当不需要注明邻域半径δ时，常将它表为)(a U
，简称a 的去心邻域． 三、逻辑符号
1．符号“?”表示“蕴涵”或“推得”，或“若…，则…”．
A ?
B ——若命题A 成立，则命题B 成立;或命题A 蕴涵命题B ;称A 是B 充分条件，同时也称B 是A 的必要条
例如：n 是整数?n 是有理数 符号“?”表示“必要充分”，或“等价”，或“当且仅当”．
A ?
B 表示命题A 与命题B 等价;或命题A 蕴涵命题B （A ?B ），同时命题B 也蕴涵命题A （B ?A ）
例如：A ?B ?任意x ∈A ，有x ∈B ． 2.量词符号
符号“?”表示“任意”，或“任意一个”，它是将英文字母A 倒过来． 符号“?”表示“存在”，或“能找到”，它是将英文字母E 反过来．
应用上述的数理逻辑符号表述定义、定理比较简练明确．例如，数集A 有上界、有下界和有界的定义：
数集A 有上界??b ∈R ，?x ∈A ，有x ≤b ．
数集A 有下界??a ∈R ，?x ∈A ，有a ≤x ．
数集A 有界??0>M ，?x ∈A ，有M x ≤．
?A 既有上界，又有下界。
请试证明，上面两者等价。
3． max 与min
符号“max ”表示“最大”（它是maximum(最大)的缩写）． 符号“min ”表示“最小”（它是minimum(最小)的缩写）． 设n a a a ,,,21 是n 个数．例如：
max{n a a a ,,,21 }——n 个数n a a a ,,,21 中最大数． min{n a a a ,,,21 }——n 个数n a a a ,,,21 中最小数． 4． n ！与n ！！
符号“n ！”表示“不超过n 的所有自然数的连乘积”，读作“n 的阶乘”即 n ！=n （n -1）…3·2·1． 如 7！= 7·6·5·4·3·2·1． 符号“n ！！”表示“不超过n 并与n 有相同奇偶性的自然数的连乘积”，读作“n 的双阶乘”，即 （2k -1）！！=（2k -1）（2k -3）…5·3·1． （2k -2）！！=（2k -2）（2k -4）…6·4·2． 如 9！！= 9·7·5·3·1, 12！！=12·10·8·6·4·2． 规定：0！=1．
5．连加符号Σ与连乘符号Π
在数学中，常遇到一连串的数相加或一连串的数相乘，例如
1+2+…+n 或者
)1()1(+--k m m m 等．为简便起见，人们引入连加符号Σ与连乘符号Π：
n n
i i
x x x x
+++=∑= 211
，
n i
n
i x x x x 211
=∏=．
这里的指标i 仅仅用以表示求和或求乘积的范围，把i 换成别的符号j ，k 等，也同样表示同一和或同一乘积，例如
∑∑===+++=n
i i n n
j j
x x x x x
1
211
，
∏∏====n
i i n n
j j
x x x x x
1
211
．
人们通常把这样的指标称为“哑指标”．
我们举几个例子说明连加符号Σ与连乘符号Π的应用． 例1 阶乘n !的定义可以写成
n ！=
∏=n
j j 1．
例2 二项式定理可以表示为
∑∑==--==+n
j n
k k
k n k n j
n j j n
n
b a C b
a C
b a
0)( ，
其中
)!
(!!!)1()1(k n k n k k n n n C k
n
-=+--=
．
§1.2 函数
一、函数概念
1．量
在我们的研究过程中，变化的量称为变量；
不变化的量称为常量
而函数是考察变量之间关系的重要概念。 2．引例
例1 自由落体，物体下落的时间t 与下落的距离s 互相联系着
2
2
1gt s =
其中g 是重力加速度，是常数． 如果物体距地面的高度为h ，? t ∈??
?
??
?g h 2,0，都对应一个距离s ． 例2球的半径r 与该球的体积V :3
3
4r V π=
其中π是圆周率，是常数． ? r ∈[0，∞] 都对应一个球的体积V ．
上面两例来自于不同的问题，但是他们确有共同之处，我们将其抽象出来，便是函数的概念。
3．定义 设A 是非空数集．若存在对应关系f ，对A 中任意数x （?x ∈A ），按照对应关系f ， 对应唯一一个y ∈R ，则称f 是定义在A 上的函数，表为
→A f :R ,
（1）数x 对应的数y 称为x 的函数值，表为)(x f y =； （2）x 称为自变量，y 称为因变量；
（3）数集A 称为函数f 的定义域，函数值的集合{}
A x x f A f ∈=)()( 称为函数f 的值域。
根据函数定义不难看到，上述四例皆为函数的实例． 关于函数概念的几点说明:
（1）函数的符号可简化：为方便起见，我们约定，将 “f 是定义在数集A 上的函数”，用符号 “)(x f y =，x ∈A ”表示．当不需要指明函数f 的定义域时，又
t
可简写为“ )(x f y =”，有时甚至笼统地说“f (x )是x 的函数(值)”． （2）求函数的定义域：
当函数无实际意义时定义域是使函数y =f (x )有意义的实数x 的集合()∈=x f x A {R ｝
。例，函数 21)(x x f -=，它的定义域就是使函数 21)(x x f -=有意义的实数x 的集合，
即闭区间 [-1，1]∈-=21{x x R ｝. 当函数有实际意义，它的定义域要受实际意义的约束．例如，上述例2，半
径为r 的球的体积3
3
4r v π=
这个函数，从抽象的函数来说， r 可取任意实数﹔从它的实际意义来说， 半径r 不能取负数，因此它的定义域是区间［0，∞］。
（3）在函数)(x f y =的定义中，要求对应于x 值的y 值是唯一确定的，这种函数也称为单值函数．如果取消唯一这个要求，即对应于x 值，可以有两个以上确定的y 值与之对应，那么函数)(x f y =称为多值函数．例如函数22x r y -±=是多（双）值函数．
（4）函数的两要素为：定义域和对应法则，与变量用何符号表示没有关系。 4．函数的实例
例1 取整函数 y =[x ]，表示?x ∈ R ，对应的y 是不超过x 的最大整数．
如 [2．5]=2， [3]=3， [0]=0， [-π]=-4
例2 符号函数 =)(t H ??
