高考复习——《曲线运动》典型例题复习

四、曲线运动

1、曲线运动：

⑴曲线运动定义：曲线运动是一种轨迹是曲线的运动，其速度方向随时间不断变化 ⑵曲线运动中质点的瞬时速度方向：就是曲线的切线方向

⑶曲线运动是一种变速运动，因为物体速度方向不断变化，所以曲线运动的物体总有加速度

【注意】曲线运动一定是变速运动，一定具有加速度；但变速运动或具有加速度的运动不一定是曲线运动

⑷两种常见的曲线运动：平抛运动和匀速圆周运动

2、物体做曲线运动的条件：

⑴曲线运动的物体所受的合外力不为零，合外力产生加速度，使速度方向（大小）发生变化

一、知识网络

二、画龙点睛 概念

⑵曲线运动的条件：物体所受的合外力F与物体速度方向不在同一条直线上

⑶力决定了给定物体的加速度，力与速度的方向关系决定了物体运动的轨迹

F（或a）跟v在一直线上→直线运动：a恒定→匀变速直线运动；

a变化→变加速直线运动。

F（或a）跟v不在一直线上→直线运动：a恒定→匀变速曲线运动；

a变化→变加速曲线运动

⑷根据质点运动轨迹大致判断受力方向：做曲线运动的物体所受的合外力必指向运动轨迹的内侧，也就是运动轨迹必夹在速度方向与合外力方向之间。

⑸常见运动的类型有：

①a=0：匀速直线运动或静止。

②a恒定：性质为匀变速运动，分为：①‘v、a同向，匀加速直线运动；②、v、a反向，匀减速直线运动；③’v、a成角度，匀变速曲线运动（轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向a的方向接近，但不可能达到。）

③a变化：性质为变加速运动。如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。

例题：如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时，突然使它所受力反向，大小不变，即由F变为－F。在此力作用下，物体以后运动情况，下列说法正确的是

A．物体不可能沿曲线Ba运动；

B．物体不可能沿直线Bb运动；

C．物体不可能沿曲线Bc运动；

D．物体不可能沿原曲线由B返回A。

解析：因为在曲线运动中，某点的速度方向是轨迹上该点的切线方向，如图所示，在恒力作用下AB为抛物线，由其形状可以画出v A方向和F方向。同样，在B点可以做出v B和－F方向。由于v B和－F不在一条直线上，所以以后运动轨迹不可能是直线。又根据运动合成的知识，物体应该沿BC轨道运动。即物体不会沿Ba运动，也不会沿原曲线返回。

因此，本题应选A、B、D。

掌握好运动和力的关系以及物体的运动轨迹形状由什么决定是解好本题关键。

答案：A、B、D。

3、运动的合成和分解速度的合成和分解

⑴合运动和分运动：如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就叫做那几个运动的合运动；那几个运动叫做这个实际运动的分运动

⑵合运动与分运动的关系：

①等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动规律有完全相同的效果

②独立性：某个方向上的运动不会因为其它方向上是否有运动而影响自己的运动性质。③运动独立性原理（叠加原理）：一物体可同时参与几种不同的运动，在研究问题时可以把各分运动都看作互相独立进行，它们互不影响。而一个物体的运动可以看成由几个各自独立进行的运动的叠加而成

④等时性：合运动通过合位移所需的时间和对应的每个分运动通过分位移的时间相等。即各分运动总是同时开始，同时结束

⑶运动合成分解：

①运动的合成和分解：已知分运动求合运动叫运动的合成，已知合运动求分运动叫运动的分解

②运动的合成和分解的运算法则：是指物体运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解

a 、合运动的位移等于二分运动位移的矢量和，符合平行四边形法则

b 、合运动的速度等于二分运动速度的矢量和，符合平行四边形法则

c 、合运动和分运动具有等时性

⑷当两直线运动的合速度的方向和合加速度的方向重合时，合运动为直线运动

⑸曲线运动可分解为两个方向上的直线运动，分别研究两方向上的受力和运动规律

4、绳拉物体的速度分解问题：

原理：物体运动的速度v 为合速度，这个速度在沿绳子方向的分速度v 1就是绳子拉长或缩短的速度，物体速度v 的另一个分速度v 分就是绳子的摆动速度，它一定和v 1垂直总之一句话：绳端速度总沿着绳子方向和垂直于绳子方向分解（可用微元法证明）

5、小船渡河的四个极值问题

渡河问题，是运动合成与分解的典型模型，这里介绍四个极值问题及其应用

设船对水的速度为V 1（即船在静水的速度），水的速度为V 2（即水对河岸的速度），河的两岸平行，宽度为L

⑴当船头垂直河岸时，渡河时间最短：1

v L t = ⑵当V 1＞V 2，合速度方向垂直河岸时，渡河位移最小：s=L

⑶当V 1

最小，位移也最小:1

2v v s = ⑷船沿指向下游的固定航线渡河，当船头与船的合速度垂直，即V 1⊥V w 合时，船相对水的速度最小，且等于V 水垂直于航线的分量。

5、平抛运动

⑴平抛运动定义：水平抛出的物体，只在重力作用下的运动叫做平抛运动

⑵平抛运动的特点：

①只受重力作用，且有一水平初速度。

②水平方向作匀速直线运动（加速度为零），竖直方向作自由落体运动（加速度为g ） ③平抛运动是匀变速曲线运动，它的轨迹是抛物线

⑶平抛运动的处理方法：

①水平方向：速度为v 0的匀速直线运动，0v x

v =，t v X 0=，0v X x t =

②竖直方向：自由落体运动，gt y v =，221

gt Y =，y t =0

X

只考虑竖直方向上，

gh y v 2=， 2gT h =? S V 0 ③任意时刻的速度：22y v x v v

+= V y V

0tan v gt x v y

v ==θ， θ为v 与v 0间的夹角。 Y ④任意时刻的位移：2

2y x s += θαtan 21021tan ===v gt

x y

，α为s 与v 0间的夹角。

⑤平抛物体运动中的速度变化

水平方向分速度保持v x =v 0。竖直方向，加速度恒为g ，速度v y =gt ，从抛出点起， 每隔Δt 时间的速度的矢量关系如图所示，这一矢量关系有两个特点：

a 、任意时刻的速度水平分量均等于初速度v 0

b 、任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量均竖直向下，且Δv ＝Δv y =g Δt

注意：运动学公式只适用于直线运动，因此曲线运动要分解为两个直线运动后才能应用运动学公式。

例题：如图所示，以9.8米/秒的水平初速度0v 抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为30?的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间是

A ．33秒

B ．332秒

C ．3秒

D ．2秒

解析：平抛运动可以认为是水平匀速和自由落体运动的合运动。飞行时间与初速无关，它可以从飞行高度或落地竖直分速度的信息中取得，本题可以使用竖直分速度这一信息。把垂直撞在斜面的速度分解为水平分速度v 0和竖直分速度v y v v v gt y y =?=030ctg ，，解之得t =3秒。正确选项C 。

例题：宇航员站在一星球表面的某高处，沿水平方向抛出一个小球，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L 。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L ，如图所示。已知小球飞行时间为t ，且两落地点在同一水平面上。求该

星球表面的重力加速度的数值。

解析：本题是近几年来的新题型，它的特色是给出了抛出点与落地点间的距离这一信息而没有直接给出，飞行的高度或水平射程。我们只要把已知的信息与飞行高度或水平射程建立联系，就又把这类习题改成了传统题，即把未知转化为已知。

设抛出点高度为h ，初速度为v ，星球表面重力加速度为g 。 由题意可知：()()22222222321vt h L vt h L gt h +=+==，，。 解之得：2332t L g = 答案：该星球表面重力加速度数值为2332t L 。 如果本题再已知该星球半径为R ，万有引力常数为G ，还可以求该星球的质量M ，读者可以试一试，答案为22

332Gt LR M =。

例题：如图所示，一个同学做平抛实验时，只在纸上记下过起点的纵坐标y 方向，但未记录平抛运动的起点，并描下了平抛运动的一段轨迹，在轨迹上取A 、B 两点，用刻度尺分别测量出它们到y 轴的距离x 1、x 2以及AB 的竖直距离h ，则小球平抛运动的初速度v 0= 。

