微积分——Differential and integral calculus
第一章函数——Chapter 1. Function
邻域 Neighborhood
neighborhood
开邻域 Open
函数 Function
function;One-valued function;Monotropic function;单值函数 Monodrome
function;Many-value function;Multivalued function
多值函数 Multiform
分段 Piecewise
function
分段函数 Piecewise
function
显函数 Explicit
定义域Domain of definition
复合 Composition;
function
复合函数 Composite
反函数 Inverse
function
单调 Monotone
单调性 Monotonicity
单调序列 Monotone
sequence
单调数列Monotone sequence of numbers
function
单调函数 Monotonic
increasing;Monotonic increasing
单调增加 Monotone
单调增加函数Monotonically increasing function
decreasing;Monotonic decreasing
单调减少 Monotone
单调减少函数Monotonically decreasing function
monotone
严格单调 Strictly
严格单调递减Strictly monotone decreasing
严格单调递增Strictly monotone increasing
有界的 Bounded
bound
上界 Upper
bound
下界 Lower
上有界的 Bounded
above
below
下有界的 Bounded
上确界 Supremum
lower
bound
下确界 Greatest
variable
有界变量 Bounded
奇偶性 Odevity
function
偶函数 Even
奇函数 Odd
function
function
狄利克雷函数 Dirichlet’s
function
初等函数 Elementary
基本函数 Fundamental
function
function
基本初等函数 Fundamental
elementary
指数 Exponent
function
指数函数 Exponential
对数 Logarithm
function
对数函数 Logarithm
function
circular
反三角函数 Inverse
第二章极限与连续——Chapter 2. Limit and continuity
序列 Sequence
numbers
of
数列 Sequence
极限 Limit
单侧 One-sided
单侧极限 One-sided
limit;Unilateral limit
limit
左极限 Left
收敛 Converge
收敛性 Convergence
发散 Diverge
趋于零 Vanishing
quantity
无穷小量 Infinitely
small
无穷小的阶Order of infinitesimal
divisor
零因子 Null
无穷大量Infinitely large quantity
infinity
正无穷大 Plus
infinity
负无穷大 Minus
limit
无穷极限 Infinite
无穷大的阶Order of infinity
单调收敛定理Monotone convergence theorem
复利 Compound
interest
连续性 Continuity;Property of continuity
continuous;Continuity from the left
左连续 Left
continuous;Continuity from the right
右连续 Right
point
连续点 Continuity
point
不连续点 Discontinuity
discontinuity
of
间断点 Point
第一类不连续点Discontinuity point of the first kind
第二类不连续点Discontinuity point of the second kind
discontinuity
可去间断点 Removable
point;Moving singularity
singular
可去奇点 Movable
discontinuity
无穷间断点 Infinite
discontinuity
跳跃间断点 Jump
value
最大值 Greatest
theorem
value
介值定理 Intermediate
point
零点 Null
第三章导数与微分——Chapter 3. Derivative and differential
瞬时 Instantaneous
speed
瞬时速度 Instantaneous
导数 Derivative
derivative
单侧导数 One-sided
derivative;Derivative on the left
左导数 Left
derivative;Derivative on the right;Progressive derivative
右导数 Right
rule
链式法则 Chain
尖点 Cusp
曲线的尖点Cusp of a curve
order
高阶 Higher
derivative;Higher derivative
高阶导数 Higher-order
微分 Differential
可微的 Differentiable
function
不可微函数 Non-differentiable
operation
微分运算 Differential
求微分 Differentiate
coefficient
微商 Differential
differential;Higher differential;Differentials of higher order 高阶微分 Higher-order
derivative
相对导数 Relative
弹性 Elasticity;Resilience
第四章微分中值定理与导数应用——Chapter 4. differential mid-value theorem and application of derivative 中值 Mid-value
theorem
罗尔定理 Rolle’s
未定式 Indeterminate
form
value;Extremal
极值 Extreme
极值点 Extreme
point
maximum
局部极大值 Local
minimum
局部极小值 Local
凹 Concave
凸 Convex
point;knee
拐点 Inflection
渐近线 Asymptote;Asymptotic line
asymptote
水平渐近线 Horizontal
asymptote
铅垂渐近线 Vertical
第五章不定积分——Chapter 5. Indefinite integral
function
原函数 Primary
积分 Integral
integral
不定积分 Indefinite
求积分 Quadrature
可积的 Integrable
曲线簇Family of curve
积分法 Integration
代换 Substitution
换元积分法Integration by substitution
分部积分法Integration by parts
部分分式积分法Integration by partial fraction
部分分式展开Partial fraction expansion
第六章定积分——Chapter 6. Definite integral
integral
定积分 Definite
积分中值Integral mean value
牛顿-莱布尼兹公式 Newton-Leibniz’s
formula
of
rotation
旋转体 Body
integral
广义积分 Improper
function
Γ函数 Gamma
第七章级数——Chapter 7. Series
级数 Series
series
无穷级数 Infinite
级数的项Term of a series
部分和 Partial
sum
series
发散级数 Divergent