?
??>=<-0,10,00,1t t t 果如果如如果
例3 ??
?<-≥==0
0x x
x x
x y ; 图形为（图1.2-1）
上述几个函数的定义域分成了若干部分，而在不同部分上，函数值用不同的表达式表示，这样的函数称为分段函数。
注意：分段函数是一个函数。 二﹑几类具有特殊性质的函数 1. 有界函数
图1.2-1
定义:设函数f (x )在数集A 有定义，若函数值的集合f (A )={}
A x x f ∈)(有界，（即?M >0，使?x ∈A ， 有M x f ≤)(），则称函数f (x )在A 有界，否则称f (x )在A 无界．
例 函数x y sin = 在(-∞，+∞)内是有界的，因为对?x ∈R ，都有
1sin ≤x ．函数x
y 1
=
在(0，2)上是无界的，在[1，∞] 上是有界的． 2．单调函数
定义 设函数f (x )在数集A 上有定义，若 对A x x ∈?21, 且21x x <，
))()(()()(2121x f x f x f x f ><，则称函数f (x )在A 严格单调增加(严格单
调减少)；上述不等式改为 ))()(( )()(2121x f x f x f x f ≥≤，则称函数f (x )在A 单调增加(单调减少)．
例 (1)函数 3
x y = 在(-∞，+∞)内是严格增加的．
(2) 函数 122+=x y 在(-∞，0)内是严格减少的，在[0，+ ∞)内是严格增加的．因此，在(-∞，+∞)内， 122
+=x y 不是单调函数． 3．奇函数与偶函数
定义 设函数f (x )定义在数集A ，若?x ∈A ，有-x ∈A ，且
f (-x )= -f (x ) (f (-x )= f (x ))， 则称函数f (x )是奇函数(偶函数)．
图象 点),(00y x 在奇函数y =f (x )的图象上，即 )(00x f y =，则
000)()(y x f x f -=-=-
即),(00y x -- 也在奇函数y =f (x )的图象上．于是奇函数的图象关于原点对称；
同理可知，偶函数的图象关于y 轴对称． 例 函数 x
x
y x y x x y sin ,1,
22
2
4
=
-=-= 等皆为偶函数﹔函数x
x y x y x
y sin ,,123===
等皆为奇函数．
4． 周期函数
定义 设函数)(x f 定义在数集A ，若?l >0， ?x ∈A ，有 A l x ∈±， 且
)()(x f l x f =±则称函数)(x f 是周期函数， l 称为函数f (x )的一个周期．
说明 周期不唯一：若l 是函数)(x f 的周期， 则2l 也是它的周期． 不难用归纳法证明，若l 是函数)(x f 的周期， 则n l (n ∈N )也是它的周期．
若函数)(x f 有最小的正周期，通常称为函数)(x f 的基本周期，简称为周期．
例， x y sin =就是周期函数，周期为2π．再如，常函数1=y 也是周期函数，任意正的实数都是它的周期. 三、复合函数与反函数 1．复合函数
（1）引例：求作自由落体运动的质点的动能，
221mv E =
，gt v =，从而222
1
t mg E = 由两个函数2
21mv E =,gt v =通过所谓“中间变量” “v ”传递的方法产生了新
的函数2
22
1t mg E =．称为两个函数的复合函数。
（2） 定义：设函数)(y f z =定义在数集B ，函数)(x y ?=定义在数集A ，G 是A 中使)(x y ?=∈B 的x 的非空子集，即{}φ?≠∈∈=B x A x x G )(,
?x ∈G ，按照对应关系?，对应唯一一个y ∈B ，再按照对应关系f ，对应
唯一一个z ，即?x ∈G 对应唯一一个z ，于是在G 上定义了一个函数，表为
? f ，称为函数)(x y ?=与)(y f z =的复合函数，即
[]G x x f x f
∈=,)())((??
y 称为中间变量． 今后经常将函数)(x y ?=与)(y f z =的复合函数表为
()[]
G x x f z
∈=?
（3）例：函数y z =的定义域是区间[0，+∞）
，函数 )2)(1(x x y --=的定义域是R ．为使其生成复合函数，必须要求 21,0)2)(1(≤≤≥--=x x x y 即, 于是，?x ∈[1，2]，函数)2)(1(x x y --=与y z = 生成了复合函数
)2)(1(x x z --=
.
（4）推广：以上是两个函数生成的复合函数．不难将复合函数的概念推广到有限个函数生成的复合函数． 例如，三个函数
32,ln ,+===
x y y z z u ,
生成的复合函数是),1[,)32ln(+∞-∈+=x x u .
2．反函数
（1）定义 设 函数)(x f y =，X x ∈．若对任意)(X f y ∈，有唯一一个X x ∈与之对应，使f (x )=y ，则在)(X f 上定义了一个函数，记为
)(1
y f
x
-=，)(X f y ∈
称为函数)(x f y =的反函数．
（2）)(1
x f
y -=的图形与y =f (x )的图形关于直
线 y =x 对称(图1.2-2).
（3）定理 若函数y =f (x )在某区间X 上严格增加（严格减少），则函数y =f (x )存在反函数，且反函数)(1
y f
x -=在)(X f 上也严格增加（严格减少）
说明:（1）定理中“严格”两字不可忽略．如y =[x ]具有单调性，但不是严格单调的函数，不存在反函数．
（2）函数是严格单调的仅是存在反函数的充分条件，如函数
??
?≤≤<≤-+-=1
0,
01,1x x x x y
在区间[-1，1]上不是单调函数，但它存在反函数：
?
?