解析：画出平抛运动由抛出点开始的轨迹如图所示。用平抛运动是水平匀速和自由落体合运动的知识，把参量还原到抛出点去考虑。又转化成了平抛的基本题。

设从抛出点到A 、B 的竖直高度分别为H A 和H B 。 由题意可知：h H H B A =-

再设平抛到A 、B 的时间为t A 和t B ，()222

1A B t t g h -=。 ()

h x x g v v x v x g h t v x t v x t v x B

A 221212202021202202010-=???? ??-====，，， 答案：

6、匀速圆周运动的特点：

⑴匀速圆周运动的定义：做圆周运动的物体在相等的时间内通过的弧长相等。

⑵匀速圆周运动的轨迹：是圆，且任意相等的时间内半径转过的角度相等。

⑶匀速圆周运动的性质：①“匀速”指的是“匀速率”，即速度的大小不变但速度的方向

时刻改变。

②加速度大小不变，但加速度的方向时刻改变，所以是变加速曲

线运动。

7、圆周运动的表征物理量：

⑴线速度v ：①定义：圆周运动的瞬时速度；单位时间内通过的弧长

②大小：线速度=弧长/时间，即v=s/t ；

③方向：圆周的切线方向；

④匀速圆运动线速度的特点：线速度大小不变，但方向时刻改变 ⑵角速度ω： ①定义：半径在单位时间内转过的角度；

②大小：角速度=角度（弧度）/时间即：ω=φ/t

③单位：弧度每秒，即：rad/s ；

④匀速圆周运动中角速度特点：角速度恒定不变

⑶周 期T ： ①定义：匀速圆周运动物体运动一周所用的时间；

②大小：周期=周长/线速度，即：T=2πr/v

③单位：秒，即s ；

④匀速：圆周运动中周期的特点：周期不变

⑷频 率f ： ①定义：每秒钟完成匀速圆周运动的转数

②大小：f=1/T

③单位：赫兹，即Hz ，1Hz=1转/秒

⑸转 速n ： ①定义：单位时间内做匀速圆周运动的物体转过的圈数，符号n

②大小：转速的大小就等于频率的大小

③单位：国际单位制中用转/秒，日常生活中也用转/分

⑹匀速圆周运动各物理量之间的关系：

①各量关系：v=2πr/T ，

ω=2π/T=2πf=2πn(n 的单位为转/秒)，

v=ωr

②同一转盘上半径不同的各点，角速度相等但线速度大小不同

③皮带传动或齿轮传动的两轮边缘线速度大小相等，但角速度不一定相同

④当半径一定时，线速度与角速度成正比；当角速度一定时，线速度与半径成正比

8、向心力

⑴向心力定义：做匀速圆周运动的物体受到的合外力总是指向圆心，这个力叫做向心力。

【注意】向心力是根据力的作用效果命名，不是某种特殊性质的力。

⑵向心力的来源：可以由重力、弹力、摩擦力等提供。总之是物体所受的合外力提供了物

体做匀速圆周运动所需的向心力。

⑶向心力的方向：总是沿半径指向圆心，方向时刻与线速度方向垂直，故方向时刻在改变。

向心力是变力。

⑷向心力的作用效果：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。 ()

h x x g v 221220-=

【原因】向心力指向圆心，而物体的运动方向沿圆周上该处的切线方向，两者相互垂直。

物体在运动方向所受的合外力为零。在这个方向上无加速度。速度大小不会改变，所以向心力只改变速度的方向，。

⑸向心力的大小：

①向心力大小：F n ＝mr ω2＝2)2(

T mr π＝mr(2πf)2＝mr(2πn)2 F n ＝m v 2/r

②向心力大小与多个变量有关。因此在分析问题时，一定要利用控制变量的方法不处理。即在设定其它量不变的条件下，来分析所需向心力与某一变量的关系。

③向心力F 跟r 、ω（或v ）是瞬时对应关系。

⑹匀速圆周运动的条件：具有初速度v ，合外力大小不变，方向时刻垂直线速度v ，指向圆心

【注意】物体在恒力作用下不可能作匀速圆周运动。

9、向心力作用下使物体产生的加速度―――向心加速度a n

⑴向心加速度：在向心力作用下物体产生的加速度叫做向心加速度

【注意】向心力与向心加速度具有瞬时对应关系，即向心力改变时，向心加速度随即改变 ⑵向心加速度的方向：始终垂直于线速度，沿着半径指向圆心，且每时每刻都在不断地变

化。所以匀速圆周运动是变加速曲线运动

⑶向心加速度的大小：a n ＝ r ω2＝2)2(

T r π＝r(2πf)2＝r(2πn)2

a n ＝v 2/r

a n ＝v ω

⑷向心加速度是描述速度方向变化快慢的物理量。

⑸当v 一定时，a n 与r 成反比；当ω一定时a n 与r 成正比，注意：r 、v 及ω间有制约关系

例题：下列说法正确的是

A ．匀速圆周运动是一种匀速运动

B ．匀速圆周运动是一种匀变速运动

C ．匀速圆周运动是一种变加速运动

D ．因为物体有向心力存在，所以才使物体不断改变速度的方向而做圆周运动 解析：匀速圆周运动的加速度大小不变而方向在时刻改变，因此属于变加速运动。力是改变物体运动状态的原因，向心力对速度大小的改变没有贡献，它作用只是不断改变速度方向，所以正确选项是C 、D 。

10、离心现象：

⑴定义：做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或者不足于提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动就叫离心运动

⑵离心现象的应用：

①离心干燥器（洗衣机的脱水筒）：利用离心运动把附着在物体上的水分甩掉

②用离心机把体温计的水银柱甩回玻璃泡内

③“棉花糖”的制作

⑶离心现象的防止：

①车辆转弯时速度不能超过规定的速度：车辆转弯时所需的向心力大于最大静摩擦力时，即最大

静摩擦力不能提供汽车转弯时所需的向心力时，汽车将做离心运动而造成交通事故 ②高速转动的砂轮、飞轮等都不得超过允许的最大速度，如果转速过高，砂轮、飞轮内部分子间的相互作用力不足以提供所需的向心力时，离心运动会使它们破裂，以致酿成事故。

例题：将来人类离开地球到宇宙中去生活，可以设计成如图所示的宇宙村，它是一个圆形的密封建筑，人们生活在圆环的边上，为了使人们在其中生活不至

于有失重感，可以计它旋转，设这个建筑物的直径为200m ，那么，

当它绕其中心轴转动的转速为多少（r/s ）时，人类感觉到像生活在地

球上一样要承受10m/s 2的加速度？如果转速超过了上述值，人们将有

怎样的感觉？

解析：处于宇宙间的物体处于完全失重状态，现要生活在其宇宙村中的人无失重感，题中告诉让该装置转动，即处于宇宙村边缘的人随宇宙村一起旋转时，所需的向心加速度等于题中所给的10m/s 2时对应的转速就是所求转速。

由圆周运动的向心力加速度公式有a=（2πn ）2R

得n =R

a 21

代入数值有n =0.05r/s 。 若转速超过此值,由上式可知,其加速度将大于10m/s 2，因而人有超重的感觉。

点评 这是一道假设推理题，要求建立一个物理假象的模型，这能培养学生的想象力和处理解决问题的能力，同时这也是高考趋势的发展方向。要求考生能够根据已知的知识和所给的物理事实、条件，对物理问题进行逻辑推理和论证，得出正确的结论或作出正确的判断，并能把推理过程表达出来，论证推理有助于加强对学生的推理能力的考查。

1、匀速圆周运动解题步骤：

⑴明确研究对象，确定它在哪个平面内做圆周运动，找出圆心和半径

⑵确定研究对象在某位置（某时刻）所处状态，进行受力分析，作出受力分析图，找出向心力的来源

⑶根据向心力公式F n = m ω2r=m v 2/r=m ωv=m （2π/T ）2r 列方程，取“向心”方向为正

⑷检查结果的合理性，并进行必要的分析讨论。

例题：如图所示一皮带轮传动装置，右轮半径为r ，a 是它边缘上的一点。左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮半径为2r ，b 点在小轮上，到小轮中心距离为r ，c 点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则

