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群论复习思考题

群论复习思考题

2006.12

1. 写出C 4v 对称性群的类、元素的阶及所有不变子群,并证明下述结论:

(1) C 4v 的不变子群H 的不变子群K 不一定是C 4v 的不变子群。

(2) C 4v 的不变子群的交集仍是C 4v 的不变子群。

2. 试由???? ??-0110和???

? ??00i i 生成一矩阵群。证明此群为8阶群,分五类,但与C 4v 不同构。 (提示:证明该矩阵群中四阶元有6个,而C 4v 中只有2个)

3. 若一群的元素均为2阶,证明它可以是4阶Abel 群。

4. (1)设a 2=b 3=(ab)2=e,由a ,b 生成的群为几阶群?列举两个与其同构的群的例子。

(2)若a ,b 乘积可对易,且a 2=b 3=e,证明a ,b 生成的群定是循环群。

5. 叙述同态核定理,并加以证明。

6. 若G 群是2n 阶的,H 为G 的n 阶子群,则H 必为G 的不变子群。其商群必为二阶循环群。

7. 若群G=H ?K ,试证明(1)商群G/H 与K 同构;(2)群G 的类数等于两因子群类数之积。

8. (1)证明有限群共轭类中所含元素数目也是群阶的因子。

(2)证明置换群S n 中属于同一配分的各种可能置换元素属于同一类。

9.(1)设a,b,c 为群元,试证 abc,bca,cab 同阶。

(2)证明下列循环积恒等式:

()()()()y b X a y Xb a ab =

10.证明在适当的基函数下,群G 可约表示的形式是

()()()()()()???

? ??=A D A X O A D A D 21

其中()()A D 1和()()2D A 分别是m 阶和n 阶方阵; ()A X 是n 行m 列的矩阵,而O 是m 行n 列的零矩阵。

(提示:采用行矢量基矢,()00,1,0,0 i i =? )

11.(1)在R 3空间中,平移用a T 表示。定义为a r r r T a

-==',求平移算符a J 的形式。 (2)绕z 轴的定轴转动()()2SO R ∈θ,其算符表示可以由OXY 平面线性变换求得。试求()θR 的表示。

12.叙述舒尔引理Ⅰ和Ⅱ,分别给出一种证明。利用舒尔引理导出群的不可约表示的正交关

系:

()()jk il G g ij lk n g g D g D δδδμγμαγαμα=

∑∈)()*( 13.给定两个基函数,2)(,)(2221xy r b y x r b =-= 构成二维空间()

()xy b y x a F 2222+-= ()R b a ∈,。

求3D 群在2F 上的诱导算符表示。

14.若在三维空间中给定三个独立的基矢()3,2,1=i a i ,置换群3S 的元素S 对i a

的作用是()s A i a =s a 。

按照这一方法写出3S 所有元素的表示矩阵。这种表示是否可约?如可约,它包含几个哪一类不等价不可约表示?

15.试用列表形式给出v C 5群的不可约表示特征标表。并加简要推导和说明。

16.一个具有v C 4对称性的正四棱锥体系,沿一组相对面方向受到压缩,压缩后对称性群是v C 2,给出v C 4和v C 2的不可约表示特征标表,并利用其说明该体系受扰动前后的能级分裂情况。

17.对于幺正不可约表示)(μD ,)(λD ,)(γD ,证明直积表示)()(γμD D ?,)()(λγD D ?和

)()(λμD D ?中分别包含不可约表示)*(λD ,)*(μD ,)*(γD 的次数相等。证明群的正则表示中包含其所有不可约表示,且每个不可约表示出现的次数等于该不可约表示的维数。

18.SU(2)群的元素可表示为???

?

??-**a b b a ()1**=+bb aa ,证明 a 的实部相同的元素属于同一类。

*19. 试用SO(3)与SU(2)的对应关系()??

? ??≡-+2)(2)()

(')

('2sin ,2cos ,,γαβαββγβαi i j m m j m m e e D D 由()b a D j ,)( 给出转动矩阵元)('j m m D 的表达式。

20. 求3D 群的两个2维表示直积的约化C-G 系数。

21. 用对称化基函数法将D 3群在 F 3={ f(r

)=ax 2+by 2+c.2xy| a,b,c ∈R}上的诱导算符群的表

示T 约化(提示: D 3群的3维表示一定可约)。

22.采用Euler 角方法,写出SO(3)群元素()γβα,,R 的表示矩阵。今有一定轴转动()()321,,e e e C k

?=(231,,e e e ), 求转轴k 的取向和转角?。 23.写出反映正四面体完全对称性的d T 群所包含的所有点操作,它分为几类?求相应的不可约表示特征标。

24.求nv C 群的不可约表示及相应的表示的特征标。

25.求立方体转动对称O 群的二个三维不可约表示的表示矩阵和特征标。(提示:用对称化

基函数)

26.叙述晶体转轴制约定理,并证明之。

*27.空间平移矢量()3,2,1=s a s ,相应方向上的格点数为s N 。求平移群的不可约表示)()(k n T ,

这种表示有多少个?各是几维的?

28.写出6243,,H C CH NH 分子的对称点操作群。

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的杨算符。试验证它们是原始幂等元。 29.写出标准杨盘

30.用标准杨盘(表)方法求置换群4S 的[]1,3不可约表示中元素(12),(23),及(14)的

表示矩阵。

31.用阶梯法求以下不可约表示的类特征标。

(1)[]2,4)2(3

χ (2)[]2221,3,4)1,2,3(χ 32.利用特征标表验证下列直积表示关系

[][][]1,211,23

D D D =?

[][][]2

41,211,3D D D =? 推广到一般情况。试论证:两个不可约表示的直积)()(γμD D

?仍为不可约表示的条件是什么?

33.求置换群3S 的不可约表示[]1,2D

的自身外积[]1,2D ⊙[]1,2D 的约化。并用表示维数加以验

证。

34.(1)验证杨图等式

⊙ = ⊙ ⊙ - ⊙

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(2)计算外积 ⊙ ,并验证维数。

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(3)将下列外积表示成一系列与一维表示之外积的代数和

*35. 分别计算S 6群所有(K-1,K)对换在下列两个不可约表示中的实正交矩阵形式。并计算它

们之间的相似变换矩阵X 。

]3,3[]1[]2[63?= (提示:]3,3[]1[X ]2[X 6

31?=- 结果:???????? ?

?--=0000100010001000100

010000X ) *36. GL(5,C)群的4秩张量空间可约化为哪些不变的张量子空间,其子空间的维数各为多

少?(用Robinson 公式)。(提示: 625=5+70+315+135+100)

*37. 由普通张量4321i i i i T , 写出[3,1]对称形张量具体形式。

*38. 约化GL(3,C)群的直积表示]1,3[]1,4[D D ?,并核对维数。

提示:[7,2], [7,12], 2?[6,2,1] 2?[5,3,1], [4,4,1], [5,2,2] 而[6,13], [5,14], [5,2,12], [4,2,13], [4,22,1] 不属于约化表示。