series
振荡级数 Oscillatory
几何级数 Geometric
series;Geometrical series
series
正项级数 Positive
term
series
调和级数 Harmonic
criterion
达朗贝尔准则 D’Alembert’s
绝对收敛 Absolutely
convergent
绝对收敛级数Absolutely convergent series
convergent
条件收敛 Conditional
条件收敛级数Conditional convergent series
函数级数Series of functions
series
幂级数 Power
radius
收敛半径 Convergence
domain;Region of convergence
收敛域 Convergence
convergence
收敛区间 Interval
of
逐项微分Term by term differentiation
expansion
级数展开 Series
幂级数展开Power series expansion;Expansion into power-series
series
泰勒级数 Taylor
formula
泰勒公式 Taylor’s
series
马克劳林级数 Maclaurin
第八章多元函数微分学——Chapter 8. Differential for function of many variables 有界区域 Bounded
region
region
开区域 Open
region
连通区域 Connect
不连通的 Disconnected
point;Interior point
内点 Inner
point
外点 Outer
point
边界点 Frontier
surface
柱面 Cylindrical
母线 Generator
柱的母线Element of cylinder;Generator of cylinder
椭球 Ellipsoid
cylinder
椭圆柱面 Elliptic
cylinder
抛物柱面 Parabolic
双曲面 Hyperboloid
单叶双曲面Hyperboloid of one sheet
双叶双曲面Hyperboloid of two sheets
鞍点 Saddle
齐次 Homogeneous
function
齐次函数 Homogeneous
limit;Two-limit
二重极限 Double
多重极限 Multiple
limits
limit
n重极限 n-fold
limits
累次极限 Repeated
derivative
偏导数 Partial
differential
偏微分 Partial
differential;Total differentiation
全微分 Total
高阶偏导数Higher-order partial derivative
混合偏导数Mixed partial derivative
condition
约束条件 Constraint
equation
拉格朗日方程 Lagrange
拉格朗日乘数 Lagrange
multiplier
第九章二重积分——Chapter 9. Double integral
积分区域Domain of integration
element;Differential of area
面积元素 Area
integral
二重积分 Double
integral
多重积分 Multiple
integral;Repeated integral
累次积分 Iterated
雅可比行列式 Jacobian
广义二重积分 Improper
integral
double
第十章微分方程——Chapter 10. Differential equation
equation
微分方程 Differential
常微分 Ordinary
differential
equation
differential
常微分方程 Ordinary
偏微分方程Partial differential equation
微分方程的阶Order of a differential equation
一阶微分方程Differential equation of first order
equation
differential
线性微分方程 Linear
condition
初始条件 Initial
value;Original value;Starting value
初始值 Initial
solution
特解 Particular
equation
齐次方程 Homogeneous
equation 齐次微分方程 Homogeneous
differential
齐次线性微分方程Homogeneous linear differential equation
非齐次的 Non-homogeneous
equation
非齐次微分方程 Non-homogeneous
differential
非齐次线性微分方程Non-homogeneous linear differential equation
非线性的 Nonlinear
equation
非线性方程 Nonlinear
常数变异法Method of variation of constants
equation;Differential equation of higher order
differential
高阶微分方程 Higher-order
高阶常微分方程Higher-order ordinary differential equation
高阶偏微分方程Higher-order partial differential equation
equation
特征方程 Characteristic
root
特征根 Characteristic
equation
integral
微分积分方程 Differention
第十一章差分方程——Chapter 11. Difference equation
差、差分 Difference
difference
高阶差分 Higher
equation
差分方程 Difference
第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=2 1 ) ()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的;则它必定存在反函数: y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1<x 2时, 若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( ); 若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( ); 若f(x 1)<f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( ); 若f(x 1)>f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性:D(f)关于原点对称 奇函数:f(-x)=-f(x) 偶函数:f(-x)=f(x) 3.函数的周期性: 周期函数:f(x+T)=f(x), x ∈(-∞,+∞) 周期:T ——最小的正数 4.函数的有界性: |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数: y=c , (c 为常数) 2.幂函数: y=x n , (n 为实数) 3.指数函数: y=a x , (a >0、a ≠1) 4.对数函数: y=log a x ,(a >0、a ≠1) 5.三角函数: y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数:y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数: y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数 §1.2 极 限 一、 主要内容 ㈠极限的概念 1. 数列的极限: A y n n =∞ →lim 称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A. 定理: 若{}n y 的极限存在 ?{}n y 必定有界.
