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2019-2020年初中数学竞赛模拟试题

一、选择题（每小题6分，共30分）

1．方程1)

1(3

2=-++x x x 的所有整数解的个数是（）个（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5

2．设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且3

=AB AD ．若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为

43，则EA

CE 的值为（）（A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）5

3．如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（）（A ）等于4 （B ）等于5 （C ）等于6 （D ）不能确定

4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（）个（A ）8个（B ）9个（C ）7个（D ）6个

5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（）分．（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 二、填空题（每小题6分，共30分） 6．当x 分别等于

20051，20041，20031，20021，20011，2000

，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式2

x +的值，将所得的结果相加，其和等于．

7．关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜2

，则关于x 的不等式b ax +＜0的解为．

8．方程02

=++q px x 的两根都是非零整数，且

198=+q p ，则p ＝．

9．如图所示，四边形ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直角三角形，D 在BC 边上，△ABC 的面积等于98，BD ∶DC ＝2∶5．则正方形ADEF 的面积等于．

10．设有n 个数1x ，2x ，…，n x ，它们每个数的值只能取0，1，－2三个数中的一个，

且++21x x …5-=+n x ，++2221x x …192=+n x ，则++5

251x x …5n x +的值

是．

三、解答题（每小题15分，共60分）

11．如图，凸五边形ABCDE 中，已知S △ABC ＝1，且EC ∥AB ，AD ∥BC ，BE ∥CD ， CA ∥DE ，DB ∥EA ．试求五边形ABCDE 的面积．

12．在正实数范围内，只存在一个数是关于x 的方程

k x x kx x +=-++31

2的解，求实数k 的取值范围．

13．如图，一次函数的图象过点P （2，3），交x 轴的正半轴与A ，交y 轴的正半轴与B ，求△AOB 面积的最小值．

A B

14．预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．

（1）求x、y的关系式；

（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y的值．

参考答案

一、选择题

1．C 2．B 3．B 4．A 5．C 二、填空题

6．6 7．8-

11．∵ BE ∥CD ，CA ∥DE ，DB ∥EA ，EC ∥AB ，AD ∥BC ，

∴ S △BCD ＝S △CDE ＝S △DEA ＝S △EAB ＝S △ACB ＝S △ACF ＝1．设S △AEF ＝x ，则S △DEF ＝x -1，

又△AEF 的边AF 与△DEF 的边DF 上的高相等，所以，

AF DE -=

1，而△DEF ∽△ACF ，则有 x x

x AF DF S S ACF DEF -=-=??? ??=??1)1(2

．整理解得 2

5-=

x ．故S ABCDE ＝3S △ABC ＋S △AEF ＝2

5+． 12．原方程可化为0)3(322

=+--k x x ，①

（1）当△＝0时，833-=k ，4

21==x x 满足条件；

（2）若1=x 是方程①的根，得0)3(13122

=+-?-?k ，4-=k ．此时方程①的

另一个根为21，故原方程也只有一根2

=x ；

（3）当方程①有异号实根时，02

21<+-=k x x ，得3->k ，此时原方程也只有

一个正实数根；

（4）当方程①有一个根为0时，3-=k ，另一个根为2

=x ，此时原方程也只有一个正实根。

综上所述，满足条件的k 的取值范围是8

=k 或4-=k 或3-≥k ． 13．解：设一次函数解析式为y kx b =+，则32k b =+，得32b k =-，令0y =得

b x k =-，则OA ＝b k

-．

令0x =得y b =，则OA ＝b ．

222

1()21(32)214129

2124]212.

AOB b S b k

k k

k k k

?-?-=?--+=?

-=?+≥ 所以，三角形AOB 面积的最小值为12．

14．（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为a 元和b 元，则原计划是

1500=+by ax ， ①

由甲商品单价上涨1. 5元、乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个的情形，得 1529)1()10)(5.1(=++-+y b x a ．② 再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形，得

5.1563)1()5)(1(=++-+y b x a ， ③ 由①、②、③得

?=-+=-+.

