安培环路定理

安培环路定理

安培环路定理的严格证明(缩略图)

在稳恒磁场中，磁场强度H沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和。这个结论称为安培环路定理（Ampere circuital theorem）。安培环路定理可以由毕奥－萨伐尔定律导出。它反映了稳恒磁场的磁感应线和载流导线相互套连的性质。

目录

按照安培环路定理，环路所包围电流之正负应服从右手螺旋法则。

安培环路定理应用

如果闭合路径l包围着两个流向相反的电流I1和I2（如左图所示），这在下式中，

按图中选定的闭合路径l 的绕行方向，B矢量沿此闭合路径的环流为如果闭合路径l包围的电流等值反向（如右图所示），或者环路中并没有包围电流，则：

安培环路定理的证明(严格证明,大图见参考资料的链接)

编辑本段安培环路定理的证明（不完全证明）

以长直载流导线产生的磁场为例，证明安培环路定理的正确性。

安培环路定理应用

在长直载流导线的周围作三个不同位置，且不同形状的环路，可以证明对磁场中这三个环路，安培环路定理均成立。

取对称环路包围电流

在垂直于长直载流导线的平面内，以载流导线为圆心作一条半径为r 的圆形环路l，

则在这圆周上任一点的磁感强度H的大小为

其方向与圆周相切．取环路的绕行方向为逆时针方向，取线元矢量dl，则H与dl间的夹角，H沿这一环路 l 的环流为

式中积分是环路的周长。

于是上式可写成为

从上式看到，H沿此圆形环路的环流只与闭合环路所包围的电流I 有关，而与环路的大小、形状无关。

取任意环路包围电流

在垂直于长直载流导线的平面内，环绕载流直导线作一条如下图所示的任意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。

在环路上任取一段线元dl，载流直导线在线元dl处的磁感强度B大小为

H与dl的夹角为，则H对dl的线积分为

直导线中心向线元的张角为，则有，所以有

可见，H对dl的线积分与到直导线的距离无关。

那么B对整个环路的环流值为

上述计算再次说明H的环流值与环路的大小、形状无关。

取任意环路不包围电流

在垂直于长直载流导线的平面内，在载流直导线的外侧作一条如下图所示的任

安培环路定理应用

意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。

以载流直导线为圆心向环路作两条夹角为的射线，在环路上截取两个线元和。和距直导线圆心的距离分别为和，直导线在两个线元处的磁感强度分别为和。从上图可以看出，而。利用安培环路定理的证明之二的结论可知

结论

所以有

从载流直导线中心O出发，可以作许多条射线，将环路分割成许多成对的线元，磁感强度对每对线元的标量积之和，都有上式的结果，故即环路不包围电流时，B的环流值为零。

安培环路定理反映了磁场的基本规律。和静电场的环路定理相比较，稳恒磁场中B 的环流，说明稳恒磁场的性质和静电场不同，静电场是保守场，稳恒磁场是非保守场。

编辑本段安培环路定理的应用

利用安培环路定理求磁场的前提条件：如果在某个载流导体的稳恒磁场中，

安培环路定理应用

可以找到一条闭合环路l，该环路上的磁感强度B大小处处相等，B的方向和环路的绕行方向也处处同向，这样利用安培环路定理求磁感强度B的问题，就转化为求环路长度，以及求环路所包围的电流代数和的问题，即利用安培环路定理求磁场的适用范围：在磁场中能否找到上述的环路，取决于该磁场分布的对称性，而磁场分布的对称性又来源于电流分布的对称性。因此，只有下述几种电流的磁场，才能够利用安培环路定理求解。

1.电流的分布具有无限长轴对称性

2.电流的分布具有无限大面对称性

3.各种圆环形均匀密绕螺绕环

编辑本段利用安培环路定理求磁场的基本步骤

1.首先用磁场叠加原理对载流体的磁场作对称性分析；

2.根据磁场的对称性和特征，选择适当形状的环路；

3.利用公式（1）求磁感强度。

编辑本段长直载流螺线管内的磁场

简介

用磁场叠加原理作对称性分析：可将长直密绕载流螺线管看作由无穷多个共轴

安培环路定理应用

的载流圆环构成，其周围磁场是各匝圆电流所激发磁场的叠加结果。在长直载流螺线管的中部任选一点P，在P点两侧对称性地选择两匝圆电流，由圆电流的磁场分布可知，二者磁场叠加的结果，磁感强度B的方向与螺线管的轴线方向平行。