?≤<-≤≤==-21,110,
)(1
y y y y y f x 四、初等函数 1．基本初等函数
（1）常数函数 c y =， （2）幂 函 数 α
x y =，
（3）指数函数 x
a y =，特例x
e y =
（4）对数函数 x y a log =，特例x y ln = （5）三角函数
,csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin x y x y x y x y x y x y ======
（6）反三角函数
.cot ,arctan ,arccos ,arcsin x arc y x y x y x y ====
2．初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算以及有限次的复合生成的函
)x
图
1.2-2
数称为初等函数．
五、双曲函数与反双曲函数——比较典型的初等函数 1．定义式
双曲正弦 2x x e e shx --=；双曲余弦 2x
x e e chx -+=，
双曲正切 x
x x
x e
e e e thx --+-=． 2．基本性质
双曲正弦是),(+∞-∞上的奇函数,它的图形通过原点且关于原点对称.它在区间),(+∞-∞上是单调增加的.当x 的绝对值很大时,它的图形在第一象限内接近于曲线x e y 21=
;第三象限内接近于曲线x e y --=2
1 双曲余弦是),(+∞-∞上的偶函数,它的图形通过点(0,1)且关于y 轴对称.它在区间)0,(-∞单调减少,在),0(+∞单调增加.10=ch 是这个函数的最小值.当x 的绝对值很大时,它的图形在第一象限内接近于曲线x
e y 2
1=;第二象限内接近于曲线x e y -=
2
1 双曲正切的定义域为),(+∞-∞;它是奇函数,它的图形通过原点且关于原点对称.它在区间),(+∞-∞上是单调增加的.它的图形夹在水平直线1=y 及
1-=y 之间;当x 的绝对值很大时,它的图形在第一象限内接近于直线1=y ;第
三象限内接近于直线1-=y （3）重要公式
chxshy shxchy y x sh +=+)( (1)； chxshy shxchy y x sh -=-)( (2) shxshy chxchy y x ch +=+)( (3)； 122=-x sh x ch (4)
shxchx x sh 22= (5)； x sh x ch x ch 222+= (6).
（4）反双曲函数——双曲函数的反函数
反双曲正弦是双曲正弦shx 的反函数，记为.arshx 由双曲函数的定义
2
y y e e x --=， 即 0122=--y
y xe e ，
解出得 12+±=x x e y ，但因0>y e ，故取正号得
12++
=x x e y ，两端取自然对数，得 )1ln(2++==x x arshx y ．
可见，反双曲正弦函数的是R 上单调增加的奇函数．如图1.2-3所示．
同理，可推得反双曲余弦函数
)1ln(2-+==x x archx y ．
其定义域是),1[+∞，值域是),0[+∞，在定义域上是单调增加的．它的图形如图1.2-4所示．
反双曲正切x
x
arthx y -+=
=11ln
21． 定义域是开区间)1,1(-，并且是)1,1(-上的单调增加的奇函数．它的图形如图1.2-5所示． 六、经济学中的常用函数 1．需求函数
（1）含义：在经济学中，如果把除该商品价格以外的影响需求量因素都看作是不变的因素，需求量是该商品价格的函数，称为需求函数，记作).(P f D =
图1.2-3 图1.2-4
图1.2-5
需求函数的图形称为需求曲线．需求函数一般是价格的递减函数．但是，也有例外情况，需求曲线出现从左向右上升．例如∶古画、文物等珍品价格越高，越被人们认为珍贵，对它们的需求量就越大．
（2）常用的需求函数——（简单了解） 1）).0,0(>>-=
b a b
P a D
线性函数的斜率为01<-
b ．当0=P 时，b a
D =，表示当价格为零时，购买者对该商品的需求量为
b a ，b
a
也称为市场对该商品的饱和需求量．当a P =时， 0=D ，表示当价格上涨到a 时，已没有人购买该商品(图1.2-6)．
2）).0,0,0(>>>-+=c b a b c P a D ，此时，若0=P ，则b c
a
D -=，
表示该商品的饱和需求量为b c a -，当价格上升到c b
a
P -=时，商品的需求量下
降为0．但若免费赠送，并且给购买者以一定的如运输费用等方面的补贴(表现为负价格)，鼓励购买，则当P 下降接近于c -时，由需求曲线可见，该商品的需求量将无限增大(图1.2-7)。 2．供给函数
（1）含义：供给必须具备两个条件：一是有出售商品的愿望；二是有供应商品的能力，二者缺一便不能构成供给．
供给函数是讨论在其他因素不变的条件下供应商品的价格与相应供给量的关系．即供给量Q 是供应商品的价格P 的函数．其一般表示为)(P q Q =
图1.2-6
Ｐ
b -
图1.2-7
（2）基本性态：供给函数的图形称为供给曲线，它与需求曲线相反，一般是一条从左向右上方倾斜的曲线，即当商品价格上升时，供给量就会上升．当价格下降时，供给量随之下降．但也有例外情况，例如：珍贵文物和古董等价格上升后，人们就会把存货拿出来出售，从而供给量增加，而当价格上升到一定限度后，人们会以为它们可能是更贵重，就会不再提供到市场出售，因而价格上升，供给量反而减少．此时供给曲线可能呈现不是从左向右上方倾斜的形状． （3）常用的供给函数：
1) 线性供给函数 )0,0(>>+-=d c cP d Q 其反函数为
)0,0(1>>+=
d c c d Q c P ．由上式可见，c
d 为价格的最低限，只有当价格大于c
d
时，生产者才会供应商品. 供给曲线如图1.2-8．
2) )0,0,0,0(>>>>+-=
d c b a d
cP b
aP Q .
