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定积分知识点总结
北京航空航天大学
李权州
一、定积分定义与基本性质
1.定积分定义 设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a 与b 之间插入一些分点b x x x x a n =<<<<=...210. 而将该区间任意分为若干段. 以||||π表示差数
)1,...,1,0(1-=-=?+n i x x x i i i 中最大者.
在每个分区间],[1+i i x x 中各取一个任意的点i x ξ=.
)1,...,1,0(1-=≤≤+n i x x i i i ξ
而做成总和
∑-=?=1
0)(n i i i x f ξσ
然后建立这个总和的极限概念：
σπ0
||||lim →=I
另用""δε-语言进行定义：
0>?ε，0>?δ，在||||πδ<时，恒有
εσ<-||I
则称该总和σ在0→λ时有极限I .
总和σ在0→λ时的极限即f(x)在区间a 到b 上的定积分，符号表示为
?=b
a
dx x f I )(
2.性质 设f(x)，g(x)在[a,b]上可积，则有下列性质 (1) 积分的保序性
如果任意)(),(],,[x g x f b a x ∈，则??≥b
a
b
a
dx x g dx x f ,)()(
特别地，如果任意,0)(],,[≥∈x f b a x 则?≥b
a
dx x f 0)(
(2) 积分的线性性质
???±=±b
a
b
a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f )()())()((βαβα
特别地，有??=b
a
b
a
x f c dx x cf )()(.
设f(x)在[a,b]上可积，且连续，
(1)设c 为[a,b]区间中的一个常数，则满足
???+=b
c
c
a
b
a
dx x f dx x f dx x f )()()(
实际上，将a,b,c 三点互换位置，等式仍然成立. (4)存在],[b a ∈θ，使得
)()()(θf a b dx x f b
a
-=?
二、达布定理
1.达布和
分别以i m 和i M 表示函数f(x)在区间],[1+i i x x 里的下确界及上确界并且做总和
∑∑=+=+-=-=n
i i i i n
i i i i x x m f S x x M f S 1
11
1)(),(,)(),(ππ
),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布上和，),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布下
和
特别地，当f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界.
回到一般情况，有上下界定义知道
i i i M f m ≤≤)(ξ
将这些不等式逐项各乘以i x ?(i x ?是正数)并依i 求其总和，可以得到
),(),(f S f S πσπ≤≤
推论1 设f(x)在[a,b]上有界. 设有两个分割π，'π，'π是在π的基础上的加密分割，多加了k 个新分店，则
||,
||),(),'(),(||,||),(),'(),(πωππππωπππk f S f S f S k f S f S f S +≤≤-≥≥
这里m M m M ,,-=ω分别为f 在[a,b]上的上、下确界. 推论2 设f(x)在[a,b]上有界. 对于任意两个分割',ππ，有
)(),(),()(a b M F S f S a b m -≤≤-ππ
2.达布定理
定义 设f(x)在[a,b]上有界，定义
。
上一个分割为，
上一个分割为}],[|),(sup{}],[|),(inf{b a f S I b a f S I ππππ?=?=
称I 为f(x)在[a,b]上的上积分，I 为f(x)在[a,b]上的下积分.
定理 对于f(x)在[a,b]上的有界函数，则有
.),(lim ,),(lim 0
||||0
||||I f S I f S ==→→ππππ
3.函数可积分条件 设f(x)在[a,b]上有界，下列命题等价： (1)f(x)在[a,b]可积； (2);I I =
(3)对于[a,b]上的任何一个分割π，∑=-→=-n
i i i i x x 110
||||0)(lim ωπ
； (4)任给0>ε，存在0>δ，对于[a,b]上的任何分割π，当δπ<||||，有
∑=-<-n
i i i i x x 11)(εω
成立；
(5)任给0>ε，在[a,b]存在一个分割π，当δπ<||||时有
∑=-<-n
i i i i x x 11)(εω
成立.
这里i i i m M -=ω为f(x)在区间],[1-i i x x 上的振幅.
三、微积分基本定理
定理（Newton-Leibniz 公式） 设f(x)在[a,b]上可积，且在[a,b]上有原函数F(x)，则
)()()(a F b F dx x f b
a
-=?
注：1.f(x)是f ’(x) 的原函数，故当]),(['b a R f ∈时，该公式可写为
)()()('a f b f dx x f b
a
-=?
2.上述定理并不是说可积函数一定有圆环数，而是说如果存在原函数，那么可用来计算定积分的值.
