解析几何求轨迹方程的常用方法
解析几何求轨迹方程的常用方法
求轨迹方程的一般方法：
1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
一：用定义法求轨迹方程
例1：已知ABC ?的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 4
5
sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
例2： 已知ABC ?中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，
2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.
【变式】：已知圆
的圆心为M 1，圆
的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动
圆圆心P 的轨迹方程。
【变式】：⊙C ：22(3)16x y ++=内部一点(3,0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程.
二：用直译法求轨迹方程
例3：一条线段两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且BM=a ，AM=b ，求AB 中点M 的轨迹方程？
【变式】: 动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2|
||
|=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？
三：用参数法求轨迹方程
此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。
例4．过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
例5: 过抛物线px y 22
=（0>p ）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.
【变式】过圆O ：x 2 +y 2= 4 外一点A （4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC 的中点M 的轨迹。
四：用代入法求轨迹方程
例6. 的的中点求线段为定点上的动点是椭圆点M AB ，a ，
，A b
y a x B )02(122
22=+轨迹方程。
例7: 如图，从双曲线1:2
2=-y x C 上一点Q 引直线2:=+y x l 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.
【变式】如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程
五、用交轨法求轨迹方程
例8.已知椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2，求
A 1P 1与A 2P 2交点M 的轨迹方程.
B Q R
A
P
o y
x y Q
O x
N
P
例9： 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线122
22=-b y a x 于M 、N 两点，21,A A 为双曲线的左、右顶点，求直线
M A 1与N A 2的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.
六、用点差法求轨迹方程
例10. 已知椭圆12
22
=+y x ， （1）求过点??
? ??2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过()12，
A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
课后作业
1.在ABC ?中，B ，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，则点A 的轨迹方程是______________.
2.两条直线01=--my x 与01=-+y mx 的交点的轨迹方程是 __________ .
x
A 1
A 2
O y N
M
P
3.已知圆的方程为(x-1)2+y 2=1,过原点O 作圆的弦0A ，则弦的中点M 的轨迹方程是 _____
4.当参数m 随意变化时，则抛物线()
yx m x m =+++-2
2
211的顶点的轨迹方程为______。 5:点M 到点F （4，0）的距离比它到直线x +=50
的距离小1，则点M 的轨迹方程为________。 6:求与两定点()()
O O A 1
030，、，距离的比为1：2的点的轨迹方程为_____________ 7.抛物线x y 42
=的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A 、B 两点，动点C 在抛物线上，求△ABC 重心P 的轨迹方程。
8.已知动点P 到定点F （1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P 的轨迹方程。
9.过原点作直线l 和抛物线642
+-=x x y 交于A 、B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
10、已知定点A ( 3, 0 )，P 是圆x 2 + y 2 = 1上的动点，∠AOP 的平分线交AP 于M ，求M 点的轨迹。
11、已知常数0a >，经过定点(0,)A a -以(,)m a λ=为方向向量的直线与经过定点(0,)B a ，且以(1,2)n a λ=为方向向量的直线相交于点Ｐ，其中R λ∈． ⑴ 求点Ｐ的轨迹Ｃ的方程，它是什么曲线；
⑵ 若直线:1l x y +=与曲线Ｃ相交于两个不同的点Ａ、Ｂ，求曲线Ｃ的离心率的范围．
12、过点(2,0)M -，作直线l 交双曲线2
2
1x y -=于A 、B 不同两点，已知OP OA OB =+。 （1）、求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
（2）、是否存在这样的直线，使||||?OP AB =若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。
补充例题：
1.过抛物线 y 2 = 4 p x ( p > 0 )的顶点作互相垂直的两弦OA 、OB ，求抛物线的顶点O 在直线AB 上的射影M 的轨迹。
2.已知椭圆22
22b
y a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l
的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R
(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；
(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，
求k 的值
3．如图11-5-1，已知圆O ：2225,x y += 点(3,0),(3,0)A B -，C 为圆O 上任意一点，直线CD 与BC 垂直，并交圆O 于另一点D . （1）求证：AD BC λ=；
（2）若点P 在线段CD 上，且PAD PBC ∠=∠，求点P 的轨迹方程.
