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2020高考理科数学模拟试卷及答案

理科数学

本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．参考公式：

样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差锥体体积公式

V =3

1Sh 其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高

柱体体积公式球的表面积、体积公式

V =Sh

24S R =π，

343

V R =

π 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设全集

U =，

}

0)3(|{<+=x x x M ，

}1|{-<=x x N ，

则图中阴影部分表示的集合为 A ．}03|{<<-x x B ．}1|{-≥x x

C ．}3|{-≤x x

D ．}01|{<≤-x x （第1题图）

2.若

11a i i i

+=-（i 为虚数单位），则a 的值为 A. i B. i - C. 2i - D. 2i

3.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12

y x =±，则该双曲线的离心

率等于

A ．5

B ．

5 C ．

5 D ．4

4.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，

n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253

S S S S --的值为

A ．2

B ．3

C ．2-

D ．3- 5.下列判断不正确的是 A ．若)25.0,4(~B ξ，则1=ξE

B ．命题“2,0x R x ?∈≥”的否定是“200,0x R x ?∈<”

C ．从匀速传递的产品生产线上，检查人员每隔5分钟从中抽出一件产品检查，这样的抽样是系统抽样

D ．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，这组数据的中位数与众数相等 6.函数()()sin 0,2f x x πω?ω?

=+><

的最小正周期是π，若其图象向右平移6

个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象 A ．关于点,012π

???

对称 B ．关于直线12x π=对称

C ．关于点)0,6

(π对称 D ．关于直线6

π=x 对称

7．设点（,a b ）是区域40

0x y x y +-≤??>??>?

内的任意一点，则函数2()41f x ax bx =-+

在区间[1,)+∞上是增函数的概率为

A B C

D 8.如图，在棱长均为2的四棱锥P ABCD -中，点E

为

PC 的中点，则下列命题正确的是（）

A ．

BE ∥平面PAD ，且直线BE 到平面PAD 的距离

B ．BE ∥平面PAD ，且直线BE 到平面PAD 的距离

C.BE 与平面PAD 不平行，且直线BE 与平面PAD 所成的角大于30 第8题图

D.BE 与平面PAD 不平行，且直线BE 与平面PAD 所成的角小于30 9．称(,)||d a b a b =-为两个向量,a b 间的“距离”.若向量,a b 满足： ①||1b =； ②a b ≠； ③对任意的t R ∈，恒有(,)(,)d a tb d a b ≥．则以下结论一定成立的是

A ．a b ⊥

B ．()b a b ⊥-

C ．()a a b ⊥-

D ．()()a b a b +⊥- 10．已知抛物线M ：24y x =

，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.

过点(1,0)的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 有且只有三条的必要条件是

A ．(0,1]r ∈

B ．(1,2]r ∈

C ．3(,4)2

r ∈ D ．3[,)

r ∈+∞

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

11．若4

(4),0(),(2012)cos ,0x

f x x f x f tdt x π

->??=?≤???则

12．若某程序框图如图所示，

13．在O 点测量到远处该物体位于P 点，一分钟90，再过两分钟后，该物体位于R 点，且30QOR ∠=，则tan OPQ ∠的值为．

14．在2015(2)x -的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，则当2x =时，S 等

于．

15．已知a 为[0,1]上的任意实数，函数1()f x x a =-，22()1f x x =-+，

323()f x x x =-+．

则以下结论：

①对于任意0∈x R ，总存在)(x ，)(x ({,}i j ?≠{

1,2,3})，使得00()()0i j f x f x ≥； ②对于任意0∈x R ，总存在)(x ，)(x ({,}i j ?≠{

1,2,3})，使得00()()0i j f x f x ≤； ③对于任意的函数

)

(x ，

)(x ({,}i j ?≠{

1,2,3})，总存在0∈

x R

，使得

00()()0i j f x f x >；

④对于任意的函数

)

(x ，

)(x ({,}i j ?≠{

1,2,3})，总存在0∈

x R

，使得

00()()0i j f x f x <．

结束(第12题图)

其中正确结论的序号是．（填上你认为正确的所有答案序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分13分）

甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：

（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；

（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．

17．（本小题满分13分）

如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD 相交于点O，若0

∠

∠DBF

DAB，且FC

FA=. （Ⅰ）求证：FC∥∥平面EAD；E

A B C

（Ⅱ）求二面角A FC B

--的余弦值.

