【强烈推荐】传送带问题与功能关系

对于匀速运动的传送带传送初速为零的物体，传送带应提供两方面的能量，一是物体动能的增加，二是物体与传送带间的摩擦所生成的热（即内能），有不少同学容易漏掉内能的转化，因为该知识点具有隐蔽性，往往是漏掉了，也不能在计算过程中很容易地显示出来，尤其是在综合性题目中更容易疏忽。突破方法是引导学生分析有滑动摩擦力做功转化为内能的物理过程，使“只要有滑动摩擦力做功的过程，必有内能转化”的知识点在学生头脑中形成深刻印象。

一个物体以一定初速度滑上一粗糙平面，会慢慢停下来，物体的动能通过物体克服滑动摩擦力做功转化成了内能，当然这个物理过程就是要考查这一个知识点，学生是绝对不会犯错误的。

质量为M的长直平板，停在光滑的水平面上，一质量为m的物体，以初速度v0滑上长板，已知它与板间的动摩擦因数为μ，此后物体将受到滑动摩擦阻力作用而做匀减速运动，长板将受到滑动摩擦动力作用而做匀加速运动，最终二者将达到共同速度。其运动位移的关系如图2—9所示。

图2—9

该过程中，物体所受的滑动摩擦阻力和长板受到滑动摩擦动力是一对作用力和反作用力，

W物＝—μmg·x物

W板＝μmg·x板

很显然x物＞x板，滑动摩擦力对物体做的负功多，对长板做的正功少，那么物体动能减少量一定大于长板动能的增加量，二者之差为ΔE=μmg（x物—x板）=μmg·Δx，这就是物体在克服滑动摩擦力做功过程中，转化为内能的部分，也就是说“物体在克服滑动摩擦力做功过程中转化成的内能等于滑动摩擦力与相对滑动路程的乘积。”记住这个结论，一旦遇到有滑动摩擦力存在的能量转化过程就立即想到它。

再来看一下这个最基本的传送带问题：

图2—10

物体轻轻放在传送带上，由于物体的初速度为0，传送带以恒定的速度运动，两者之间有相对滑动，出现滑动摩擦力。作用于物体的摩擦力使物体加速，直到它的速度增大到等于传送带的速度，作用于传送带的摩擦力有使传送带减速的趋势，但由于电动机的作用，保持了传送带的速度不变。尽管作用于物体跟作用于传送带的摩擦力的大小是相等的，但物体与传送带运动的位移是不同的，因为两者之间有滑动。如果物体的速度增大到等于传送带的速度经历的时间为t，则在这段时间内物体运动的位移小于传送带运动的位移。在这段时间内，传送带克服摩擦力做的功大于摩擦力对物体做的功(这功转变为物体的动能)，两者之差即为摩擦发的热。所谓传送带克服摩擦力做功，归根到底是电动机在维持传送带速度不变的过程中所提供的。

图2

—11 图2—12

图2—13

例8：如图2—11所示，水平传送带以速度v 匀速运动，一质量为m 的小木块由静止轻放到传送带上，若小木块与传送带之间的动摩擦因数为μ，当小木块与传送带相对静止时，转化为内能的能量是多少？

【审题】该题首先得清楚当小木块与传送带相对静止时，转化为内能的能量

应该怎么来求，要想到用“物体在克服滑动摩擦力做功过程中转化成的内能等于滑动摩擦力与相对滑动路程的乘积。”这一结论，然后再根据物体和传送带的运动情况来求二者相对滑动的距离。

【解析】

在木块从开始加速至与传送带达到共同速度的过程中

F F mg N 摩==μμ

a F m mg m g ==

=合μμ

由公式v ax 22=

可得：g v a v x μ222

2== 从木块静止至木块与传送带达到相对静止的过程中木块加速运动的时间 t v a v g ==μ

传送带运动的位移

x vt v g '==2

μ

木块相对传送带滑动的位移

?x x x v g =-='2

2μ 摩擦产生的热：

Q F x mg v g mv ===摩··?μμ22212

【总结】单独做该题目时，就应该有这样的解题步骤，不过，求相对位移时也可以物体为参考系，用传送带相对物体的运动来求。在综合性题目中用到该过程时，则直接用结论即可。该结论是：从静止放到匀速运动的传送带上的物体，在达到与传送带同速的过程中，转化为内能的能量值和物体增加的动能值相等。因为物体在该过程中的对地位移与传送带相对物体的位移大小是相等的。