由于长直螺线管可以看成无限长，因此在P点两侧可以找到无穷多匝对称的圆电流，它们在P点的磁场迭加结果与上图相似。由于P点是任选的，因此可以推知长直载流螺线管内各点磁场的方向均沿轴线方向。磁场分布如下图所示。

从上图可以看出，在管内的中央部分，磁场是均匀的，其方向与轴线平行，并可按右手螺旋法则判定其指向；而在管的中央部分外侧，磁场很微弱，可忽略不计，即H=0．

利用安培环路定理可以解得螺线管内的磁感强度为

具体解的过程

根据长直载流螺线管中段的磁场分布特征，可以选择如下图所示的矩形环路及绕行方向。

则环路ab段的dl方向与磁场B的方向一致，即；环路bc段和da段的dl方向与磁场B的方向垂直，即B·dl =0；环路cd段上的。于是，沿此闭合路径l，磁感强度B的环流为:

因为ab段的磁场是均匀的，可以从积分号中提出，则上式成为:

设螺线管上每单位长度有n匝线圈，通过每匝的电流是I，则闭合路径所围绕的总电流为nI，根据右手螺旋法则，其方向是正的。按安培环路定理，有:

注意对于绕得不紧的载流螺线管，其磁场的分布就不是如此。

对于绕得不紧的均匀载流螺线管，由下图可以看到，在靠近导线处的磁场和一条长直载流导线附近的磁场很相似，磁感线近似为围绕导线的一些同心圆。管内、外的磁场是不均匀的，仅在螺线管的轴线附近，磁感强度B的方向近乎与轴线平行。

编辑本段均匀密绕螺绕环的磁场

简介

对于如图所示的均匀密绕螺绕环，由于整个电流的分布具有中心轴对称性，因而磁场的分布也应具有轴对称性，因此，利用安培环路定理可以解得均匀密绕螺绕环内部的磁场分布为

具体解的过程

将通有电流I 的矩形螺绕环沿直径切开，其剖面图如下所示。

在环内作一个半径为r 的环路，绕行方向如图所示。环路上各点的磁感强度大小相等，方向由右手螺旋法可知：与环路绕行方向一致。磁感强度B沿此环路的环流为

环路内包围电流的代数和为。根据安培环路定理，有:

对均匀密绕螺绕环，环上的线圈绕得很密，则磁场几乎全部集中于管内，在环的外部空间，磁感强度处处为零，即B =0。

如果将长直载流螺线管对接起来，就形成了圆形截面的均匀密绕细螺绕环，由安培环路定理同样可以解得其内部的磁场和长直载流螺线管内部的磁场相同，仍为。

编辑本段无限大均匀载流平面的磁场

简介

电流的分布具有无限大面对称性的载流导体，包括无限大均匀载流平面和无限长的大均匀载流平板。

对无限大的载流平面产生的磁场，同样可以进行对称性分析，

如上右图所示，可以将无限大载流平面的磁场看成是由无穷多个平行的长直载流导线的磁场叠加而成。每一对对称的直导线在P点的磁场叠加的结果是：垂直于磁场的分量都相互抵消，只剩下平行于磁场的分量，故载流平面产生的磁场，其方向与平面平行，与平面电流成右手螺旋方向。

利用安培环路定理解得磁场的分布。如果无限大载流平面上的电流密度是j，那么它在周围空间产生的磁场是一个均匀磁场，

其表达式是

具体解的过程

根据无限大载流平面磁场的分布，可以选择如图所示的矩形环路及绕行方向。

环路上ab 段和cd 段上的方向与磁场B 的方向一致，即；

环路bc段和da 段的方向与磁场B的方向垂直，即。

于是，沿此闭合路径l，磁感强度B 的环流为：

环路所包围的电流为，于是根据安培环路定理有：

扩展阅读：

?1

<<电动力学>> 虞福春郑春开编著北京大学出版社

?2

安培环路定理的证明(严格证明): https://www.sodocs.net/doc/231856465.html,/%B0%B2%C5%E0%BB%B7%C2%B