P O
x
y
A
B
C
D
图11-5-1
求轨迹方程的常用方法 答案
例1：由,sin 45sin sin C A B =
+可知104
5
==+c a b ，即10||||=+BC AC ，满足椭圆的定义。令椭圆方程为12
'
22
'2=+
b y a
x ，则34,5'
'
'
=?==b c a ，则轨迹方程为
19
252
2=+y x （)5±≠x ，图形为椭圆（不含左，右顶点）。
例2：解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原 点建立直角坐标系. 由题意，b c a ,,构成等差数列，∴b a c +=2，
即4||2||||==+AB CB CA ，又CA CB >，∴C 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，1,2='='c a ，
3='b ，故C 的轨迹方程为)2,0(13
42
2-≠<=+x x y x .
【变式】解：设动圆的半径为R ，由两圆外切的条件可得：
，。
。
∴动圆圆心P 的轨迹是以M 1、M 2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b 2
=12。
故所求轨迹方程为
2:一动圆与圆O ：12
2
=+y x 外切，而与圆C ：0862
2
=+-+x y x 内切，那么动圆的圆心M 的轨迹是： A ：抛物线B ：圆 C ：椭圆 D ：双曲线一支
【解答】令动圆半径为R ，则有?
??-=+=1||1
||R MC R MO ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D 。
二：用直译法求曲线轨迹方程
例3： 一条线段AB 的长等于2a ,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？
解 设M 点的坐标为),(y x 由平几的中线定理：在直角三角形AOB 中，OM=
,22
1
21a a AB =?= 22222,a y x a y x =+=+∴
C
B y
x
O A
M 点的轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆周. 【点评】此题中找到了OM=
AB 2
1
这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下列几种情况： 1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。
2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。
3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。
4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.
【变式2】: 动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2|
||
|=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？
【解答】∵|P A |=2222)3(||,)3(y x PB y x +-=
++
代入
2|||
|=PB PA 得22222
2224)3(4)3(2)3()3(y x y x y x y x +-=++?=+-++ 化简得（x －5）2+y 2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.
三：用参数法求曲线轨迹方程
此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。 例4． 【解析】
分析1：从运动的角度观察发现，点M 的运动是由直线l 1引发的，可设出l 1的斜率k 作为参数，建立动点M 坐标（x ，y ）满足的参数方程。
解法1：设M （x ，y ），设直线l 1的方程为y －4＝k （x －2），（k ≠０） )2(1
4221--
=-⊥x k
y l ，l l 的方程为则直线由 ，，A x l )0k 42(1-∴的坐标为轴交点与 ，k
，B y l )2
40(2+的坐标为轴交点与
∵M 为AB 的中点，
)(1222421242为参数k k k y k
k x ????
????
?
+=+
=-=-=∴ 消去k ，得x ＋2y －5＝0。
另外，当k ＝0时，AB 中点为M （1，2），满足上述轨迹方程； 当k 不存在时，AB 中点为M （1，2），也满足上述轨迹方程。 综上所述，M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0。
分析2：解法1中在利用k 1k 2＝－1时，需注意k 1、k 2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB 为直角三角形的几何特性： ||2
1
||AB MP =
解法2：设M （x ，y ），连结MP ，则A （2x ，0），B （0，2y ）， ∵l 1⊥l 2，∴△PAB 为直角三角形 ||2
1
||AB MP ，=由直角三角形的性质 222
2
)2()2(·2
1
)4()2(y x y x +=
-+-∴ 化简，得x ＋2y －5＝0，此即M 的轨迹方程。
分析3：：设M （x ，y ），由已知l 1⊥l 2，联想到两直线垂直的充要条件：k 1k 2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M 点坐标表示A 、B 两点坐标。事实上，由M 为AB 的中点，易找出它们的坐标之间的联系。
解法3：设M （x ，y ），∵M 为AB 中点，∴A （2x ，0），B （0，2y ）。 又l 1，l 2过点P （2，4），且l 1⊥l 2 ∴PA ⊥PB ，从而k PA ·k PB ＝－1，
02242204--=
--=
y
，k x k PB PA 而 05212
24·224=-+-=--∴
y x y
x ，化简，得 注意到l 1⊥x 轴时，l 2⊥y 轴，此时A （2，0），B （0，4） 中点M （1，2），经检验，它也满足方程x ＋2y －5＝0 综上可知，点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0。 【点评】
1） 解法1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2，3为直译法，运用了k PA ·k PB ＝－1，||2
1
||AB MP =
这些等量关系。。
用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响
例5: 解：设),(y x M ，直线OA 的斜率为)0(≠k k ，则直线OB 的斜率为k
1
-
.直线OA 的方程为kx y =，由???==px y kx y 22解得???