供给曲线如图1.2-9．由此式可知，该商品的最低价格为a
b
P =
，而当价格上涨时，该商品有一饱和供给量
c
a ．
3．总收益函数
设某种产品的价格为P ，相应的需求量为D ，则销售该产品的总收益R 为
DP ．又若需求函数为)(P f D =，其反函数为)(D g P =，则
)(D Dg DP R ==．
a
Ｐ
c
图1.2-8 图1.2-9
如果取bD a P -=，则可得总收益函数为
2
22
)2(4)(b
a D
b b a bD aD D bD a R --=-=-=． 由上式可知，当b
a
D 2=时，所得总收益最大，其最大收益为b a R 42max =．
知识讲解_集合及集合的表示_基础
集合及集合的表示 【学习目标】 1.了解集合的含义，会使用符号“∈”“?”表示元素与集合之间的关系． 2.能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等． 【要点梳理】 集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用. 要点一：集合的有关概念 1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体. 2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集. 要点诠释： （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合B的元素． 3．关于集合的元素的特征 (1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立. (2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素. (3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合. 要点诠释： 集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据．解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”． 4．元素与集合的关系： (1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作a∈A ? (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作a A 5．集合的分类 (1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：?. (2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集. (3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集. 6．常用数集及其表示 非负整数集(或自然数集)，记作N 正整数集，记作N*或N + 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 要点二：集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合. 1.自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.
集合知识点归纳定稿版
集合知识点归纳精编 W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】
集合的基础知识 一、重点知识归纳及讲解 1．集合的有关概念 一组对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做集合的元素 ⑴集合中的元素具有以下的特性 ①确定性：任给一元素可确定其归属．即给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了. 例如，给出集合{1，2，3，4}，它只有1、2、3、4四个元素，其他对象都不是它的元素； 而“所有的好人”、“视力比较差的全体学生”、“我国的所有小河流”就不能视为集合，因为组成它们的对象是不能确定的. ②互异性：集合中的任何两个元素都是不同的对象，也就是说，集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个.例如，不能有{1，1，2}，而必须写成{1，2}. ③无序性：集合中的元素间是无次序关系的.例如，{1，2，3}与{3，2，1}表示同一个集合. （2）集合的元素 某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.若a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.不含任何元素的集合叫做空集，记作φ. （3）集合的分类：有限集与无限集. （4）集合的表示法：列举法、描述法和图示法.
列举法：将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开，常用于表示有限集. 描述法：将所给集合中全部元素的共同特性和性质用文字或符号语言描述出来．常用于表示无限集. 使用描述法时，应注意六点： ①写清集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质； ③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”，“或”； ⑤所有描述的内容都要写在大括号内；⑥用于描述的语句力求简明、确切. 图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，常用于表示又需给具体元 素的抽象集合，对已给出了具体元素的集合当然也可用图示法来表示. 如：A={1，2，3，4} 例1、设集合A={a，a+b, a+2b},B={a,ac,ac2} ,且A=B，求实数c值． 分析： 欲求c值，可列关于c的方程或方程组，根据两集合相等的意义及集合元素的互异性，有下面两种情况：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，（2）a+b= ac2且a+2b=ac两种情况． 解析： （1）a+b=ac且a+2b= ac2，消去b得：a+ ac2-2ac=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴c2-2c+1=0，即c=1，但 c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，此时无解．
集合与符号