（第17题图）

18．（本小题满分13分）

设m R

∈，函

（Ⅰ）求()

f x的

（Ⅱ）设锐角△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，

，求()

f A的取值范围．

19．（本小题满分13分）

已知(2, 0)

A-，(2, 0)

B为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C

上异

于

?面积的最大值为

A，B的动点，且APB

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，

试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

20．（本小题满分14分）已知函数2

()1

x f x x +=+，()ln()g x x x p =--. （Ⅰ）求函数

()f x 的图象在点11

(,())33

f 处的切线方程；

（Ⅱ）判断函数()g x 的零点个数，并说明理由；（Ⅲ）已知数列{}n a 满足：03n a <≤，*n N ∈，且1220153()2015a a a +++=．若

不等式122015()()()()f a f a f a g x +++≤在(,)x p ∈+∞时恒成立，求实数p 的最小

值.

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵11a M b ??=

???的一个特征值1所对应的特征向量为10??

???

. （Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵；

（Ⅱ）求曲线C ：22221x xy y ++=在矩阵M 对应变换作用下得到的新的曲线方程.

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x t

y t

=??

=+?（t 为参数）．在

极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以

x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为)4

ρθ=+.

（Ⅰ）将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 和曲线C 相交于A 、B 两点，求AB 的长.

（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲

已知正数a，b，c满足2226

a b c

++=．

（Ⅰ）求2

a b c

++的最大值M；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式1||

x x m M

+++≥恒成立，求实数m的取值范围．

参考答案

一、选择题：

二、填空题：

11.

12. 31

13.

14.4029

215. ①④

选择题10简解：依题意可设直线l ：1x my =+，（1）代入24y x =，得

440y my --=，△=2

16(1)m +，把（1）代入

22)1(r y x =+-设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，

||||AC BD =，即1324||||y y y y -=-，

若1324()y y y y -=--，则1234y y y y +=+，0m =.

即22(1)r m =+，故当2r >时，l 有三条．从而本题应该选D. 三、解答题：

16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，

由图可

知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更

好． ……………… 5分（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为

0,1,2．

1144115516(0)25C C P X C C ===

，1

115528(1)25

C P X C C ===， 11

5511

(2)25

P X C C ==

=，…………………10分

随机变量X 的分布列是：

1680122525255

EX =?

+?+?=．…………………………………………………13分

17.（I ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以BC AD ∥，BF DE ∥.

8 7 5 6 9

6 甲

乙

2 5

8 5

因为FBC AD 平面?，FBC D 平面?E ，所

以

AD 平面∥，

FBC DE 平面∥ (2)

分

又AD DE D ?=，EAD AD 平面?，EAD DE 平面?，所以EAD 平面∥平面FBC 又FBC FC 平面?，所

以

FC 平面∥…………………………………………………………………

………4分

（II ）连接FO 、FD ,因为四边形BDEF 为菱形，且060=∠DBF ，所以DBF ?为等边三角形，因为O 为BD 中点.所以BD FO ⊥，又因为O 为AC 中点,且FC FA =，所以FO AC ⊥ 又

AC BD O

?=，所

以

ABCD FO 平面⊥ (6)

分

由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O - 设

=AB ，因为四边形

ABCD

为菱形，

060=∠DAB ，

则2=BD ，1=OB ，3==OF OA ，所以

)3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -…8分

所以)0,1,3(),3,0,3(

==→

→

CB CF 设平面BFC 的一

个法向量为),,(z y x n =→

，则有

?????=?=?→→→→0

0CB n CF n ,所以

?=+=+0

33y x z x ，令

=x ，则

)1,3,1(--=→

n …………………………………………………………………

10分

因为AFC 平面⊥BD ，所以平面AFC 的一个法向量为)0,1,0(OB =→

. 因为二面角B FC --A 为锐二面角，设二面角的平面角为θ，

则5

155

3,cos cos =

??=

><=→

→

→OB

n OB

n OB n θ. 所

以二面角

FC --A 的余弦值为

15…………………………………………………13分

18．解：（I

2分

…………………………………4分

∴

分

，k Z ∈

∴

()

f x 的单调递减区间为

：

，

k Z

∈………………………………7分

（II

…………………………………………………………………………

…………………8分

即2cos cos cos a B c B b C -=，由正弦定理得：

2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，

2sin cos sin()sin A B B C A =+=，

分 ∵

△

ABC

锐角三角形，

∴

，

12分

的取值范围为

(1,2]

