§2.3直线的参数方程(一)
§2.3直线的参数方程（一） 学习目标
1、了解直线参数方程的条件及参数的意义
2、能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义
一、课前准备（导学、自学）（预习教材P 35~ P 39，找出疑惑之处）
复习：1．圆22200()()x x y y r -+-=参数方程为： （θ为参数）
2．写出椭圆参数方程:
焦点在x 轴： 焦点在y 轴 .
3、平面向量共线定理：若//a b ，则存在唯一实数λ，使得 成立。
二、新课导学（互学）
探究：问题1已知一条直线过点),(000y x M ,倾斜角α,求这条直线方程。
问题2在直线l 上，任取一个点M (x ,y )，求0M M 坐标。
问题3试用直线l 的倾斜角α表示直线l 的方向单位向量e 。
问题4设0M M t = ，则e 与0M M 具有什么位置关系？用t 能否表示出这种关系。
问题5通过坐标运算，用),(000y x M ，α，t 把在直线l 上，任取一点()M
x ,y 的坐标
表示出来
即过定点00M (x ,y )倾斜角为α的直线的参数方程：
问题6在直线l 的参数方程中，哪些是变量，哪些是常量？
问题70,M M te l t = 由你能得到直线的参数方程中参数的几何意义吗？
问题8参数t 的取值范围是什么？分别代表什么含义？
※ 典型例题（互学）
【例1】已知直线01:=-+y x l 与抛物线2x y =交与B A ,两点，求线段AB 的长度和点)2,1(-M 到B A ,的距离之积.
※ 动手试试（自学）
若直线112,:()2.x t l t y kt =-??=+?为参数与直线2,:12.x s l y s =??=-?（s 为参数）垂直，k = ．
）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差 ※ 当堂检测（自学）
1、直线?????=+=0020
cos 20sin 3t y t x (t 为参数)的倾斜角是( ) A, 020 B, 070 C, 0110 D, 0160
2、求直线01=-+y x 的一个参数方程。
3、若点P 是极坐标方程为3π
θ=的直线与参数方程为???+==θθ2cos 1cos 2y x （θ为参数）的曲线的交点，则P 点的坐标为 .
设直线1l 的参数方程为113x t y t =+??
=+?（t 为参数），直线2l 的方程为y=3x+4则1l 与2l 的
距离为_______
高三数学一轮复习 专题 直线的参数方程导学案
第三课时 直线的参数方程 一、教学目标： 知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程 （一）、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 圆222r y x =+参数方程? ? ?==θθ sin cos r y r x （θ为参数） （2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：???+=+=θ θ sin cos 00r y y r x x （θ为参数） 2．写出椭圆参数方程. 3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数方程? （二）、讲解新课： 1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是0 30 ，并且经过点P （2，3），如何描述直线L 上任意点的位置呢？ 如果已知直线L 经过两个 定点Q （1，1），P （4，3）， 那么又如何描述直线L 上任意点的 位置呢？ 2、教师引导学生推导直线的参数方程： （1）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的 参数方程
?? ?+=+=α α sin cos 00t y y t x x （t 为参数） 【辨析直线的参数方程】：设M(x,y)为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是指从点P 到点M 的位移，可以用有向线段PM 数量来表示。带符号. （2）、经过两个定点Q 1 1 ( ,)y x ，P 2 2 (,)y x (其中12x x ≠)的直线的参数方程为 12112 1(1){ x X y y x y λλ λλλλ++++= =≠-为参数，。其中点M(X,Y)为直线上的任意一点。这里 参数λ的几何意义与参数方程（1）中的t 显然不同，它所反映的是动点M 分有向线段QP 的 数量比QM MP 。当o λ >时，M 为内分点；当o λ<且1λ≠-时，M 为外分点；当o λ=时， 点M 与Q 重合。 例题演练： 例1、 已知直线l ：10x y +-=与抛物线2 y x =相交于A,B 两点，求线段AB 的长和点 M (1,2)-到A,B 两点的距离之积。 例2、 经过点M(2,1)作直线l ，交椭圆 22 1164 x y +=于A,B 两点，如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程。
(推荐)高中数学直线与方程知识点总结
直线与方程 1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 4、直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，
如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=- 2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b b kx y += 3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211 y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0） 2、各种直线方程之间的互化。 3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 3420 2220x y x y +-=??++=? 得 x=-2，y=2
高中数学直线与圆的方程知识点总结
高中数学直线与圆的方 程知识点总结 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：
①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可 3、距离公式： ①两点间距离：2 2122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2 2 00B A C By Ax d +++= ③平行直线间距离：2 2 21B A C C d +-= 4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A ①AB 中点),(00y x ：)2 ,2( 2 121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)3 2,32(2 1 21y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )3 2,32(2 121 y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。 三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。 5.直线的对称性问题
直线的参数方程及其应用举例
直线的参数方程及应用 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即? ??+=+=αα sin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=0t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系？ 我们把直线l 看作是实数轴， 以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1、t 2 ， x x
