初中数学.圆的概念及性质.教师版
中考内容
中考要求
A B C
圆的有关概念理解圆及其有关概
念
会过不在同一直线
上的三点作圆；能利
用圆的有关概念解
决简单问题
圆的性质知道圆的对称性，了
解弧、弦、圆心角的
关系
能用弧、弦、圆心角
的关系解决简单问
题
能运用圆的性质解
决有关问题
圆周角了解圆周角与圆心
角的关系；知道直径
所对的圆周角是直
角
会求圆周角的度数，
能用圆周角的知识
解决与角有关的简
单问题
能综合运用几何知
识解决与圆周角有
关的问题
垂径定理会在相应的图形中
确定垂径定理的条
件和结论
能用垂径定理解决
有关问题
点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系了解直线与圆的位
置关系；了解切线的
概念，理解切线与过
切点的半径之间的
关系；会过圆上一点
画圆的切线；了解切
线长的概念
能判定直线和圆的
位置关系；会根据切
线长的知识解决简
单的问题；能利用直
线和圆的位置关系
解决简单问题
能解决与切线有关
的问题
圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置
关系
能利用圆与圆的位
置关系解决简单问
题
中考内容与要求
圆的概念及性质
弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题
扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题
圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积
和全面积
能解决与圆锥有关
的简单实际问题
圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。
年份2010年2011年2012年
题号11，20 20，25 8，20，25
分值9分13分17分
考点垂径定理的应用；
切线判定、圆与解
直角三角形综合
圆的有关证明，计
算（圆周角定理、
切线、等腰三角形、
相似、解直角三角
形）；直线与圆的
位置关系
圆的基本性质，圆
的切线证明，圆同
相似和三角函数的
结合；直线与圆的
位置关系
中考考点分析
定 义
示例剖析
圆：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆． 固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径． 由圆的定义可知：
⑴ 圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． ⑵ 要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 圆O
半径
圆心
A
O
表示为“O ⊙”
圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 能够重合的两个圆叫做等圆．
等圆
O‘
O
同心圆
O
知识互联网
模块一 圆的基本概念
知识导航
弦和弧：
1. 连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．
2. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
以A B 、为端点的弧记作AB ，读作弧AB ． 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 3. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
4. 在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆
的弧叫做劣弧． C
m
劣弧
优弧
弦B
A
O
表示：劣弧AB
优弧ACB 或AmB
圆心角和圆周角：
1. 顶点在圆心的角叫做圆心角．
2. 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
O D
C B
A 圆周角
圆心角
下面这些都不是圆周角：
【例1】 如图，若点O 为O ⊙的圆心，则线段_________________是圆O 的
半径；线段___________是圆O 的弦，其中最长的弦是________；
________是劣弧；___________是半圆．若40A ∠=?，则
ABO ∠=_________，C ∠=_______，ABC ∠=_______． （西城区教研）
【解析】 OA OB OC ，，；AB BC AC ，，；AC ；AB BC ，；AC ABC ，；40?；50?；90?
夯实基础
O C
B
A
O
E
D
C
B A A B C
D
E
O
【例2】 如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线
交于点E ，若2AB DE =，18E ∠=?，求AOC ∠的度数．
【解析】 连结OD
∵AB 是直径，2AB DE =，
∴1
2
DE AB OD ==
∴18DOE E ∠=∠=?，
∴36ODC DOE E ∠=∠+∠=?