7%B6%A8%C0%ED/pic/item/53e9cf460b0ad6146b63e532.jpg?v=1

?3

https://www.sodocs.net/doc/231856465.html,/1dxwl/d关于毕奥、沙法尔定律的颠覆性研究，是朱

昱昌关于电磁学基础理论研究的新成果。朱昱昌的《关于螺线管内轴线磁场的探讨》、《关

于安培环路定理的探讨》）、《试论螺线管结构特征和磁场分布》、《试论螺线管的隧道屏

蔽效应》等4篇论文，分析透彻，反例鲜明而具体，读后会让人耳目一新，茅塞顿开！请快

快访问

?4

新浪博客：http//https://www.sodocs.net/doc/231856465.html,/yuzheyiding ?5

?6

3pdx/11.3.htm

安培环路定理

安培环路定理 安培环路定理的严格证明(缩略图) 在稳恒磁场中，磁场强度H沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和。这个结论称为安培环路定理（Ampere circuital theorem）。安培环路定理可以由毕奥－萨伐尔定律导出。它反映了稳恒磁场的磁感应线和载流导线相互套连的性质。 目录

按照安培环路定理，环路所包围电流之正负应服从右手螺旋法则。 安培环路定理应用 如果闭合路径l包围着两个流向相反的电流I1和I2（如左图所示），这在下式中， 按图中选定的闭合路径l 的绕行方向，B矢量沿此闭合路径的环流为如果闭合路径l包围的电流等值反向（如右图所示），或者环路中并没有包围电流，则： 安培环路定理的证明(严格证明,大图见参考资料的链接) 编辑本段安培环路定理的证明（不完全证明） 以长直载流导线产生的磁场为例，证明安培环路定理的正确性。 安培环路定理应用 在长直载流导线的周围作三个不同位置，且不同形状的环路，可以证明对磁场中这三个环路，安培环路定理均成立。 取对称环路包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内，以载流导线为圆心作一条半径为r 的圆形环路l， 则在这圆周上任一点的磁感强度H的大小为 其方向与圆周相切．取环路的绕行方向为逆时针方向，取线元矢量dl，则H与dl间的夹角，H沿这一环路 l 的环流为 式中积分是环路的周长。 于是上式可写成为 从上式看到，H沿此圆形环路的环流只与闭合环路所包围的电流I 有关，而与环路的大小、形状无关。 取任意环路包围电流

在垂直于长直载流导线的平面内，环绕载流直导线作一条如下图所示的任意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。 在环路上任取一段线元dl，载流直导线在线元dl处的磁感强度B大小为 H与dl的夹角为，则H对dl的线积分为 直导线中心向线元的张角为，则有，所以有 可见，H对dl的线积分与到直导线的距离无关。 那么B对整个环路的环流值为 上述计算再次说明H的环流值与环路的大小、形状无关。 取任意环路不包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内，在载流直导线的外侧作一条如下图所示的任 安培环路定理应用 意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。 以载流直导线为圆心向环路作两条夹角为的射线，在环路上截取两个线元和。和距直导线圆心的距离分别为和，直导线在两个线元处的磁感强度分别为和。从上图可以看出，而。利用安培环路定理的证明之二的结论可知 结论 所以有 从载流直导线中心O出发，可以作许多条射线，将环路分割成许多成对的线元，磁感强度对每对线元的标量积之和，都有上式的结果，故即环路不包围电流时，B的环流值为零。 安培环路定理反映了磁场的基本规律。和静电场的环路定理相比较，稳恒磁场中B 的环流，说明稳恒磁场的性质和静电场不同，静电场是保守场，稳恒磁场是非保守场。 编辑本段安培环路定理的应用 利用安培环路定理求磁场的前提条件：如果在某个载流导体的稳恒磁场中，

安培环路定理

在稳恒磁场中，磁场强度H沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和。这个结论称为安培环路定理（Ampere circuital theorem）。安培环路定理可以由毕奥－萨伐尔定律导出。它反映了稳恒磁场的磁感应线和载流导线相互套连的性质。 目录

2编辑本段安培环路定理的证明（不完全证明） 以长直载流导线产生的磁场为例，证明安培环路定理的正确性。 安培环路定理应用 在长直载流导线的周围作三个不同位置，且不同形状的环路，可以证明对磁场中这三个环路，安培环路定理均成立。 3 取对称环路包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内，以载流导线为圆心作一条半径为r 的圆形环路l， 则在这圆周上任一点的磁感强度H的大小为 其方向与圆周相切．取环路的绕行方向为逆时针方向，取线元矢量dl，则H与dl间的夹角，H沿这一环路 l 的环流为 式中积分是环路的周长。 于是上式可写成为 从上式看到，H沿此圆形环路的环流只与闭合环路所包围的电流I 有关，而与环路的大小、形状无关。 4 取任意环路包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内，环绕载流直导线作一条如下图所示的任意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。 在环路上任取一段线元dl，载流直导线在线元dl处的磁感强度B大小为 H与dl的夹角为，则H对dl的线积分为 直导线中心向线元的张角为，则有，所以有 可见，H对dl的线积分与到直导线的距离无关。 那么B对整个环路的环流值为 上述计算再次说明H的环流值与环路的大小、形状无关。 5 取任意环路不包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内，在载流直导线的外侧作一条如下图所示的任