第一章 准备知识 §1.1 集合与符号 一、集合 1．定义：由确定的一些对象汇集的总体称为集合； 组成集合的这些对象被称为集合的元素． 2．表示：用大写字母A 、B 、C …表示集合； 用小写字母a 、b 、c …表示集合的元素． x 是集合E 的元素，记为E x ∈(读作：x 属于E ); y 不是集合E 的元素，记为E y ?(读作：y 不属于E )． 不含任何元素的集合称为空集合，记作Φ 3．集合间的关系 （1）子集合：如果集合E 的任何元素都是集合F 的元素，那末我们就说E 是F 的子集合，简称为子集，记为 (F E ?读作E 包含于F ）, 或者 E F ?（读作F 包含E ）． （2）相等：如果集合E 的任何元素都是集合F 的元素，并且集合F 的任何元素也都是集合E 的元素（即F E ?并且E F ?），那末我们说集合E 与集合F 相等，记为 F E =． 我们约定：空集合Φ是任何集合E 的子集，即 Φ?E ． 二、数集 1． N 自然数集; Z 整数集; Q ——有理数集; R ——实数集; C 把非负整数、非负有理数和非负实数的集合分别记为Z +，Q +和R +,显然有 N ?Z ?Q ?R ?C ． 和 N ?Z +?Q +?R +． 2．区间 ——数轴上的一段所有点组成的集合
3．邻域 设∈a R ，.0>δ 数集 {} δ<-a x x 称为a 的δ邻域，记为 ),(δa U ={} δ<-a x x =()δδ+-a a ,, a 称为邻域的中心；δ称为邻域的半径。 当不需要注明邻域的半径δ时，常把它表为)(a U ，简称a 的邻域． 数集 {} δ<-高一数学集合符号总结
高一集合符号总结 定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元。任何集合是它自身的子集. 元素与集合的关系： 元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。 集合的分类: 并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B} 交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B} 例如，全集U={1，2，3，4，5} A={1，3，5} B={1，2，5} 。那么因为A和B中都有1,5，所以A∩B={1，5} 。再来看看，他们两个中含有1,2,3,5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说A∪B={1，2，3，5}。图中的阴影部分就是A∩B。 无限集：定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集 有限集：令N+是正整数的全体，且Nn={1，2，3，……，n},如果存在一个正整数n，使得集合A与Nn一一对应，那么A叫做有限集合。 差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差（集） 注:空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”. 补集：属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈U,且x不属于A} 空集也被认为是有限集合。 例如，全集U={1，2，3，4，5} 而A={1，2，5} 那么全集有而A中没有的3，4就是CuA，是A的补集。CuA={3，4}。 在信息技术当中，常常把CuA写成~A。 某些指定的对象集在一起就成为一个集合，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集，任何集合是它本身的子集，子集，真子集都具有传递性。
集合及其表示方法
集合及其表示方法 知识精要 1.集合：我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。集合中的各个对象叫做集合的元素。 集合、元素以及关系的表示符号： 集合常用大写英文字母A 、B 、C ……来表示，集合中的元素常用小写英文字母a 、b 、c ……来表示。 如果a 是集合A 的元素，记作A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，记作A a ?，读作“a 不属于A ”。 2.集合元素的特性 （1）确定性：元素与集合的从属关系是明确的（即A a ∈与A a ? ，二者必居其一）。 元素的属性是明确的（模棱两可是不可以的）。 （2）互异性：集合中的元素是互不相同的（即一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象）。 （3）无序性：不考虑集合中元素之间的顺序。 3.集合的分类 （1）有限集：含有有限个元素的集合； （2）无限集：含有无限个元素的集合； 另外，根据集合元素的类型可以把集合分成数集、点集等。 4.空集：空集不含元素。记作? 5.集合的表示方法 （1）列举法：将集合中的元素一一列出（不考虑元素的顺序），注意元素之间用逗号隔开，并且写在大括号内。 例如：不等式0112<-x 的正整数解的集合，可以表示成{1，2，3，4，5}。 又如：方程组???-=-=+1 5y x y x 的解组成的集合可表示为)}3,2{(。 ① a 与{a }不同：a 表示一个元素，{a }表示一个集合，该集合只有一个元素 ② 元素与元素之间用逗号隔开，单元素集合不用逗号。 （2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素一般形式，再画出一条竖线，在竖线后面写出集合中元素所共同具有的特性。其形式是{x|x 满足性质p}。 例如：方程062=--x x 的解的集合，可表示为}06|{2 =--x x x ； 又如：直线x +y =1上的点组成的集合，可以表示为：{1),(=+y x y x } 注：同一个集合，有时既可以用列举法又可以用描述法，那么何时用列举法？何时用描述法？ （1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不适合用描述法表示，只能用列举法。如集合},5,23,{2232y x x y x x +-+。 （2）当集合中元素个数较少时，多用列举法。 （3）当集合中元素个数较多时，都写出来太烦了，可写其中一部分元素，由此提供一定规律可用省略号代表余下的元素。如：从51到100的所有整数组成的集合：
集合及集合的表示方法
教案背景：在小学和初中，数学课中使用的语言主要是自然语言，教学中经常要 把数学中的符号语言翻译为自然语言让学生理解，但自然语言有一定的歧义性，有 时也不够确切。高中数学中使用集合语言，就能简洁准确地表达数学内容，发展学 生运用数学语言进行交流的能力。 教材分析：集合的初步知识是学生学习，掌握和使用数学语言的基础，是高中数 学学习的出发点。集合语言也是现代数学的基本语言，通过学习，使用集合语言，有 利于学生简洁，准确的表达数学内容。 本章的主要内容是集合的概念，表示方法和集合之间的关系与运算。本节首先通过实例，引入集合与集合元素的概念，然后学习集合的表示方法。 教学方法：学生通过阅读教材，自主学习，在教师的指导下思考，交流，讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标。 教学课题：集合及集合的表示方法。 集合及集合的表示方法 一． 学习目标 1．通过实例，了解集合的概念，会判断元素与集合的关系。 2．了解并记住集合中元素的性质，熟记常用的数集符号。 3．掌握集合的两种表示方法，能够运用集合的两种表示方法表示一些集合。 二． 重点难点： 重点：集合概念的形成，集合的表示方法。 难点：理解集合元素的确定性与互异性，运用集合的特征性质法正确的描述集合。 三．预习检测： 1. 集合的概念是什么？ 2.元素与集合之间的关系有几种？如何判断？ 3.集合中元素的性质有哪些？ 4.常用的数集有哪些？写出各自的记号。 5.集合的两种表示方法是什么？表示集合时需要注意什么问题？ 6.下列各项中，不能组成集合的是（ ） A.所有正三角形 B.《数学必修1》中所有的习题 C.所有数学难题 D.所有无理数 7. 集合A 中只含有元素a ，则下列各式正确的是（ ） A.0A ∈ B.a A ? C.a A ∈ D.a=A 8. 已知集合}31|{≤≤-∈=x N x A ，则集合A 还可以表示为（ ）