A ．a 点与b 点的线速度大小相等

B ．a 点与b 点的角速度大小相等

C ．a 点与c 点的线速度大小相等

D ．a 点与d 点的向心加速度大小相等

规律

解析：匀速圆周运动中各参量的关系，即v R =ω，v R T =2π，ωπ=2T ，a v R

R ==2

2ω，a v =ω。在皮带传动中这些参量的特殊制约和联系是：皮带上各点线速度大小相等；同轴的轮上各点角速度相等。由题意可知v v a c =，ωωωc b d ==再经过简单运算可得出正确选项是C 、D 。

例题：质量相等的小球A 、B 分别固定在轻杆OB 的中点及端点，当杆在光滑水平面上绕O 点匀速转动，如图所示，求杆的OA 段及AB 段对球的拉力之比？

解析：A 、B 小球受力如图所示，在竖直方向上A 与B 处于平衡态。在水平方向上根据匀速圆周运动规律T T m OA A B -=ω2，

T m OB B =ω2，O B O A =2。

T m OA T m OA A B ==ωω2232·，，

T A ∶T B = 3∶2

答案：T A ∶T B = 3∶2

2、匀速圆周运动的实例分析

⑴火车拐弯问题：

由于火车的质量比较大，火车拐弯时所需的向心力就很大。如果铁轨内外侧一样高，则外侧轮缘

所受的压力很大，容易损坏；实用中使外轨略高于内轨，从而重力，铁轨支持力和侧向压力的合力

提供火车拐弯时所需的向心力

例题：铁轨拐弯处半径为R ，内外轨高度差为H 两轨间距为L ，火车总质量为M ，则： ⑴火车在拐弯处运动的“规定速度v P ”大小为 ，

⑵若火车实际速度大于v P ，则 轨将受到侧向压力，

⑶若火车实际速度小于v P ，则 轨将受到侧向压力。

解析：⑴mgtan θ=m R v 2

L g R H gR v /tan ≈=θ

⑵火车做离心运动，外轨受到侧向压力。

⑶火车做向心运动，内轨受到侧向压力。

例题：在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ．设拐弯路段是半径为R 的圆弧，要使车速为v 时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零,θ应等于( )

A .arcsin Rg v 2

B . arctan Rg

v 2

C . 21arcsin Rg v 22 D. arccot Rg

v 2

解析：如图所示，要使摩擦力为零，必使车受的重力与支持力的

合力捉供向心力，则：F n =mgtan θ=m R v 2，故所以θ＝arctan Rg

v 2

。即答案为B 。

点评这是一道综合应用题，是用圆周运动知识来解决处理实际物理

问题，这在实际生活中有着广泛的应用，例如铁路、高速公路、杂技表演等，都是利用自身的重力分力提供转弯所需的向心力。

⑵“水流星”节目分析

例题：⑴绳系杯子在竖直平面内圆运动，最高点杯中水不流

出的原因是： 。

⑵杯在最高点的最小速度v min = ，

⑶设杯内水的质量为m ，则当最高点的速度v 1＞v min 时，

杯对水的压力N= ，

⑷设杯运动到最低点速度为v 2，则此时水对杯的压力 N`= 。

解析：⑴水和重力提供水做圆周运动的向心力 ⑵l

v m mg 2= gl v = ⑶l v m

N mg 2=+ mg l v m N -=2 ⑷l v m mg N 2=- mg l

v m N +=2 ⑶“水流星”节目的变形讨论

①“绳模型”

如图所示，在最高点没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况 例：绳拴一小球在竖直平面内做圆周运动、小球在竖直平面内单轨道的内单侧做圆周运动 ⑴临界条件：绳子或轨道对小球没有作用力

R v m mg 2

= gR v ＝临界 （可理解为恰好转过或恰好转不过）

【注意】如果小球带电，且空间存在电、磁场，临界条件应是小球所受重力、电场力和

洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度v 临界≠√gR ⑵小球能过最高点的条件：gR v ≥ （当v ＞√gR 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生支持力） ⑶小球不能过最高点条件：gR v （实际上球还没到最高点就脱离了轨道）

⑷绳拴小球或小球在竖直平面内单轨道内侧做圆周运动，在最高点的最小速度v min =gR 例题：一宇航员抵达一半径为R 的星球表面后，为了测定该星球的质量M ，做如下的实验，取一根细线穿过光滑的细直管，细线一端拴一质量为m

的砝码，另一端连接在一固定的测力计上，手握细直管抡动砝

码，使它在竖直平面内做完整的圆周运动，停止抡动细直管，

砝码可继续在同一竖直平面内做完整的圆周运动，如图所示，

此时观察测力计得到当砝码运动到圆周的最低点和最高点两位

置时测力计的读数差为△F ，已知引力常量为G ，试根据题中所

提供的条件和测量结果，求出该星球的质量M 。

解析：最高点F 1+mg =m r v 21，最低点F 2-mg = m r

v 22，根据机械能守恒定律：21mv 12+mg ·2r =21mv 22，可得g =m

F ?，星球表面上质量为m 的物体所受重力等于万有引力，即2R GMm =mg ，M =Gm

F R

G g R 622?= 点评这是一道与万有引力知识相结合的试题，一要解决圆运动的问题，二要处理星球表面重力加速度的概念。

②“杆模型”

如图所示，在最高点有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况

例题：杆粘小球在竖直平面内做圆周运动或小球在竖直平面内双轨道的内侧做圆周运动。

⑴临界条件：v=0（有物体支承的小球不会脱落轨内，只要还有向前速度都能向前运动） ⑵小球在最高点的受力分析：（杆或双轨道的内外环对小球产生的弹力即可指向圆心也可背向圆心）

①当v ＝0时， 杆对球作用力为支持力或内环对球有支持力，方向和指向圆心方向相反，

大小为：N ＝mg 。

②当0＜v ＜√gR 时，杆对球作用力为支持力或内环对球有支持力，方向和指向圆心方向相反，

大小为：N ＝mg －mv 2/R ； N 随v 的增大而 减小 。

③当v ＝√gR 时， 杆对球作用力N ＝0或内外环对球均无作用力。

④当v ＞√gR 时， 杆对球作用力为拉力或外环对其有支持力，方向指向圆心方向

大小为：N ＝mv 2/R －mg ； N 随v 的增大而 增大 。

例题：长为L 的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内作圆周运动，关于小球在过最高点的速度v ，下列叙述中正确的是

A ．v 极小值为gL

B ．v 由零增大，向心力也逐渐增大

C ．当v 由gL 逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大

D ．当v 由gL 逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小 解析：由于杆既可以承受压力又可以承受拉力，因此小球受合力既可以大于小球重力又可以小于小球重力，也可以等于小球重力。当杆受力为零时，重力充当向心力L

mv mg 2=， gL v =。当gL v >时杆对小球施拉力；gL v <时杆对小球施压力，因此v 极小值可以小于gL ，只要大于0即可。故正确选项是B 、C 、D

例题：一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R (比细管的半径大得多)．在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点)．A 球的质量为m 1，B 球的质量为m 2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v 0．设A 球运动到最低点时，B 球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m 1、m 2、R 与v 0应满足的关系式是 。

解析：这是一道圆周运动与机械能守恒的综合题目,也是一道情景新颖的讨论题,要求能正确地对A 、B 两球进行受力分析,判断出A 、B 受到圆管对它们的作用力的方向，列出正确的方程式,问题便会迎刃而解。由题意可知，为了使在最高点的B 球和最低点的A 球对圆管

