三角函数及解三角形知识点总结
三角函数及解三角形知识点
总结
-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意
一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么
sin ,cos y x r r αα=
=，()tan ,0y
x x
α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
2.三角函数在各象限的符号：
（一全二正弦，三切四余弦）
＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ －
sin α cos α tan α
3. 同角三角函数的基本关系式：
（1）平方关系：22221
sin cos 1,1tan cos αααα
+=+= （2）商数关系：sin tan cos α
αα
=
（用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换
4.三角函数的诱导公式
诱导公式（把角写成
απ
±2
k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）???
??=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ??
???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ
Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）???
????-=+=+α
απααπsin )2cos(cos )2sin(
5.特殊角的三角函数值
6.三角函数的图像及性质 sin y x = cos y x = tan y x =
图像
定义域 R R
,2x x k k Z ππ??≠+∈????
值域
[]1,1-
[]1,1-
R
最
值
当22
x k π
π=+
()
k Z ∈时，max 1y =；
当22
x k π
π=-()k Z ∈时，min
1y =-．
当()2x k k Z π=∈时，
max 1y =；当2x k ππ=+
()k Z ∈时，min 1y =-．
既无最大值也无最小值
周期性
2π 2π
π
度
0 30 45 60 90 120
135 150 180
?270
360
弧度
0 6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π 32
π 2π sin α
12 22 32 1
32 22 12 0 1 0 cos α
1 3
2 22 12
12- 22- 3
2
- 1- 0 1
tan α
33
1
3
无
3-
1- 3
3
-
0 无 0 函 数
性 质
7.函数sin()y A x ω?=+图象的画法：
①“五点法”――设X x ω?=+，令X ＝0，
3,,
,222
π
π
ππ求出相应的x 值，计算得
出五点的坐标，描点后得出图象； ②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
8.图像的平移变换：函数sin()y A x k ω?=++的图象与sin y x =图象间的关系：
要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图象，则向左或向右平移
应平移|
|?
ω
个单位 例：以sin y x =变换到4sin(3)3
y x π=+为例
sin y x =向左平移
3
π
个单位 （左加右减） sin 3y x π??
=+
??
?
横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变） sin 33y x π?
?=+ ??
?
纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） 4sin 33y x π??=+ ?
?
?
sin y x =横坐标变为原来的1
3
倍（纵坐标不变）()sin 3y x =
向左平移
9π个单位 （左加右减） sin 39y x π??=+ ???sin 33x π?
?=+ ??
?
纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）4sin 33y x π??=+ ?
?
?
注意：在变换中改变的始终是x 。
9、三角恒等变换
1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式： (1）βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ (2）βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- (3）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ (4）βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- (5）βαβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(-+=
+ ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-
(6）β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=
- ?
()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+
(7) sin cos a b αα+)α?+(其中,辅助角?所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,
sin tan b
a
???==
=
，该法也叫合一变形). (8)
)4tan(tan 1tan 1θπθθ+=-+ )4
tan(tan 1tan 1θπ
θθ-=+-
10、二倍角公式
（1）a a a cos sin 22sin =
（2）1cos 2sin 21sin cos 2cos 2
222-=-=-=a a a a a
（3）a
a
a 2tan 1tan 22tan -=
11. 降幂公式： （1）
22cos 1cos 2a a += （2） 22cos 1sin 2a
a -=
12. 升幂公式
（1）2
cos 2cos 12
α
α=+ （2）2
sin 2cos 12
α
α=-