第五版普通物理11-4,11-5安培环路定理及其应用汇总

第五版普通物理习题 11-4,11-5安培环路定理及其应用 1.选择题 1若空间存在两根无限长直载流导线，空间的磁场分布就不具有简单的对称性，则该磁场分布 （A ）不能用安培环路定理来计算 （B ）可以直接用安培环路定理求出 （C ）只能用毕奥-萨伐尔定律求出 （D ）可以用安培环路定理和磁感应强度的叠加原理求出 [ ] 答案：（D ） 2在图(a )和(b )中各有一半径相同的圆形回路L 1和L 2，圆周内有电流I 1和I 2，其分布相同，且均在真空中，但在(b )图中L 2回路外有电流I 3，P 2、P 1为两圆形回路上的对应点，则： （A ）212 1 ,P P L L B B l d B l d B =?=??? （B ）212 1 ,P P L L B B l d B l d B ≠?≠??? （C ）212 1 ,P P L L B B l d B l d B ≠?=??? （D ）212 1 ,P P L L B B l d B l d B =?≠??? [ ] 答案：（C ） 3一载有电流I 的导线分别均匀密绕在半径为R 和r 的长直圆筒上形成两个螺线管（R=2r ），两螺线管单位长度上的匝数相等，两螺线管中的磁感应强度大小B R 和B r 应满足 （A ）B R =2B r （B ）B R =B r （C ）2B R =B r （D ）B R =4B r [ ] 答案：（B ） 4无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别为a 、b ，电流在导体截面上均匀分布，则空 间各处的B 的大小与场点到圆柱中心轴线的距离r 的关系定性地如图所示。正确的图是

安培环路定理(概念应用)

安培环路定理 开放分类：物理、磁场 11-3 安培环路定理 安培环路定理 在稳恒磁场中，磁感强度B沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和的倍。这个结论称为安培环路定理。 它的数学表达式是 按照安培环路定理，环路所包围电流之正负应服从右手螺旋法则。 如果闭合路径l包围着两个流向相反的电流I1和I2（如左图所示）， 这在下式中， 按图中选定的闭合路径l 的绕行方向，B矢量沿此闭合路径的环流为 如果闭合路径l包围的电流等值反向（如右图所示），或者环路中并没有包围电流，则： 安培环路定理的证明（不完全证明） 以长直载流导线产生的磁场为例，证明安培环路定理的正确性。 在长直载流导线的周围作三个不同位置，且不同形状的环路，可以证明对磁场中这三个环路，安培环路定理均成立。 1、取对称环路包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内，以载流导线为圆心作一条半径为r 的圆形环路l， 则在这圆周上任一点的磁感强度B的大小为 其方向与圆周相切．取环路的绕行方向为逆时针方向，取线元矢量dl，则B与dl间的夹角，B沿这一环路l 的环流为 式中积分是环路的周长。 于是上式可写成为 从上式看到，B沿此圆形环路的环流只与闭合环路所包围的电流I 有关，而与环路的大小、形状无关。 2、取任意环路包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内，环绕载流直导线作一条如下图所示的任意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。 在环路上任取一段线元dl，载流直导线在线元dl处的磁感强度B大小为 B与dl的夹角为，则B对dl的线积分为 直导线中心向线元的张角为，则有，所以有 可见，B对dl的线积分与到直导线的距离无关。 那么B对整个环路的环流值为 上述计算再次说明B的环流值与环路的大小、形状无关。 3、取任意环路不包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内，在载流直导线的外侧作一条如下图所示的任意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。