????==k
p
y k p
x 222，即)2,2(2k p k p A ，同理可得)2,2(2pk pk B -. 由中点坐标公式，得???????
-=+=pk k
p
y pk k p
x 22，消去k ，得)2(2p x p y -=，此即点M 的轨迹方程.
【变式】过圆O ：x 2 +y 2= 4 外一点A （4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC 的中点M 的轨迹。 解法一：“几何法”
设点M 的坐标为（x,y ）,因为点M 是弦BC 的中点，所以OM ⊥BC,
所以|OM | ２＋|ＭＡ|２ ＝|ＯＡ| ２
， 即(x 2 +y 2)+(x －４)2 +y 2 =16 化简得：（x －2）2+ y 2 =4................................①
由方程 ① 与方程x 2 +y 2= 4得两圆的交点的横坐标为1，所以点M 的轨迹方程为 （x －2）2+ y 2 =4 （0≤x ＜1）。所以M 的轨迹是以（2，0）为圆心， 2为半径的圆在圆O 内的部分。 解法二：“参数法”
设点M 的坐标为（x,y ），B （x 1,y 1）,C （x 2,y 2）直线AB 的方程为y=k(x －4), 由直线与圆的方程得（1+k 2）x 2 －8k 2x +16k 2－4=0...........(*),
由点M 为BC 的中点，所以x=2221142k k x x +=+...............(1) , 又OM ⊥BC ，所以k=x
y
.................(2)由方程（1）（2）
消去k 得（x －2）2+ y 2 =4,又由方程（*）的△≥0得k 2 ≤
3
1
,所以x ＜1. 所以点M 的轨迹方程为（x －2）2+ y 2 =4 （0≤x ＜1）所以M 的轨迹是以（2，0）为圆心， 2为半径的圆在圆O 内的部分。
四：用代入法等其它方法求轨迹方程
例6. 的的中点求线段为定点上的动点是椭圆点M AB ，a ，
，A b
y a x B )02(122
22=+ 轨迹方程。
分析：题中涉及了三个点A 、B 、M ，其中A 为定点，而B 、M 为动点，且点B 的运动是有规律的，显然M 的运动是由B 的运动而引发的，可见M 、B 为相关点，故采用相关点法求动点M 的轨迹方程。 【解析】设动点M 的坐标为（x ，y ），而设B 点坐标为（x 0，y 0） 则由M 为线段AB 中点，可得
???=-=???????
?=+=+y y a x x y y x a
x 2222
02
2000
0 即点B 坐标可表为（2x －2a ，2y ） 上在椭圆点又1)(22
2200=+b
y a x ，y x B ，b y a a x b y a x 1)2()22(1
2
2
2222
022
0=+-=+∴从而有
14)(422
2
2=+-b
y a a x M ，的轨迹方程为得动点整理 【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系 例7 如图，从双曲线1:2
2
=-y x C 上一点Q 引直线
y
Q
O
x
N P
2:=+y x l 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.
解：设),(),(11y x ，Q y x P ，则)2,2(11y y x x N --. N 在直线l 上，
.22211=-+-∴y y x x ① 又l PN ⊥得
,11
1
=--x x y y 即011=-+-x y y x .②
联解①②得???
????-+=-+=22
322311
x y y y x x .又点Q 在双曲线C 上，1)223()223(22=-+--+∴x y y x ，化简整理得：01222222=-+--y x y x ，此即动点P 的轨迹方程.