例9：如图2—13所示，倾角为37o的传送带以4m/s 的速度沿图示方向匀速运动。已知传送带的上、下两端间的距离为L =7m 。现将一质量m=0.4kg 的小木块放到传送带的顶端，使它从静止开始沿传送带下滑，已知木块与传送带间的动摩擦因数为μ=0.25，取g =10m/s 2。求木块滑到底的过程中，摩擦力对木块做的功以及生的热各是多少？ 【审题】该题目要分成两段考虑，第一段：木块的速度v

阶段木块相对于传送带向后运动，受到的摩擦力方向向前，合外力沿斜面向前；第二段：木块的速度v>v 0。这一阶段木块相对于传送带向前运动，受到的摩擦力方向向后，合外力仍沿斜面向前。

【解析】刚开始时，合力的大小为

图2—14 F 合1＝mg sin37o＋μmg cos37o,

由牛顿第二定律，加速度大小

a 1＝m F 1

合＝8m/s 2，

该过程所用时间

t 1＝1

0a v ＝0.5s ， 位移大小 s 1＝1

202a v ＝1m 。 二者速度大小相同后，合力的大小为

F 合2＝mg sin37o－μmg cos37o,

加速度大小

a 2＝m F 2

合＝4m/s 2，

位移大小

s 2＝ L -s 1＝ 6m,

所用时间

s 2＝ v 0t 2＋

22221t a 得： t 2＝1s 。

（另一个解t 2＝－3s 舍去）

摩擦力所做的功

W ＝μmg cos37o·(s 1-s 2) ＝－4.0J ，

全过程中生的热

Q ＝f·s 相对

＝μmg cos37o·【(v 0t 1-s 1)+（s 2-v 0t 2）】

＝0.8N ×3m ＝2.4J 。

【总结】该题目的关键在于分析清楚物理过程，

分成两段处理，正确分析物体受力情况，求出物体和

传送带的位移，以及物体和传送带间的相对位移。

例10：一传送带装置示意如图2—14，其中传送带经

过AB 区域时是水平的，经过BC 区域时变为圆弧形(圆

弧由光滑模板形成，未画出)，经过CD 区域时是倾斜

的，AB 和CD 都与BC 相切。现将大量的质量均为m 的小货箱一个一个在A 处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D 处，D 和A 的高

度差为h 。稳定工作时传送带速度不变，CD 段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L 。每个箱子在A 处投放后，在到达B 之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动(忽略经BC 段时的微小滑动)。已知在一段相当长的时间T 内，共运送小货箱的数目为N 。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率P 。

【审题】小货箱放在传送带的AB 段上时，由于货箱的初速度为0，传送带以恒定的速度运动，两者之间有相对滑动，出现滑动摩擦力。作用于货箱的摩擦力使货箱加速，直到它的速度增大到等于传送带的速度，作用于传送带的摩擦力有使传送带减速的趋势，但由于电动机的作用，保持了传送带的速度不变。尽管作用于货箱跟作用于传送带的摩擦力的大小是相等的，但小货箱与传送带运动的路程是不同的，因为两者之间有滑动。如果货箱的速度增大到等于传送带的速度经历的时间为t ，则在这段时间内货箱运动的路程和传送带运动的路程分别是解答中的①式和③式，两者大小不同，由解答中的④式给出。在这段时间内，传送带克服摩擦力做的功大于摩擦力对货箱做的功(这功转变为货箱的动能)，两者之差即为摩擦发的热。所谓传送带克服摩擦力做功，归根到底是电动机在维持传送带速度不变的过程中所提供的。这也就是在传送带的水平段上使一只小货箱从静止到跟随传送带一起以同样速度运动的过程中，电动机所做的功，这功一部分转变为货箱的动能，一部分因摩擦而发热。当货箱的速度与传送带速度相等后，只要货箱仍在传送带的水平段上，电动机无需再做功。为了把货箱从C 点送到D 点，电动机又要做功，用于增加货箱的重力势能mgh 。由此便可得到输送N 只货箱的过程中电动机输出的总功。 以上分析都是在假定已知传送带速度0v 的条件下进行的，实际上传送带的速度是未知的。因此要设法找出0v 。题中给出在时间T 内运送的小货箱有N 只，这是说，我们在D 处计数，当第1只货箱到达D 处时作为时刻t=0，当第N 只货箱到达D 处时恰好t=T 。如果把这N 只货箱以L 的距离间隔地排在CD 上(如果排得下的话)，则第N 只货箱到D 处的距离为(N —1)L ，当该货箱到达D 处，即传送带上与该货箱接触的那点在时间T 内运动到D 点，故有T v L )1N (0=-。由此便可求出0v ，电动机的平均功率便可求得。由于N 很大，N 与N －1实际上可视作相等的。

