微专题圆锥曲线几何条件的处理
微专题圆锥曲线几何条件的处理策略
1.平行四边形处理策略
例 1.（2015，新课标2理科20）已知椭圆
222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ． (Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若l 过点(,)3
m
m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．
【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ
）能，4
4+
【解析】试题分析：(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点,A B 的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB 的中点和直线l 的斜率；设直线l 的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB 的中点，并寻找两条直线斜率关系；
（Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线OM 方程并与椭圆方程联立，求得M 坐标，利用2P M x x =以及直线l 过点(,)3
m
m 列方程求k 的值．
试题解析：(Ⅰ)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．
将y kx b =+代入222
9x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故122
29
M x x kb x k +==-+， 2
99
M M b
y kx b k =+=+．于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k ==-，即9OM k k ?=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．
因为直线l 过点(,)3
m
m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠．
由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,
y x k x y m ?
=-???+=?得222
2981P k m x k =+
，即P x =．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)
3
m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，
即2P M x x =
= 2(3)23(9)
mk k k -?+
．解得14k =
24k =0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l 的斜率为
4
4+OAPB 为平行四边形．
考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系． 2.直角三角形处理策略
例2.椭圆
22
22x y a b
+=（0a b >>
（1）求椭圆的方程；2
214
x y += （2）过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于两点,E F ，O 为坐标原点，若OEF ?为直角三角形，求直线l 的斜率 解析：（2）根据题意，过点(0,4)D 满足题意的直线斜率存在，设:4l y kx =+，联立 22
414
y kx x y =+???+=??消去y 得22
(14)32600k x kx +++=，
222(32)240(14)64240k k k ?=-+=- 令0?>，解得2154
k >
。 设,E F 两点的坐标分别为11(,
)x y ，
22(,)x y ，则1223214k x x k +=-
+，12
2
60
14x x k =+ （1）当EOF ∠为直角时， 所以0OE OF ?=，即12120x x y y +=，所以2
1212(1)4()160k x x k x x ++++=
所以22
22
15(1)32401414k k k k
+-+=++，解得19k =± （2）当OEF ∠或OFE ∠为直角时，不妨设OEF ∠为直角，此时1OE
k k ?=-，所以
1111
4
1y y x x -?=- 即2
2
1114x y y =-①又221114x y +=②，将①代入②，消去1x 得2113440y y +-=，解得12
3
y =或12y =-（舍去） 将
123y =
代入①得12
53
x =±，所以1
145y k x -==±，经检验所得k 值均符合题意， 综上，k 的值为19k =±
和5k =±
3.等腰三角形处理策略
例3.在直角坐标系xOy 中，已知点(2,0),(2,0)A B -,E 为动点，且直线EA 与直线EB 斜率之积为12
-
， （1）求动点E 的轨迹C 方程；
（2）设过点F(1,0)的直线l 与椭圆C 交于两点,M N ,若点P 在
y 轴上，且||||PM PN =，求点P 的纵坐标的范围
解析：（1）设动点E 的坐标为(,)x y 1
222
x x =-+-整理得221(2)2x y x +=≠， 所以动点E 的轨迹C 的方程为2
21(2)2
x y x +=≠ （2）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0，
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将(1)y k x =-代入2
212
x y +=， 并整理得，2222(21)4220k x k x k +-+-=，2
880k ?=+> 设11(,)M x y ，22N(,)x y ，则2122421k x x k +=+，122
2
21
x x k -=+ 设MN 的中点为Q ，则22221Q k x k =+，2(1)21
Q Q
k
y k x k =-=-+，所以2222(,)2121k k Q k k -++， 由题意可知0k ≠，又直线MN 的垂直平分线的方程为2
2
212(x )2121
k k y k k k +=--++， 几何性质
代数实现
（1）两边相等 两点的距离公式
（2）两角相等
底边水平或竖直时，两腰斜率相反
（3）三线合一（垂直且平分） 垂直：斜率或向量 平分：中点坐标公式
令0x
=解得2
1121
2P k y k k k
=
=
++
，当0k >时，因为1222k k +
≥，所以20422
P y <≤=
当0k <时，因为1222k k +
≤-，所以2
0422
P y >≥-=-
，综上所述，点P 的纵坐标的范围是22[,]44-.