微积分英文词汇,高数名词中英文对照,高等数学术语英语翻译一览 V、X、Z: Value of function :函数值 Variable :变数 Vector :向量 Velocity :速度 Vertical asymptote :垂直渐近线 Volume :体积 X-axis :x轴 x-coordinate :x坐标 x-intercept :x截距 Zero vector :函数的零点 Zeros of a polynomial :多项式的零点 T: Tangent function :正切函数 Tangent line :切线 Tangent plane :切平面 Tangent vector :切向量 Total differential :全微分 Trigonometric function :三角函数 Trigonometric integrals :三角积分 Trigonometric substitutions :三角代换法 Tripe integrals :三重积分 S: Saddle point :鞍点 Scalar :纯量 Secant line :割线 Second derivative :二阶导数 Second Derivative Test :二阶导数试验法 Second partial derivative :二阶偏导数 Sector :扇形 Sequence :数列 Series :级数 Set :集合 Shell method :剥壳法 Sine function :正弦函数
Singularity :奇点 Slant asymptote :斜渐近线 Slope :斜率 Slope-intercept equation of a line :直线的斜截式Smooth curve :平滑曲线 Smooth surface :平滑曲面 Solid of revolution :旋转体 Space :空间 Speed :速率 Spherical coordinates :球面坐标 Squeeze Theorem :夹挤定理 Step function :阶梯函数 Strictly decreasing :严格递减 Strictly increasing :严格递增 Sum :和 Surface :曲面 Surface integral :面积分 Surface of revolution :旋转曲面 Symmetry :对称 R: Radius of convergence :收敛半径 Range of a function :函数的值域 Rate of change :变化率 Rational function :有理函数 Rationalizing substitution :有理代换法 Rational number :有理数 Real number :实数 Rectangular coordinates :直角坐标 Rectangular coordinate system :直角坐标系Relative maximum and minimum :相对极大值与极小值Revenue function :收入函数 Revolution , solid of :旋转体 Revolution , surface of :旋转曲面 Riemann Sum :黎曼和 Riemannian geometry :黎曼几何 Right-hand derivative :右导数 Right-hand limit :右极限 Root :根 P、Q: Parabola :拋物线
常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1.d x ax b +? =1 ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ+?=11 ()(1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3.d x x ax b +? =21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +? =22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5.d () x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6.2 d () x x ax b +?=21ln a ax b C bx b x +-++ 7.2d ()x x ax b +? =21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22 d ()x x ax b +?=2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9.2 d ()x x ax b +? = 211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10.x C + 11.x ?=2 2(3215ax b C a -+ 12.x x ?=2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13.x =22 (23ax b C a - 14.2x =2223 2(34815a x abx b C a -+
15 . =(0) (0) C b C b ?+>< 16 . 2a b - 17 .x =b +18 .x =2a x -+ (三)含有22x a ±的积分 19.22d x x a +?=1arctan x C a a + 20.22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21.22 d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ (四)含有2(0)ax b a +>的积分 22.2d x ax b +? =(0) (0) C b C b ?+>+< 23.2 d x x ax b +? =2 1ln 2ax b C a ++ 24.22d x x ax b +?=2d x b x a a ax b -+? 25.2d ()x x ax b +?=2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26.22d ()x x ax b +? =21d a x bx b ax b --+?