数学集合符号有哪些
数学集合符号有哪些|集合符号介绍 数学集合符号的解释：一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元。任何集合是它自身的子集. 元素与集合的关系：元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。 常用数集的符号： （1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N （2）非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作N+（或N*） （3）全体整数的集合通常称作整数集，记作Z （4）全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q （5）全体实数的集合通常简称实数集，记作R （6）复数集合计作C 集合的分类： 并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B} 交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B} 例如，全集U={1，2，3，4，5} A={1，3，5} B={1，2，5} 。那么因为A和B中都有1,5，所以A∩B={1，5} 。再来看看，他们两个中含有1,2,3,5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说A∪B={1，2，3，5}。图中的阴影部分就是A∩B。 无限集：定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集 有限集：令N+是正整数的全体，且Nn={1，2，3，……，n},如果存在一个正整数n，使得集合A与Nn一一对应，那么A叫做有限集合。 差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差（集）
符号大全合集
符号大全合集 一、特殊符号 ★☆★$ & ¤ § | °゜¨ ± · × ÷ ˇ ˉ ˊ ˋ ˙ ΓΔΘΞΠΣΥΦΨΩαβγδεζηθικλμνξπρστυφψωЁБГДЕЖЗИ ЙКЛФУЦЧШЩЪЫЭЮЯабвгджзийклфцчшщъыюя - ― ‖ ‥… ‰ ′ ″ ※℃℅ ℉№ ℡ ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ????ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩ? ?????????????←↑ → ↓ ??↖↗↘↙?? ∈∏ ∑ ∕ √ ∝∞ ∟ ∠∣∥∧∨∩ ∪∫ ∮∴∵∶∷∽≈ ≌≒≠ ≡ ≤ ≥ ≦≧≮≯⊕⊙⊥⊿⌒1234567890 ─━│┃┄┅┆┇┈┉┊┋ ┌┍┎┏┐┑┒┓└┕┖┗┘┙┚┛├┝┞┟┠┡┢┣┤┥┦┧┨┩┪┫┬┭┮┯┰┱┲ ┳┴┵┶┷┸┹┺┻┼┽┾┿╀╁╂╃╄╅╆╇╈╉╊╋═║╒╓╔╕╖╗╘╙╚╛ ╜╝╞╟╠╡╢╣╤╥╦╧╨╩╪╫╬╭╮╯╰╱╲╳▁▂▃▄▅▆▇█ ▉▊▋▌▍▎▏ ▓▔▕?■□▲△▼▽⊿◆◇○◎●◢◣◤◥★☆☉♀♂々〆〇「」『』〖〗【】〒〓 〡〢〣〤〥〦〧〨〩㎎㎏㎜㎝㎞㎡㏄㏎㏑㏒㏕????‖| |︴()〔〕? ?*
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特殊符号总集合
????哲，涐噯伱︻︼︽︾??????〇? ??■▓「」『』 ????▼▽????? ?№????↘↙Χ※㊣ⅲ??【】〕〖＠μδω□?〒※》ⅱ卐ⅳ ╳???ⅵ?ㄨ?╬╭╮╰╯╱╲ ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ??????????????? QQ特殊符号大全 A、希腊字母大写ΑΒΓΓΔΕΖΘΗΚⅸΜΝΞΟⅱΡⅲΤΥΦΦΧΨ B、希腊字母小写αβγδεδεζηθικλμνπξζηυθχψω C、俄文字母大写 АБВГДЕЁЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ D、俄文字母小写абвгде?жзийклмнопрстуфхцчшщъыьэюя E、注音符号??ㄓㄚㄞㄢㄦ?ーㄍㄐㄔㄗㄧㄛㄟㄣ?ヽㄎㄑㄕㄘㄨㄜㄠㄤ?ㄏㄒㄖㄙㄩㄝㄡㄥ F、拼音 ǎ 、ō ǒ 、 、 ǐ 、ū ǔ 、ǖ ǘ ǚ ǜ G、日文平假名〗?ぅぇぉかきくけこんさしすせそたちつってとゐなにぬねのはひふへほゑまみむめもゃゅょゎを H、日文片假名?ィゥヴェォカヵキクケヶコサシスセソタチツッテトヰンナニヌネノハヒフヘホヱマミムメモャュョヮヲ I、标点符号ˉˇ ‘’?～‖?”’‘｜〃〓〔《》「」『』．〕〖【【】（）〓〔｛｝ J、数字序号ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ??←↑→↓??↖↗一二三四五六七八九十 K、数学符号???＝??＜＞??? ＋－ ／ ??ⅴⅵⅸⅹⅲⅱ??ⅰ???‖ⅶ????ⅳ L、单位符号 ′〃＄??‰％℃ ? M、制表符 ┌┍┎┏┐┑┒┓—┄┈├┝┞┟┠┡┢┣|┆┊┬┭┮┯┰┱┲┳┼┽┾┿╀╂╁╃ N、特殊符号 №???????□■??※????〒＃＆＠＼＾＿ O、补充收集??????Θ? ㊣? ? ? ? ? ? ? ? ■ ▓ 回□ 〒? ╝╚╔ ╗╬ ? ╓ ╩ ┠ ┨┯ ┷┏ ┓┗ ┛┳?『』┌???????▼?▽? ?.1 ??????Θ? ㊣?????????▼?▽?? ?? ?.2 ? ? ? ? ■ ▓ 回□ 〒? ╝╚╔ ╗╬ ? ╓ ╩ ┠ ┨┯ ┷┏? ?.3 ┓┗ ┛┳?﹃﹄┌ ┐└ ┘∟「」????↘↙??┇┅ ??﹉﹊╭? ?.4 ╮╰ ╯ *^_^* ^*^ ^-^ ^_^ ^︵^ ??‖︱︳︴﹋??︵︶︹︺? ?.5 【】〕〖＠﹕﹗/ " _ < > `, 。?{}~ ～() _ -『』ⅳ $ @ * & # ※?
集合概念和表示方法讲义