的作用力的合力为零，则有：对A ，N A －m 1g= m 1R

v 20（N A 的方向必向上）。 对B ，N B +m 2g= m 2R

v 20 (N B 的方向必向下)．又知B 球在最低点时速度为 v 0，在最高点时速度为 v ，则应有21m 2v 20= 2

1m 2v 2+ m 2g·2R ,依题意。 则有A 、B 对圆管的合力为零．整理得m 1、m 2、R 及N A =N B ,则有A 、B 对圆管的

合力为零。故所以得（m 1－m 2）R

v 20+（m 1+m 2）g ＝0。 点评本题考查了机械能的有关知识和圆周运动的有关知识。要求对运动物体有正确的守力分析，要对物体的运动状态进行确定。

⑷汽车过桥问题：

例题：汽车质量为m ，通过一桥：

⑴当汽车以速率v 通过半径为R 的拱形桥，在最高点对桥的压力为： N ＝mg －mv 2/R ；

且压力随v

⑵当车的速度

⑶如汽车以速率通过半径为R 的凹形桥，则最低点桥对车的支持力为N ＝mv 2/R+mg ；

且支持力随v 的增大而 增大 。

⑸水平转台上物体运动分析：

例题：如图，水平转台上的物体m 随转台一起匀速转动，

⑴当半径不变，角速度增大时，设物体仍作匀速圆周运动，则物体受到的静摩擦力 增大 ，弹力 不变 ，向心力 增大 ，向心加速度 增大 ；

⑵当角速度不变，半径增大时，设物体仍作匀速圆周运动，则物体受到的静摩擦力 增大 ，线速度 增大 ，向心加速度 增大 。

例题：如图所示，水平转台上放有质量均为m 的两小物块A 、B ，A

离转轴距离为L ，A 、B 间用长为L 的细绳相连，开始时，A 、B 与

轴心在同一直线上，线被拉直，A 、B 与水平转台间摩擦因数均为μ，

当转台的角速度达到多大时线上出现张力？当转台的角速度达到多

大时A 物块开始滑动？

解析：绳上开始出现张力时，B 受的最大静摩擦力刚好充当向心力，

即μmg =m ω2·2L ，

ω=L g 2/μ

当A 所受摩擦力达到最大静摩擦力时，A 开始滑动，

此时，μmg-F =m ω21L ，F+μmg = m ω21·2L

故2μmg =3 m ω21L ，ω1=L g 3/2μ

点评物体转动的加速度增加，其所需的向心力也相应增加，所以摩擦力逐渐增加，但静摩擦力有一个极值，即最大静摩擦力。如果超过极限，外力不能提供物体作圆周运动所需的向心力就要开始滑动。

小学数学总复习经典习题解析

小学数学总复习经典好题解析 提前练习一道：分数的加减法单元习题 李林喝了一杯牛奶的1/6,然后加满水，又喝了一杯的1/3，再倒满水后又喝了半杯，又加满了水，最后把一杯都喝了。李林喝的牛奶多，还是水多？ 解答题 1、甲、乙两个修路队同时合修一条1875米的公路，用25天。完工时乙队比甲队少修125米，乙队平均每天修35米，甲队平均每天修多少米？ 2、快车从甲站到达乙站需要8小时，慢车从乙站到达甲站需要12小时，如果快、慢两车同时从甲、乙两站相对开出，相遇是快车比慢车多行180千米，甲、乙两站相遇多少千米？ 3、电影门票20元一张，降价后观众增加一倍，收入增加五分之一，那么一张门票降价多少元？ 4、甲、乙两列火车同时从A、B两城相对开出，行了3.2小时后，两列还相距全程的5/8, 两车还需要几小时才能相遇？ 5、加工一批零件，甲独做30小时完成，乙独做20小时完成，现在两人同时加工，完成任务时，乙给甲87个，两人零件个数就相等，这批零件共多少个？

6、修一条路3天修完。第一天修全长的37%，第二天和第三天修的米数的比是4:5，第二天修了64米，这条路全长多少米？ 7、红星鞋厂生产一批儿童鞋准备装箱。如果每箱装70双，5箱装不满，如果每箱装44双，7箱又装不完，最后决定每箱装A双，这是恰好装满A箱而没有剩余，这批儿童鞋共有多少双？ 8、有两桶油，第一桶用去1/4后，余下的与第二桶的质量比是3:5，第一桶原来有油18千克，第二桶原来有油多少千克？ 9、客车从甲地，货车从乙地同时相对开出。一段时间后，客车行了全程的7/8,货车行的超过中点54千米，已知客车比货车多行了90千米，甲、乙两地相距多少千米？ 10、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，当甲车行到全程的7/11时与乙车相遇，乙车继续以每小时40千米的速度前进，又行驶了154千米到达A地。甲车出发到相遇用了多少小时？ 11、生产一批零件，甲每小时可以生产70个，乙单独做要10小时完成，现在由甲、乙两个人同时合做完成，甲、乙生产零件数量的比是4:3，甲一共生产理解多少个？ 12、一个商店以每双6.5双的价格购进一批布鞋，以每双8.7元的价格售出，当卖出这批布鞋的3/4时，不仅收回原来的成本，而且还盈利20元，购进这批布鞋是多少双？

功和功率知识点梳理与典型例题

功知识点梳理与典型例题： 一、功 1．功：如果一个力作用在物体上，物体在这个力的方向我们就说力对物体做了功．2．做功的两个必要因素：和物体在力的方向上． 3．计算公式：，功的单位：，1焦耳物理意义是。 4．不做功的几种情况： A．“劳而无功”物体受到力的作用，但物体没有移动，这个力对物体不做功． 如小孩搬大石头搬不动． B．“不劳无功”由于惯性保持物体的运动，虽有通过的距离，但没有力对物体做功．如冰块在光滑水平面上运动． C．“垂直无功”当物体受到的力的方向与物体运动方向垂直时，这个力对物体不做功． 如提着重物在水平地面上行走．甲、乙图是力做功的实例，丙、丁图是力不做功的实例 基础题 【例1】在国际单位制中，功的单位是（） A．焦耳B．瓦特C．牛顿D．帕斯卡 【例2】以下几种情况中，力对物体做功的有（） A．人用力提杠铃，没有提起来B．沿着斜面把汽油桶推上车厢 C．用力提着水桶水平移动2米，水桶离地面高度不变 D．物体在光滑水平面上匀速前进二米 【例3】下列关于物体是否做功的说法中正确的是（） A．起重机吊着钢筋水平匀速移动一段距离，起重机对钢筋做了功 B．被脚踢出的足球在草地上滚动的过程中，脚对足球做了功 C．小刚从地上捡起篮球的过程中，小刚对篮球做了功 D．小丽背着书包站在路边等车，小丽对书包做了功 【例4】如图所示的四种情景中，人对物体做功的是（） 的是（） 【例5】关于图所示的各种情景，下面说法错误 ．．

A ．甲图中：系安全带可预防汽车突然减速时人由于惯性前冲而撞伤 B ．乙图中：人用力向上搬大石块没有搬动，则重力对大石块做了功 C ．丙图中：在拉力作用下拉力器弹簧变长，说明力可使物体发生形变 D ．丁图中：抛出的石块在重力作用下改变原来的运动方向和运动快慢 【例6】 物体A 在水平拉力F =20N 的作用下，第一次加速运动了10m ，第二次匀速运动了 10m ，第三次减速运动了10m ，在三次不同的运动情况中比较拉力F 对物体做的功 （ ）A ．第一次最多 B ．第二次最多 C ．三次一样多 D ．第三次最多 【例7】 一个人先后用同样大小的力沿水平方向拉木箱，使木箱分别在光滑和粗糙两种不同 的水平地面上前进相同的距离．关于拉力所做的功，下列说法中正确的是（ ） A ．在粗糙地面上做功较多 B ．在光滑地面上做功较多 C ．两次做功一样多 D ．条件不够，无法比较两次做功的多少 【例8】 如图所示，已知A B C M M M >>．在同样大小的力F 作用下，三个物体都沿着力的 方向移动了距离s ，则力F 所做的功（ ） A ．A 情况下F 做功最多 B ．B 情况下F 做功最多 C ．C 情况下F 做功最多 D ．三种情况下F 做功相同 【例9】 一名排球运动员，体重60kg ，跳离地面0.9m ，则他克服重力做功（取g =10N/kg ） （ ）A ．54J B ．540J C ．9J D ．600J 【例10】 今年6月美国将在科罗拉多大峡谷建成观景台．观景台搭建在大峡谷的西 侧谷壁上，呈U 字型，离谷底1200m 高，取名为“人行天桥”，如图所 示．如果在建造过程中有一块质量为0.1kg 的石子从观景台掉落谷底，则 下落过程中，石子的重力做功为（g 取10N/kg ）（ ） A ．12J B ．1200J C ．51.210J ? D ．61.210J ? 【例11】 某商场扶梯的高度是5m ，扶梯长7m ，小明体重为600N ．扶梯把小明 从三楼送上四楼的过程中对小明做功_________J ． 中档题 【例12】 足球运动员用500N 的力踢球，足球离开运动员的脚后向前运动了50m ，在此运动过程中，运动员对足球做的功是 J ． 【例13】 某人用20N 的力将重为15N 的球推出去后，球在地面上滚动了10m 后停下来，这 个人对球所做的功为（ ） A ．0 B ．200J C ．150J D ．条件不足，无法计算 【例14】 重为1000N 的小车，在拉力的作用下沿水平地面匀速前进10m ，小车所受阻力为 车重的0.3倍，则拉力对小车做的功为_________J ；小车的重力做的功为 _________J ．