安培环路定律推导

恒定磁场的旋度和安培环路定理 1、描述 1）、微分形式： 0()()B r J r μ??= 恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的旋涡源。——安培环路定理的微分形式。 2）、积分形式： 0()c B r dl I μ=? 恒定磁场的磁感应强度在任意闭合曲线上的环量等于闭合曲线 交链的恒定电流的代数和与0μ的乘积。——安培环路定理的积分形式。 2、恒等式 2()F F F ????=??-? ()uF u F F u ?=?+? ()F u u F uF -?=?-? '()0J r ?= ''()0J r ?= 2 '1()4()r r R πδ?=-- 3、推导 已知： ''0 ' ()()4V J r B r dV r r μπ = ?? -? 两边取旋度

'' ' '''2 ' 00 '' ()()4()1 ()( )44V V V J r B r dV r r J r dV J r dV r r r r μπ μμππ??= ???? -=??- ?--? ?? 其中： '2 ''''0 00' 1()( )()()()4V V J r dV J r r r dV J r r r μμδμπ -?=-=-? ? 又由： ''' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ''''' ()111[ ][ ()]()()() 11 ()( )()( ) 1() ()[J r J r J r J r r r r r r r r r J r J r r r r r J r J r r r r ?=?=?+ ?----=?=-?--= ?-?--''' ' ()][ ] J r r r r =-?- 即： ' [()()][()()]f R R f R R φφ?=-? 因此，得到 '''' '00''''0' ()()[]44() 0 4V V S J r J r dV dV r r r r J r d S r r μμππμπ??=-??--=-?=-???

简单试验证明安培环路定理不成立

简单实验证明安培环路定理不成立 朱昱昌 我经过十几年的潜心研究和反复验证，终于打破了教材约束，从而澄清了：用安培环路定理推导螺线管内部磁场，则不分螺线管长短（乃至单个线圈）、也不分内半径大小、更不分轴线和非轴线，统统都是一样，B≡μ0nI（n为单位长度线圈个数）。其特点就是：螺线管的内部磁场与线圈内半径R完全无关，与线圈总个数N完全无关。这叫什么破定理？简直是荒谬绝伦！ 如何测量一个螺线管内部磁场的大小，不仅麻烦，而且很难找到比较理想的测量仪器。我曾经与吉林师范大学物理学院联系过，他们也没有相关仪器。我为此觉得非常困惑。后来，我偶然想起螺线管对硬铁芯的磁化效果。就是螺线管内部磁场的大小，完全可以通过它对硬铁芯的磁化热表现出来。硬铁芯的磁化温度与螺线管内部磁场的强弱直接相关。而且，停止电流以后，硬铁芯的热度也不会马上消失。这样就便于观察分析。既可以用手摸，也可以用热敏表测量。虽然不是很精确，但是完全可以进行比较直观的模糊判断。也可以算做是一个定性分析。我们应该清楚，尽管硬铁芯的磁化机理和磁化过程比较复杂。但是，当两个等长的螺线管，如果线圈半径差距很大，其磁化热效果的温度差距是非常明显的。同理，两个线圈半径相等的螺线管，如果长度差距很大，其磁化热效果的温度差距也是非常明显的。我的实验虽然简单粗糙，但是结果明显，而且符合全磁通原理和法拉第电磁感应定律。因此，我更加坚信“安培环路定理关于螺线管内部磁场与线圈半径R大小无关、与线圈总个数N大小无关的结论”是荒谬的。 《电磁学》教材中对应用安培环路定理施加了约束条件，只能用安培环路定理推导长直螺线管中间的内部磁场。为什么不能用安培环路定理推导螺线管两端的内部磁场？不是因为复杂麻烦，而是怕暴露与公式B=（μ0nI/2）（cosβ2-cosβ1）的端点收敛极限μ0nI/2不一致。因为，用安培环路定理推导长直螺线管两端的内部磁场也是B≡μ0nI，这样就彰显了两个重要公式的矛盾。可见，教材中的所谓对称性约束，完全是为了掩人耳目。可能有人会提出长直螺线管的两端存在漏磁通等等，我不想争论这个。请你应用安培环路定理推导一下单个线圈或电流环的内部磁场，一切都会一目了然了。 我认为事实胜于雄辩。在具体实例面前，一切为安培环路定理的辩解都是苍白无力的。 请电磁学大师们看看下面设计的实验是否成立？你们可以实际验证一下。 实验A：把1根载有10A电流的导线按右手定则沿直径为1cm的铁棒表面紧密回绕100周（这就是一个螺线管），通电10秒钟所产生的磁化热温度很高；而把这根载有10A电流的导线按右手定则沿直径为10cm的铁棒表面紧密回绕