5.685,

44105.1a y x a y x ④－⑤×2并化简，得 1862=+y x ．

（2）依题意，有205＜y x +2＜210及1862=+y x ，54＜y ＜3

255，由y 是整数，得55=y ，从而得76=x ．答：（1）x 、y 的关系1862=+y x ；（2）预计购买甲商品76个，乙商品55个．

2007年初中数学竞赛模拟试题(2)

一、选择题（每小题6分，共30分）

1．已知4=-b a ，042=++c ab ，则b a +＝（）（A ）4 （B ）0 （C ）2 （D ）－2 2．方程x

x x x |

|34||=

的实根的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

3．已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于O ，△AOD 的面积为4，

④ ⑤

△BOC 的面积为9，则梯形ABCD 的面积为（）（A ）21 （B ）22 （C ）25 （D ）26

4．已知⊙O 1与⊙O 2是平面上相切的半径均为1的两个圆，则在这个平面上有（）个半径为3的圆与它们都相切．（A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）6

5．一个商人用m 元（m 是正整数）买来了n 台（n 为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则n 的最小值是（）（A ）11 （B ）13 （C ）17 （D ）19 二、填空题（每小题6分，共30分）

6．已知等腰△ABC 内接于半径为5cm 的⊙O ，若底边BC ＝8cm ，则△ABC 的面积为．

7．△ABC 的三边长a 、b 、c 满足8=+c b ，52122+-=a a bc ，则△ABC 的周长等于．

8．若[]x 表示不超过x 的最大整数，且满足方程[]04953=-+x x ，则x ＝． 9．若直线1103457323=+y x 与直线897543177=+y x 的交点坐标是（a ，b ），则

222006a b +的值是．

10．抛物线5422

--=x x y 向左平移3个单位，再向上平移两个单位，得抛物线C ，则C 关于y 轴对称的抛物线解析式是．

三、解答题（每小题15分，共60分）

11．如图所示，在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝4，D 为AB 的中点，E 为AC 边上一点，且∠AED ＝90°＋2

∠C ，求CE 的长．

12．某公交公司停车场内有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出），以后每隔6分钟再开出一辆．第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车．问到几点时，停车场内第一次出现无车辆？

13．已知一个两位数，其十位与个位数字分别为p 、q ，二次函数p qx x y ++=2

的图象与x 轴交于不同的两点A 、B ，顶点为C ，且S △ABC ≤1．（1）求p q 42

-的取值范围；（2）求出所有这样的两位数pq ．

14．已知n 是正整数，且12+n 与13+n 都是完全平方数．是否存在n ，使得35+n 是质数？如果存在，请求出所有n 的值；如果不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题

1．B 2．A 3．C 4．D 5．C 二、填空题

6．8cm 2或32cm 2 7．14 8．

19 9．2010 10．3822

+-=x x y 三、解答题

11．作BF ∥DE 交AC 于F ，作∠ACB 的平分线交AB 于G ，交BF 于H ．

则∠AED ＝∠AFB ＝∠CHF ＋

∠C 。

因为∠AED ＝90°＋

∠C ，所以∠CHF ＝90°＝∠CHB 。又∠FCH ＝∠BCH ，CH ＝CH 。

∴ △FCH ≌△BCH 。

∴ CF ＝CB ＝4， ∴ AF ＝AC －CF ＝7－4＝3。

∵ AD ＝DB ，BF ∥DE ， ∴ AE ＝EF ＝1.5，

∴ CE ＝5.5． 12．设从6时起x 分钟时停车场内第一次出现无车辆，此时总共出车S 辆，进场车y 辆，

则

??->+=-=3815)1(6x y y S S x

∴ 3)1(6)15(8-->-S S ，解得 5.55>S ．

∵ S 为正整数，∴ S ＝56，即到第56辆车开出后，停车场内第一次出现无车

辆．此时330)156(6=-=x ，6+

330

=11.5（时）答：到11时30分时，停车场内第一次出现无车辆． 13．（1）设A （1x ，0），B （2x ，0），（21x x ≠），则1x 、2x 是方程

02=++p qx x 的两个不同的实根，所以

q x x -=+21，p x x =21，042>-p q ．

又442

q p y c -=（c y 表示点C 的纵坐标），所以

S △ABC ＝14

4421||||212

221≤-?-=

?-q p p q y x x c ，从而64)4(3

≤-p q ，442

≤-p q ．

故0＜442

≤-p q ．

（2）由（1）知，=-p q 42

1，2，3，4．

因为2

q 被4除余数为0或1，故p q 42

-被4除余数也是0或1，从而=-p q 42

1，

或4．这两个方程中符合题意的整数解有???==,32p p ???==,56p p ???==,43p p ?