． …………………………………………13分

19.解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C 的方程为22

221(0)x y a b a

+=>>，(,0)F c ．

由题意知解得b =1c =．故椭圆

的方程为

143

x y +=.…………………………………………………………4分

（

Ⅱ

）

以

为直径的圆与直线

相

切．…………………………………………………5分证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.

则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．

由22

(2),

3y k x x y =+???+=??得2222(34)1616120k x

k x k +++-=． ?????2

221

2, .

a b a a b c ??===

设点P 的坐标为00(,)x y ，则202

1612

234k x k --=+．所以2

6834k x k -=

+，002

12(2)34k y k x k =+=

+． ……………………………

8分

因为点F 坐标为(1, 0)，

当12

k =±时，点P 的坐标为3(1, )2

±，点D 的坐标为(2, 2)±.

直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=与直线PF 相

切．

……………………………………………………………………………………………9分

当12

k ≠±时，则直线PF 的斜率02

04114PF y k

k x k =

--. 所

以直线

的

方程

为

4(1)14k

y x k

--．………………………………………10分

点E 到直线PF

的距离d =

322

228142||14|14|

k k k k k k +-==+-．又因为||4||BD k = ，所以1||2

d BD =．故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．

综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．………13分

20. 解:（Ⅰ）222222

(1)2(3)61

'()(1)(1)x x x x x f x x x +-+--+==++，……………………………

1分

21199'()1310(1)9

f --+∴==-+，又1

()33f =，

所以函数()f x 在13x =的切线方程为91

3()103

y x -=--，即

933

1010

y x =-

+.……………………………………………………………………4分（Ⅱ）

'()1()x p g x x p x p x p

--=-

=>-- 当(,1)x p p ∈+时，'()0,g x <所以()g x 在(,1)p p +单调递减；当(1,)x p ∈++∞时，'()0,g x >所以()g x 在(,1)p p +单调递增；

所

以

x p =+时

，

min ()(1)1g x g p p =+=+ (5)

分

①当10p +>，即1p >-时，()g x 的零点个数为0； ②当10p +=，即1p =-时，

()g x 的零点个数为

1；

③当10p +<即1p <-时，此时(1)0g p +<，(0)ln()0g p =-->，

()ln 0p p p p g p e p e e e +=+-=>（或,()x p g x →→+∞）

因为()g x 在定义域上连续，由零点存在定理及()g x 的单调性，

知

()g x 在(,1)p p +有且只有一个零点，()g x 在(1,)p ++∞有且只有一个零点，

所以1p <-时，()g x 的零点个数为

综上所述，当1p <-时，()g x 的零点个数为

2；1p =-时，()g x 的零点个

数

为

；

p >-时，

()

g x 的

零

点

个数为

0. …………………………………………………………………9分

(Ⅲ)

1220153()2015,a a a ++

+=当12201513a a a ==

时，有1

()33

f =. 所以1220151

()()()2015()60453

f a f a f a f ++

+=?= (10)

分

接下来证明:122015()()()6045f a f a f a +++≤.

由(I)知，函数

3()1x f x x +=

+在13x =

的切线方程为933

1010

y x =-+.

而当03x <≤时，2

239331()(3)()0110103

x f x x x x x +=

≤-+?--≤+成立. 所以，当03,n a n N *<≤∈时,有9333()(113)101010

n n n f a a a ≤-+=- (12)

分

所以，1220151220153

()()()[1120153()]6045,

f a f a f a a a a +++≤

?-+++=

所以，当

1220151

a a a ==

时，122015()()()f a f a f a +++的最大值为6045.

再由(II)知，min ()1,g x p =+60451,p ∴≤+得6044.p ≥

所

以

的最小值

为

6044 (14)

分

21．解：（1）（Ⅰ）依题意，1111100a b ??????=? ??? ???????，10a b ????

= ? ?????

，

所以1a =，0b =.…2分所

以

1101M ??