4.菱形的处理策略
例4.椭圆M ：22
221x y a b
+=（0a b >>）过点(0,1)-，且离心率为6e =
（1）求椭圆M 的方程； （2）是否存在菱形
ABCD ，同时满足以下三个条件：
①点A 在直线2y =上； ②点,,B C D 在椭圆M 上 ； ③直线BD 的斜率等于1；
如果存在，求出点A 的坐标，如果不存在，说明理由。
解析：（1）由题意得222
163b c a a b c =??
?=
??-=??
解得23a =，2
1b =；所以椭圆M 的方程为2213x y += （2）不存在满足题意的菱形ABCD ，理由如下：
假设存在满足题意的菱形ABCD ，设直线BD 的方程为y x m =+，且11(,)B x y ，22D(,)x y ，
线段的中点00Q(,)x y ，A(t,2)，则由2233x y y x m
?+=?=+?可得224230y my m -+-=，由22
(2)16(3)0m m ?=-->可得
22m -<<，又122m y y +=，所以12024
y y m
y +==，
若四边形ABCD 为菱形，则Q 是AC 的中点，C 点的纵坐标0y 22212
c m
y =-=-<-，
又因为点C 在椭圆上，所以y 1c ≥与y 1c <-矛盾，故不存在满足题意的菱形ABCD 。
5.圆的处理策略
例5.已知椭圆22
:143
x y M +=，点1F ，C 分别是椭圆M 的左焦点、左顶点，过点1F 的直线l （不与x 轴重合）交M 于,A B 两点， （1）求M 的离心率及短轴长；
（2）是否存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
（1）由22143x y +=得2,3a b ==，所以M 的离心率为12
，短轴长为23 （2）方法一：由题意知(2,0)C -，1(1,0)F -设000(,)(22)B x y x -<<，则22
00143x y +=， 因为10000
(1,)(2,)BF BC x y x y ?=---?---22
2000001233504
x x y x x =+++=++> 几何性质
代数实现
（1）点在圆上 点与直径端点向量数量积为零 （2）点在圆外 点与直径端点向量数量积为正数 （3）点在圆内
点与直径端点向量数量积为负数
所以(0,
)2
B π
∠∈，所以点B 不在以AC 为直径的圆上，即不存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上。
方法二、由题意可设直线的方程为1x
my =-，11(,)A x y ，22(,)B x y
由22
14
31
x y x my ?+=???=-?
可得22
(34)690m y my +--=所以122634m y y m +=+，122
934y y m -=+ 所以1122(2,)(2,)CA CB x y x y ?=+?+21212(1)()1m y y m y y =++++2
2296(1)13434
m m m m m -=+++++
25034m -=<+，因为cos (1,0)
||
CA CB
C CA CB ?=∈-?所以(,)2C ππ∠∈，所以(,)2B ππ∠∈，所以点B 不在以AC 为直径的圆上，即不存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上。
6.角的处理策略
例6.【2013.山东，理科22】椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，离心率为23，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭
圆C 截得的线段长为1（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（2
214
x y +=） （Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接12,PF PF ，设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(),0M m ，求m 的取值范围；
3322
m -<< 解析：（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知1(3,0)F -，2(3,0)F 则1||3MF m =+，2||3MF m =-，
由椭圆定义得12||||4PF PF +=，123||23PF -<<+ 因为PM 平分12F PF ∠，
所以
1122||||3||||3PF MF m PF MF m +==-，则112
||3||||33PF m PF PF m m +=+++-，所以1
32(3)
||4233m m PF ++=?= 所以2(3)
23233
m +-
<
<+，即3322m -<<
法二：由题意可知，1212||||||||PF PM PF PM PF PM PF PM ??=，即
1212||||
PF PM PF PM
PF PF ??=，
设00P(,
)x y ,其中204x ≠，将向量坐标代入并化简得23000m(416)312x x x -=-，因为204x ≠，所以03
m 4
x =
而0(2,2)x ∈-，所以33(,)22
m ∈-
【跟踪变式训练】
1.【转化为平行的处理】【2016高考新课标3理数】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两
点，交C 的准线于P Q ，两点． （I ）若F 在线段
AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；
（II ）若PQF ?的面积是ABF ?的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
21y x =-．
几何性质
代数实现
（1）锐角，直角，钝角 角的余弦（向量数量积）的符号
（2）倍角，半角，平分角 角平分线性质，定理（夹角到角公式） （3）等角（相等或相似） 比例线段或斜率
圆锥曲线知识点整理