?==.68

p p 故所有两位数pq 为23，65，34，86．

14．设212k n =+，2

13m n =+，其中k ，m 都是正整数，则

)2)(2(4)13()12(43522m k m k m k n n n -+=-=+-+=+．若12≠-m k ，则35+n 不是质数．

若12=-m k ，则12235+=+=+m m k n ，于是

2)35()13(2)12(12)1(222++-+=++-=+-=-n n m m m m m

A D

C E F

02<-=n ，矛盾．

综上所述，不存在正整数n ，使得35+n 是质数．

2007年初中数学竞赛模拟试题(3)

一、选择题（每小题6分，共30分）

1.在一个凸n 边形的纸板上切下一个三角形后，剩下的是一个内角和为2160°的多边形，则n 的值为（）

（A ）只能为12 （B ）只能为13 （C ）只能为14 （D ）以上都不对 2.已知关于x 的方程029|3|)2(62

=-+--+-a x a x x 有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）

（A ）a ＝0 （B ）a ≥0 （C ）a ＝－2 （D ）a ＞0或a ＝－2 3．若正实数a 、b 满足3++=b a ab ，则22b a +的最小值为（）

（A ）－7 （B ）0 （C ）9 （D ）18

4．如图，在△ABC 中，∠C ＝Rt ∠，CD ⊥AB ，下列结论：（1）DC ·AB ＝AC ·BC ；

（2）BD AD BC AC =22；（3）2

221

11CD BC AC =+；（4）AC ＋BC ＞CD ＋AB ．其中正确的个数是（）

（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1

5．设n 是正整数，0＜x ≤1，在△ABC 中，如果AB ＝x n +，BC ＝x n 2+，CA ＝x n 3+，BC 边上的高AD ＝n ，那么，这样的三角形共有（）（A ）10个（B ）11个（C ）12个（D ）无穷多个二、填空题（每小题6分，共30分） 6．实数x 、y 、z 满足：2+=y x ，012222=++z xy ，则z y x ++的值

为．

7．如果对于任意两个实数a 、b ，“*”为一种运算，定义为b a b a 2+=*，则函数

42)2(2*+*=x x y （－3≤x ≤3）的最大值与最小值的和为．

8．已知四个正数a 、b 、c 、d 满足a ＜b ＜c ＜d ，它们两两的和依从小到大的次序分别是：23、26、29、93、x 、y ，则y x +的值为．

9．已知点P 在直角坐标系中的坐标为（0，1），O 为坐标原点，∠QPO ＝150°，且P 到

Q 的距离为2，则Q 的坐标为．

10．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，设能完全覆盖△ABC 的圆的半径为R ．则R 的最小值是．三、解答题（每小题15分，共60分） 11．实数x 与y 使得y x +，y x -，xy ，y

四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x ，y ）．

12．如图，△ABC 的面积为S ，作直线l ∥BC ，分别交AB 、AC 与点D 、E ，若△BED 的面积为K ．求证：K ≤4

1S ．

13．如图，在直角坐标系内有两个点A （－1，－1），B （2，3），若M 为x 轴上一点，且使MB －MA 最大，求M 点的坐标，并说明理由．

14．在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝60，以A 为圆心，AB 长为半径作圆交BC 与D ，且D 在BC 边上，若BD 和DC 的长均为正整数，求BC 的长．

参考答案

一、选择题

1．D 2．D 3．D 4．B 5．C

一、填空题

6．0 7．37 8．195 9．（1，31+），（－1，31+） 10．865或2

15 二、解答题

11．显然，0≠y ，所以y x y x -≠+．

依题意，有y x xy y x =

=+或y

xy y x ==-，于是（1）??

???==+.,

y x

xy xy y x 解得0=x 或1±=y ．当0=x 时，0=y （舍去）；当1=y 时，x x =+1，无解；

当1-=y 时，x x -=-1，∴21=x ，∴?????

-==.

21y x

（2）???

????