高二立体几何与直线方程的知识点总结
立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变； ②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高， ' h为斜高，l为母线） ()l r r S+ =π2 圆柱表 ()l r r S+ =π 圆锥表 ()2 2R Rl rl r S+ + + =π 圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh = 柱， 2 V Sh r h π == 圆柱， 1 3 V Sh = 锥， h r V2 3 1 π = 圆锥 ' 1 () 3 V S S h =++ 台 '22 11 ()() 33 V S S h r rR R h π =++=++ 圆台 （4）球体的表面积和体积公式： 3 4 = 3 V R π 球； 2 4 S R π = 球面
二、点、直线、平面之间的关系 （一）、立体几何网络图： 1、线线平行的判断： （1）、平行于同一直线的两直线平行。 （3）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 （6）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（12）、垂直于同一平面的两直线平行。 2、线线垂直的判断： （7）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （8）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。 （10）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 3、线面平行的判断：（2）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 （5）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 判定定理： 性质定理： ★判断或证明线面平行的方法 ⑴利用定义(反证法)：lα=? I，则l∥α (用于判断)； ⑵利用判定定理：线线平行线面平行(用于证明)； ⑶利用平面的平行：面面平行线面平行(用于证明)； ⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。 2线面斜交和线面角：l∩α = A 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交， 则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。 2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°] 注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°； 当直线垂直于平面时，θ=90° 4、线面垂直的判断： ⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 ⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 ⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 图2-3 线面角
《直线的参数方程》教学案1
2.5《直线的参数方程》教学案 一、教学目标： 知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法：能根据直线的几何条件，写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识. 二重难点： 教学重点：曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法： 启发、诱导发现教学. 四、教学过程 (一)、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程. 圆222r y x =+参数方程?? ?==θ θ sin cos r y r x (θ为参数) (2)圆2 2 02 0r y y x x =+-)-()(参数方程为：???+=+=θ θ sin cos r y y r x x 00 (θ 为参数) 2．写出椭圆参数方程. 3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角，如何表示直线的参数方程？ (二)、讲解新课： 1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是 30 ，并且经过点P(2，3)，如何描述直 线L 上任意点的位置呢？ 如果已知直线L 经过两个 定点Q(1，1)，P(4，3)， 那么又如何描述直线L 上任意点的 位置呢？ 2、教师引导学生推导直线的参数方程： (1)过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的 参数方程 ???+=+=αα sin cos t y y t x x 00 (t 为参数【辨析直线的参数方程】：设M(x ，y)从点P 到点M 的位移，可以用有向线段PM (2)、经过两个定点Q 11(,)y x ，P 22(,)y x (其中12≠)的直线的参数方程为
高一数学必修2直线与方程知识点总结
高一数学必修 2 直线与方程知识点总结 (一)高一数学必修2 直线与方程知识点总结一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0180 (2)直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即。斜 率反映直线与轴的倾斜程度。 当时，; 当时，; 当时，不存在。②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1) 当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90 (2)k 与P1、P2 的顺序无关;(3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0 时，k=0 ，直线的方程是y=y1 。 当直线的斜率为90 时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示. 但因l 上每一点的横坐标都
等于x1 ，所以它的方程是x=x1 。 ②斜截式：，直线斜率为k，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：（）直线两点，④截矩式： 其中直线与轴交于点, 与轴交于点, 即与轴、轴的截距分别为。 ⑤ 一般式：（A ，B 不全为0） 注意：各式的适用范围特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：（b 为常数）; 平行于y 轴的直线：（a 为常数）; （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系 平行于已知直线（是不全为0 的常数）的直线系：（C 为常数） （二）垂直直线系 垂直于已知直线（是不全为0 的常数）的直线系：（C 为常数） （三）过定点的直线系 （ⅰ ）斜率为k 的直线系：，直线过定点; （ⅱ ）过两条直线，的交点的直线系方程为 （为参数），其中直线不在直线系中。 (6)两直线平行与垂直
直线的参数方程及其应用举例