集合 一．集合的概念： 集合没有确切定义，是一个基本概念。对其描述：某些具有共同属性的对象集在一起就成为一个集合。符号表示为{}，表示的意思为全体。这些对象我们称之为元素。 集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。如a、b、c、p、q…… 例如A={1,3,a,c,a+b} 注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述. （2）集合是一个“整体. （3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的 例如：指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。 （1）我国的直辖市；（2）五中高一（1）班全体学生；（3）较大的数 （4）young 中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。 【典例分析】： 1.下列各组对象中，不能组成集合的是（） A 所有的正六边形B《数学》必修1中的所有习题 C 所有的数学容易题 D 所有的有理数 2.由下列对象组成的集体属于集合的是（） （1）不超过π的正整数； （2）高一数学课本中所有的难题； （3）中国的大城市 （4）平方后等于自身的数； （5）某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生. A.（1）（2）（3） B.（3）（4）（5） C.（1）（4）（5） D. （1）（2）（4） 二．元素的特性 a、确定性（有一个确定的衡量标准） b、互异性（集合里的元素都不一样） c、无序性（没有顺序） （确定性） 例题1：下列各组对象能否构成一个集合 （1）著名的数学家 （2）某校2006年在校的所有高个子同学 （3）不超过10的非负数 （4）方程240 x-=在实数范围内的解 （5）2的近似值的全体 例题2：下列各对象不能够成集合的是（） A 某校大于50岁的教师 B 某校30岁的教师
常用的数学符号大全、关系代数符号
常用数学符号大全、关系代数符号 1、几何符号 ⊥∥∠⌒⊙≡≌△ 2、代数符号 ∝∧∨～∫≠≤≥≈∞∶ 3、运算符号 如加号（＋），减号（－），乘号（×或·），除号（÷或／），两个集合的并集（∪），交集（∩），根号（√），对数（log，lg，ln），比（：），微分（dx），积分（∫），曲线积分（∮）等。 4、集合符号 ∪∩∈ 5、特殊符号 ∑π（圆周率） 6、推理符号 |a| ⊥∽△∠∩∪≠≡±≥≤∈← ↑→↓↖↗↘↙∥∧∨ &; § ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ ΓΔΘΛΞΟΠΣΦΧΨΩ αβγδεζηθικλμν ξοπρστυφχψω ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ ⅰⅱⅲⅳⅴⅵⅶⅷⅸⅹ
∈∏∑∕√∝∞∟∠∣∥∧∨∩∪∫∮ ∴∵∶∷∽≈≌≒≠≡≤≥≦≧≮≯⊕⊙⊥ ⊿⌒℃ 指数0123：o123 7、数量符号 如：i，2+i，a，x，自然对数底e，圆周率π。 8、关系符号 如“＝”是等号，“≈”是近似符号，“≠”是不等号，“＞”是大于符号，“＜”是小于符号，“≥”是大于或等于符号（也可写作“≮”），“≤”是小于或等于符号（也可写作“≯”），。“→”表示变量变化的趋势，“∽”是相似符号，“≌”是全等号，“∥”是平行符号，“⊥”是垂直符号，“∝”是成正比符号，（没有成反比符号，但可以用成正比符号配倒数当作成反比）“∈”是属于符号，“??”是“包含”符号等。 9、结合符号 如小括号“（）”中括号“［］”，大括号“｛｝”横线“—” 10、性质符号 如正号“＋”，负号“－”，绝对值符号“| |”正负号“±” 11、省略符号 如三角形（△），直角三角形（Rt△），正弦（sin），余弦（cos），x的函数（f(x)），极限（lim），角（∠）， ∵因为，（一个脚站着的，站不住） ∴所以，（两个脚站着的，能站住）总和（∑），连乘（∏），从n个元素中每次取出r个元素所有不同的组合数（C(r)(n) ），幂（A，Ac，Aq，x^n）等。
集合》公式汇总
《集合》公式汇总 集合（简称集）是数学中一个基本概念，它是集合论的研究对象，集合论的基本理论直到19世纪才被创立。最简单的说法，即是在最原始的集合论——朴素集合论中的定义，集合就是“一堆东西”。集合里的“东西”，叫作元素。 由一个或多个元素所构成的叫做集合。若x是集合A的元素，则记作x∈A。集合中的元素有三个特征：1.确定性（集合中的元素必须是确定的）2.互异性（集合中的元素互不相同。例如：集合A={1，a}，则a不能等于1）3.无序性（集合中的元素没有先后之分。） 并交集 并集定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。并集越并越多。 交集定义：由属于A且属于B的相同元素组成的集合，记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x ∈A,且x∈B}。交集越交越少。 若A包含B，则A∩B=B，A∪B=A 补集 相对补集定义：由属于A而不属于B的元素组成的集合，称为B关于A的相对补集，记作A-B或A\B，即A-B={x|x∈A，且x?B'} 绝对补集定义：A关于全集合U的相对补集称作A的绝对补集，记作A'或?u（A）或~A。·U'=Φ；Φ‘=U （一）元素与集合 1、元素与集合的关系：∈? 、 若a是集合A的元素，就说a属于A，记作：a A ∈，读作“a属于A” 若a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作：a A ?，读作“a不属于A”。 2、集合的表示： 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 形如：{1,2,3,5} 描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. 形如：{x|x2＋2x－3＞0}} 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 3、常见数集的符号表示：
集合符号
公式输入符号 ≈≡≠＝≤≥＜＞≮≯∷±＋－×÷／∫∮∝∞∧∨∑∏∪∩∈∵∴?‖∠??≌∽√ 数学符号（理科符号）——运算符号 1.基本符号：＋－× ÷（／） 2.分数号：／ 3.正负号：± 4.相似全等：∽≌ 5.因为所以：∵∴ 6.判断类：＝≠ ＜≮（不小于）＞≯（不大于） 7.集合类：∈（属于）∪（并集）∩（交集） 8.求和符号：∑ 9.n次方符号：1（一次方）2（平方）3（立方）?（4次方）?（n次方） 10.下角标:???? (如:A?B?C?D?效果如何?) 11.或与非的"非":￢ 12.导数符号(备注符号):′ 〃 13.度:°℃ 14.任意:? 15.推出号:? 16.等价号:? 17.包含被包含:???? 18.导数:∫ ? 19.箭头类:↗↙↖↘↑ ↓ ? ? ↑ ↓ → ← 20.绝对值:｜ 21.弧:? 22.圆:?11.或与非的"非":￢ 12.导数符号(备注符号):′〃 13.度:°℃ 14.任意:? 15.推出号:? 16.等价号:? 17.包含被包含:???? 18.导数:∫ ? 19.箭头类:↗↙↖↘↑ ↓ ? ? ↑ ↓ → ← 20.绝对值:｜ 21.弧:? 22.圆:? α β γ δ ε δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν π ξ ζ η υ θ χ ψ ω Α Β Γ Γ Δ Ε Ζ Θ Η Κ ∧Μ Ν Ξ Ο ∏ Ρ ∑ Τ Υ Φ Φ Χ Ψ а б в г д е ? ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш ЩЪ Ы Ь Э Ю Я Γ 任意：? 存在：? Word中按下ctrl+F9后括号内输入eq \o(\s\up5(→),\s\do2(SP2))再按下shift+F9，可显示向量→ SP2