==-.,y x xy y x y x 解得?????-=-=.1,21y x

故数对（x ，y ）为（21，－1），（2

-，－1）．

12．设x AB

AD =，

∵ l ∥BC ，∴ x AB

AC AE ==，

由x AC

S S ABC ABE ==

??，得 ∴Sx S ABE =?．又

x AB

AB BD S S ABE BDE -=-==??11．

∴ S S x S x x S Sx x K 4

41)2

1()()1(22≤+

--=--=?-=． 13．作点A 关于x 轴的对称点A ＇，作直线BA ＇交x 轴于点M ，由对称性知MA ＇＝

MA ，MB －MA ＝MB －MA ＇＝A ＇B ．

若N 是x 轴上异于M 的点，则NA ＇＝NA ，这时NB －NA ＝NB －NA ＇＜ A ＇B ＝MB －MA ．

所以，点M 就是使MB －MA 的最大的点，MB －MA 的最大值为A ＇B ．设直线A ＇B 的解析式为b kx y +=，则

?+=+-=,

23,1b k b k 解得32=k ，35

=b ．即直线A ＇B 的解析式为3532+=x y ，令0=y ，得2

-=x ．

故M 点的坐标为（2

-，0）．

，b 为正整数）作AE ⊥BD ，垂足为E ，则AB ＝AD ＝40，BE ＝DE ＝2

． ∵ 222)2(40a AE -=，222)2

(60b a

AE +-=， ∴ 2222)2

(

60)2(40b a

a +-=-，

∴ 3

4522000)(?==+b b a ， ∵ 20＜b a +＜100，

∴ 只有??????=?=+,52,5232b b a 或?????=?=+.

522

b b a

故BC 的长为50或80．

2007年初中数学竞赛模拟试题(4)

一、选择题（每小题6分，共30分）

1．若a 、b 都是质数，且2

2007a b +=，则b a +的值等于（）

（A ）2004 （B ）2007 （C ）2005 （D ）2008 2．一个凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形的边数的最大值是（）

（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8

3．已知|2|||2|1|++--=x x x y ，且－2≤x ≤1，则y 的最大值与最小值的和是（）

（A ）－1 （B ）2 （C ）4 （D ）5 4．在△ABC 中，若∠A ＝58°，AB ＞BC ，则∠B 的取值范围是（）（A ）0°＜∠B ＜64° （B ）58°＜∠B ＜64° （C ）58°＜∠B ＜122° （D ）64°＜∠B ＜122° 5．直线k x y +=

与x 轴的交点分别为A 、B ，如果S △AOB ≤1，那么，k 的取值范围是（）

（A ）k ≤1 （B ）0＜k ≤1 （C ）－1≤k ≤1 （D ）k ≤－1或k ≥1 二、填空题（每小题6分，共30分）

6．若实数a 满足3a ＜a ＜2a ，则不等式a x +＞ax -1的解集为． 7．设1x 、2x 是方程02)1(22

=+++-k x k x 的两个实根，且8)1)(1(21=++x x ．则k 的值是．

8．在直角坐标系中，x 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5）、Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP ＋MQ 取最小值时，点M 的横坐标x ＝． 9．从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线的长分别为1，3，5．则这个等边三角形的面积是．

10．若正整数a 、b 、c 满足518=+bc ab ，360=-ac ab ，则a b c 的最大值是．

三、解答题（每小题15分，共60分）

11．甲、乙两个蔬菜基地，分别向A 、B 、C 三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的合同规定向A 提供45t ，向B 提供75t ，向提供40t ．甲基地可安排60t ，乙基地可安排100t ．甲、乙与A 、B 、C 的距离千米数如表1，设运费为1

元／（km ·t ）．问如何安排使总运费最低？求出最小的总运费值．

12．已知p 为质数，使二次方程01522

2=--+-p p px x 的两根都是整数．求出p 的所有可能值．

13．已知CA ＝CB ＝CD ，过A ，C ，D 三点的圆交AB 于点F ．求证：CF 为∠DCB 的平分线．

14．一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区．他们出发后以每天17km 的速度前进，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km 的速度返回．在出发后的第60天，考察队行进了24km 后回到出发点．试问：科学考察队在生态区考察了多少天？

参考答案

一、选择题

1．C 2．B 3．B 4．A 5．C

D F

二、填空题

6．a a x +-<

11 7．1 8．2

9．327 10．1008．三、解答题

11．设乙基地向A 提供xt ，向B 提供yt ，向C 提供)](100[y x +-t ，则甲基地向A 提供t x )45(-，向B 提供t y )75(-，向C 提供t y x y x ]60)[()]100(40[-+=---．

依题意，总运费为

)](100[1584]60)[(6)75(5)45(10y x y x y x y x w +-+++-++-+-= ]3)(2[31065x y x ++-=．