【变式】如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形
APBQ 的顶点Q 的轨迹方程 【解析】： 设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR | 又因为R
是弦AB 的中点，依垂径定理 在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2) 又|AR |=|PR |=22)4(y x +-
所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0
因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动
设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=
2
,241+=
+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得2
4
4)2()24(22+?
-++x y x －10=0 整理得 x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程
用交轨法求轨迹方程 22
221x y a b
-=
例9解：设),(y x P 及),(),,(1111y x N y x M -，又)0,(),0,(21a A a A -，可得 直线M A 1的方程为)(11a x a x y y ++=
①；直线N A 2的方程为)(11
a x a
x y y -+-=②. ①×②得)(2
22
21212
a x a
x y y ---=③. 又,1221221=-b y a x )(2122221x a a b y -=-∴，代入③得)(22222a x a b y --=，化简得122
22=+b
y a x ，此即点P 的轨迹方程. 当b a =时，点P 的轨迹是以原点为圆心、a 为半径的圆；当b
a ≠时，点P 的轨迹是椭圆.
六、用点差法求轨迹方程
B Q R
A
P
o
y
x
例10.分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．
解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则
??????
?=+=+=+=+④
，③，②，①，y y y x x x y x y x 2222222
1212
22
22121
①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．
由题意知
21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有
()()022*******=-+++x x y y y y x x ，
将③④代入得022
12
1
=--+x x y y y x ．⑤
（1）将21=
x ，2
1
=y 代入⑤，得212121
-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程222
2
=+y x 得041662
=-
-y y ，04
1
6436>??-=?符合题意，0342=-+y x 为所求． （2）将
22
12
1=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）
（3）将2
12121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 02222
2=--+y x y x ．（椭圆内部分）
课后作业：
【正确解答】ABC 为三角形，故A ，B ，C 不能三点共线。轨迹方程里应除去点)0,5).(0,5(-，即轨迹方程为
)5(116
252
2±≠=+x y x 2.两条直线01=--my x 与01=-+y mx 的交点的轨迹方程是 . 【解答】:直接消去参数m 即得(交轨法):02
2
=--+y x y x
3:已知圆的方程为(x-1)2+y 2=1,过原点O 作圆的弦0A ，则弦的中点M 的轨迹方程是 . 【解答】:令M 点的坐标为(),y x ,则A 的坐标为(2)2,y x ,代入圆的方程里面得:)0(4
1
)2
1(2
2≠=
+-x y x 4:当参数m 随意变化时，则抛物线()
yx m x m =+++-2
2
211的顶点的轨迹方程为 【分析】：把所求轨迹上的动点坐标x ，y 分别用已有的参数m 来表示，然后消去参数m ，便可得到动点的轨
迹方程。【解答】：抛物线方程可化为x m y m ++?? ???=++??
?
??12
542
它的顶点坐标为x m y m =--=--1
254，消去参数m 得：y x =-34
故所求动点的轨迹方程为4430
x y --=。 5:点M 到点F （4，0）的距离比它到直线x +=50
的距离小1，则点M 的轨迹方程为 【分析】：点M 到点F （4，0）的距离比它到直线x +=50
的距离小1，意味着点M 到点F （4，0）的距离与它到直线x +=40的距离相等。由抛物线标准方程可写出点M 的轨迹方程。 【解答】：依题意，点M 到点F （4，0）的距离与它到直线x =-4的距离相等。则点M 的轨迹是以F （4，0）为焦点、x =-4
为准线的抛物线。故所求轨迹方程为y x 2
16=。 6:求与两定点()()
O O A 1
030，、，距离的比为1：2的点的轨迹方程为_________ 【分析】:设动点为P ，由题意
P O P A
=
1
2
，则依照点P 在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。 【解答】：设()
P x
y ，是所求轨迹上一点，依题意得P O P A
=
12
由两点间距离公式得：
()x y x y 22
22
312
+-+=
化简得：x y x 22
230++-= 7抛物线x y 42
=的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A 、B 两点，动点C 在抛物线上，求△ABC 重心P 的轨迹方程。
【分析】：抛物线x y 42
=的焦点为()01，F 。设△ABC 重心P 的坐标为()x y ，，点C 的坐标为()x y 11，。其
中11≠x
【解答】：因点()
P x
y ，是重心，则由分点坐标公式得：3
3211y
y x x =+=，即y y x x 32311=-=， 由点()
Cx y 11，在抛物线x y 42=上，得：12
14x y =
将y y x x 32311=-=，代入并化简，得：??
