆件中受拉伸的杆件有AB、BG CD AD ;受力压缩杆件有BE 。 8、胡克定律的两种表达式为l =N L 和二二E ；。E称为材料的弹性模量。它是衡 量材 EA -------------- 料抵抗变形能力的一个指标。E的单位为MPa 1 MPa=_10 _________ Pa 9、衡量材料强度的两个重要指标是屈服极限和强化极限。 10、通常工程材料丧失工作能力的情况是：塑性材料发生屈服现象, 脆性材料发生强化现象。

11、挤压面为平面时，计算挤压面积按实际面积计算；挤压面为半圆柱面的 投影面积计算。 12、在园轴的抬肩或切槽等部位，常增设圆弧过渡结构，以减小应力集中。 13、扭转变形时，各纵向线同时倾斜了相同的角度；各横截面绕轴线转动了不同的角度， 相邻截面产生了转动，并相互错动，发生了剪切变形，所以横截面上有—剪 应力。 14、因半径长度不变，故切应力方向必与半径垂直由于相邻截面的间距不变，即园 轴没有伸长或缩短发生，所以横截面上无正应力。 15、长度为I、直径为d的圆截面压杆，两端铰支，则柔度入为，若压杆属大柔 度杆，材料弹性模量为E,则临界应力C cr为__________________ 。 二、判断题：（每空1分，共计8分） 1、正应力是指垂直于杆件横截面的应力。正应力又可分为正值正应力和负值正 应力。（V） 2、构件的工作应力可以和其极限应力相等。（X ） 3、设计构件时，须在满足安全工作的前提下尽量节省材料的要求。（V ） 4、挤压面的计算面积一定是实际积压的面积。（X ） 5、剪切和挤压总是同时产生，所以剪切面和挤压面是同一个面。（X ） 6外径相同的空心园轴和实心园轴相比，空心园轴的承载能力要大些。（X ） 7、园轴扭转危险截面一定是扭矩和横截面积均达到最大值的截面。（X ） 8、园轴扭转角?的大小仅由轴内扭矩大小决定。（X ） 9、平面弯曲的梁，横截面上的最大正应力，发生在离中性轴最远的上、下边缘点上。 （V ） 10、低碳钢和铸铁试件在拉断前都有“颈缩”现象。（X ） 11、在轴向拉、压杆中，轴力最大的截面一定是危险截面。（X ） 12、圆环形截面轴的抗扭截面系数W=n D3（1 - a 3）/16,式中a二d/D, d为圆轴内径, D为圆轴外径。（X ） 13、平面弯曲的梁，位于横截面中性轴的点，其弯曲正应力C = 0。（V ） 三、单相选择题 1、在下列关于梁转角的说法中，（A ）是错误的。

材料力学习题组合变形

组合变形 基 本 概 念 题 一、选择题 1. 偏心压缩时，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到 形心的距离e 和中性轴到形心距离d 之间的关系是（ ）。 A ．e = d B ．e ＞d C ．e 越小，d 越大 D ．e 越大，d 越小 2.三种受压杆件如图所示，设 杆1、杆2和杆3中的最大压应力(绝 对值)分别用1max σ、2max σ、 3max σ表示，则（ ）。 A ．1max σ=2max σ=3max σ B ．1max σ＞2max σ=3max σ C ．2max σ＞1max σ=3max σ D ．2max σ＜1max σ=3max σ 题2图 3.在图示杆件中，最大压应力发生在截面上的（ ）。 A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点 题3图 题4图 4. 铸铁杆件受力如图4所示，危险点的位置是（ ）。 A ．①点 B ．②点 C ．⑧点 D ．④点 5. 图示正方形截面直柱，受纵向力P 的压缩作用。则当P 力作用点由A 点移至B 点时柱内最大压应力的比值()max A σ﹕()max B σ为( )。 A ．1﹕2 B ．2﹕5 C ．4﹕7 D ．5﹕2 6. 图示矩形截面偏心受压杆件发生的变形为（ ）。 A ．轴向压缩和平面弯曲组合 B ．轴向压缩，平面弯曲和扭转组合 C ．轴向压缩，斜弯曲和扭转组合 D ．轴向压缩和斜弯曲组合 -41-

题5图 题6图 7. 图所示悬臂梁的横截面为等边角钢，外力P 垂直于梁轴，其作用线与形心轴 y 垂直，那么该梁所发生的变形是（ ）。 A ．平面弯曲 B ．扭转和斜弯曲 C ．斜弯曲 D ．两个相互垂直平面(xoy 平面和xoz 平面)内的平面弯曲 题7图 8. 图示正方形截面杆受弯扭组合变形，在进行强度计算时，其任一截面的危 险点位置有四种答案，正确的是( )。 A ．截面形心 B ．竖边中点A 点 C ．横边中点B 点 D ．横截面的角点D 点 题8图 题9图 9. 图示正方形截面钢杆，受弯扭组合作用，若已知危险截面上弯矩为M ，扭 矩为T ，截面上A 点具有最大弯曲正应力σ和最大剪应力τ，其抗弯截面模量为W 。关于A 点的强度条件是（ ）。 A ．σ≤[σ]，τ≤[τ] B ．W T M 2122)(+≤[σ] C ．W T M 2122)75.0(+≤[σ] D ．122)3(τσ+≤[σ] 10. 折杆危险截面上危险点的应力状态是图中的（ ）。 -42-