∵0≤y x +≤100，0≤x ≤45，当且仅当100=+y x ，45=x 时，w 有最小值，则

960)135200(31965=+-=最小w （元）．

答：安排甲基地向A 提供0t ，向B 提供20t ，向C 提供40t ；安排乙基地向A 提供45t ，向B 提供55t ，向C 提供0t ，可使总运费最低，最小的总运费为960元．

12．因为已知的整系数二次方程有整数根，所以

△＝)15(4)15(442

+=---p p p p 为完全平方数，

从而，15+p 为完全平方数．

设2

15n p =+，注意到2≥p ，故4≥n ，且n 为整数．

于是，)1)(1(5-+=n n p ，则1+n ，1-n 中至少有一个是5的倍数，即 15±=k n （k 为正整数）

．因此，11025152

+±=+k k p ，)25(±=k k p ．由p 是质数，15±k ＞1，知1=k ，=p 3或7．

当3=p 时，已知方程变为0762=--x x ，解得11-=x ，72=x ；当7=p 时，已知方程变为013142=+-x x ，解得11=x ，132=x ．所以=p 3或=p 7．

13．连结DF ，BD ， ∵ AC ＝CB ＝CD ，

∴∠A ＝∠2，∠CDB ＝∠CBD ，

∵∠A ＝∠1，∴∠1＝∠2，∴∠FDB ＝∠FBD ，∴DF ＝BF ．又∠1＝∠2，CD ＝CB ，∴△DCF ≌△BCF ，∴∠DCF ＝∠BCF ．即CF 为∠DCB 的平分线．

D F 12

14．设考察队到生态区用了x 天，考察了y 天，则 1)60(2517---=y x x ，即14992542=+y x ．

∴ ?

??-=-=.4265,

325t y t x （t 为整数）

由???>->-,

04265,0325t t 解得35253<

于是，?

??==.23,

22y x

答：科学考察队在生态区考察了23天．

小学趣味数学题及答案-整理版

小学趣味数学题（一） 1.小华的爸爸1分钟可以剪好5只自己的指甲。他在5分钟内可以剪好几只自己的指甲？ 2.小华带50元钱去商店买一个价值38元的小汽车，但售货员只找给他2元钱，这是为什么？ 3.小军说：“我昨天去钓鱼，钓了一条无尾鱼，两条无头的鱼，三条半截的鱼。你猜我一共钓了几条鱼？”同学们猜猜小军一共钓了几条鱼？ 4.6匹马拉着一架大车跑了6里，每匹马跑了多少里？6匹马一共跑了多少里？ 5.一只绑在树干上的小狗，贪吃地上的一根骨头，但绳子不够长，差了5厘米。你能教小狗用什么办法抓着骨头呢？ 6.王某从甲地去乙地，1分钟后，李某从乙地去甲地。当王某和李某在途中相遇时，哪一位离甲地较远一些？ 7.时钟刚敲了13下，你现在应该怎么做？ 8.在广阔的草地上，有一头牛在吃草。这头牛一年才吃了草地上一半的草。问，它要把草地上的草全部吃光，需要几年？ 9.妈妈有7块糖，想平均分给三个孩子，但又不愿把余下的糖切开，妈妈怎么办好呢？ 10.公园的路旁有一排树，每棵树之间相隔3米，请问第一棵树和第六棵树之间相隔多少米？ 11.把8按下面方法分成两半，每半各是多少？算术法平均分是

____，从中间横着分是____，从中间竖着分是____. 12.一个房子4个角，一个角有一只猫，每只猫前面有3只猫，请问房里共有几只猫？ 13.一个房子4个角，一个角有一只猫，每只猫前面有4只猫，请问房里共有几只猫？ 14.小军、小红、小平3个人下棋，总共下了3盘。问他们各下了几盘棋？（每盘棋是两个人下的） 15.小明和小华每人有一包糖，但是不知道每包里有几块。只知道小明给了小华8块后，小华又给了小明14块，这时两人包里的糖的块数正好同样多。同学们，你说原来谁的糖多？多几块？ 16、五个连续自然数的和是３５０。求出这五个自然数各是多少？ 17、你今年（）周岁，2028年1月1日，你就（）周岁。小学趣味数学题（二） 1．妹妹今年6岁，哥哥今年11岁，当哥哥16岁时，妹妹几岁？ 2．小明从学校步行到少年宫要25分钟，如果每人的步行速度相同，那么小明、小丽、小刚、小红4个人一起从学校步行到少年宫，需要多少分钟？ 3．一张长方形彩纸有四个角，沿直线剪去一个角后，还剩几个角？（画图表示） 4．晚上停电，小文在家点了8支蜡烛，先被风吹灭了1支蜡烛，后来又被风吹灭了2支。最后还剩多少支蜡烛？ 5．有16个小朋友在操场上玩捉迷藏游戏，已经捉住了9人，藏着的还有几人？