七年级数学上册期末复习典型例题讲析(人教版)

七年级数学上册典型例题 例1. 已知方程2x m－3+3x=5是一元一次方程，则m= . 解：由一元一次方程的定义可知m－3=1，解得m=4.或m－3=0，解得m=3 所以m=4或m=3 警示：很多同学做到这种题型时就想到指数是1，从而写成m=1，这里一定要注意x的指数是（m－3）. 例2. 已知2 x=-是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解，求a的值. 解：∵x=－2是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解 ∴将x=－2代入方程， 得a·（－2）2－（2a－3）·（－2）+5=0 化简，得4a+4a－6+5=0 ∴ a=8 1 点拨：要想解决这道题目，应该从方程的解的定义入手，方程的解就是使方程左右两边值相等的未知数的值，这样把x=－2代入方程，然后再解关于a的一元一次方程就可以了. 例3. 解方程2（x+1）－3（4x－3）=9（1－x）. 解：去括号，得2x+2－12x+9=9－9x， 移项，得2+9－9=12x－2x－9x. 合并同类项，得2=x，即x=2. 点拨：此题的一般解法是去括号后将所有的未知项移到方程的左边，已知项移到方程的右边，其实，我们在去括号后发现所有的未知项移到方程的左边合并同类项后系数不为正，为了减少计算的难度，我们可以根据等式的对称性，把所有的未知项移到右边去，已知项移到方程的左边，最后再写成x=a的形式. 例4. 解方程 1 7 5 3 2 1 4 1 6 1 8 1 = ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? + - x . 解析：方程两边乘以8，再移项合并同类项，得111 351 642 x ?-? ?? ++= ? ?? ?? ?? 同样，方程两边乘以6，再移项合并同类项，得11 31 42 x- ?? += ? ??

2021年新人教版七年级数学下期末复习资料 知识归纳与典型例题

七年级数学 下学期期末复习知识归纳总结与典型例题 【本讲教育信息】 一. 教学内容: 期末几何复习 二. 知识归纳总结(知识清单) 知识点(1)同一平面两直线的位置关系 知识点(2)三角形的性质 三角形的分类 <1>按边分 <2>按角分 ???? ???三角形 三角形锐角三角形)9()8(

知识点(3)平面直角坐标系 <1>有序实数对 有顺序的两个实数a和b组成的实数对叫做有序实数对，利用有序实数对可以很准确地表示(18) 的位置。 <2>平面直角坐标系 在平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向，两坐标轴的交点O为平面直角坐标系的(19) 三、中考考点分析 平面图形及其位置关系是初中平面几何的基础知识，相交点与平行线更是历年中考常见的考点，通常以填空题和选择题的形式考查，其中角平分线的定义及其性质，平行线的性质与判定，利用“垂线段最短”解决实际问题是重点；平面直角坐标系的考查重点是在直角坐标系中表示点及直角坐标系中点的特征，分值为3分左右，考查难度不大；三角形是最基本的几何图形，三角形的有关知识是学习其它图形的工具和基础，是中考重点，考查题型主要集中在选择题和解答题。 【典型例题】 相交线与平行线 例一、如图:直线a∥b，直线AC分别交a、b于点B、C，直线AD交a于点D 若∠1＝20°，∠2＝65°

则∠3＝＿＿＿ 解析:∵a∥b(已知) ∴∠2＝∠DBC＝65°(两直线平行，内错角相等) ∵∠DBC＝∠1＋∠3(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和) ∴∠3＝∠DBC－∠1 ＝65°－20° ＝45° 本题考查平行线性质和三角形的外角性质的应用 例二．将一副三角板如图放置，已知AE∥BC，则∠AFD的度数是【】A．45°B．50°C．60°D．75° 解析:∵AE∥BC(已知) ∴∠C＝∠CAE＝30°(两直线平行，内错角相等) ∵∠AFD＝∠E＋∠CAE(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和) ＝45°＋30°=75°故选D 本题解答时应抓住一副三角板各个角的度数 例三．如图，∠1＋∠3＝180°，CD⊥AD，CM平分∠DCE，求∠4的度数 解析:∵∠3＝∠5(对顶角相等)∠1＋∠3＝180°(已知) ∴∠1＋∠5＝180°(等量代换) ∴AD∥BE(同旁内角互补，两直线平行) ∵CD⊥AD(已知) ∴∠6＝90°(垂直定义) 又∵AD∥BE(已证) ∴∠6＋∠DCE＝180°(两直线平行，同旁内角互补) ∴∠DCE＝90° 又∵CM平分∠DCE(已知)

反函数例题讲解

反函数例题讲解 例1．下列函数中，没有反函数的是 ( ) (A) y = x 2－1（x <2 1-） (B) y = x 3+1（x ∈R ） (C) 1 -= x x y （x ∈R ，x ≠1） (D) ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定． 判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y 表示x 的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数． 本题应选（D ）． 因为若y = 4，则由 ? ? ?≥=-2422x x ， 得 x = 3． 由 ? ? ?<=-144x x ， 得 x = －1． ∴ （D ）中函数没有反函数． 如果作出 ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 的图像（如图），依图 更易判断它没有反函数． 例2．求函数 211x y --=（－1≤x ≤0）的反函数． 解：由 211x y --=，得：y x -=-112 ． ∴ 1－x 2 = (1－y )2， x 2 = 1－(1－y )2 = 2y －y 2 ． ∵ －1≤x ≤0，故 22y y x --=． 又 当 －1≤x ≤0 时， 0≤1－x 2≤1， ∴ 0≤21x -≤1，0≤1－21x -≤1， 即 0≤y ≤1 ． ∴ 所求的反函数为 22x x y --=（0≤x ≤1）．

由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： ① 把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数，求出x = φ ( y )． ② 求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域； ③ 依习惯，把自变量以x 表示，因变量为y 表示，改换x = φ ( y )为y = φ ( x )． 例3．已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x + 2（x <－1），那么 f －1 (2 )的值为__________________． 分析：依据f －1 (2 )这一符号的意义，本题可由f ( x )先求得f －1 ( x )，再求f －1 (2 )的值（略）． 依据函数与反函数的联系，设f －1 (2 ) = m ，则有f ( m ) = 2．据此求f － 1 (2 )的值会简捷些． 令 x 2 + 2x + 2 = 2，则得：x 2 + 2x = 0 ． ∴ x = 0 或 x =－2 ． 又x <－1，于是舍去x = 0，得x =－2，即 f －1 (2 ) = －2 ． 例4．已知函数 241)(x x f +=（x ≤0），那么 f ( x )的反函数f －1 ( x ) 的图像是 ( ) （A （（B （C

