2021年中考数学复习专题练：《四边形综合 》(含答案)

2021模拟年中考数学复习专题练：《四边形综合》

1．如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．

（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．

①线段DG与BE之间的数量关系是；

②直线DG与直线BE之间的位置关系是；

（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．

（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．

2．如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE，

（1）求证：△DHC≌△CEB；

（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH 的长；

（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，当的值为时，的值为．

3．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．

（I）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；

（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．

4．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，DE⊥AB于点E，过点E的直线交BC于点G，且BG＝CG．

（1）求证：GD＝EG．

（2）若BD⊥EG垂足为O，BO＝2，DO＝4，画出图形并求出四边形ABCD的面积．

（3）在（2）的条件下，以O为旋转中心顺时针旋转△GDO，得到△G′D'O，点G′落在BC上时，请直接写出G′E的长．

5．（1）【探索发现】

如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别是边BC，CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为8，则正方形ABCD的边长为．

（2）【类比延伸】

如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M，N分别在边BC，CD上的点，∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由．

（3）【拓展应用】

如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，AN，△ABM 是等边三角形，AM⊥AD于点A，∠DAN＝15°，请直接写出△CMN的周长．

6．（1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，AE＝，则的值是；（2）如图2，在（1）的条件下，将△ADE绕点A逆时针方向旋转一定的角度，连接CE和BD，的值变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值；

（3）如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BC于点C，∠BAC ＝∠ADC＝θ，且tanθ＝，当CD＝6，AD＝3时，请直接写出线段BD的长度．

7．如图1，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠D＝90°，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，把△ADE沿直线AE翻折得△AD′E．

（1）当D′点落在AB边上时，∠DAE＝°；

（2）如图2，当E点与C点重合时，D′C与AB交点F，

①求证：AF＝FC；

②求AF长．

（3）连接D′B，当∠AD′B＝90°时，求DE的长．

8．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，A（0，m），B（n，

O），AC∥OB，且AC＝OB，连接BC交x轴于点F，其中m、n满足方程+n2+8n+16＝0．

（1）求A、B两点坐标；

（2）过A做AE⊥BC于E，延长AE交x轴于点D，动点P 从点B出发以每秒2个单位的速度向x轴正半轴方向运动，设△PFD的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，连接PE，将△PED沿PE翻折到△PEG 的位置（点D与点G对应），当四边形PDEG为菱形时，求点P和点G的坐标．

9．已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE；

（2）如图2，如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好使得CG∥BD，BG＝BD．

①求∠BDE的度数；

②若正方形ABCD的边长是，请求出△BCG的面积．

10．【综合与实践】如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别在射线CD、BC上，且BF＝CE，将线段FA绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，连接EG，试探究线段EG和BF的数量关系和位置关系．

【观察与猜想】任务一：“智慧小组”首先考虑点E、F的特殊位置如图②，当点E与点D重合，点F与点C重合时，易知：

EG与BF的数量关系是，EG与BF的位置关系是．

【探究与证明】任务二：“博学小组”同学认为E、F不一定必须在特殊位置，他们分两种情况，一种是点E、F分别在CD、BC边上任意位置时（如图③）；一种是点E、F在CD、BC边的延长线上的任意位置时（如图④），线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立．请你选择其中一种情况给出证明．【拓展与延伸】“创新小组”同学认为，若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD，且＝k（k≠1）”，点E、F分别在射线CD、BC上任意位置时，仍将线段FA绕点F顺时针旋转90°，并适当延长得到线段FG，连接EG（如图⑤），则当线段BF、CE、AF、FG满足一个条件时，线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立．（请你在横线上直接写出这个条件，无需证明）

11．在平面直角坐标系xOy中，四边形OADC为正方形，点D 的坐标为（4，4），动点E沿边AO从A向O以每秒1cm的速度运动，同时动点F沿边OC从O向C以同样的速度运动，连接AF、DE交于点G．

（1）试探索线段AF、DE的关系，写出你的结论并说明理由；（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、