= ?

.因为

det 1

M =，所以

11101M --??

= ???

.………………………………4分

（Ⅱ）曲线C ：22221x xy y ++=上任意一点(,)x y 在矩阵M 对应变换作用下

得到'

(,)x y ，则''1101x x y y ??????= ? ??? ???????，得''x x y y y ?=+??=??，即'''x x y y y

?=-??=??，

代入方程22221x xy y ++=得'2'2()()1x y +=.

因此，曲线C 在矩阵M 对应变换作用下得到的新的曲线方程为

221x y += (7)

分

（2）（Ⅰ）由12x t y t

=??

=+?，得直线

的直角坐标方程为：

210x y -+=.………………2分

由

)4π

ρθ=+，得cos cos sin )2sin 2cos 44

ρθθθθ

=+=+，

22sin 2cos ρρθρθ

=+，得曲线C 的直角坐标方程为：22(1)(1)2x y -+-= (4)

分

（Ⅱ）圆心

(1,1)到直线l 的距离

d ==

圆的半径R =

||5

AB ===.………………………………………………

……7分

（3）（Ⅰ）由柯西不等式，2222222()(121)(2)a b c a b c ++++≥++，即

有

(2a b +

+，……………………………………………………………

………2分

又a 、b 、c 是正数，

∴26a b c ++≤即2a b c ++的最大值为6，当且仅当1

a b c ==，即当

1,2

a c

b ===时取得最大

值．……………………………4分

（Ⅱ）因为1|||1()||1|x x m x x m m +++≥+-+=-，由题意及（Ⅰ）得，16m -≥，得7m ≥或5m ≤-.

综上，实数m的取值范围为7

m≥或m≤-.……………………………………………7分

（理科数学）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

（满分150分考试时间120分钟）

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)

11. 12. 13.

14. 15.

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

2018年高三数学模拟试题理科

黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

高三理科数学高考模拟检测卷及答案

届山东省德州市高三第一次练兵（理数） 1. i 是虚数单位， ) 1(1 3+-i i i =（） (A)-1 (B)1 (C)- i (D) i 2. 已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 3. 已知函数2log ,0,()2, 0.x x x f x x >?=?≤?若1 ()2f a =，则a =（） A ．1- B ． C ．1- 或 D ．1 或 4. 统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数与优秀率分别为． A 800 20% B 980 20% C 980 10% D 800 10% 5．命题p ：若1||1||||,>+>+∈b a b a R b a 是，则的充分不必要条件；命题q ：函数),3[)1,(2|1|+∞?--∞--=定义域是x y ，则（） A ．“p 且q ”为假 B ．“p q 或”为真 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真 6．已知正四棱锥S-ABCD 的三视图如下，若E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成角的余弦值为（） 2 2 2

(A) 3 1 (B) 32 (C) 33 (D) 3311 7.若实数,x y 满足1|1|ln 0y x --=,则y 关于x 的函数的图象大致是( ). 8、、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题： ① 若γαβα//,//，则γβ//; ②若αβα//,m ⊥，则β⊥m ; ③ 若βα//,m m ⊥，则βα⊥; ④若α?n n m ,//，则α//m . 其中真命题的序号是 ( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 9. 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2 y x =和曲线y x = 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）（A ） 12 （B ）1 3 （C ）1 4 （D ）16 10. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息，设定原信息为 }{),2,1,0(1,0,210=∈i a a a a i 传输信息为,12100h a a a h 其中201100,a h h a a h ⊕=⊕=，⊕运算规则为.011,101,110,000=⊕=⊕=⊕=⊕例如原信息为111，则传输信息为01111，传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信息出错，则下列接受信息一定有误的是（） (A)11010 (B)01100 (C)10111 (D)00011 11．已知点F 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（） A ．（1，+∞） B ．（1，2） C ．（1，1+2） D ．（2，1+2） 12.令3tan ,sin ,cos ,|04 442a b c π πππθθθθθθθθθ?====- << ≠≠≠?? 且且则如图所示的算法中，给θ一个值，输出的为θsin ，则θ的范围是（） O 1 x y O 1 x y O 1 x y 1 O 1 x y 1 A. B. C. D. 2

2020-2021高考理科数学模拟试题

高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<