【解析】以地面为参考系(下同)，设传送带的运动速度为0v ，在水平段的运输过程中，

小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，直到其速度与传送带的速度相等。设这段路程为s ，所用的时间为t ，加速度为a ，则对小货箱有

2

at 21s =

① at v 0=

②

在这段时间内传送带运动的路程为 t v s 00=

③

由上可得 s 2s 0= ④

用F f 表示小货箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小货箱做功为

2012

1mv s F W f == ⑤

传送带克服小货箱对它的摩擦力做功

2020002

12mv mv s F W f =?== ⑥

两者之差就克服摩擦力做功发出的热量 20mv 21Q =

⑦

可见，在小货箱加速过程中，小货箱获得的动能与发热量相等。

T 时间内电动机输出的功为 T P W =

⑧ 此功用于增加N 个小货箱的动能、势能和使小货箱加速时程中克服摩擦力发

的热，即有 NQ Nmgh Nmv 21W 20++= ⑨

N 个小货箱之间的距离为(N －1)L ，它应等于传送带在T 时间内运动的距离，即有

NL L )1N (T v 0≈-=

⑩

因T 很大，故N 亦很大。

联立⑦、⑧、⑨、⑩，得 ??????+=gh T L N T Nm P 22

2

【总结】本题初看起来比较复杂，关于装置的描述也比较冗长．看来对于实际的问题或比较实际的问题，冗长的描述是常有的。要通过对描述的研究，抓住关键，把问题理想化、简单化，这本身就是一种分析问题、处理问题的能力。通过分析，可以发现题中传送带的水平段的作用是使货箱加速，直到货箱与传送带有相同的速度。使货箱加速的作用力来自货箱与传送带之间的滑动摩擦力。了解到这一点还不够，考生还必须知道在使货箱加速的过程中，货箱与传送带之间是有相对滑动的，尽管传送带作用于货箱的摩擦力跟货箱作用于传送带的摩擦力是一对作用力与反作用力，它们大小相等，方向相反，但在拖动货箱的过程中，货箱与传送带移动的路程是不同的。因此作用于货箱的摩擦力做的功与传送带克服摩擦力做的功是不同的。如果不明白这些道理，就不会分别去找货箱跟传送带运动的路程。虽然头脑中存有匀变速直线运动的公式，但不一定会把它们取出来加以使用。而在这个过程中，不管货箱获得的动能还是摩擦变的热，这些能量最终都来自电动机做的功。 传送带的倾斜段的作用是把货箱提升h 高度。在这个过程中，传送带有静摩擦力作用于货箱，同时货箱还受重力作用，这两个力对货箱都做功，但货箱的动能并没有变化。因为摩擦力对货箱做的功正好等于货箱克服重力做的功，后者增大了货箱在重力场中的势能。同时在这个过程中传送带克服静摩擦力亦做功，这个功与摩擦力对货箱做的功相等，因为两者间无相对滑动。所以货箱增加的重力势能亦来自电动机。

有的同学见到此题后，不知从何下手，找不到解题思路和解题方法，其原因可能是对涉

及的物理过程以及过程中遇到的一些基本概念不清楚造成的。求解物理题，不能依赖于套用解题方法，不同习题的解题方法都产生于对物理过程的分析和对基本概念的正确理解和应用。