高二数学圆锥曲线知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?????>=0e ,e d |PF ||P ，其中 F 为定点，d 为P 到定直线的距离，如图。 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当0
圆锥曲线的几何性质及其解题应用
圆锥曲线的几何性质及其解题应用 一、正确掌握圆锥曲线的几何性质，提高解题效率 1、椭圆中一些线段的长度及其关系如： ①椭圆上的点到焦点最近的距离为AF a c =-，最近的距离为BF a c =+； ②Rt OFC ?中，2 2 2 a b c =+； ④△F PQ '的周长与菱形F CFD '的周长相等，为4a . 例题1、如下图，椭圆中心为O ，F 是焦点，A 、C ,P Q 在椭圆上且PD l ⊥于D ，QF OA ⊥于F ① PF PD ② QF BF ③ AO BO ④ AF BA ⑤ FO AO ⑥ OF FC 能作为椭圆的离心率的是 （填正确的序号）2① 12OB OB b ==；12OA OA a ==. ② 焦点F 向渐近线引垂线，垂足为P ，则 bc PF b c = = =， 又因为OF c =，故有OP a = ③ 由②可知2Rt OA Q Rt OPF ???. ⑥ A A B B ③当PQ x ⊥轴时，2 2b PQ a =?，叫椭圆的通径.
例题2．已知双曲线22 214x y b -=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的 焦点到其渐近线的距离等于 ． 【解析】双曲线的焦点到其渐近线的距离等于b ，由抛物线方程x y 122 =易知其焦点坐标 为)0,3(，又根据双曲线的几何性质可知2234=+b ，所以5= b ． 【点评】平时如果能理解并记住一些有用的结论，可以在考试中节省许多宝贵的时间． 3、抛物线中一些线段的长度及其关系如： ① 通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段AB 叫做抛物线的通径，且2AB p =. ② 2DF p =，几何意义知道吗？ ③ 由①②易知Rt ADF ? ④ 题目中涉及到焦点F 虑定义PF PQ =这个性质．
解析几何与平面几何选讲
1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆x2/4＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( ) A．2B．6 C．8D．12 2．抛物线上的点到直线距离的最小值是（） A．B．C．D． 3．已知以椭圆的右焦点F为圆心，a为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两 点，则该椭圆的离心率的取值范围是（） A．B．C．D． 4．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，过点F2向∠F1PF2的外角平分线作垂线，垂足为 M，则点M的轨迹是（） A．圆B．椭圆C．直线D．双曲线的一支 5．如图，已知点B是椭圆的短轴位于x轴下方的端点，过B 作斜率为1的直线交 椭圆于点M，点P在y轴上，且PM//x轴，，若点P的坐标为（0，t），则t的取值范围 是（） A．0 ①AD+AE=AB+BC+CA； ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是 A．①②B．②③C．①③D．①②③ 7. 如图2，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC,垂足为D,BE与AD 相交与点F，则AF的长 为____________。 8．如图，已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点，且 若与圆相切，则线段的长为__________. 9．已知点，动点满足条件.记动点的轨迹 为.则的方 程是____________. 10. 矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为 ，点在边所在直线上． （I）求边所在直线的方程； （II）求矩形外接圆的方程； （III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程． 11. 已知平面上两定点M（0，－2）、N（0，2），P为一动点，满足. （I）求动点P的轨迹C的方程； （II）若A、B是轨迹C上的两不同动点，且. 分别以A、B为切点作轨迹C 的切线，设其交点 Q，证明为定值. 【参考答案】 1．C 解析：由椭圆定义知，△ABC的周长=4a。 2．A 解析：由几何知识知道，平移直线与抛物线相切， 切点到直线的距离最小。 3．C 解析： 椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(< 第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系 【高考会这样考】 1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想． 2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】 本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题． 基础梳理 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程． 即??? Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0， 消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0?直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0?直线与圆锥曲线C 无公共点． (2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． 立体与平面解析解析几何 1. 常见多面体：棱柱，棱锥，棱台 常见的旋转体：圆柱，圆锥，圆台，球 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α 直线一般用小写英语字母a, b, l或者大写字母直线上的两个点AB表示。 