数学模型课后答案
《数学模型》作业答案 第二章(1)(2012年12月21日) 1.学校共1000名学生,235人住在A宿舍,333人住在B宿舍,432人住在C宿舍.学生们要组织一个10人的委员会,试用下列办法分配各宿舍的委员数: (1). 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; (2). §1中的Q值方法; (3).d’Hondt方法:将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除,其商数如下表:
将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线,表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2,3,5,这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗? 如果委员会从10个人增至15人,用以上3种方法再分配名额,将3种方法两次分配的结果列表比较. 解:先考虑N=10的分配方案, , 432 ,333 ,235321 ===p p p ∑==3 1 . 1000i i p 方法一(按比例分配) , 35.23 1 11 == ∑=i i p N p q , 33.33 1 22 == ∑=i i p N p q 32 .43 1 33 == ∑=i i p N p q 分配结果为: 4 ,3 ,3321 ===n n n 方法二(Q 值方法) 9个席位的分配结果(可用按比例分 配)为: 4 ,3 ,2321===n n n 第10个席位:计算Q 值为
2. 试用微积分方法,建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解: 设录像带记数器读数为n 时,录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度,可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分,得 ??+=n t dn wkn r k vdt 0 )(2π ) 2 2 2 n wk k(r n πvt +=∴ . 2 2 2n v k w n v rk t ππ+=∴ 《数学模型》作业解答 第三章1(2008年10月14日) 1. 在 3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量.证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样,而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少.
微积分词汇 第一章函数与极限 Chapter1Function and Limit 集合set 元素element 子集subset 空集empty set 并集union 交集intersection 差集difference of set 基本集basic set 补集complement set 直积direct product 笛卡儿积Cartesian product 开区间open interval 闭区间closed interval 半开区间half open interval 有限区间finite interval 区间的长度length of an interval 无限区间infinite interval 领域neighborhood 领域的中心centre of a neighborhood 领域的半径radius of a neighborhood 左领域left neighborhood 右领域right neighborhood 映射mapping X到Y的映射mapping of X ontoY 满射surjection 单射injection 一一映射one-to-one mapping 双射bijection 算子operator 变化transformation 函数function 逆映射inverse mapping 复合映射composite mapping 自变量independent variable 因变量dependent variable 定义域domain 函数值value of function 函数关系function relation 值域range 自然定义域natural domain 单值函数single valued function 多值函数multiple valued function 单值分支one-valued branch 函数图形graph of a function 绝对值函数absolute value 符号函数sigh function 整数部分integral part 阶梯曲线step curve 当且仅当if and only if(iff) 分段函数piecewise function 上界upper bound 下界lower bound 有界boundedness 无界unbounded 函数的单调性monotonicity of a function 单调增加的increasing 单调减少的decreasing 单调函数monotone function 函数的奇偶性parity(odevity)of a function 对称symmetry 偶函数even function 奇函数odd function 函数的周期性periodicity of a function 周期period 反函数inverse function 直接函数direct function 复合函数composite function 中间变量intermediate variable 函数的运算operation of function 基本初等函数basic elementary function 初等函数elementary function 幂函数power function 指数函数exponential function 对数函数logarithmic function 三角函数trigonometric function 反三角函数inverse trigonometric function 常数函数constant function 双曲函数hyperbolic function 双曲正弦hyperbolic sine 双曲余弦hyperbolic cosine 双曲正切hyperbolic tangent 反双曲正弦inverse hyperbolic sine 反双曲余弦inverse hyperbolic cosine 反双曲正切inverse hyperbolic tangent