?
??-=
32342
x y （)1≠x
9.已知动点P 到定点F （1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P 的轨迹方程。
【解答】：设点P 的坐标为（x ，y ），则由题意可得。
（1）当x ≤3
时，方程变为1)1(,43)1(2222+=+-=-++-x y x x y x ，化简得)30(42
≤≤=x x y 。 （2）当x>3时，方程变为x y x x y x -=+-=-++-7)1(,43)1(2222，化简得。
故所求的点P 的轨迹方程是
或
10.过原点作直线l 和抛物线642
+-=x x y 交于A 、B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。 【解答】：由题意分析知直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程y=kx 。把它代入抛物线方程
，得
。因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得(,426)(426,)k ∈-∞--?-++∞。
设A （），B （），M （x ，y ），由韦达定理得。
由消去k 得。又
，所以),6()6,(+∞?--∞∈x 。
∴点M 的轨迹方程为),6()6,(,422
+∞?--∞∈-=x x x y
10、解：如图，设M ( x , y )、P ( x 1 , y 1 )。
由于OM 平分∠AOP ， 故M 分AP 的比为：
λ =
||||
||||
AM OA MP OP == 3 由定比分点公式，得11
3303,1313
x y x y ++=
=++， 即1143()3443x x y y
?
=-????=??
，由于x 1 2 + y 1 2 = 1，故 22434[()]()1343x y -+=，即 22
39()416x y -+=。
故所求轨迹是以3
(,0)4为圆心，以
3
4
为半径的圆。
11、解: (1) （用交轨法）
过Ａ以m 为方向向量的直线方程为：a
y a x λ
+=
．．．．．．．①
过Ｂ以n 为方向向量的直线方程为：2y a ax λ-=．．．．．．②
由①②消去λ得：22
2112
y x a
-=．Ｐ的轨迹为双曲线．．．．．．．．６分 (2)联立方程
22
2211y x a
x y ?-=???+=?
消去y 得
222(12)210a x x a --+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８分
依题意有21200a ?-≠??>?，即222
12044(12)(1)0
a a a ?-≠?--->?∴62
022a a <<≠且 又22
2
221
12321223
a c c
e e a a a a +
=
===+>≠且．．．．．．．．．．．．．１２分 12、
解：（1）、设直线l 的方程为(2)y k x =+， 代入2
2
1x y -=得2
2
2
2
(1)4410k x k x k ----=，
当1k ≠±时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122
41k x x k +=-，212241
1k x x k +=-
2121222
44(2)(2)411k k k
y y k x k x k k k
+=+++=+=-- 设(,)P x y ，由OP OA OB =+，则
2121222
44(,)(,)(,)11k k x y x x y y k k =++=--∴224141k x k
k
y k ?=??-??=?-?
，解之得x k y = (0)k ≠ 再将x k y =代入2
41k y k =-得22
(2)4x y +-=……………………（1） 当0k =时，满足（1
）式；
当斜率不存在是，易知(4,0)P -满足（1）式，故所求轨迹方程为22
(2)4x y +-=，其轨迹为双曲线； 当1k =±时，l 与双曲线只有一个交点，不满足题意。
（2）
||||OP AB =，所以平行四边形OAPB 为矩形，OAPB 为矩形的充要条件是0OA OB =，即12120x x y y +=。
当k 不存在时，A 、B 坐标分别为(2,3)-，(2,3)--，不满足上式。
又2
12121212(2)()x x y y x x k x x +=+++22222
22
(1)(41)244011
k k k k k k k ++=-+=-- 化简得：22
1
01
k k +=-，此方程无实数解，故不存直线l 使OAPB 为矩形。