∵OC OD =，∴36OCD ODC ∠=∠=?，
【解析】 ∴54AOC OCD E ∠=∠+∠=?．
定 理
示例剖析
1. 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两
条弧． 2. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
如图，AB 是O ⊙的直径，CD 是弦
E D
C
B
A
O
1. 若AB CD ⊥于E ，则CE DE =； AC AD =；BC BD =．
2. 若CE DE =，则AB CD ⊥； AC AD =；BC BD =．
能力提升
知识导航
模块二 垂直于弦的直径
【例3】 1．如图，M N 、分别是O ⊙中长度相等但不平行的两条弦AB CD 、的中点．
求证：AMN CNM ∠=∠．
【解析】 连结OM ON 、、OB 、OD ．
∵M N 、分别是弦AB CD 、的中点，
∴OM AB ON CD ⊥⊥，
∵AB CD =，∴MOB NOD △≌△
∴OM ON =
∴OMN ONM ∠=∠，∴AMN CNM ∠=∠． 2．如图，∠P AC =30°，在射线AC 上顺次截取AD =3cm ，DB =10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是 cm ． (2012辽宁锦州)
【解析】6 F
E A
D
O
B C
P H F
E A
D
O B C
P
3．如图，⊙O 的半径为2，弦32=AB ，点C 在弦AB 上，AB AC 4
1
=，则OC 的长为（ ）
（2012山东淄博）
A ．
B ．
C ．
D ． 【解析】如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则 AD =BD ．
∵32=AB ，AB AC 4
1
=
， ∴3==BD AD ，2
3
=CD ．
又∵⊙O 的半径为2，即OB =2，
∴12
2=-=BD OB OD ．
∴2
7
22=+=OD CD OC ．故选D ．
O
N
M
D C B
A B
C
A
O
D
B
C
A
O
O
D C B
A M
O D C B A D
C
B
A N M O
A O
C
B
A O
H D
E C
B A
O
【例4】 ⊙O 的半径为5cm ，弦AB ∥CD ，且AB =8 cm ，CD =6cm ，求AB 与C 之间的距离．
(2012黑龙江牡丹江)
【解析】1 cm 或7 cm ．F E A
C D B
O
F
E
A
C
D
B
O
【备选】1． 如图所示，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，试证明：AC BD =． 【解析】 作OM AB ⊥，垂足为M ，
大圆中，∵OM AB ⊥，∴AM BM =
小圆中，∵OM CD ⊥，∴CM DM =
∴AM CM BM DM -=- 即AC BD =．
2． 如图，M N 、分别是O ⊙中长度相等但不平行的两条弦AB CD 、的中点． 求证：AMN CNM ∠=∠．
【解析】 连结OM ON 、、OB 、OD ．
∵M N 、分别是弦AB CD 、的中点， ∴OM AB ON CD ⊥⊥，
∵AB CD =，∴MOB NOD △≌△ ∴OM ON =
∴OMN ONM ∠=∠，∴AMN CNM ∠=∠．
【备选】已知O ⊙的半径是5，点A 到圆心O 的距离为3，求过点A 的所有弦中最短弦的长度． 【解析】 连结OA ，过A 点作OA 的垂线交O ⊙于B C 、两点，则弦BC 即为所求．
连结OB ，由垂径定理得1
2
AB BC =．
在Rt AOB △中，90OAB ∠=?，53OB OA ==，，
∴22
4AB OB OA =-=， ∴28BC AB ==．
【点评】 此题是经典的垂径定理的应用，也是一个十分有用的结论．当然，在使用前需要证明一
下．这里编辑给出一种常规证法，如果各位老师有更好的证法，希望能提供分享． 证明：过A 点再任意作一条与BC 不同的弦DE ， 过O 点作OH DE ⊥于H ．
在Rt AOC △和Rt EOH △中，显然OE OC =，
又AOH △是直角三角形，∴OH OA <，
则222222OE OH EH AC OC OA -=>=- 能力提升
O
N M D
C B
A
∴DE BC
>．
定理示例剖析弧、弦、圆心角之间的关系：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对
的弧相等，所对的弦也相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
O
D
C
B
A
如图，由定理可知：
若AOB COD
∠=∠，则AB CD
=、AB CD
=；若AB CD
=，则AOB COD
∠=∠、AB CD
=；若AB CD
=，则AB CD
=、AOB COD
∠=∠．
圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径．
C
B
A
O
2
AOB ACB
∠=∠
E
O
D
C
B
A
若ACB AED
∠=∠，则AB AD
=
直角
直径
O
C
B
A
圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
圆内接四边形的对角互补．如图，A B C D
、、、四点都在圆上，
O
D
C
B
A
则180
A C
∠+∠=?，180
B D
∠+∠=?