点与平面的关系：点A在平面内，记作；点不在平面内， 记作 点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作A l； 直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作lα；直线l不在平面α内，记作lα。 4. 四个公理 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 符号语言 公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 5. 直线和平面之间的位置关系 ★线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此 平面平行 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平 面的交线与该直线平行 ★面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ★线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 ★面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直 ⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 6. 思考途径 证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为二直线同与第三条直线平行； （2）转化为线面平行； 证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为线线平行； （2）转化为面面平行. 证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为线面平行； （2）转化为线面垂直. 证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为线面垂直； （2）转化为线与另一线的射影垂直； 证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （2）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （3）转化为该直线垂直于另一个平行平面； 证明平面与平面的垂直的思考途径 2017年高考试题分类汇编之解析几何（文） 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.（2017课表I 文）已知F 是双曲线:C 13 2 2 =-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点 A 的坐标是)3,1(，则APF ?的面积为（ ） .A 13 .B 1 2 .C 2 3 .D 3 2 【解答】解：由双曲线C ：x 2﹣=1的右焦点F （2，0）， PF 与x 轴垂直，设（2，y ），y ＞0，则y=3， 则P （2，3）， ∴AP ⊥PF ，则丨AP 丨=1，丨PF 丨=3， ∴△APF 的面积S=×丨AP 丨×丨PF 丨=， 同理当y ＜0时，则△APF 的面积S=， 故选D ． 【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于基础题． 2.（2017课标II 文）若1a >，则双曲线2 221x y a -=的离心率的取值范围是（ ） .A 2,)+∞ .B 2,2) .C 2) .D (1,2) 【分析】利用双曲线方程，求出a ，c 然后求解双曲线的离心率的范围即可． 【解答】解：a ＞1，则双曲线﹣y 2=1的离心率为：==∈（1，）． 故选：C ． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 3.（2017浙江）椭圆22 194 x y +=的离心率是（ ） . A 13 3 . B 53 . C 23 . D 59 【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可． 【解答】解：椭圆 + =1，可得a=3，b=2，则c= = ， 所以椭圆的离心率为：=． 故选：B ． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． 4.（2017课标II 文）过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为（ ） .A 5 .B 22 .C 23 .D 33 【分析】利用已知条件求出M 的坐标，求出N 的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可． 【解答】解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点F （1，0），且斜率为的直线：y= （x ﹣1）， 过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，且斜率为的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 可知：，解得M （3，2 ）． 可得N （﹣1，2 ），NF 的方程为：y=﹣ （x ﹣1），即， 则M 到直线NF 的距离为：=2 ． 故选：C ． 怎样学好圆锥曲线（解析几何的高考热点与例题解析）圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系，从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始. 高考中它依然是重点，主客观题必不可少，易、中、难题皆有.为此需要我们做到： 1.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石，高考中的题目都涉及到这些内容. 