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2017-2018北京市朝阳区高三第一学期期末数学理科试题含答案

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测

数学试卷（理工类） 2018.1

（考试时间120分钟满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项. 1. 已知集合{}|(2)0A x x x =

-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是

A. {}|12x x <<

B.{}|02x x <<

C. {}|0x x >

D.{}|2x x > 2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =

A.3

B. 4

D.10 3. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内

的是

A.(00)，

B.(20)-，

C.(01)-，

D. (02)， 4.

“sin 2

α=

”是“cos2=0α”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为

A. 4

D. 6. 已知圆2

(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于

,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的

轨迹是

正视图

侧视图

俯视图

A. 椭圆的一部分

B. 双曲线的一部分

C. 抛物线的一部分

D. 圆的一部分

7. 已知函数()f x x x a =?-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是

A .2a <- B.2a ≤- C.20a -≤< D.2a >- 8. 如图1，矩形ABCD 中

，AD =点E 在AB 边上， CE DE

⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记

二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()

00180∈o ，时，

① 存在某个位置，使1CE DA ⊥；

② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；

③ 任意两个位置，直线DE 和直线1A C 所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的序号是

A . ① B. ①② C. ①③

D. ②③

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5

分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C ，则双曲线C 的渐近线方程为 .

10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 . 11.

ABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF x AB y AE =+u u u r u u u r u u u r

（,x y ∈R ），则+=x y _________.

12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1

n i i S a ==∑，

则10a = ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）

13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位

同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：

22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.

证明思路：

（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；

（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可

表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；

（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式2

()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当

,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.

14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α-o . 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，

2P 三点在同一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA

的高为 m.（用含有l 和α的式子表示）

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)

已知函数2

()sin cos sin 2

f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos2cos sin b A b A a B =-，

且02

A π

，求()f B 的取值范围.

P 2

c a c

C B

16. (本小题满分13分)

为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表. 表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3

g /m μ）

表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）

根据表中数据回答下列问题：

（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；

（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；

（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.

17. (本小题满分14分)

如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ．（Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ；（Ⅱ）求证：1//B C 平面1A BD ；

（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角

1A A B C --的余弦值.

18. (本小题满分13分)

已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2

x π

处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值

范围.

B 1

C 1

A 1

19. (本小题满分14分)

已知抛物线:C 2

4x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标；（Ⅱ）求证：FT MN P ；（Ⅲ）求线段FN 的长.

20. (本小题满分13分)

已知集合{}12,,...,n P a a a =，其中i a ∈R

()

1,2i n n ≤≤>.()M P 表示

+i j a a 1)i j n ≤<≤（中所有不同值的个数.

（Ⅰ）若集合{}1,3,57,9P =，

，求()M P ；（Ⅱ）若集合{

1,4,16,...,4

n P -=，求证：+i

a a

的值两两不同，并求()M P ；

（Ⅲ）求()M P 的最小值.（用含n 的代数式表示）

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测

高三年级数学试卷答案（理工类） 2018.1

二、填空题（30分）

三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+ 11

=sin 2cos 222

x x +

)24

x π+. 由222242k x k πππ

π-

≤+≤π+（k ∈Z ）

，解得 88

k x k 3ππ

π-≤≤π+ .

所以()f x 单调递增区间为3[,]88

k k ππ

π-π+（k ∈Z ）. …………… 6分

（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos2sin cos sin sin B A B A A B =-.

因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos2cos sin A A A =-. 即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-=

当cos sin A A =时，4A π=

；当cos sin 1A A +=时，2

A π

由于02A π<<，所以4

A π=. 则3+4

C =

π. 则3

B <<π.

又2444

B ππ7π<+<，所以1sin(2)14

B π

-≤+≤.

由())24

f B B π=

+，则()f B

的取值范围是22?-

???

，. ……………… 13分 16. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分（Ⅱ）ξ可取1，2，3

1232353(1)10C C P C ξ===；2132356(2)10C C P C ξ===；30

323

(3)10

C C P C ξ===. ξ的分布列为

所以123 1.8101010

E ξ=?+?+?= . ………………9分

（Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.