第1章函数 §1 函数的概念 一、区间、邻域 自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R 建立数轴后: 建立某一实数集A与数轴上某一区间对应 区间:设有数a,b,a0),则称实数集{x|a?δ a称为N(a,δ)的中心,δ>0称为邻域N(a,δ)的半径。 去心邻域:把N(a,δ)的中心点a去掉,称为点a的去心邻域,记为N(a^,δ)={x|0<|x?a|<δ}=N(a,δ)?{a} 注:其中,?{a}表示去掉由a这一个数组成的数集。 二、函数概念 例1. 设圆的半径为x(x>0),它的面积A=πx2,当x在(0,+∞)内任取一个数值(记为?x∈(0,+∞))时,由关系式A=πx2就可以确定A的对应数值。 文章来源:https://www.sodocs.net/doc/224674480.html,/ 例2. 设有半径为r的圆,作圆的内接正n边形,每一边对应的圆心角α=2πn,周长S n=n?2r sinπn,当边数n在自然数 集N(n≥3)任取一个数,通过关系式S n=2nr sinπn就有一个S n对应确定数值。 函数定义:设有数集X,Y,f是一个确定的对应法则,对?x∈X,通过对应法则f都有唯一的y∈Y与x对应,记为x→f y,或f(x)=y,则称f为定义在X上的函数。 其中X称为f的定义域,常记为D f。 X——自变量,Y——因变量。 当X遍取X中的一切数时,那么与之对应的y值构成一个数集V f={y|y=f(x),x∈X},称V f为函数f的值域。 文章来源:https://www.sodocs.net/doc/224674480.html,/ 注意: (1)一个函数是由x,y的对应法则f与x的取值范围X所确定的。把“对应法则f”、“定义域”称为函数定义的两个要素。 例如,y=arcsin(x2+2)这个式子,由于x2+2>2,而只有当|x2+2|≤1时,arcsin才有意义,因此这个式子不构成函数关系。又例如,y=ln x2与y=2ln x不是同一个函数,因为定义域不同。而y=ln x2与y=2ln|x|是同一个函数,因为定义域相同。(2)函数的值域是定义域和对应法则共同确定的。 (3)确定函数定义域时,注意:若函数有实际意义,需依据实际问题是否有意义来确定。 若函数不表示某实际问题,则定义域为自变量所能取得的使函数y=f(x)成立的一切实数所组成的数值。 函数的几何意义:设函数y=f(x)定义域为D f,?x∈D f,对应函数值y=f(x)在XOY平面上得到点(x,y),当x遍取D f中一切实数时,就得到点集P={(x,y)|y=f(x),x∈D f}。点集P称为函数y=f(x)的图形。 文章来源:https://www.sodocs.net/doc/224674480.html,/ 三、函数的几个简单性质 1. 函数的有界性 若?M>0,s.t.|f(x)|≤M,x∈I,则称y=f(x)在区间I上有界。否则称f(x)在I上无界。 注:s.t.是“使得,满足于”的意思,I表示某个区间。 第十二周习题课 一.关于积分的不等式 1. 离散变量的不等式 (1) Jensen 不等式:设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数,则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ,有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ (2) 广义AG 不等式:记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数,由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ,有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时,就是AG 不等式。 (3) Young 不等式:由(2)可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ,q y p x y x q p +≤1 1 。 (4) Holder 不等式:设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ,则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在(3)中,令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 (5) Schwarz 不等式: 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 (6) Minkowski 不等式:设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ,则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明: ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1 微积分 第一章函数与极限 Chapter1 Function and Limit 集合set 元素element 子集subset 空集empty set 并集union 交集intersection 差集difference of set 基本集basic set 补集complement set 直积direct product 笛卡儿积Cartesian product 开区间open interval 闭区间closed interval 半开区间half open interval 有限区间finite interval 区间的长度length of an interval 无限区间infinite interval 领域neighborhood 领域的中心centre of a neighborhood 领域的半径radius of a neighborhood 左领域left neighborhood 右领域right neighborhood 映射mapping X到Y的映射mapping of X ontoY 满射surjection 单射injection 一一映射one-to-one mapping 双射bijection 算子operator 变化transformation 函数function 逆映射inverse mapping 复合映射composite mapping 自变量independent variable 因变量dependent variable 定义域domain 函数值value of function 函数关系function relation 值域range 自然定义域natural domain 微積分公式 sin x dx = -cos x + C cos x dx = sin x + C tan x dx = ln |sec x | + C cot x dx = ln |sin x | + C sec x dx = ln |sec x + tan x | + C csc x dx = ln |csc x – cot x | + C sin -1(-x) = -sin -1 x cos -1(-x) = - cos -1 x tan -1(-x) = -tan -1 x cot -1(-x) = - cot -1 x sec -1(-x) = - sec -1 x csc -1(-x) = - csc -1 x sin -1 x dx = x sin -1 x+21x -+C cos -1 x dx = x cos -1 x-21x -+C tan -1 x dx = x tan -1 x-?ln (1+x 2)+C cot -1 x dx = x cot -1 x+?ln (1+x 2)+C sec -1 x dx = x sec -1 x- ln |x+12-x |+C csc -1 x dx = x csc -1 x+ ln |x+12-x |+C sinh x dx = cosh x + C cosh x dx = sinh x + C tanh x dx = ln | cosh x |+ C coth x dx = ln | sinh x | + C sech x dx = -2tan -1 (e -x ) + C csch x dx = 2 ln | x x e e 211---+| + C d uv = u d v + v d u d uv = uv = u d v + v d u → u d v = uv - v d u cos 2θ-sin 2θ=cos2θ cos 2θ+ sin 2θ=1 cosh 2θ-sinh 2θ=1 cosh 2θ+sinh 2θ=cosh2θ sinh -1 x dx = x sinh -1 x-21x ++ C cosh -1 x dx = x cosh -1 x-12-x + C tanh -1 x dx = x tanh -1 x+ ? ln | 1-x 2|+ C coth -1 x dx = x coth -1 x- ? ln | 1-x 2|+ C sech -1 x dx = x sech -1 x- sin -1 x + C csch -1 x dx = x csch -1 x+ sinh -1 x + C a b c α β γ R 第一章 代数运算与自然数 主要内容: 1、集合与映射的概念 2、映射及其运算 3、代数系统 4、自然数及其他相关定义 5、归纳法原理与反归纳法的运用 重点掌握 1、由A →B 的单映射σ的定义为:设2121,,,:a a A a A a B A ≠∈∈→若由σ,就推出)()21a a σσ≠(,则称σ为从A 到B 的单映射。 2、由A →B 的满映射σ的定义为:设B ran B A =→)(,:σσ若,则称σ为从A 到B 的满映射。 3、给出一个由整数集合Z 到自然数集合N 的双射:可考虑分段映射,即将定义域分为小于0、等于0、大于0的整数三部分分别给出其象 4、若集合|A|=n ,则集合A →A 的映射共有n n 种。 5、皮阿罗公理中没有前元的元素为1。 6、自然数a 与b 加法的定义中两个条件为①:'1a a =+②:)'('b a b a +=+. 7、自然数a 与b 相乘的定义中两个条件为: ①:a a =?1;②:a b a b a +?=?' 8、自然数a>b 的定义为:如果给定的两个自然数a 与b 存在一个数k,使得a=b+k ,则称a 大于b,b 小于a,记为a>b 或b 12、若A 是有限集合,则A →A 的不同映射个数为:||||A A 。 13、从整数集合Z 到自然数集合N 存在一个单映射。 14、若A 是有限集合,则不存在A 到其真子集合的单映射。 15、若A 为无限集合,则存在A 的真子集合B 使其与A 等价。 16、存在从自然数集合N 到整数集合Z 的一个满映射,但不是单映射。 可考虑将定义域分成奇数、偶数两部分,定义一个与n )1(-有关的映射 17、存在从自然数N 到整数集合Z 的双射。 可考虑分段映射 18、代数系统(+R ,?)与代数系统(R,+)是同构的,其中+R 表示正实数集合,R 表示实数集合,?与+就是通常的实数乘法与加法。 根据同构定义,只需找到一个从(+R ,?)到(R,+)的一一映射,例如lgx 就可以证明上述论述。 19、令+Q 为正有理数集合,若规定 2 b a b a +=⊕,ab b a =? 则: (1){+Q ,⊕}构成代数体系,但不满足结合律。 (2){+Q ,?}不构成代数体系,但满足结合律。 根据代数体系和结合律的定义可得上述论述成立。 20、若在实数集合中规定b a ⊕=a+b-a ×b ,其中+与×是通常的加法与乘法,则⊕满足结合律。 只需证明等式(b a ⊕)⊕c=)(c b a ⊕⊕成立 21、分别利用归纳法与反归纳法可以证明n 个数的算术平均值大于等于这n 个数的几何平均值。 归纳法根据定义易证,在运用反归纳法证明时可先证n=2,4,…,n 2都成立,假设命题对n=k 成立,令,...21k a a a S k k +++= 1 ...1211-+++=--k a a a S k k ,利用12111...---≥k k k a a a S 证之成立 《数学模型》作业答案 第二章(1)(2012年12月21日) 1. 学校共1000名学生,235人住在A 宿舍,333人住在B 宿舍,432人住在C 宿舍.学生们 要组织一个10人的委员会,试用下列办法分配各宿舍的委员数: (1). 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; (2). §1中的Q 值方法; (3).d ’Hondt 方法:将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除,其商数如下表: 将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线,表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2,3,5,这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗? 如果委员会从10个人增至15人,用以上3种方法再分配名额,将3种方法两次分配的结果列表比较. 解:先考虑N=10的分配方案, ,432 ,333 ,235321===p p p ∑==3 1 .1000i i p 方法一(按比例分配) ,35.23 1 11== ∑=i i p N p q ,33.33 1 22== ∑=i i p N p q 32.43 1 33== ∑=i i p N p q 分配结果为: 4 ,3 ,3321===n n n 方法二(Q 值方法) 9个席位的分配结果(可用按比例分配)为: 4 ,3 ,2321===n n n 第10个席位:计算Q 值为 ,17.92043223521=?=Q ,75.92404333322=?=Q 2.9331544322 3=?=Q 3Q 最大,第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n 方法三(d ’Hondt 方法) 此方法的分配结果为:5 ,3 ,2321===n n n 此方法的道理是:记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位(i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍). i i n p 是每席位代表的人数,取,,2,1 =i n 从而得到的i i n p 中选较大者,可使对所有的,i i i n p 尽量接近. 