2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹，此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌握住一般方法：定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等. 3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数学各种能力的考查. 4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程. (1)方程思想 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量. (2)用好函数思想方法 对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效. (3)掌握坐标法 坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法，因此要加强坐标法的训练. 考点一求圆锥曲线方程 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题。 解决这类问题常用定义法和待定系数法。 ●思路方法：一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时， §8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2, 2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12 222 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程：122 2 2=+ b y a x 的参数方程为?? ?==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. > ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率：)10( e a c e =. ⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12222 b a b y a x =+ 上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 》 ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12 22 2 b a a y b x =+ 上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002 200201 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(222 2a b c a b d -=和),(2a b c ⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆 )0(12 22 2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ，方程t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆： 12 22 2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为2 tan 2θ b （用 ? -=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF 基本要求① .掌握两条直线平行、垂直的条件,能根据直线方程判断两条直线的位置关系; ②.掌握两条直线的夹角公式、到角公式和点到直线的距离公式。 ③ . 掌握圆的标准方程和一般方程 . ④ . 掌握圆的方程的两种形式,并能合理合理运用; ⑤. 灵活运用圆的几何性质解决问题 . 1 直线方程的五种形式 点斜式：y y0k ( x x0 ) ，(斜率存在 ) 斜截式：y kx b (斜率存在 ) 两点式： y y1 x x 1， (不垂直坐标轴 ) y2 y1 x2 x1 截距式：x y 1 (不垂直坐标轴 ,不过原点 ) a b 一般式： Ax By C 0 2.直线与直线的位置关系： （ 1）有斜率的两直线 l1：y=k 1x+b1； l2：y=k 2x+b2；有：① l1∥ l2 k1=k2且 b1≠ b2；② l 1⊥ l2 k1·k2 =-1 ； ③ l 1与 l 2相交k 1≠ k2 ④l 1与 l 2重合k1=k2 且 b1=b2。（ 2）一般式的直线l ： A x+B y+C =0， l ： A x+B y+C =0 有：① l ∥ l 2 AB-A B=0；且 BC-B 2 C ≠ 0 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 ② l1⊥ l2A1A2+B1B2=0 ③ l1与 l2相交 A 1B2-A 2B1≠ 0 ④ l1与 l2重合 A 1B2-A 2B1=0 且 B1C2-B 2C1=0。 3.点与直线的位置关系： 点 P（ x ， y ）到直线 Ax+By+C=0的距离： d Ax0 By0 C 。 00 A2 B 2 平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 之间的距离为 d C1 C2 A2 B 2 两点间距离公式：| PP | (x x )2 ( y y )2 1 2 1 2 1 2 .4 直线系方程 ①过直线 l 1：A1x+B1y+C1=0， l 2：A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为：A1x+B1y+C1+λ（ A2x+B2y+C2）=0（λ∈R）( 除l2外 ) 。 ②过定点 M ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y y0 k( x x0 ) （其中不包括直线x x0） ③和直线 Ax By C 0 平行的直线方程为Ax By C ' 0 (C C ') ④和直线 Ax By C 0 垂直的直线方程为Bx Ay C ' 0 5.