Newton-Leibniz 公式把原先在复杂的定积分中的定义的积分值计算化为求原函数的问题，为普及微积分打开了大门. 四、定积分的计算
除了利用Newton-Leibniz 公式计算微积分外，还可以使用换元公式和分部积分计算微积分.
1 定积分中变量替换公式 设要计算积分?b
a
dx x f )(，这里f(x)是在区间[a,b]内连续
的. 令)(t x ?=，函数)(t ?具备下列条件：
1）函数)(t ?在某一区间],[βα内有定义且连续，而其值当t 在],[βα内变化时恒不越出区间[a,b]的范围；
2）;)(,)(b a ==β?α?
3）在区间],[βα有一连续函数)('t ?. 于是成立公式
??=β
α??dt t t f dx x f b a
)('))(()(
由于被积函数假设是连续的，不但这些定积分存在，同时其相应不定积分也存在，并且在两情形都可以用基本公式.
2 定积分的分部积分法 在不定积分部分曾经讨论过公式,??-=vdu uv udv
这里假设以x 为自变量的函数u ，v 以及其导函数u ’，v ’都是在考虑区间[a,b]里连续的. 则我们有
??-=b
a
b
a
vdu a b
uv udv
五、定积分中值定理
微分中值公式
),(),)((')()(b a a b F a F b F ∈-=-ξξ
说明，函数值的差可以通过其导数值来表达和估算. 如果从微分运算的逆运算来认识积分运算，那么就有相应的积分的中值公式：记F ’(x)=f(x)，即把F(x)看作是可积函数f(x)的原函数，则上述公式化为
),(),)(()(b a a b f dx x f b
a
∈-=?
ξξ
这一类公式称之为积分中值公式，它显示出一个函数的定积分可以通过其自身进行表
达和估算.
上述公式的几何意义可以从面积的意义来考察：设f(x)是[a,b]上的正值连续函数，则公式左边的面积与右边表达式所代表的举矩形面积相等，而矩形的高)(ξf 正是f(x) 在[a,b]上的积分平均值：
?-=b a dx x f a
b f )(1)(ξ 1 定积分第一中值公式 设]),([b a R g ∈，且函数值不变号(即对一切
0)(0)(],,[≤≥∈x g x g b a x 或).
(1)若]),([b a R f ∈，且记)}({sup ]
,[x f M b a =，)}({inf ]
,[x f m b a =，则存在μ:],[,b a x M m ∈≤≤μ，
使得
??=b
a b
a dx x g dx x g x f )()()(μ
(2) 若]),([b a C f ∈，则存在],[b a ∈ξ，使得
?
?=b
a
b
a
dx x g f dx x g x f )()()()(ξ
2 定积分第二中值公式
引理(Abel) 设有两组数},...,,{},,...,,{2121n n b b b a a a 记∑===k
i i k n k a A 1
),...,2,1(，则
∑∑=-=++-=n i n i n n i i
i
i
i b A b
b A b a 1
1
1
1
)(
推论 若有),...,2,1(n k M A m k =≤≤，且0...21≥≥≥≥n b b b ，则有
111Mb b a mb n
i i i ≤≤∑=
定理(Bonnet 型) 设]),([b a R g ∈.
(1)若f(x)是[a,b]上非负递减函数，则存在],[b a ∈ξ，使得
??=b
a a dx x g a f dx x g x f ξ
)()()()(
(2)若f(x)是[a,b]上非负递增函数，则存在],[b a ∈ξ，使得
?
?=b
a
a
dx x g a f dx x g x f ξ
)()()()(
3 定积分第三中值公式
定理(Weierstrassz 型) 设f(x)在[a,b]上是单调函数，]),([b a R g ∈，则存在],[b a ∈ξ，
使得
???
+=b
a
b
a
dx x g b f dx x g a f dx x g x f ξ
ξ)()()()()()(
六、函数可积分的勒贝格定理
定义 设A 是实数集合，若，对任意0>ε，存在至多可数的系列开区间},{*N n I n ∈， 它是A 的一个开覆盖，并且∑∞
=≤1||n n I ε，则称A 为零测度集或者零测集.
定理零测集性质如下：
(1)至多可数个零测集的并集是零测集；
(2)设A为零测集，若A
B?，那么B也是零测集.
定理(Lebesgue定理) 若函数f在[a,b]区间上有界，则f在[a,b]区间上Riemann 可积的充分必要条件是f在[a,b]区间不连续点的集合
x
b
a
=
f
D∈
f
{
],
}
,
[
(处不连续
)
在x
为零测集.