高中物理功和功率典型例题精析

高中物理功和功率典型例题精析 [例题1] 用力将重物竖直提起，先是从静止开始匀加速上升，紧接着匀速上升，如果前后两过程的时间相同，不计空气阻力，则[ ] A．加速过程中拉力的功一定比匀速过程中拉力的功大 B．匀速过程中拉力的功比加速过程中拉力的功大 C．两过程中拉力的功一样大 D．上述三种情况都有可能 [思路点拨]因重物在竖直方向上仅受两个力作用：重力mg、拉力F．这两个力的相互关系决定了物体在竖直方向上的运动状态．设匀加速提升重物时拉力为F1，重物加速度为a，由牛顿第二定律F1－mg=ma， 匀速提升重物时，设拉力为F2，由平衡条件有F2=mg，匀速直线运动的位移S2=v·t=at2．拉力F2所做的功W2=F2·S2=mgat2． [解题过程] 比较上述两种情况下拉力F1、F2分别对物体做功的表达式，不难发现：一切取决于加速度a与重力加速度的关系． 因此选项A、B、C的结论均可能出现．故答案应选D． [小结]由恒力功的定义式W=F·S·cosα可知：恒力对物体做功的多少，只取决于力、位移、力和位移间夹角的大小，而跟物体的运动状态(加速、匀速、减速)无关．在一定的条件下，物体做匀加速运动时力对物体所做的功，可以大于、等于或小于物体做匀速直线运动时该力做的功． [例题2]质量为M、长为L的长木板，放置在光滑的水平面上，长木板最右端放置一质量为m 的小物块，如图8－1所示．现在长木板右端加一水平恒力F，使长木板从小物块底下抽出，小物块与长木板摩擦因数为μ，求把长木板抽出来所做的功．

[思路点拨] 此题为相关联的两物体存在相对运动，进而求功的问题．小物块与长木板是靠一对滑动摩擦力联系在一起的．分别隔离选取研究对象，均选地面为参照系，应用牛顿第二定律及运动学知识，求出木板对地的位移，再根据恒力功的定义式求恒力F的功． [解题过程] 由F=ma得m与M的各自对地的加速度分别为 设抽出木板所用的时间为t，则m与M在时间t内的位移分别为 所以把长木板从小物块底下抽出来所做的功为 [小结]解决此类问题的关键在于深入分析的基础上，头脑中建立一幅清晰的动态的物理图景，为此要认真画好草图(如图8－2)．在木板与木块发生相对运动的过程中，作用于木块上的滑动摩擦力f 为动力，作用于木板上的滑动摩擦力f′为阻力，由于相对运动造成木板的位移恰等于物块在木板左端离开木板时的位移Sm与木板长度L之和，而它们各自的匀加速运动均在相同时间t内完成，再根据恒力功的定义式求出最后结果．

曲线运动、运动的合成与分解复习课

曲线运动、运动的合成与分解复习课 学习目标 1.熟练运用曲线运动的条件分析判断物体运动轨迹是直线还是曲线。 2. 深入理解合运动与分运动的关系。 3. 探究合运动的性质和轨迹。 一、曲线运动的方向、条件、轨迹 知识点整合： 1.曲线运动的方向：某一点(或某一时刻)速度方向,沿曲线（轨迹）在这一点的方向。 2.曲线运动的条件：合外力（加速度）方向与方向。 3.曲线运动的轨迹与速度方向及合外力方向关系：。例析1：(多选)如图所示，一个质点沿轨迹ABCD运动，图中画出了质点在各处的速度v和质点所受合力F的方向，其中可能正确的是( ) A. A位置 B. B位置 C. C位置 D. D位置 例析2：(多选)如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，突然使它所受的力方向反向而大小不变，即由F变为－F，若BD为曲线AB上B点的切线，则该物体( ) A.不可能沿曲线BE运动 B.不可能沿直线BD运动 C.不可能沿曲线BC运动 D.不可能沿原曲线由B返回A 思考探究：(多选)如图5所示，质量为m的物体在四个共点力的作用下做匀速直线运动，速度方向与力F1、F3的方向恰好在同一直线上，则下列说法正确的是( ) A.若只撤去F1，物体做匀加速直线运动 B.若只撤去F3，物体做匀加速直线运动 C.若只撤去F2，物体做匀变速曲线运动 D.若只撤去F4，物体做非匀变速曲线运动

二、运动的合成与分解 考点1：合运动与分运动的关系 例析(多选)关于运动的合成与分解，下列说法正确的是() A．合运动的位移是分运动位移的矢量和 B．合运动的速度一定会比其中任何一个分速度大 C．合运动的时间与分运动的时间相等 D．若合运动是曲线运动，则分运动中至少有一个是曲线运动 练习：2017年5月5日，我国自主研发的大飞机C919首次试飞成功．如图所示，假如飞机起飞时以v＝300 km/h的速度斜向上飞行，飞行方向与水平面的夹角为30°，则竖直方向的分速度为() A．v tan 30°B．v cos 30° C．150 km/h D．150 3 km/h 考点2：合运动性质的判断方法（即：合运动是什么运动） 1.分析两个互成角度的直线运动的合运动的性质时，应先求出合运动的合初速度v和合加速度a，然后进行判断. (1)是否为匀变速的判断： (2)曲、直判断： 例(2018·汕头市高一检测)质量为1 kg的物体在水平面内做曲线运动，已知该物体在两个互相垂直方向上的分运动的速度－时间图像分别如图甲、乙所示，则下列说法正确的是 A.2 s末物体速度大小为7 m/s B.物体所受的合外力大小为3 N C.物体的初速度大小为5 m/s D.物体初速度的方向与合外力方向垂直，做匀变速曲线运动 考点3.两个互成角度的直线运动的合运动轨迹的判断 规律：

管理统计学期末复习典型例题

统计学是一门收集、整理和分析数据的方法科学，其目的是探索数据的内在数量规律性，以达到对客观事物的科学认识。包括：1.数据搜集：例如，调查与试验；2.数据整理：例如，分组；3.数据展示：例如，图和表；4.数据分析：例如，回归分析。 统计学的分科：按内容分为描述统计学（描述数据特征；找出数据的基本规律）和推断统计学（对总体特征作出推断）；按性质分为理论统计学（统计学的一般理论和数学原理）和应用统计学（在各领域的具体应用）。 一、描述统计学的典型例题 【例3.3】某生产车间50名工人日加工零件数如下（单位：个） 117 122 124 129 139 107 117 130 122 125 108 131 125 117 122 133 126 122 118 108 110 118 123 126 133 134 127 123 118 112 112 134 127 123 119 113 120 123 127 135 137 114 120 128 124 115 139 128 124 121 要求：请对上述数据进行分组，编制频数分布表；绘制直方图，并对该情况进行简要的分析说明 可以按Sturges 提出的经验公式来确定组数K=1+lgn/lg2 确定各组的组距：组距＝( 最大值- 最小值）÷组数 等距分组表（上下组限重叠——不重不漏：左闭右开）（上下组限间断）

面积来表示各组的频数分布；在直角坐标中，用横轴表示数据分组，纵轴表示频数或频率，各组与相应的频数就形成了一个矩形，即直方图(Histogram)；直方图下的总面积等于1。 分组数据—直方图（直方图的绘制） 对该情况进行简要的分析说明（略） 【例3.4】在某地区调查120名刚毕业参加工作的研究生月工资收入，进行分组

反函数_典型例题精析

2．4 反函数·例题解析 【例1】求下列函数的反函数： (1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝ ≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+ (3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1) ＝≤．＝－≤≤－＜≤11 2x x +????? 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝ ≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．352112323521 53253232 x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)， 由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----22 2 解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝ ≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11 111122x x y y x x ++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤， 得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤， x x +-1 得值域－≤＜，反函数＝－≤＜， 故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-?????x

【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像． (1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1 解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1， 由＝－，得反函数＝＋＋≥－． 函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11 解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2， 反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23 它们的图像如图2．4－2所示． 【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113 x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值． 解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠， 31x x a ++ 若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313 -----ay y ax x (2)f(x)f (x)x 1若＝，即 ＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113 x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3．