知识导航
模块三弧、弦、圆心角和圆周角
、
【例5】 ⑴ 已知，A B C 、、分别为O ⊙圆周上任意三点，请你判断同弧所对的ACB ∠与AOB
∠的大小关系．
O O
O
根据上面的推理，可以发现：
__________________________________________________．
⑵ 若点D 是优弧AB 上任意一点，试判断ADB ∠与ACB ∠的大小关系． 根据上面的推理，可以发现：
__________________________________________________．
⑶ 如果点D 在劣弧AB 上，此时ADB ∠和ACB ∠的大小关系还一样吗？可 以得到什么结论？
【解析】 ⑴应分为三种情况：
图3
图2
图1
D A B
C
O
O
C
B
A O
C
B
A
辅助线如图所示，证明过程不再赘述．可以发现：同弧所对圆周角是圆心角的一半．
⑵ 由⑴可知，ADB ACB ∠=∠，可以发现：同弧所对的圆周角相等．
⑶ 如图，ADB ∠与ACB ∠互补．可以得到：圆内接四边形的对角互补．
夯实基础
O
D
C
A
O D C A
E O B D
F
C
A
【例6】 ⑴ 如图，△ACD 和△ABE 都内接于同一个圆，则
∠ADC +∠AEB +∠BAC =
（2012黑龙江大庆）
⑵ 在⊙O 中，直径AB ⊥CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ， 且CF ⊥AD ．则∠D = ．
（2012宁夏）
⑶ 如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边
形OABC 为平行四边形，则∠OAD +∠OCD = °．
（2012安徽）(2013东城期末)
⑷ 如图，A B C D 、、、是O ⊙上的点，直径AB 交CD 于点E ，已知
57C ∠=?，45D ∠=?，则CEB ∠=________．
（北大附中练习）
⑸ 已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径，则该弦所对的圆周角为 ．
【解析】 ⑴?60；⑵?60；⑶ 102?；⑷ 22；⑸ 30?或150?．
【例7】 已知：在半径为52的⊙O 内，有互相垂直的两条弦AB ，CD ，它们相交于P 点． （1）求证：P A ·PB =PC ·PD ；
（2）设BC 的中点为F ，连接FP 并延长交AD 于E ，求证：EF ⊥AD ； （3）如果AB =8，CD =6，求O 、P 两点之间的距离．
（2013大兴期末）
【解析】（1）证明：∵∠A ，∠C 所对的圆弧相同，
∴∠A =∠C ∵AB ⊥CD,
∴Rt △APD ∽Rt △CPB ． ∴AP PD C P PB
=． ∴PA ·PB =PC ·PD ．
（2）证明：∵F 为BC 的中点，△CPB 为直角三角形， 能力提升
探索创新
N
M P E
D
O
B
F
C
A P
E
D
O
B
F
C
A E
D
C
B
A O
C
B
A
D
C
B E
D A
∴PF=FC，∠CPF =∠C．
又∵∠A =∠C，∠DPE =∠CPF，
∴∠A =∠DPE．
∵∠A +∠D=90°，
∴∠DPE +∠D=90°．
∴EF⊥AD．
（3）解：作OM⊥AB于M, ON⊥CD于N, ∴OMPN为矩形．连接OB，OD，OP，由垂径定理，得AM=BM=4,CN=DN=3．
由勾股定理，得222
(
25)44
O M=-=，222
(25)311
O N=-=．
∴2215
O
P O
MO
N
=+=．
判断正误
⑴半圆是弧
⑵半径相等的两个圆是等圆
⑶过圆心的线段是直径
⑷两个端点能够重合的弧是等弧
⑸圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分
⑹长度相等的弧是等弧
⑺直径是最大的弦
⑻半圆所对的弦是直径
⑼两个劣弧的和是半圆
⑽圆的半径是R，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R
【解析】正确的是⑴⑵⑺⑻⑽
不理解圆中相关的概念和定义，或产生概念上的混淆。
第07讲精讲：垂径定理的应用；
垂径定理是初中圆章节知识中应用最多且最重要的定理之一，对于垂径定理，我们需要认识以下三点：
(1) 根据圆的轴对称性，在以下五条结论中，Ⅰ.直径；Ⅱ.平分弦；Ⅲ.垂直弦；Ⅳ.平分优弧；Ⅴ.平分劣弧．只要满足其中的两条，另外三条结论一定成立，即“知二推三”；
(2) 使用垂径定理时，常需要作出弦心距，利用“半径、半弦、弦心距”构成的直角三角形结合勾股定理、三角形全等进行计算、证明；
(3) 在较复杂的图形中注意准确识别垂径定理的基本图形．
【探究一】根据垂径平分弦所对的弧，处理角的关系；
【变式1】如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于( )
A. 80°
B. 50°
C. 40°
D. 20°
【解析】D
【探究二】已知弦长或欲求弦长，可构造“半弦、半径、弦心距”组成的直角三角形；
【变式2】在半径为1的O
⊙中，弦AB AC
、
，则BAC
∠的度数为_____．
【解析】此题分两种情况讨论：
⑴若AB AC
、在圆心O的同侧，如图
连结OA，过O点分别作OD AB OE AC
⊥⊥
，，
垂足分别为D E
、
则AD AE
==，
∴3045
OAD OAE
∠=?∠=?