数学初中竞赛大题训练：几何专题(含答案)

数学初中竞赛大题训练：几何专题 1．阅读理解：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB＝∠ACB，则A，B，C，D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC＝180°，则A，B，C，D四点共圆．（1）如图1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，则∠ACD＝55°；（2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE 的长；（3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的长．解：（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°，故答案为：55°；（2）在线段CA取一点F，使得CF＝CD，如图2所示： ∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB， ∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°， ∴∠AFD＝135°， ∵BE⊥AB，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°， ∴∠AFD＝∠DBE， ∵AD⊥DE，

∴∠ADE＝90°， ∵∠FAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDE＝90°， ∴∠FAD＝∠BDE，在△ADF和△DEB中，， ∴△ADF≌△DEB（ASA）， ∴AD＝DE， ∵∠ADE＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝AD＝2；（3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示：∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°， ∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆， ∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°， ∴△ABK是等边三角形， ∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，则M为AB的中点， ∴KM＝AK?sin60°＝2， ∵AE＝3，AM＝AB＝2， ∴ME＝3﹣2＝1， ∴EK＝＝＝， ∴EF＝＝＝．

六年级数学竞赛试题及答案

六年级数学竞赛试题学校：班级：姓名： ★亲爱的同学，经过这段时间的中学数学学习，你的数学能力一定有了较大的提高，展示你才能的机会来了！祝你在这次数学竞赛中取得好成绩！别忘了要沉着冷静、细心答题哟！一、选择题(每小题6分，共36分) 1、如果m 是大于1的偶数，那么m 一定小于它的……………………（） A 、相反数 B 、倒数 C 、绝对值 D 、平方 2、当ｘ＝－2时， 37ax bx +-的值为9，则当ｘ＝2时，3 7ax bx +-的值是（） A 、－23 B 、－17 C 、23 D 、17 3、255 ，344 ，533 ，622 这四个数中最小的数是………………………（） A. 255 B. 344 C. 533 D. 622 4、把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图1所示的立体，然后将露出的表面部分染成红色．那么红色部分的面积为（）． A 、21 B 、24 C 、33 D 、37 5、有理数的大小关系如图2所示，则下列式子中一定成立的是…… （） A 、c b a ++＞0 B 、c b a <+ C 、c a c a +=- D 、a c c b ->-

6、某动物园有老虎和狮子，老虎的数量是狮子的2倍。每只老虎每天吃肉4.5千克，每只狮子每天吃肉3.5千克，那么该动物园的虎、狮平均每天吃肉…… …… （） A 、 625千克 B 、 725千克 C 、825千克 D 、9 25千克二、填空题(每小题6分，共36分) 7、定义a*b=ab+a+b,若3*x=27，则x 的值是_____ 8、三个有理数ａ、ｂ、ｃ之积是负数，其和是正数，当x ＝ c c b b a a + + 时，则 ______29219=+-x x 。 9、当整数m ＝_________ 时，代数式 1 36 -m 的值是整数。 10、A 、B 、C 、D 、E 、F 六足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A 、B 、C 、D 、E 、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没与B 队比赛的球队是______ 。 11、甲从A 地到B 地，去时步行，返回时坐车，共用x 小时，若他往返都座车，则全程只需x 3 小时，，若他往返都步行，则需____________小时。 12、 ._______2007 20061431321211=?+?+?+?K 三、解答题(共28分) 13、现将连续自然数1至2009按图中的方式排列成一个长方形队列，再用正方形任意框出16个数。（14分）（1）设任意一个这样的正方形框中的最小数为n ，请用n 的代数式表示该框中的16个数，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数中的最小数和最大数，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数的和。（用n 的代数式表示）（2）在图中，要使一个正方形框出的16个数之和和分别等于832、2000、2008是否可能？若不可能，请说明理由；若可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数。图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 · · · · · · · 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 图2

2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. .