功和功率典型例题

功和功率 【例2】如图所示，线拴小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，圆的半径是1m ，球的质量是0.1kg ，线速度v =1m/s ，小球由A 点运动到B 点恰好是半个圆周。 那么在这段运动中线的拉力做的功是（ ） A ．0 B ．0.1J C ．0.314J D ．无法确定 【例3】质量为m 的物体，受水平力F 的作用，在粗糙的水平面上 运动，下列说法中正确的是（ ） A ．如果物体做加速直线运动，F 一定做正功 B ．如果物体做减速直线运动，F 一定做负功 C ．如果物体做减速直线运动，F 可能做正功 D ．如果物体做匀速直线运动，F 一定做正功 【例4】 质量为2t 的农用汽车，发动机额定功率为30kW ，汽车在水平路面行驶时能达到的最大时速为54km/h 。若汽车以额定功率从静止开始加速，当其速度达到v =36km/h 时的瞬时加速度是多大？ 【例5】卡车在平直公路上从静止开始加速行驶，经时间t 前进距离s ，速度达到最大值v m 。设此过程中发动机功率恒为P ，卡车所受阻力为f ，则这段时间内，发动机所做的功为（ ） A ．Pt B ．fs C ．Pt =fs D ．fv m t 【例6】 质量为0.5kg 的物体从高处自由下落，在下落的前2s 内重力对物体做的功是多少？这2s 内重力对物体做功的平均功率是多少？2s 末，重力对物体做功的即时功率是多少？（g 取2 /10s m ） 功和功率针对训练 1．用力将重物竖直提起，先是从静止开始匀加速上升，紧接着匀速上升．如果前后 两过程的运动时间相同，不计空气阻力，则 A ．加速过程中拉力的功一定比匀速过程中拉力的功大 B ．匀速过程中拉力的功比加速过程中拉力的功大

《曲线运动》复习课教案.doc

《曲线运动》复习课教案 奉化武岭中学江财波(315502) 教学目标： 一、知识目标：理清本章的知识结构，让学生理解曲线运动是一种变速运动，知道物体做曲 线运动的条件；知道运动的合成与分解都遵守平行四边形定则；掌握典型的曲 线运动――平抛运动和圆周运动运动。 二、能力目标：通过物体做曲线运动的条件的分析，提高学生能抓住要点对物理现象技术分 析的能力; 使学生能够熟练使用平行四边形法则进行运动的合成和分解; 通过 平抛运动的研究方法的学习，使学生能够综合运用已学知识，来探究新问题。 三、德育目标：，使学生明确物理中研究问题的一种方法，将曲线运动分解为直线运动。 通过平抛的理论推证和实验证明，渗透实践是检验真理的标准。 教材地位：将加深对速度、加速度关系及牛顿运动定律的理解，同时为复习万有引力等 内容做好必要的准备。 重点：运动的合成与分解、平抛运动及匀速圆周运动的运动规律。 难点：运动的合成与分解。 教学方法：复习、讲解、归纳、推理法 教学过程： （一）、新课的导入 （点击高考）：近几年高考对平抛运动、圆周运动运动的考查年年都有，平抛运动、圆周运 动还往往与电场力、洛仑兹力联系起来进行考查。 （本章结构）：第一节介绍了曲线的特点及物体做曲线的条件，第二节介绍了研究曲线运动 的基本方法――运动的合成与分解，在此基础上第三节研究了最常见的曲线运动――平抛运 动。第四、五、六、七节内容研究了另一种曲线运动――匀速圆周运动。 （本章复习安排）：这节课先把本章的知识点疏理一下，从下节课开始再深入研究运动的合 成与分解、平抛运动及匀速圆周运动。 （二）、新课教学 本节课的学习目标：理解曲线运动是一种变速运动，知道物体做曲线运动的条件；知道运动的合成与分解都遵守平行四边形定则；掌握典型的曲线运动――平抛运动及匀 速圆周运动的规律。 学习目标完成过程： １、曲线运动： 提问：①我们来回顾一下物体做曲线运动的时候，和直线运动相比，它的运动轨迹有何不同呢？ ②速度方向有何不同？如何确定做曲线运动物体在任意时刻的速度方向？ ③曲线运动可不可能是速度恒定的运动？ （１）特点：轨迹是曲线；速度（方向：该点的曲线切线方向）时刻在变；曲线运动一定是变速运动。 提问：④什么情况下物体做曲线运动呢？ （２）条件： F 合与V 0 不在同一条直线上（即 a 与v0 不在同一条直线上） 特例① F 合力大小方向恒定――匀速曲线运动（如平抛运动） ②F 合大小恒定，方向始终与v 垂直――匀速圆周运动 提问：⑤如何研究做曲线物体的运动呢？

外研英语七年级下学期期末复习题典型例题

初一英语Revision 2外研社（初中起点） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： Revision 2 二. 教学重点 1. 重点的词汇和语法 2. 考点例题 三. 内容的讲解与分析 1. like的句型有如下的两种. （1）Would you like sth. 此句型表示委婉地征求对方的意见。意为“你想要某物吗” 肯定回答为：Yes, please . / /否定回答为 :No, thanks . 如： Would you like some apples to eat Yes, please . 你想要些苹果吗好的，来点吧。 Would you like some fish No ,thanks . 你想要些鱼肉吗不，谢谢。 （2）Would you like to do sth. 此句表示委婉地提出邀请，意为：你愿意做某事吗 肯定回答为：I would like/love to. / I’d like to .(缩写形式) 否定回答为：Sorry, I am afraid not./ Sorry, I can’t. But … Would you like to come to my party Yes ,I’d like to. 你想来我的晚会吗是的，很愿意。 Would you like to fly kites with me Yes, I’d like to. 你想和我一起去放风筝吗很愿意。 Would you like to wear white shirtSorry, I am afraid not. 你想穿白上衣吗不想。 2. 我们来具体看看 can的用法. （1）表示某种能力时，意为“能,会”如： This boy can speak English. 这个男孩会说英语。 （2）表示允许或请求许可时，意为“可以，允许”，相当于may。若要表示更委婉，客气，可用 could来代替。如： You can /may go home now. 你现在可以回家了。 Can /Could I borrow two books at a time 我可以一次借两本书吗 Yes, you can .可以。 （3）表示可能性时，意为“可能”，具有怀疑或不肯定的意味，仅用于否定句或疑问句中. can的否定式can’t 的意思是“不可能”。如： I think you are a good student, you can’t do that thing. 我认为你是好学生，不可能做那样的事。 Can he be a bad man 他可能是坏人吗 3. must 是情态动词，它的用法如下： （1）表示命令，义务或要求时，意为“必须，应该”，其否定式mustn’t意为“不应

反函数典型例题精析.doc

学习必备 欢迎下载 2． 4 反函數·例題解析 【例 1】求下列函數的反函數： (1)y ＝ 3x 5 (x ≠－ 1 ) ． 2x 1 2 (2)y ＝ x 2 － 2x ＋ 3， x ∈ ( －∞， 0] ． 1 (3)y ＝ x 2 1 (x ≤ 0) ． x +1 ( －1≤x ≤ 0) (4)y ＝ － x (0＜x ≤1) 解 (1) ∵ y ＝ 3x 5 (x ≠－ 1 )，∴ y ≠ 3 ， 2x 1 2 2 由 y ＝ 3x 5 得 (2y － 3)x ＝－ y － 5， 2x 1 ∴ x ＝ y 5 所求反函数为 y ＝ y 5 (x ≠ 3 )． 3 2y 3 2y 2 解 (2)∵ y ＝(x －1) 2 ＋ 2， x ∈ (－∞， 0]其值域為 y ∈ [2，＋∞ )， 由 y ＝ (x － 1) 2 ＋ 2(x ≤ 0) ，得 x －1＝－ y 2，即 x ＝ 1－ y 2 ∴反函数为 f 1 (x) ＝ 1－ x 2， (x ≥ 2) ． 解 (3)∵y ＝ 1 ，它的值域为 0＜y ≤1， x 2 (x ≤ 0) 1 由 y ＝ 2 1 得 x ＝－ 1 y ， x 1 y ∴反函数为 f 1 (x) ＝－ 1 x (0 ＜x ≤1) ． x 解 (4)由y ＝ x 1(－1≤ x ≤ 0)， 得值域 0≤y ≤1，反函数 f 1 (x) ＝ x 2 －1(0≤x ≤1)． 由 y ＝－ x (0＜x ≤1)， 得值域－ 1≤ y ＜ 0，反函数 f 1 (x) ＝x 2 ( －1≤x ＜ 0)， x 2 －1 (0≤ x ≤ 1) 故所求反函数为 y ＝ 2 ( － ≤ ＜ ． x 1 x 0)

