安徽省淮南第二中学2020-2021学年高二上学期文科数学第八次周练试卷含答案
2020年淮南二中高二上学期文科数学第八次周练
一、单选题
1．曲线221259x y +=与曲线22
1(9)259x y k k k
+=<--的( )
A ．长轴长相等
B ．短轴长相等
C ．离心率相等
D ．焦距相等
2．双曲线22
14y x m
-=的离心率为32，则其渐近线方程是（ ）
A ．5
4
y x =±
B ．45
y x =±
C ．52
y x =±
D ．25
5
y x =±
3．设1F ，2F 是双曲线2
2
2:1y C x b
-=的两个焦点，P 是C 上一点，若
126PF PF +=，且12PF F △的最小内角为30，则双曲线C 的焦距为（ ）
A ．2
B ．22
C ．3
D ．23
4．已知()30A -,
，B 是圆()2
2
41x y +-=上的点，点P 在双曲线22
145
x y -=的右支上，则PA PB +的最小值为（ ） A ．9
B ．254+
C ．8
D ．7
5．已知双曲线()22
22=10,0x y a b a b
->>的左?右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线
的右支上，且124PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．5,23
?? ???
B ．5,3??+∞????
C ．(]
1,2 D ．51,3
?? ???
6．如图，焦点在x 轴上的椭圆22213
x y
a +=（0a >）的左、右焦点
分别为1F ，2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与
y 轴的正半轴交于A 点，1APF ?的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，
若1
4FQ =，则该椭圆的离心率为（ ） A ．
1
4
B ．
12
C ．
7 D ．
13
二、填空题
7．双曲线:C 22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为()3,0F ，且点F 到双曲线C 的一条
渐近线的距离为1，则双曲线C 的离心率为 .
8．一个动圆与圆22
1:(3)1C x y ++=外切，与圆22:(3)81C x y +-=内切，则这个
动圆圆心的轨迹方程为 .
三、解答题
9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 的焦点为(0,、，实轴长为
（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且恰好为线段MN 的中点，求线段MN 长度.
10. 已知点(0,1)P 为椭圆C ：22221(0)x y
a b a b
+=>>上一点，且直线220x y +-=过
椭圆C 的一个焦点． （1）求椭圆C 的方程．
（2）不经过点(0,1)P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，记直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，若122k k +=-，直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．
参考答案
1．D
解：曲线22
1259
x y +=表示焦点在x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦
距为8．
曲线22
1(9)259x y k k k
+=<--表示焦点在x 轴上，长轴长为，短轴长为
，焦距为8．
对照选项，则D 正确． 2. D
双曲线22
14y x m
-=，即2,a b ==c =，
由离心率为
32，所以322
c a ==， 解得5m =，
所以双曲线22
145
y x -=，
则渐近线方程为
a y x x x
b =±==， 3．D
因为1F ，2F 是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上一点，且满足126PF PF +=， 不妨设P 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知
1222PF PF a -==，
所以14PF =，22PF =，因为
a c <，1a =，所以1222F F PF >=， 所以2PF 为12PF F △最小边，12PF F △的最小内角1230PF F ∠=?， 由余弦定理可得，2
22
2
121121122cos PF F F PF F F PF PF F =+-∠，
即24416224c c =+-??230c -+=，c =
所以12223F F c ==.
4．C
如图所示：设圆心为C ，双曲线右焦点为()3,0A '，且1PB PC ≥-，
4PA PA '=+，
所以338PB PA PC PA A C ''+≥++≥+=，当且仅当A '，B ，C 三点共线时取得等号． 5．D
因为点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 又124PF PF =，所以232PF a =，即223a
PF =，则183
a PF =， 因为双曲线中，1212+≥PF PF F F ， 即
1023a c ≥，则5
3c a ≤，即53
e ≤， 又双曲线的离心率大于1，所以5
13
e <≤. 6．D
由椭圆定义可得122PF PF a +=，即122QF QP PF a ++=，因为PT PQ =，所以
122QF TP PF a ++=，即21224TF a QF a =-=-，又112SF QF TF ==，故
244a -=，也即2a =，由于2234313b c =?=-=，故椭圆的离心率为
13
c e a =
=
， 7. 32
4
c e a =
=
因为双曲线的右焦点为()3,0F ，即3c =，
双曲线22
221x y a b
-=的渐近线方程为0bx ay ±=；
又点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1， 所以
22
31b b a =+，即
31b
c
=，所以1b =，则2222a c b =-=， 因此32
4
c e a =
=
.
8. 225
1162x y += 设动圆半径为r ，圆心为M ，根据题意可知，2(0,3C ）和1(0,3C -），
1||1+MC r =，2||9MC r =-，12|C |3(3)6C =--=
12||+||91+106MC MC r r =-+=>，故动圆圆心的轨迹为焦点在y 轴上椭圆，
且焦点坐标为2(0,3C ）和1(0,3C -），其中210,5a a ==, 122||6,3c C C c === ， 所以222=25916b a c -=-=，
故椭圆轨迹方程为: 225
1162x y +=，
9.（1）双曲线C
的焦点为(0,
、
，实轴长为
，则a =
c =222321b c a =-=-=，
∴双曲线C 的标准方程2212
y x -=； 6分 （2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，点()1,1Q 恰好为线段MN 的中点，即有
122x x +=，122y y +=，
又22
112222
121
2
y x y x ?-=????-=??，两式相减可得121212121()()()()2y y y y x x x x -+=-+，
∴
12
12
2y y x x --=，
∴直线l 的斜率为2k =，其方程为12(1)y x -=-，即21y x =-， 12
分
由22
2122y x y x =-??-=?
，即2
2410x x --=，可得1212x x =-，
则MN === 18分
10.（1）点(0,1)P 为椭圆C ：22221(0)x y
a b a b
+=>>上一点，
则
21
1b
=，解得1b =， 直线220x y +-=过椭圆C 的一个焦点， 令0y =，可得2x =，即2c =， 所以222145a b c =+=+=，
所以椭圆C 的方程为2
215
x y +=.
6分
（2）当直线l 的斜率不存在时，
设()00,A x y ，()00,B x y -，
（0x 且00x ≠），
则001200
11
2y y k k x x ---+=+=-，解得01x =，直线恒过点()1,1-； 8分
当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx m =+， 直线与椭圆的交点()11,A x y ，()22,B x y ，
联立方程22
15
y kx m x y =+???+=??，消y 可得()222
1510550k x kmx m +++-=， 则1221015km x x k -+=+，2122
55
15m x x k
-=+， 12分
所以()()1221
12121212
11112kx m x kx m x y y k k x x x x +-++---+=
+==-， 整理可得()()()12122210k x x m x x ++-+=， 14分
所以()()2221111515km m m k k k
--+?=++， 即()()110m k m -++=，
因为直线l 不过点(0,1)P ，所以1m ≠， 所以10k m ++=，即1m k =--， 直线()111y kx m kx k k x =+=--=--， 当1x =时，则1y =-，
所以直线恒过定点()1,1- 18分