直线的参数方程及应用 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P| 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P| P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即? ??+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P|＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=0t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系？ 我们把直线l 看作是实数轴， 以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？ x x
直线与方程例题解析
第三章：直线与方程的知识点 一、基础知识 倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<或),0[πα∈ 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点 1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2 1 21y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?<
直线的方程知识点及题型归纳总结
直线的方程知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、基本概念 斜率与倾斜角 我们把直线y kx b =+中k 的系数k （k R ∈）叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线，其斜率不存在。 x 轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。倾斜角[)0,απ∈，规定与x 轴平行或重合 的直线的倾斜角为0，倾斜角不是 2 π 的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用k 表示，即tan k α=。 当0k =时，直线平行于轴或与轴重合； 当0k >时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k 的增大而增大； 当0k <时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角k 随的增大而减小； 二、基本公式 1. 111222(,),(,)P x y P x y 两点间的距离公式 12||PP =2. 111222(,),(,)P x y P x y 的直线斜率公式 121212tan (,)2 y y k x x x x π αα-= =≠≠- 3.直线方程的几种形式 （1）点斜式：直线的斜率k 存在且过00(,)x y ，00()y y k x x -=- 注：①当0k =时，0y y =；②当k 不存在时，0x x = （2）斜截式：直线的斜率k 存在且过(0,)b ，y kx b =+ （3）两点式： 11 2121 y y x x y y x x --=--，不能表示垂直于坐标轴的直线。 注：211121()()()()x x y y x x y y --=--可表示经过两点1122(,),(,)P x y Q x y 的所有直线 （4）截距式： 1x y a b +=不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。 （5）一般式：2 2 0(0)Ax By C A B ++=+≠，能表示平面上任何一条直线（其中，向量(,)n A B =r 是这 条直线的一个法向量）
15 直线的参数方程(1)(教师版)
15. 直线的参数方程（1） 主备： 审核： 学习目标：1.了解直线参数方程的条件及参数的意义； 2. 能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程. 学习重点：直线参数方程的简单应用. 学习难点：直线参数方程中参数意义的理解. 学习过程： 一、课前准备： 阅读教材3536P P -的内容，了解直线参数方程的推导过程，并思考以下问题： 1.将参数方程122x t y t =-??=+? （t 为参数）化为普通方程是250x y +-=. 2.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 答：一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线，方程为0 0tan ()y y x x α-=-. 3. 你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？ 答：当一条直线确定了之后，唯一变化的就是直线上的点，因此，可以以某一个定点为参照，定点到动点的向量作为参数. 二、新课导学： （一）新知： 直线参数方程的推导过程： 设e 是与直线l 平行且方向向上（l 的倾斜角不为0）或向右（l 的倾斜角为0）的单位方向.设直线l 的倾斜角为α，定点为0M 和动点M 的坐标分别为00(,)x y 、(,)x y . 思考以下问题： （1）如何利用倾斜角α写出直线l 的单位向量e ？ 答： (cos ,sin )e αα= （2）如何用e 和0M 的坐标表示直线l 任意一点M 的坐标？ 答：因为00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=-- 又0//M M e ，所以存在唯一实数t R ∈，使得0M M te = ， 所以00(,,)(cos ,sin )x x y y t αα--=， 所以00cos sin x x t y y t αα=+??=+? （t 为参数）. 这就是经过点000(,)M x y 且倾斜角为α的直线的参数方程. (3) 参数t 的几何意义是什么？ 答：t 表示参数t 对应的点M 到定点0M 的距离；当0M M 与e 同向时，t 取正数，当0M M 与e 反向时，t 取负数，当0M 与M 重合时，0t =. （4）练习：①直线003sin20cos20 x t y t ?=+?=?（t 为参数）的倾斜角为70 ； ②直线10x y +-= 的一个参数方程是2()1x t y ?=????=??为参数. (二)典型例题： 【例1】直线l ：30x y --=与抛物线24y x =交于两点A 、B ，求线段AB 的长和点
高三总复习直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程 一、直线的方程 1、倾斜角： ，围0≤α＜π， x l //轴或与x 轴重合时，α=00 。 2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0?κ=0 已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜ 02 >?k π P 2（x 2,y 2） α= κπ ?2 不存在 ?k= 1 212x x y y -- 022
二、两直线的位置关系 （说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑） 2、L 1 到L 2的角为0，则1 21 21tan k k k k ?+-= θ（121-≠k k ） 3、夹角：1 21 21tan k k k k +-= θ 4、点到直线距离：2 2 00B A c By Ax d +++= （已知点（p 0(x 0,y 0)，L ：AX+BY+C=0） ①两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0?2 221B A c c d +-= ②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ±022 =+B A d ③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是 02 2 1=++ +C C BY AX 5、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称)2,2(1010Y Y X X P --'