(完整word版)高中物理功和功率典型例题解析

功和功率典型例题精析 [例题1] 用力将重物竖直提起，先是从静止开始匀加速上升，紧接着匀速上升，如果前后两过程的时间相同，不计空气阻力，则[ ] A．加速过程中拉力的功一定比匀速过程中拉力的功大 B．匀速过程中拉力的功比加速过程中拉力的功大 C．两过程中拉力的功一样大 D．上述三种情况都有可能 [思路点拨]因重物在竖直方向上仅受两个力作用：重力mg、拉力F．这两个力的相互关系决定了物体在竖直方向上的运动状态．设匀加速提升重物时拉力为F1，重物加速度为a，由牛顿第二定律F1－mg=ma， 匀速提升重物时，设拉力为F2，由平衡条件有F2=mg，匀速直线运动的位移S2=v·t=at2．拉力F2所做的功W2=F2·S2=mgat2． [解题过程] 比较上述两种情况下拉力F1、F2分别对物体做功的表达式，不难发现：一切取决于加速度a与重力加速度的关系． 因此选项A、B、C的结论均可能出现．故答案应选D． [小结]由恒力功的定义式W=F·S·cosα可知：恒力对物体做功的多少，只取决于力、位移、力和位移间夹角的大小，而跟物体的运动状态(加速、匀速、减速)无关．在一定的条件下，物体做匀加速运动时力对物体所做的功，可以大于、等于或小于物体做匀速直线运动时该力做的功． [例题2]质量为M、长为L的长木板，放置在光滑的水平面上，长木板最右端放置一质量为m 的小物块，如图8－1所示．现在长木板右端加一水平恒力F，使长木板从小物块底下抽出，小物块与长木板摩擦因数为μ，求把长木板抽出来所做的功．

[思路点拨] 此题为相关联的两物体存在相对运动，进而求功的问题．小物块与长木板是靠一对滑动摩擦力联系在一起的．分别隔离选取研究对象，均选地面为参照系，应用牛顿第二定律及运动学知识，求出木板对地的位移，再根据恒力功的定义式求恒力F的功． [解题过程] 由F=ma得m与M的各自对地的加速度分别为 设抽出木板所用的时间为t，则m与M在时间t内的位移分别为 所以把长木板从小物块底下抽出来所做的功为 [小结]解决此类问题的关键在于深入分析的基础上，头脑中建立一幅清晰的动态的物理图景，为此要认真画好草图(如图8－2)．在木板与木块发生相对运动的过程中，作用于木块上的滑动摩擦力f 为动力，作用于木板上的滑动摩擦力f′为阻力，由于相对运动造成木板的位移恰等于物块在木板左端离开木板时的位移Sm与木板长度L之和，而它们各自的匀加速运动均在相同时间t内完成，再根据恒力功的定义式求出最后结果．

人教版数学七年级下册期末复习典型例题解析

1.（2020?岐山县二模）将直角三角板ABC 按如图所示的方式放置，直线a 经过点A ，且直线a ∥BC ，若∠1=60°，则∠2的度数为（ ） A ．35° B ．30° C ．60° D ．50° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据平角的定义求出∠2的度数． 【解答】解：如图． ∵直线a ∥BC ， ∴∠3=∠1=60°， ∵∠CAB=90°， ∴∠2=180°-∠CAB-∠3=30°， 故选：B ． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．

2.（2020?邢台一模）若a表示正整数，且 a，则a << 的值是（） A．3 B．4 C．15 D．16 【考点】实数与数轴；估算无理数的大小． 【专题】二次根式；数感． 【分析】直接利用a的取值范围得出符合题意的答案． 【解答】解：∵<< a << ∴正整数a=4， 故选：B． 【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近无理数的整数是解题关键．

≤≤≤，则的3.（2020?鼓楼区一模）已知57,4 整数部分可以是（） A．9 B．10 C．11 D．12 【考点】估算无理数的大小．无理数的整数部分与小数部分【专题】实数；运算能力． 【分析】根据估算无理数的大小的方法即可得 分． ≤≤≤， 【解答】解：∵57,4 ∴25≤a≤49，16≤b≤36， ∴41≤a+b≤85， 则 的整数部分可以是6，7，8，9． 故选：A． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是掌握估算的方法．

反函数·典型例题精析

2.4 反函數·例題解析 【例1】求下列函數得反函數: 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2,x ∈(－∞,0]其值域為y ∈[2,＋∞), 由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为 ＝－，≥． y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222 【例2】求出下列函數得反函數,並畫出原函數与其反函數得圖像. 解 (1)∵已知函數得定義域就是x ≥1,∴值域為y ≥－1, 由＝－，得反函数＝＋＋≥－． 函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11 解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2, 它們得圖像如圖2.4－2所示. (1)求它得反函數;(2)求使f -1(x)＝f(x)得實數a 得值. (2)f(x)f (x)x 1若＝，即 ＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113 x x a ax x 令x ＝0,∴a ＝－3. 或解 由f(x)＝f -1(x),那麼函數f(x)與f -1(x)得定義域与值域相同,定義域就是{x|x ≠a,x ∈R },值域y ∈{y|y ≠3,y ∈R },∴－a ＝3即a ＝－3. 【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax b cx d ++ 試求a 、b 、c 、d 滿足什麼條件時,它得反函數仍就是自身. 令x ＝0,得－a ＝d,即a ＋d ＝0. 事實上,當a ＋d ＝0時,必有f -1(x)＝f(x),

因此所求得條件就是bc －ad ≠0,且a ＋d ＝0. 【例5】設點M(1,2)既在函數f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)得圖像上,又在它得反函數圖像上,(1)求f -1(x),(2)證明f -1(x)在其定義域內就是減函數. 解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．???????? ??--1373137313737373 x 【例6】解法一若函数＝，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x x x -+-++-+----12 1212112212 111 解法(二) 由函數y ＝f(x)與其反函數y ＝f -1(x)之間得一一對應關 系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12 【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a --1 1 1 因為原函數得圖像與其反函數得圖像關於直線y ＝x 對稱, ∴函數y ＝f(x)得圖像關於直線y ＝x 對稱.

初三数学上学期期末复习知识点总结加经典例题讲解

初三数学上册期末复习资料加经典例题 第一章、图形与证明（二） （一）、知识框架 (二)知识详解 2．1、等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 2．2、等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三 2.直角三角形全等的判定：HL 4.等腰梯形的性质和判定 5.中位线 三角形的中位线 梯形的中位线 注意：若等边三角形的边长为a ，则：其高为： ，面积为： 。 1.等腰三角形 等边三角形的性质和判定 等腰三角形的性质和判定 线段的垂直平分线的性质和判定 角的平分线的性质和判定 3.平行四边形 平行四边形的性质和判定：4个判定定理 矩形的性质和判定 菱形的性质和判定：3个判定定理 正方形的性质和判定：2个判定定理 注注意：（1）中点四边形 ①顺次连接任意四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ②顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ③顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ④顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点，所得的新四边形是 。 ab S 2 1=注意：（1）解决梯形问题的基本思路:通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决。 即需要掌握常作的辅助线。 （2）梯形的面积公式：()lh h b a S =+=2 1 （l -中位线长）

线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 2．3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 2．4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作出角平分线 2．5、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （2）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 2.6、几种特殊四边形的性质