J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图①中补全图形，并说明理由．

（3）如图②当点E运动到AO中点时，点M是直线EC上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

12．综合与实践

动手操作：

第一步：在矩形纸片ABCD的边BC，AD上分别取两点E，F，使CE＝AF；

第二步：分别以DE，BF为对称轴将△CDE与△ABF翻折得到△C'DE与△A'BF，且边C'E与A'B交于点G，边A'F与C'D交于一点H．

问题解决：

（1）求证：△BEG≌△DFH；

（2）请判断四边形A'HC'G的形状，并证明你发现的结论；

（3）已知tan∠EBG＝，A'G＝6，C'G＝1，求矩形纸片ABCD 的面积．

13．如图1，矩形ABCD中，∠ACB＝30°，将△ACD绕C点顺时针旋转α（0°＜α＜360°）至△A'CD'位置．

（1）如图2，若AB＝2，α＝30°，求S△BCD′．

（2）如图3，取AA′中点O，连OB、OD′、BD′．若△OBD′存在，试判定△OBD′的形状．

（3）当α＝α1时，OB＝OD′，则α1＝°；当α＝α2时，△OBD′不存在，则α2＝°．

14．已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝m，点E是边BC上一点，BE＝1，连接AE．

（1）沿AE翻折△ABE使点B落在点F处，

①连接CF，若CF∥AE，求m的值；

②连接DF，若≤DF≤，求m的取值范围．

（2）△ABE绕点A顺时针旋转得△AB1E1，点E1落在边AD 上时旋转停止．若点B1落在矩形对角线AC上，且点B1到AD的距离小于时，求m的取值范围．

15．如图1，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．

（1）BE和DG的数量关系是，BE和DG的位置关系是；（2）把正方形ECGF绕点C旋转，如图2，（1）中的结论是否还成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）设正方形ABCD的边长为4，正方形ECGF的边长为3，正方形ECGF绕点C旋转过程中，若A、C、E三点共线，直接写出DG的长．

16．如图，正方形ABCD的边长为a，射线AM是∠BAD外角的平分线，点E在边AB上运动（不与点A、B重合），点F 在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连结EC、EF、EG．

（1）求证：CE＝EF；

（2）求△AEG的周长（用含a的代数式表示）；

（3）试探索：点E在边AB上运动至什么位置时，△EAF的面积最大．

17．问题情境：矩形ABCD中，∠ACB＝30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB、BC所在的直线相交，交点为E、F．

探究1：如图1，当PE⊥AB，PF⊥BC时，则＝．

探究2：如图2，在（1）的基础上，将三角板绕点P逆时针旋转，旋转角为α，（0°＜α＜60°），试求的值．

探究3：在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°时，将顶点P在AC上移动且使＝时，如图3，试求的值．

18．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D从点B 出发，以每秒3个单位的速度沿B→A→C运动，到点C停止．在点D运动的过程中，过点D作DE⊥BC，垂足为E，以DE为一边在右侧作矩形DEFG，点F在BC边上，且EF：DE＝4：3，连结AG，CG，设运动时间为t（秒），矩形DEFG

与△ABC重叠部分面积为S．

（1）当AG＝CG时，求t的值．

（2）当点D在边AB上运动时，求S与t的函数关系式．（3）当△ACG的面积为6时，直接写出t的值．

19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝32，DC＝24，AD＝42，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒4个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒2个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．

（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

（3）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

20．（1）【发现证明】

如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．

小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB 与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．

（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．

②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是（不要求证明）（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE ＝3，求AF的长．

参考答案

1．解：（1）①如图②中，

∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，

在△ABE和△DAG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴BE＝DG；

②如图2，延长BE交AD于T，交DG于H．

由①知，△ABE≌△DAG，

∴∠ABE＝∠ADG，

∵∠ATB+∠ABE＝90°，

∴∠ATB+∠ADG＝90°，

∵∠ATB＝∠DTH，

∴∠DTH+∠ADG＝90°，

∴∠DHB＝90°，

∴BE⊥DG，

故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；

（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．

∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，

∴∠BAD＝∠EAG，

∴∠BAE＝∠DAG，

∵AD＝2AB，AG＝2AE，

∴＝＝，

∴△ABE∽△ADG，

∴∠ABE＝∠ADG，＝，

∴DG＝2BE，

∵∠ATB+∠ABE＝90°，

∴∠ATB+∠ADG＝90°，

∵∠ATB＝∠DTH，

∴∠DTH+∠ADG＝90°，

∴∠DHB＝90°，

∴BE⊥DG；

（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．

∵△AHG∽△ATE，

∴＝＝＝2，

∴GH＝2x，AH＝2y，

∴4x2+4y2＝4，

∴x2+y2＝1，

∴BG2+DE2＝（2x）2+（2y+2）2+x2+（4﹣y）2＝

5x2+5y2+20＝25．

2．证明（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∠HDC＝∠BCE＝90°，

∴∠DHC+∠DCH＝90°，

∵CH⊥BE，

∴∠EFC＝90°，

∴∠ECF+∠BEC＝90°，

∴∠CHD＝∠BEC，

∴△DHC≌△CEB（AAS）．

（2）解：∵△DHC≌△CEB，

∴CH＝BE，DH＝CE，

∵CE＝DE＝CD，CD＝CB，

∴DH＝BC，

∵DH∥BC，

∴．

∴GC＝2GH，

设GH＝x，则，则CG＝2x，

∴3x＝8，

∴x＝．

即GH＝．

（3）解：∵，

∴，

∵DH＝CE，DC＝BC，

∴，

∵DH∥BC，

∴，

∴，，

设S△DGH＝9a，则S△BCG＝49a，S△DCG＝21a，

∴S△BCD＝49a+21a＝70a，

∴S1＝2S△BCD＝140a，

∵S△DEG：S△CEG＝4：3，

∴S△DEG＝12a，

∴S2＝12a+9a＝21a．

∴．

故答案为：．

3．解：（I）过点D作DG⊥x轴于G，如图①所示：

∵点A（6，0），点B（0，8）．

∴OA＝6，OB＝8，

∵以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，∴AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，

在Rt△ADG中，DG＝AD＝3，AG＝DG＝3，

∴OG＝OA﹣AG＝6﹣3，

∴点D的坐标为（6﹣3，3）；