，，
∴453015
BAC DAE
∠=∠=?-?=?．
⑵若AB AC
、在圆心O的异侧，如图
根据圆的对称性，75
BAC
∠=?
综上所述，BAC
∠的度数为15?或75?．
【变式3】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的O
⊙交于点G B F E
、、、，8cm
GB=，1cm
AG=，2cm
DE=，则EF=_________．
B
【解析】过O点作OH CD
⊥于H．
由题意得：45
OG AG
==
，，则3
EH=，
∵OH EF
⊥，∴
1
2
EH EF
=，∴6
EF=．
C
O
D
G
F
E
C
O
D
G
F
E
【探究三】根据垂径垂直平分弦，证明相关线段相等；
【变式4】如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，过A ，B 向CD 引垂线，垂足分别为E ，F ，求证：CE =DF 。
【解析】过O 作OM ⊥CD 于M ，
∴CM =DM ，
∵AE ⊥CD ，BF ⊥CD ， ∴AE ∥OM ∥FB ， 又∵O 是AB 中点，
∴M 是EF 中点（平行线等分线段定理）， ∴EM =MF ， ∴CE =DF .
【探究四】遇垂直弦，根据垂径定理，构造矩形； 【变式5】半径为2的圆O 中，弦AB 与弦CD 垂直相交于点P ，连结OP ，若OP =1，
求AB 2+CD 2．
【解析】28
【探究五】遇弧中点，连接圆心和弧中点，构造垂径定理；
【变式6
】如图，P 为O ⊙外一点，过点P 引两条割线PAB 和PCD ，点M N ，分别是AB CD ，的中点，连结MN 交AB ，CD 与E F ，．求证：PEF ?为等腰三角形．
【解析】 连结OM ON ，，分别交AB CD ，于G H ，．
∵M N ，分别是AB CD ，
的中点， ∴OM AB ⊥，ON CD ⊥，即90MGE NHF ∠=∠=?．
又∵OM ON =，∴M N ∠=∠，由此得MEG NFH ∠=∠，
即PEF PFE ∠=∠，
∴PE PF =，即PEF ?为等腰三角形．
M
A O
E
F
B
D
C
A
M O
E
F B
D C
O
P D
C
B
A
N M
O
P D C
B
A
A O E F
B D C
A
O
E
F B
D C M M
O
E
D
C
B
A
O G F E D C
B A H A B
C
D
E
F
G O O
E
D
C
B A
训练1. 如图，CD 是O ⊙的直径，87EOD ∠=?，AE 交O ⊙于B ，且AB OC =，求A ∠的度数．
【解析】 连结OB
∵AB OC =，OB OC =，∴OB AB =
设A x ∠=，则BOA x ∠=. ∴2OBE BOA A x ∠=∠+∠=.
∵OE OB =，∴2OEA OBE x ∠=∠=. ∴387EOD E A x ∠=∠+∠==? ∴29x =?，即29A ∠=?.