圆的定义 : 平面内与定点距离等于定长的点的集合( 轨迹 ) 叫圆 . 在平面直角坐标系内确定一个圆需要三个独立条件: 如三个点 , 半径和圆心 ( 两个坐标 ) 等 . 2 2 2 6. 圆的方程 (1)标准式： (x-a) +(y-b) =r (r>0)，其中 r 为圆的半径， (a， b)为圆心。 2 2 2 2 D E 1 D 2 E 2 4F (2)一般式： x +y +Dx+Ey+F=0(D+E -4F>0)，其中圆心为( , ) ，半径为 2 2 2 (3) 参数方程 : x r cos ， x a r cos (是参数) . 消去θ可得普通方程y r sin y b r sin （ 4） A(x 1， y1)B(x 2，y2)为直径的圆: (x-x1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0; （5） .过圆与直线（或圆）交点的圆系方程： i)x2+y2+Dx+Ey+F+λ (Ax+By+C)=0，表示过圆与直线交点圆的方程 第十六单元圆锥曲线的概念与几何性质 考点一椭圆的标准方程和几何性质 1.(2017年全国Ⅰ卷)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是(). A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,]∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,∪[4,+∞) 【解析】当0 【解析】(法一)由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|=m,故离心率e=====. (法二)由PF2⊥F1F2可知点P的横坐标为c,将x=c代入椭圆方程可解得y=±,所以|PF2|=.又由∠PF1F2=30°可得 |F1F2|=|PF2|,故2c=·,变形可得(a2-c2)=2ac,等式两边同除以a2,得(1-e2)=2e,解得e=或e=-(舍去). 【答案】D 4.(2017年全国Ⅲ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(). A.B.C.D. 【解析】由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0),半径为a. ∵直线bx-ay+2ab=0与圆相切, ∴圆心到直线的距离d==a,解得a=b, ∴=, ∴e==- =-= -=.故选A. 【答案】A 考点二双曲线的标准方程和几何性质 5.(2016年全国Ⅰ卷)已知方程- - =1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(). A.(-1,3) B.(-1,) C.(0,3) D.(0,) 【解析】若已知方程表示双曲线,则(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m2 4.2 解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1．(2010·安徽)双曲线方程为x 2 －2y 2 ＝1，则它的右焦点坐标为 ( ) A. ????22，0 B.????52，0 C.??? ?62，0 D ．(3，0) 解析：∵原方程可化为x 21－y 2 1 2＝1，a 2＝1， b 2＝12， c 2＝a 2＋b 2＝32， ∴右焦点为????6 2 ，0. 答案：C 2．(2010·天津)已知双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个 焦点在抛物线y 2 ＝24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2 108－y 2 36＝1 D.x 2 27－y 2 9 ＝1 解析：∵渐近线方程是y ＝3x ，∴b a ＝ 3.① ∵双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上， ∴c ＝6.② 又c 2＝a 2＋b 2，③ 由①②③知，a 2＝9，b 2＝27， 此双曲线方程为x 29－y 2 27＝1. 答案：B 4．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝() A．4 3 B．8 C．8 3 D．16 解析：解法一：AF直线方程为： y＝－3(x－2)， 当x＝－2时，y＝43，∴A(－2,43)． 当y＝43时代入y2＝8x中，x＝6， ∴P(6,43)， ∴|PF|＝|P A|＝6－(－2)＝8.故选B. 解法二：∵P A⊥l，∴PA∥x轴． 又∵∠AFO＝60°，∴∠F AP＝60°， 又由抛物线定义知P A＝PF， ∴△P AF为等边三角形． 又在Rt△AFF′中，FF′＝4， ∴F A＝8，∴P A＝8.故选B. 答案：B 5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为() A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线 解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆 顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，BA P A DC PC ，从而 PC＝2P A.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2)，则A(－5,0)，C(5,0)，设P(x，y)，得(x－5)2＋y2＝2(x＋5)2＋y2 化简得x2＋y2＋50 3 x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆． 圆锥曲线的几何性质 一、椭圆的几何性质 （以22a x +22 b y =1（a ﹥b ﹥0）为例） 1、⊿ABF 2的周长为4a(定值) 证明：由椭圆的定义 12121212242AF AF a AF AF BF BF a BF BF a +=?? ?+++=?+=?? 