《概率论与数理统计》习题三答案
《概率论与数理统计》习题及答案
习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与
出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律.
0 1 2 3 1 0 0 3
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律.
0 1 2 3 0 0 0 1 0
2
P (0黑,2红,2白)=
3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为
F （x ，y ）=?????≤
≤≤≤.,
020,20,sin sin 其他ππy x y x
求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域?
??
?
??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ
{0,}(3.2)463
P X Y <≤
<≤公式 题3图
说明：也可先求出密度函数，再求概率。
4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度
f （x ，y ）=???>>+-.,
0,
0,0,)43(其他y x A y x e
求：（1） 常数A ；
（2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由
-(34)0
(,)d d e d d 112
x y A
f x y x y A x y +∞+∞
+∞
+∞
+-∞
-∞
==
=??
?
?
得 A =12 （2） 由定义，有
(3) {01,02}P X Y ≤<≤<
X
Y
X
Y
5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=??
?<<<<--.,
0,
42,20),6(其他y x y x k
（1） 确定常数k ；
（2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有
故 1
8
R =
（2） 13
{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞
<<=??
(3) 1
1.5
{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=
????如图
(4) 2
4
{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=
????如图b
题5图
6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为
f Y （y ）=?
??>-.,0,
0,55其他y y e
求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }. 题6图
【解】（1） 因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为
而 所以
(2) 5()(,)d d 25e
d d y
y x
D
P Y X f x y x y x y -≤≤=
????如图
7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为
F （x ，y ）=???>>----.,
0,
0,0),1)(1(24其他y x y x e e
求（X ，Y ）的联合分布密度.
【解】(42)28e ,0,0,
(,)(,)0,
x y x y F x y f x y x y -+?>>?==????其他.
8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤???
其他
求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞
-∞
=
?
题8图 题9图
9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=???<<-.,
0,
0,其他e y x y
求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞
-∞
=
?
题10图
10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=???≤≤.,
0,
1,22其他y x y cx
（1） 试确定常数c ；
（2） 求边缘概率密度. 【解】（1）
(,)d d (,)d d D
f x y x y f x y x y +∞+∞
-∞
-∞
??
??如图
得
21
4
c =
. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞
-∞
=
?
11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=??
?<<<.
,
0,
10,,1其他x x y
求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.
题11图 【解】()(,)d X f x f x y y +∞
-∞
=
?
所以
12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大
的号码为Y .
（1） 求X 与Y 的联合概率分布； （2） X 与Y 是否相互独立？ 【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表
3 4 5 1 2 0 3 0 0
(2) 因{1}{3}{1,3},101010010
P X P Y P X Y ===
?=≠=== Y
X
故X 与Y 不独立
13.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为 2 5 8 0.4 0.8
0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03
（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布； （2） X 与Y 是否相互独立？ 【解】（1）X 和Y 的边缘分布如下表
2 5 8 P {Y=y i } 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.8
0.05 0.12 0.03 0.2
0.2
0.42
0.38
(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===?0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.
14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为
f Y （y ）=?????>-.
,
0,0,
2
12/其他y y e
（1）求X 和Y 的联合概率密度；
（2） 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0，试求a 有实根的概率.
【解】（1） 因1,01,()0,X x f x <
1e ,1,
()20,y
Y y f y -?>?==???
其他.
故/2
1e
01,0,(,),()()2
0,
.
y X Y x y f x y X Y f x f y -?<<>?=???独立其他
题14图
(2) 方程2
20a Xa Y ++=有实根的条件是
故 X 2≥Y ，
从而方程有实根的概率为：
15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X 和Y 相互独立，且服
从同一分布，其概率密度为
f （x ）=?????>.,
0,
1000,10002其他x x
求Z =X /Y 的概率密度.