再考虑15=N 的分配方案,类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下: 2. 试用微积分方法,建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解: 设录像带记数器读数为n 时,录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度,可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分,得 ?? +=n t dn wkn r k vdt 0 )(2π )22 2 n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n v k w n v rk t ππ+=∴ 《数学模型》作业解答 第三章1(2008年10月14日) 微积分术语中英文对照 A、B: Absolute convergence :绝对收敛 Absolute extreme values :绝对极值 Absolute maximum and minimum :绝对极大与极小Absolute value :绝对值 Absolute value function :绝对值函数Acceleration :加速度 Antiderivative :原函数,反导数 Approximate integration :近似积分(法) Approximation :逼近法 by differentials :用微分逼近 linear :线性逼近法 by Simpson’s Rule :Simpson法则逼近法 by the Trapezoidal Rule :梯形法则逼近法Arbitrary constant :任意常数 Arc length :弧长 Area :面积 under a curve :曲线下方之面积 between curves :曲线间之面积 in polar coordinates :极坐标表示之面积 of a sector of a circle :扇形之面积 of a surface of a revolution :旋转曲面之面积Asymptote :渐近线 horizontal :水平渐近线 slant :斜渐近线 vertical :垂直渐近线 Average speed :平均速率 Average velocity :平均速度 Axes, coordinate :坐标轴 Axes of ellipse :椭圆之对称轴 Binomial series :二项式级数 Binomial theorem:二项式定理 C: Calculus :微积分 differential :微分学 integral :积分学 Cartesian coordinates :笛卡儿坐标一般指直角坐标Cartesian coordinates system :笛卡儿坐标系Cauch’s Mean Value Theorem :柯西中值定理Chain Rule :链式法则 Circle :圆 Circular cylinder :圆柱体,圆筒 Closed interval :闭区间 Coefficient :系数 Composition of function :复合函数 Compound interest :复利 Concavity :凹性 Conchoid :蚌线 Conditionally convergent:条件收敛 Cone :圆锥 Constant function :常数函数 Constant of integration :积分常数 Continuity :连续性 at a point :在一点处之连续性 of a function :函数之连续性 on an interval :在区间之连续性 from the left :左连续 from the right :右连续 Continuous function :连续函数 Convergence :收敛 interval of :收敛区间 radius of :收敛半径 Convergent sequence :收敛数列 series :收敛级数 Coordinates:坐标 Cartesian :笛卡儿坐标 cylindrical :柱面坐标 polar :极坐标 rectangular :直角坐标 spherical :球面坐标 Coordinate axes :坐标轴 Coordinate planes :坐标平面 Cosine function :余弦函数 Critical point :临界点 Cubic function :三次函数 Curve :曲线 Cylinder:圆筒, 圆柱体, 柱面 Cylindrical Coordinates :圆柱坐标 D: Decreasing function :递减函数 Decreasing sequence :递减数列 Definite integral :定积分 Degree of a polynomial :多项式之次数 Density :密度 Derivative :导数 of a composite function :复合函数之导数 of a constant function :常数函数之导数directional :方向导数 domain of :导数之定义域 of exponential function :指数函数之导数higher :高阶导数 partial :偏导数 of a power function :幂函数之导数 of a power series :羃级数之导数 of a product :积之导数 of a quotient :商之导数 as a rate of change :导数当作变化率 right-hand :右导数 second :二阶导数 as the slope of a tangent :导数看成切线之斜率Determinant :行列式 Differentiable function :可导函数 Differential :微分 Differential equation :微分方程 partial :偏微分方程 Differentiation :求导法 implicit :隐求导法 partial :偏微分法 term by term :逐项求导法 Directional derivatives :方向导数Discontinuity :不连续性 积 分 整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对 积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识. 一、不定积分 不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础,希望同学们熟记积分公式,及各种 方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等) 二、定积分 1.定义式: ()b a f x dx ? 2.定义域:一维区间,例如[,]a b 3.