即2 4ABF C a = 2、焦点⊿PF 1F 2中： （1）S ⊿PF1F2=2 tan 2θ?b （2）（S ⊿PF1F2）max = bc （3）当P 在短轴上时，∠F 1PF 2最大 证明：（1）在 12AF F 中 ∵ 2 2 21212 4cos 2PF PF c PF PF θ+-=? ∴ () 2 1212 122cos 2PF PF PF PF PF PF θ?=+-?∴ 2 1221cos b PF PF θ ?=+ ∴ 12 22112sin cos tan 21cos 2 PF F b S b θθθθ-=??=?+ （2）（S ⊿PF1F2）max = max 1 22 c h bc ??= （3 ()()() 2 2 22 2 2 22 12002 2222 2 212 00 4444cos 12222PF PF c a ex a ex c a c PF PF a e x a e x θ+-++---= = =-?-+ 当0x =0时 cos θ有最小值22 2 2a c a - 即∠F 1PF 2最大 3、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线，垂足为M 则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2 证明：延长1F M 交2F P 于F ，连接OM x x x 解析几何与平面几何选讲 1 ?已知△ ABQ的顶点B、C在椭圆x/4+ y = 1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ ABC的周长是（） A. 2 B. 6 C. 8 D. 12 2.抛物线' -：；±的点到直线-- 11距离的最小值是（） A. 3?已知以椭圆的右焦点F为圆心，a为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（） 4.已知椭圆的焦点是F1、F2, P是椭圆上的一个动点，过点F2向/ F1PF2的外角平分线作垂线，垂足为 M，则点M的轨迹是（） D ?双曲线的一支 B. H 2 5.如图，已知点B是椭圆；；厂…”的短轴位于x 轴下方的端点，过B作斜率为1的直线交 椭圆于点M，点P在y轴上，且PM// x 轴，丽.踰=9，若点P的坐标为（0，t），则t的取值范围是（） 0 ① AD+AE=AB+BC+CA ; ② AF ?AG=A D AE ③ 厶AFB ?△ ADG 其中正确结论的序号是 A ?①② B ?②③ D ?①②③ 7.如图2,A,E 是半圆周上的两个三等分点， 直径 BC=4，AD 丄BC,垂足为D,BE 与AD 相交 与点F ，则AF 的长 为 ______________ 。 8如图，已知圆中两条弦丄与上相交于点」， ，是 丄延长线上一点，且 C .①③ n D m 71 -「若二与圆相切，则 线段翅的长为_____________ . 9 .已知点门，动点/满足条件宀‘记动点」的轨迹为丁.则丁的方 程是_______________ . 10.矩形一匸?的两条对角线相交于点』-1， 旳边所在直线的方程为点丁(-1,1)在曲边 所在直线上. (I)求丄:边所在直线的方程； (II )求矩形」二外接圆的方程； (III )若动圆」过点--■■,且与矩形—二的外 接圆外切，求动圆「的圆心的轨迹方程. 11.已知平面上两定点M(0,—2)、N(0, 第十三讲 圆锥曲线 一：学习目标 通过具体问题的综合解法与解析解法的比较，让学生体验解析几何处理几何问题，形成用代数方法解决几何问题的能力，提高学生的数学素养，培养学生良好的思维品质。 二：知识梳理 1． 椭圆的定义 第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即 |PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 解析几何专题03圆锥曲线的定义、方程及几何性质 学习目标 （1）理解圆锥曲线的定义，并能正确运用圆锥曲线的定义解决一些简单的问题； （2）掌握圆锥曲线的标准方程，并能熟练运用“待定系数法”求圆锥曲线的方程； （3）能根据圆锥曲线的方程研究圆锥曲线的一些几何性质（尤其是焦点、离心率以及双曲线的渐近线等）。 知识回顾及应用 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆 (2)双曲线 (3)抛物线 2．圆锥曲线的方程 (1)椭圆的标准方程 (2)双曲线的标准方程 (3)抛物线的标准方程 3．圆锥曲线的几何性质 (1)椭圆的几何性质 (2)双曲线的几何性质 (3)抛物线的几何性质 4．应用所学知识解决问题： 【题目】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点53 (,)22 -， 求椭圆的方程。 答案：22 1106 x y + = 【变式1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）离心率14 e b = =,焦点在x 轴上； （2）4,a c ==焦点在y 轴上； （3）10,a b c +== 答案：（1）22116x y +=；（2）22 116y x +=；（3）2213616x y + =或2213616 y x +=。 【变式2】写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）3a b =,且经过点(3,0)P ； （2）经过两点3(2-。 答案：（1）22 19x y +=或221819y x +=；（2）2214 x y +=。 问题探究（请先阅读课本，再完成下面例题） 【类型一】圆锥曲线的方程 例1．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆 和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．求这三条曲线的方程。 