训练2. 如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的O ⊙交于点G B F E 、、、，8cm GB =，1cm AG =，
2cm DE =，则EF =_________．
【解析】 过O 点作OH CD ⊥于H ． 由题意得：
4cm 5cm OG AO AG OG ==+=，，
又∵2DE =,DH OA =.则3cm EH =，
∵OH EF ⊥，∴1
2
EH EF =，∴6cm EF =．
训练3. ⑴ 如图，O ⊙的直径为10，弦8AB =，P 是线段AB 上一点，则OP 的
取值范围是________________． （三帆中学月考）
⑵ 如图，将O ⊙沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心O ，若O ⊙的半 径为6，则弦AB 的长度等于_________．
【解析】 ⑴ 35OP ≤≤；⑵ 63
训练4. 如图，O ⊙中，AB 为直径，弦CD 交AB 于P ，且OP PC =，试猜想AD 与BC 之间的
关系，并证明你的猜想． （西城区教研）
【解析】 猜想：3AD BC =
连结CO 并延长交O ⊙于E ，连接OD ，
则CE 为直径． ∵OP PC =，∴POC OCP ∠=∠， ∵AOE POC ∠=∠，∴AE BC =，
∵2DOE OCP ∠=∠，∴2DE AE =， ∴3AD BC =．
思维拓展训练(选讲)
P C
O
A E A O
C P O
P
A
B
O
B
A
O D
C
B
A E
知识模块一 圆的基本概念 课后演练
【演练1】 已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C D ，两点． ⑴ 求证：AOC BOD ∠=∠；
⑵ 试确定AC 与BD 两线段之间的大小关系，并证明你的结论．
（西城区教研）
【解析】 ⑴ ∵OA OB =，∴A B ∠=∠，∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠，
∴AOC BOD ∠=∠．
⑵ 由⑴可知AOC BOD △≌△，
∴AC BD =．
知识模块二 垂直于弦的直径 课后演练
【演练2】 如图所示，在Rt ABC △中，90C ∠=?，2AC =，1BC =，若以C 为
圆心、CB 的长为半径的圆交AB 于P ，则AP = .
（山西中考）
【解析】 过C 作CM PB ⊥于M ，即MP MB =，设为MB x =，
Rt ABC △中，
有223AB AC BC =+=，ABC CBM △∽△， 得2BC BM AB =?
∴2
13x =，∴3x =
故32AP AB x =-=.
【演练3】 如图所示，已知AB 为O ⊙的直径，CD 是弦，
且AB CD ⊥于点E ，连接AC OC BC 、、， ⑴ 求证：ACO BCD ∠=∠，
⑵ 若8cm 24cm EB CD ==，，求O ⊙的直径．
【解析】 ⑴ ∵AB 是直径，且AB CD ⊥，
∴CE DE BC BD ==，
∴BCD BAC ∠=∠
∵AO CO =，∴ACO BAC ∠=∠ ∴ACO BCD ∠=∠．
⑵ 由⑴可知1
12cm 2
CE CD ==
设O ⊙的半径为r ，
实战演练
D
C
A
O
P
A
B
C
C
B A P M
在Rt COE △中，90CEO ∠=?，
∴222CE OE CO +=，即()2
22128r r +-=， 解得13r =
∴O ⊙的直径为26cm ．
知识模块三 弧、弦、圆心角和圆周角 课后演练
【演练4】 已知如图，在O ⊙中，AB 是O ⊙的直径，AC 、BC 分别交O ⊙于E 、D ，D 是BE
的中点，40A ∠=?，求C ∠的大小． （北大附中练习）
【解析】 连结AD ， ∵AB 是O ⊙的直径，∴90ADB ∠=?，
∵D 是BE 的中点，∴DE BD =，
∴1
202
CAD BAD BAC ∠=∠=∠=?，
∴70C ∠=?．
【演练5】 如图，ABC △内接于O ⊙，OD AC ⊥于D ，2OD =，4OC =，则
B ∠=________． （北大附中月考）
【解析】 60?
O N
M H G F E
D C B A
E
D
C
B
A
O D C B
A O
测试1. 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设
BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是（ ） A. a b c >> B. a b c ==
C. c a b >>
D. b c a >> 【解析】 选B ．
连结OM OD OA 、、 由矩形对角线相等可知 OM NH c OD EF b OA BC a ======，，，
又OM OD OA ==， ∴a b c ==．
测试2. 如图所示，在O ⊙与三角形所组成的图形中，OA OB =，求证：AC BD =． 【解析】 过O 作OE AB ⊥于E
因为OA OB =，所以AE BE =
又根据垂径定理可知CE ED =
所以AE CE BE ED -=- 即AC BD =．
测试3. ⑴ 如图，CD 为O ⊙的直径，AB CD ⊥于E ，8cm DE =，2cm CE =，
则AB =__________．
⑵ 如图，O ⊙的弦6AB =，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4， 则O ⊙的半径为___________． （十三分月考）
【解析】 ⑴ 8cm ；⑵ 5
课后测
M
B
A
O O E C B
A