性质:见课本P 229-P 232 特殊:若 1f =,则()b a f x dx b a =-?,即区间长度. 4.积分技巧:奇偶对称性. 注意:定积分中积分变量可以任意替换即()()b b a a f x dx f y dy =? ?,而不定积分不具有这种性质. 5.积分方法:与不定积分的方法相同. 6.几何应用: 定积分的几何意义: ()b a f x dx ? 表示以()f x 为顶与x 轴所夹区域面积的代数和(注意如()0f x <,则面积为负); 其他应用:如 ()f x 表示截面积,则积分为体积;平面弧长 (b a f x ? 等. 三、二重积分 1.定义式: (,)xy D f x y d σ ?? 2.定义域:二维平面区域 3.性质:见下册课本P 77 特殊: 若 1f =,则(,)xy D f x y dxdy S =?? ,即S 为xy D 的面积. 4.坐标系: ①直角坐标系: X 型区域,Y 型区域 ②极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉r ,积分时一般先确定θ的范围,再确定r 的范围. 5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心; 6.几何应用: 二重积分的几何意义:若(,)0f x y ≥,则(,)xy D f x y dxdy ?? 表示以(,)f x y 为顶以xy D 为底的曲顶柱体体积; 其他应用:求曲面(,)z z x y =的面积xy D ?? 四、三重积分 1.定义式 (,,)f x y z dv Ω??? 2.定义域:三维空间区域; 3.性质:与二重积分类似; 特殊: 若 1f =,则(,,)f x y z dv V Ω =???,其中V 表示Ω的体积. 4.坐标系: ①直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面 积易求时采用) ②柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用; ③球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先θ,后?,最后 r . 5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等. 6.应用: (,,)f x y z 表示密度,则(,,)f x y z dv Ω ???为物体质量.(不考虑几何意义) 五、第一类曲线积分 习题8.1 1?指出下列微分方程的阶数,并指出哪些方程是线性微分方程: (3) x 2 y 4y (sin x)y = 0 ⑷^P p= sin 2 r d6 解(1)1阶非线性 (2) 1阶线性 (3) 3阶线性 (4) 1阶线性 2?验证下列函数是否是所给微分方程的解 /八 、亠 sinx (1) xy y = cosx, y = x (2) (4 - x 2)y ' xy = 2x,y = 2 ? C" - x 2 (C 为任意常数) (3) y 2y : y = 0, y 二 Ce x (C 为任意常数) (4) y" — (X , + 丸2 )y ' +餌丸2 y = 0, y = C 4e" + C 2e'2 x (C 1 ? 为任意常数) (5) (x -2y)y" =2x - y, x 2 - xy ? y 2 =C (C 为任意常数) (6) (xy -x)y xy 2 yy 1 -2y = 0, y = ln( xy) xcosx — sinx sin x 亠 解⑴是,左=x 2 cosx =右 x x (2) 是,左=(4 — X 2 )-^= + x(2 +C 訥—X 2) = 2x =右 訥-x 2 (3) 是,左=Ce x -2Ce x Ce x =0 =右 (4) 是,左= G :e i x C 2 2e 2 x )-(「-g re 4 x C 2 -e 2 x ) i 2(Se 4 x C 2e?0 =右 2x — y (5) 是,左=(x - 2y) 2x - y 二右 2 ⑴ x(y ) -2yy xy = 0 2 (2) x y - xy y = 0 高等数学微积分公式大全 一、基本导数公式 ⑴()0c '=⑵1x x μμμ-=⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=-⑸()2tan sec x x '=⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=?⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '=⑽()ln x x a a a '=⑾()1ln x x '= ⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '=⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= +⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '=二、导数的四则运算法则 三、高阶导数的运算法则 (1)()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±????(2)()() () ()n n cu x cu x =???? (3)()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+???? (4)()()() ()()()() n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 (1)()()!n n x n =(2)()()n ax b n ax b e a e ++=?(3)()() ln n x x n a a a = (4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ?????(5)()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ? +?? +(7)()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-????+ 五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c =⑵()1d x x dx μμμ-=⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =-⑸()2tan sec d x xdx =⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =?⑻()csc csc cot d x x xdx =-?清华大学微积分习题(有答案版)
数学英文词汇大全-微积分,线性代数,概率统计
高数微积分公式大全
高等数学学习笔记
数学模型课后答案
(完整版)微积分术语中英文对照
高等数学微积分总结
微积分习题讲解与答案
高数微积分公式大全 ()