【解】如图,Z 的分布函数(){}{
}Z X
F z P Z z P z Y
=≤=≤ X
Y
X
Y
(1) 当z≤0时，()0
Z
F z=
（2）当0 z ）(如图a) 题15图 (3) 当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b） 即 1 1,1, 2 (),01, 2 0,. Z z z z f z z ? -≥ ? ? ? =<< ? ? ? ?? 其他 故 2 1 ,1, 2 1 (),01, 2 0,. Z z z f z z ? ≥ ? ? ? =<< ? ? ? ?? 其他 16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4 只， 求其中没有一只寿命小于180的概率. 【解】设这四只寿命为X i(i=1,2,3,4)，则X i~N（160，202）， 从而 17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为 P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…， P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，…. 证明随机变量Z=X+Y的分布律为 P{Z=i}=∑ =- i k k i q k p ) ( ) (，i=0，1，2，…. 【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数， 所以 于是 18.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y服从参 数为2n，p的二项分布. 【证明】方法一：X+Y可能取值为0，1，2，…，2n. 方法二：设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布（参数为p），则 X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′, X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′, 所以，X+Y服从参数为（2n,p)的二项分布. (1) 求P {X =2｜Y =2}，P {Y =3｜X =0}； （2） 求V =max （X ，Y ）的分布律； （3） 求U =min （X ，Y ）的分布律； （4） 求W =X +Y 的分布律. 【解】（1）{2,2} {2|2}{2} P X Y P X Y P Y ===== = （2）{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i =====<+≤= (3) {}{min(,)}P U i P X Y i === 20.雷达的圆形屏幕半径为R ，设目标出现点（X ，Y ）在屏幕上服从均匀分布. （1） 求P {Y ＞0｜Y ＞X }； （2） 设M =max{X ，Y }，求P {M ＞0}. 题20图 【解】因（X ，Y ）的联合概率密度为 （1）{0,} {0|}{} P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>= > (2) {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤ 21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0，x =1,x=e 2所围成，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，求（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少？ 题21图 【解】区域D 的面积为 2 2e e 01 1 1 d ln 2.S x x x = ==? （X ,Y ）的联合密度函数为 （X ，Y ）关于X 的边缘密度函数为 所以1(2).4 X f = 22.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于X 和 【解】因2 1 {}{,}j j i j i P Y y P P X x Y y ==== ==∑, 故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 从而11111{,}.6824 P X x Y y === -= 而X 与Y 独立，故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y =====, 从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =? ==== 即：1111 {}/.2464 P X x === 又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+== 即1,3111{},4248 P X x Y y =++== 从而131 {,}.12P X x Y y === 同理21{},2P Y y == 223 {,}8 P X x Y y === 又 3 1 {}1j j P Y y ===∑,故3111{}1623P Y y ==--=. 同理23 {}.4 P X x == 从而 故 为p （0 【解】(1) {|}C (1),0,0,1,2, m m n m n P Y m X n p p m n n -===-≤≤=. (2) {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ====== 24.设随机变量X 和Y 独立，其中X 的概率分布为X ~? ?? ? ??7.03.021 ，而Y 的概率密度为f (y )，求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ). 【解】设F （y ）是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U =X +Y 的分布函数为 由于X 和Y 独立，可见 由此，得U 的概率密度为 25. 25. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P {max{X ,Y }≤1}. 解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有 因为X ，Y 相互独立，所以 推得 1{max{,}1}9 P X Y ≤= . 其中a ,b ,c 为常数，且X 的数学期望E (X )= -0.2,P {Y ≤0|X ≤0}=0.5，记Z =X +Y .求： （1） a ,b ,c 的值； （2） Z 的概率分布； （3） P {X =Z }. 解 (1) 由概率分布的性质知， a+b+c +0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由()0.2E X =-，可得 0.1a c -+=-. 再由 {0,0}0.1 {00}0.5{0}0.5 P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤= ==≤++, 得 0.3a b +=. 解以上关于a ，b ，c 的三个方程得 0.2,0.1,0.1a b c ===. (2) Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2， {2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=， {1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=， {0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=， {1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===， {2}{1,1}0.1P Z P X Y =====， 即Z 的概率分布为 (3) {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=.