解：设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p = 24y x ∴= 抛物线方程为: 由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1 对于椭圆，1222a MF MF =++(2 2 2222211321 a a b a c ∴=+∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为： 对于双曲线，1222a MF MF '=-= 2222221321 a a b c a '∴='∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为： 练习：1.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为 2 。过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。 答案：22 1168 x y + =求圆锥曲线的方程主要采用“待定系数法” 。需要注意的是在求解此类问题时应遵循“先定位，再定量”的原则。注意：当“焦点所在轴不定”时，要有“分类讨论”意识， ,. 圆锥曲线的几何性质 一、椭圆的几何性质 （以22a x +22 b y =1（a ﹥b ﹥0）为例） 1、⊿ABF 2的周长为4a(定值) 证明：由椭圆的定义 12121212242AF AF a AF AF BF BF a BF BF a +=?? ?+++=?+=?? 即24ABF C a =< 2、焦点⊿PF 1F 2中： （1）S ⊿PF1F2=2 tan 2θ?b （2）（S ⊿PF1F2）max = bc （3）当P 在短轴上时，∠F 1PF 2最大 证明：（1）在12AF F <中 ∵ 2 2 2 1212 4cos 2PF PF c PF PF θ+-= ? ∴ () 2 1212 122cos 2PF PF PF PF PF PF θ?=+-?- ∴ 21221cos b PF PF θ ?=+ ∴ 12 22112sin cos tan 21cos 2 PF F b S b θθθθ-=??=?+ （2）（S ⊿PF1F2）max = max 1 22 c h bc ??= ()()2 2 2 2 2222 12004444PF PF c a ex a ex c a c +-++---x x ,. 当0x =0时 cos θ有最小值22 2 2a c a - 即∠F 1PF 2最大 3、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线，垂足为M 则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2 证明：延长1F M 交2F P 于F ，连接OM 由已知有 1PF FP = M 为1 F F 中点 ∴ 212OM FF = =()121 2 PF PF +=a 所以M 的轨迹方程为 2 2 2 x y a += 4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切 证明：取1PF 的中点M ，连接OM 。令圆M 的直径1PF ，半径为∵ OM =()211111 2222 PF a PF a PF a r =-=-=- ∴ 圆M 与圆O 内切 ∴ 以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切 5、任一焦点⊿PF 1F 2的内切圆圆心为I ，连结PI 延长交长轴于则 ∣IR ∣：∣IP ∣=e 证明：证明：连接12,F I F I 由三角形内角角平分线性质有 ∵ 1212121222F R F R F R F R IR c e PI PF PF PF PF a +=====+ x x y x 平面解析几何（直线和圆的方程、圆锥曲线）专题 17.0 圆锥曲线几何性质 如果涉及到其两“焦点”，优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其“焦点”、“准线”或“离心 率”，优先选用圆锥曲线第二定义；此外，如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用? PF t +PF2| =2a》￡沪2方程为椭圆， 椭圆方程的第一定义：PF1- PF2 =2a F I F2无轨迹， PF1 - PF2 =2a = F t F2以F"F2为端点的线段 |PF t _PF2| =2aYF t F2方程为双曲线 双曲线的第一定义：PF1 _PF2 =2a - F1F 2无轨迹 PF i -PF 2 =2a=F i F2以F i,F 2的一个端点的一条射线 圆锥曲线第二定义（统一定义）：平面内到定点F和定直线|的距离之比为常数e的点的轨迹.简言之就是“ e=点点距（数的统一）”，椭圆，双曲线，抛物线相对关系（形的统一）如右图. 点线距 当0 e 1时，轨迹为椭圆； 当e =1时，轨迹为抛物线； 当e -1时，轨迹为双曲线； 当e =0时，轨迹为圆（e =￡，当c =0, a =b时）. a 圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势 b =?,1 —e2、双曲线中b . e2 -1 . a a 圆锥曲线的焦半径公式如下图： 特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几 何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点 17.1圆锥曲线中的精要结论: .其中e=c，椭圆中 a a ex a— ex圆锥曲线的定义方程和性质知识点总结
【高考精品复习】第九篇 解析几何 第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系
立体与平面解析解析几何(研究生整理)
2017高考试题分类汇编之解析几何和圆锥曲线文科(word解析版)
怎样学好圆锥曲线
圆锥曲线方程知识点总结
平面解析几何知识点总结.doc
圆锥曲线的概念与几何性质
解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质
圆锥曲线几何性质总汇
解析几何与平面几何选讲
圆锥曲线与立体几何
解析几何专题03圆锥曲线的定义方程及几何性质
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平面解析几何(直线和圆的方程圆锥曲线)专题