数学符号大全
数学符号大全 1 几何符号 ?‖∠??≡ ≌△ 2 代数符号 ∝∧∨～∫ ≠ ≤ ≥ ≈ ∞ ∶ 3运算符号 × ÷ √ ± 4集合符号 ∪∩ ∈ 5特殊符号 ∑ π（圆周率） 6推理符号 |a| ??△∠∩ ∪≠ ≡ ± ≥ ≤ ∈← ↑ → ↓ ↖↗↘↙‖∧∨ &; § ?????????? Γ Δ Θ ∧Ξ Ο ∏ ∑ Φ Χ Ψ Ωα β γ δ ε δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν π ξ ζ η υ θ χ ψ ω
ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ ⅰⅱⅲⅳⅴⅵⅶⅷⅸⅹ ∈∏ ∑ ∕ √ ∝∞ ∟ ∠∣‖∧∨∩ ∪∫ ∮ ∴∵∶∷?≈ ≌≈ ≠ ≡ ≤ ≥ ≤ ≥ ≮≯⊕?? ⊿?℃ 指数0123：o123 上述符号所表示的意义和读法（中英文参照） ＋plus 加号；正号 －minus 减号；负号 ±plus or minus 正负号 ×is multiplied by 乘号 ÷is divided by 除号 ＝is equal to 等于号 ≠ is not equal to 不等于号 ≡ is equivalent to 全等于号 ≌is approximately equal to 约等于 ≈ is approximately equal to 约等于号 ＜is less than 小于号 ＞is more than 大于号 ≤ is less than or equal to 小于或等于 ≥ is more than or equal to 大于或等于
％per cent 百分之… ∞ infinity 无限大号 √ (square) root 平方根 X squared X的平方 X cubed X的立方 ∵since; because 因为 ∴hence 所以 ∠angle 角 ?semicircle 半圆 ?circle 圆 ○ circumference 圆周 △triangle 三角形 ?perpendicular to 垂直于 ∪intersection of 并，合集 ∩ union of 交，通集 ∫ the integral of …的积分 ∑ (sigma) summation of 总和°degree 度 ′ minute 分 〃second 秒 ＃number …号 ＠at 单价
符号大全
⊥ ∥ ∠ ⌒ ⊙ ≡ ≌ △ 2 代数符号 ∝ ∧ ∨ ～∫ ≠ ≤ ≥ ≈ ∞ ∶ 3运算符号 × ÷ √ ± % 4集合符号 ∪ ∩ ∈ 5特殊符号 ∑ π（圆周率） 6推理符号 |a| ⊥ ∽ △ ∠ ∩ ∪ ≠ ≡ ± ≥ ≤ ∈ ←
↑ → ↓ ↖ ↗ ↘ ↙ ∥ ∧ ∨ &; § ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ΓΔΘΛΞΟΠΣΦΧΨΩ αβγδεδεζηθικλ μνπξζηυθχψω Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ ⅰ ⅱ ⅲ ⅳ ⅴ ⅵ ⅶ ⅷ ⅸ ⅹ ∈ ∏ ∑ ∕ √ ∝ ∞ ∟ ∠ ∣ ∥ ∧ ∨ ∩ ∪ ∫ ∮
∴ ∵ ∶ ∷ ∽ ≈ ≌ ≒ ≠ ≡ ≤ ≥ ≦ ≧≮ ≯ ？⊙ ⊥ ⊿ ⌒ ℃ 符号意义 ∞ 无穷大 PI 圆周率 |x| 函数的绝对值 ∪ 集合并 ∩ 集合交 ≥ 大于等于 ≤ 小于等于
≡ 恒等于或同余 ln(x) 自然对数 lg(x) 以2为底的对数 log(x) 常用对数 floor(x) 上取整函数 ceil(x) 下取整函数 x mod y 求余数 {x} 小数部分x - floor(x) ∫f(x)δx 不定积分 ∫[a:b]f(x)δx a到b的定积分 [P] P为真等于1否则等于0
∑[1≤k≤n]f(k) 对n进行求和,可以拓广至很多情况 如：∑[n is prime][n < 10]f(n) ∑∑[1≤i≤j≤n]n^2 lim f(x) (x->?) 求极限 f(z) f关于z的m阶导函数 C(n:m) 组合数,n中取m P(n:m) 排列数 m|n m整除n m⊥n m与n互质 a ∈ A a属于集合A #A 集合A中的元素个数
常用数学符号大全
常用数学符号大全 1、几何符号 ?ⅷⅶ????△ 2、代数符号 ⅴⅸⅹ～?????ⅵ? 3、运算符号 如加号（＋），减号（－），乘号（3或2），除号（÷或／），两个集合的并集（?），交集（?），根号（ⅳ），对数（log，lg，ln），比（：），微分（dx），积分（?），曲线积分（?）等。 4、集合符号
??ⅰ 5、特殊符号 ⅲπ（圆周率） 6、推理符号 |a| ??△ⅶ????±??ⅰ? ????↖↗↘↙ⅷⅸⅹ &; § ??←↑→↓??↖↗ ΓΔΘΛΞΟΠΣΦΧΨΩ
αβγδεδεζηθι κλ μνπξζηυθχψωⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ ⅰⅱⅲⅳⅴⅵⅶⅷⅸⅹ ⅰⅱⅲ?ⅳⅴⅵ? ⅶ?ⅷⅸⅹ???? ????????????? ???⊕?? ??℃ 指数0123：o123
7、数量符号 如：i，2+i，a，x，自然对数底e，圆周率π。 8、关系符号 如“＝”是等号，“?”是近似符号，“?”是不等号，“＞”是大于符号，“＜”是小于符号，“?”是大于或等于符号（也可写作“?”），“?”是小于或等于符号（也可写作“?”），。“?”表示变量变化的趋势，“?”是相似符号，“?”是全等号，“ⅷ”是平行符号，“?”是垂直符号，“ⅴ”是成正比符号，（没有成反比符号，但可以用成正比符号配倒数当作成反比）“ⅰ”是属于符号，“??”是“包含”符号等。 9、结合符号 如小括号“（）”中括号“［］”，大括号“｛｝”横线“—” 10、性质符号 如正号“＋”，负号“－”，绝对值符号“| |”正负号“±” 11、省略符号
如三角形（△），直角三角形（Rt△），正弦（sin），余弦（cos），x 的函数（f(x)），极限（lim），角（ⅶ）， ?因为，（一个脚站着的，站不住） ?所以，（两个脚站着的，能站住）总和（ⅲ），连乘（ⅱ），从n个元素中每次取出r个元素所有不同的组合数（C(r)(n) ），幂（A，Ac，Aq，x^n）等。 12、排列组合符号 C-组合数 A-排列数 N-元素的总个数 R-参与选择的元素个数 !-阶乘，如5！=534333231=120