直线与方程知识点总结(学生版)
I直线方程知识点总结 一、基础知识梳理 知识点 1：直线的倾斜角与斜率 （ 1）倾斜角：一条直线向上的方向与X 轴的所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为 （ 2）斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称倾斜角的为该直线的斜率，即k=tan 注记：所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.（当=90 0时，k 不存在）（3）过两点 p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠ x2)的直线的斜率公式： k=tan y 2 y 1（当x 1＝x2时，k不存在，此时直线的倾斜角为900） . x2x1 知识点 2：直线的方程名称方程 斜截式y=kx+b 点斜式y-y0=k( x-x0) 两点式y y 1 =y y1 y2y1y2y1 截距式x y +=1 a b 一般式Ax+By+C=0已知条件局限性 k——斜率 b——纵截距 (x0， y0)——直线上 已知点， k——斜率 (x1，y1) ，(x2，y2)是直线上 两个已知点 a——直线的横截距 b——直线的纵截距 A C C ，，分别为 B A B A、 B 不能同时为零斜率、横截距和纵截距 直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。 二、规律方法提炼 1、斜率的求法一般有两种方式 （ 1）已知倾斜角,利用k tan ；（2）已知直线上两点，利用 k y2y 1 ( x1 x 2 ) x2x1 2、求直线的一般方法 （1）直接法：根据已知条件选择适当的直线方程，选择时应注意方程表示直线的局限性； （2）待定系数法：先设直线方程，根据已知条件求出待定系数，最后先出直线方程； 3、与直线方程有关的最值问题的求解策略： ○1 首先，应根据问题的条件和结论，选取适当的直线方程形式，同时引进参数； ○2 然后，可以通过建立目标函数，利用函数知识求最值；或通过数形结合思想求最值. II两直线的位置关系
最新直线与方程和圆与方程-知识点总结
第三章 直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此，倾斜角的取值范围是0180α?≤
直线的参数方程及其应用举例
直线的参数方程及应用 问题1:(直线由点与方向确定) 求经过点P 0(00,y x ),倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)就是直线l 上任意一点,(方向为直线L 的正方向)过点P 作y 轴的平行线,P 0作x 轴的平行线,两条直线相交于Q 点、 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0与P 重合时, P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时,P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t,t 为参数, 又∵P 0Q ＝0x x -, 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即???+=+=α αsin cos 00t y y t x x 就是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t,t 为参数,t 的几何意义就是:有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量,且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时,点P 在点P 0的上方; ② 当t ＝0时,点P 与点P 0重合; ③ 当t<0时,点P 在点P 0的下方; 特别地,若直线l 的倾斜角α＝0时,直线l ?+=0t x x ④ 当t>0时,点P 在点P 0的右侧; ⑤ 当t ＝0时,点P 与点P 0重合; ⑥ 当t<0时,点P 在点P 0的左侧; 问题2:直线l 上的点与对应的参数t 对应关系？ 我们把直线l 瞧作就是实数轴, 以直线l 向上的方向为正方向,以定点P 0 为原点,以原坐标系的单位长为单位长, 这样参数t 便与这条实数轴上的点P 一一对应关系、 问题3:P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？,∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1,∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ x x
高二数学知识点总结大大全(必修)
高二数学会考知识点总结大全(必修) 第1章空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2r rl Sπ π+ = 4 圆台的表面积2 2R Rl r rl Sπ π π π+ + + = 5 球的表面积2 4R Sπ = （二）空间几何体的体积 1柱体的体积h S V? = 底 2锥体的体积h S V? = 底 3 1 3台体的体积h S S S S V? + + =) 3 1 下 下 上 上 （ 4球体的体积3 3 4 R Vπ = 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 2 2 2r rl Sπ π+ =
1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质 D C B A α L A · α C B · A · α α 共面 =>a ∥c
《直线的参数方程(第1课时)》教学设计
第二讲参数方程 2.3直线的参数方程（第一课时）(谷杨华) 一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课学习，了解直线参数方程的推导过程、掌握参数的几何意义，体会参数方程的优越性，在逻辑推理、数学抽象中感受参数方程的特点． （二）学习目标 1．利用向量，推导直线的参数方程，体会直线的普通方程与参数方程的联系． 2．掌握并理解直线参数方程中参数的几何意义． 3．能初步利用直线参数方程解决一些几何问题，体会参数方程的优越性． （三）学习重点 1．直线参数方程的推导． 2．直线参数方程中参数的几何意义． 3．直线参数方程中参数的几何意义的初步应用． （四）学习难点 1．对直线参数方程的几何意义的理解． 2．对直线参数方程中参数的几何意义的初步应用．
二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 读一读：阅读教材第35页至第36页，填空： 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为)(sin cos 00为参数t t y y t x x ?? ?+=+=αα ，这种形式称为直线参数方程的标准形式． 其中参数t 的几何意义是：直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 绝对值，即|M 0M |＝|t |. 若_0>t ，则0M M 的方向向上； 若_0 高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点： 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 tan k α=当时，； 当时，； 当时，不存[) 90,0∈α0≥k () 180,90∈α0高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)