………………13分

17. （本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为90ACB ∠=o ，所以BC AC ⊥．

根据题意， 1A D ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，所以1A D BC ⊥．

因为1A D AC D =I ，所以BC ⊥平面11AAC C ．

又因为BC ?平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分（Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E =I ，连接DE

．

根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//DE B C ．

又因为DE ?平面1A BD ，

1B C ?平面1A BD ，

所以1//B C 平面1A BD ． ………………8分（Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，

因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥，又因为1A D ⊥平面ABC ，所以1,,DF DC DA 两两垂直．

以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C , 所以1BC AC ⊥．

又因为11A B AC ⊥，1BC A B B =I , 所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥，所以四边形11AAC C 为菱形．由已知2AC BC ==，

则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，(1A ．设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ，

因为(1AA =u u u r ，()2,2,0AB =u u u r ，所以10,

AA AB ??=???=??u u u r

u u u r

n n ，即0,220.y x y ?+=??+=?? A

B B 1

C 1

A 1

设1z =

，则)

=n ．

再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，

因为(10,CA =-u u u r ，()2,0,0CB =u u u r ，所以10,

CA CB ??=???=??u u u r

u u u r

m m

，即1110,20. y x ?-=??=?? 设11z =

，则()

=m ．

故cos ,???=

?m n m n m n 由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角，所以二面角1A A B C --

． …………14分 18. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ

()22

k f '==-

. …………3分（Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.

当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数. 又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<, 所以有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.

所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点.即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. ……………7分（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间()0,1内有且只有一个极值点，由于

()()F x f x '=，即()cos f x x x a =+在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()

f x 在1x 两侧异号.

因为当(0,1)x ∈时，函数()g x 为减函数，所以在()00,x 上，0()()0g x g x >=，即()0f x '>成立，函数()f x 为增函数；

在0(,1)x 上， 0()()0g x g x <=，即()0f x '<成立，函数()f x 为减函数,

则函数()f x 在0x x =处取得极大值0()f x .

当0()0f x =时，虽然函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点0x ，但()f x 在0x 两侧同号，不满足()F x 在区间()0,1内有且只有一个极值点的要求.

由于(1)cos1

f a =+，(0)f a =，显然(1)(0)f f >. 若函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号，则只需满足：

(0)0,(1)0,f f

≥?即0,

cos10,a a

解得cos10a -≤<. ……………13分

19. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分

（Ⅱ）设00(,)P x y .由2

4x y =，得2

y x =

，则过点P 的切线l 的斜率为0012

x x k y x ='==

. 则过点P 的切线l 方程为200

1124y x x x =

-.令0y =，得012T x x =，即01

(,0)2

T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则0

TF k x =-

.而由已知得MN l ⊥，则0

2MN k x =-

. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合，

即FT MN P . …………6分（Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02

y x x =-

，00x ≠.直线PF 的方程为00

11y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0

002.........(1)11..........(2)N

N N

N y x x y y x x ?

=-???-?=+??

由（1）式得，02N

x x y =-

（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02N N

y y y -=

()0N y ≠.又2004x y =，化简得,2

2(1)1N

N x y +-= （0N x ≠）. 即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）

即1FN =. …………14分 20. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）()=7M P ； ………… 3分

（Ⅱ）形如和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（共有2

(1)2n n n C -=

项，所以(1)

()2

n n M P -≤

. 对于集合{

1,4,16,...,4

n -中的和式+i

a a

，+p q

a a 1,1)i j n p q n ≤<≤≤<≤（：当j q =时，i p ≠时，++i j p q a a a a ≠；

当j q ≠时，不妨设j q <，则1

21+24j i j j j q p q

a a a a a a a -

+<=<≤<+.

所以+i j a a 1)i j n ≤<≤（的值两两不同. 且(1)

()=

n n M P -. ………… 8分（Ⅲ）不妨设123...n a a a a <<<<，可得

1213121++...++...+n n n n a a a a a a a a a a -<<<<<<. +i j a a 1)i j n ≤<≤（中至少有23n -个不同的数. 即()23M P n ≥-.

设12,,...,n a a a 成等差数列，11,()+=,()

i j n n i j i j a a i j n a a a a i j n +-+-++>???

++≤??，

则对于每个和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（，其值等于1+p a a （2p n ≤≤）或+q n a a

(11)q n ≤≤-中的一个.去掉重复的一个1n a a +,

所以对于这样的集合P ,()23M P n =-.

则()M P 的最小值为23n -. ……………13分

2018年高三数学模拟试题理科

黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

2017年北京市高考数学试卷(文科)

2017年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题 A=（）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣2或x＞2}，则? U A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞） 3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） A．2 B．C．D． 4．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（） A．1 B．3 C．5 D．9 5．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（） A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数 C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数 6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

A．60 B．30 C．20 D．10 7．（5分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是?＜0”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48） A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 二、填空题 9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=． 10．（5分）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m= ． 11．（5分）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是． 12．（5分）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则? 的最大值为． 13．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假

2020-2021高考理科数学模拟试题

高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<