2008年全国高中数学联赛试题及详细解析

受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。

2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题，满分150分。答卷时间为100分钟。

全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括3道大题，其中一道平面几何题，试卷满分150分。答卷时问为120分钟。

一试

4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为（）。

（A）764 cm3或586 cm3（B） 764 cm3

（C）586 cm3或564 cm3（D） 586 cm3

5．方程组

0,

0,

x y z

xyz z

xy yz xz y

++=

?

?

+=

?

?+++=

?

的有理数解(,,)

x y z的个数为（）。

（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4

6．设ABC ?的内角A B C 、、所对的边a b c 、、成等比数列，则

sin cot cos sin cot cos A C A

B C B

++的取值范围是（ ）。

（A ）(0,)+∞ （B ）

（C ） （D ）)+∞

二、填空题（每小题9分，共54分）

11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤?，(6)()632x f x f x +-≥?，则)2008(f = .

12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，

则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 . 三、解答题（每小题20分，共60分）

13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标

的最大值为α，求证：

2

cos 1sin sin 34ααααα

+=

+． 14．解不等式

121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．

加 试

一、（本题满分50分）

如图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<，P 是平面上的动点，令

()f P PA BC PD CA PC AB =?+?+?．

（1）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C 、、、四点共圆； （2）设E 是ABC ?外接圆O 的AB

上一点，满足：

AE AB =

，1BC

EC

，

1

2

ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O

的切线，AC ()f P 的最小值．

二、（本题满分50分）

设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明： （1）若T 为有理数，则存在素数p ，使

1

p

是()f x 的周期； （2）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>>

(1,2,)n =???，且每个(1,2,)n

a n =???都是()f x 的周期．

三、（本题满分50分）

设0k a >，1,2,

,2008k =．

证明：当且仅当2008

1

1k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件： （1）010n n x x x +=<<，1,2,3,

n =；

答一图

1

4

（2）lim n n x →∞

存在；

（3）20082007

111

n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,

n =．

一试解答

1. 【答案】C 【

解

析

】

当

2x <时，20x ->，因此

21(44)1()(2)22x x f x x x x

+-+==+---2≥2=，当且仅当122x x

=--时取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上

的最小值为2．故选C.

3.【答案】B

12125

(2)()()9

P P A A P A A ξ==+=

， 1234123412341234(4)()()()()

P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++

33211220

2[()()()()]333381

=+=

， 1234123412341234(6)()()()()

P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++

2221164()()3381

==，

因此520162662469818181

E ξ=?+?+?=．故选B 。

4. 【答案】A

5. 【答案】 B

6.【答案】C

【解析】设a b c 、、的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而

sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C

B C B B C B C

++=

++sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B b q B C A A a

ππ+-=====+-． 因此，只需求q 的取值范围．因为a b c 、、成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此a b c

、、要构成三角形的三边，必须且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组2

2

,

a aq aq aq aq a

?+>??+>??即

2

210,10.q q q q ?--??

解得q q q <

?>

从而1122q <<，因此所求的取

值范围是．故选C 。

9. 【答案】222

【解析】方法一：用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用*表示名额．如

||||********

表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于24226+=(个)位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有223C 253=(种)．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222(种)．

方法二：设分配给3个学校的名额数分别为123x x x 、、，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程12324x x x ++=的正整数解的个数，即方程12321x x x ++=的非负整数解的个

数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：21212

32323H C C 253

===．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222（种）．

11. 【答案】2008

2

2007+

12.【答案】

（第12题图1）

第12题图2）

【解析】 如图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r ，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，

111PO A B C ⊥面，垂足D 为111A B C 的中心．因

1111111

3

P A B C A B C V S PD -?=?1114O A B C V -=?111143A B C S OD ?=???，

故44PD OD r ==，从而43PO PD OD r r r =-=-=． 记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP ，

则

22

11PP PO OP =-=

=． 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角

形，记为1P EF ，如图2．记正四面体的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于M ．因16

MPP π∠=，

有11cos PM PP MPP =?==，故小三角形的边

长1

2PE PA PM a =-=-．小球与面PAB 不能接触到的部分的面

积

为

（

如

图

2

中

阴

影

部

分

）

1PAB P EF S S ??

-22())a a =

-

-2

=-． 又1r =

，a =

1PAB PEF S S ??-=4个

面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为

14. 【解析】方法一：由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++<+． 即1210864353210x x x x x +++--<． 分组分解 12108x x x +- 1086222x x x ++- 864444x x x ++- 642x x x ++- 4210x x ++-<，

864242(241)(1)0x x x x x x +++++-<，

15. 【解析】设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ，不妨设b c >．直线PB 的方程:00

y b

y b x x --=，化简得 000()0y b x x y x b --+=．又圆心(1,0)到PB 的距离为1

1= ，故

22222

000000()()2()y b x y b x b y b x b

-+=-+-+，易知

02

x >，上式化简得

2000(2)20x b y b x -+-=，

同理有2000(2)20x c y c x -+-=． 所以0

022

y b c x -+=-，002x bc x -=-，

则222

00020448()(2)x y x b c x +--=-．因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2002y x =，则2202

04()(2)

x b c x -=-，

0022x b c x -=

-． 所以00000014()(2)4222

PBC x S b c x x x x x ?=-?=?=-++-

-48≥=．当20(2)4x -=

时，上式取等号，此时004,x y ==±．因此PBC S ?的最小值为8．

解

得cos α=

或cos α=（舍去），故30α=，60ACE ∠=． 由已

知1

BC

EC ==(

)

sin 30sin EAC EAC

∠-∠,

有sin(30)(1)sin EAC EAC ∠-=

∠，

即1

cos 1)sin 2

EAC EAC EAC ∠

-∠=∠，整理得1cos 2EAC EAC

∠=∠，

故tan 2EAC ∠==，可得75EAC ∠=，从而45E ∠=，

45DAC DCA E ∠=∠=∠

=，

?为等腰直角三角形．因

AC 1CD =．又ABC

也是等腰直角三角形

，

故BC

，212215BD =+-?=，BD =．故

min ()f P BD AC =?=

方法二：（1）如图2，

连接BD 交ABC ?的外接圆O

于0P 点（因为D 在O 外，故0P 在BD 上）． 过,,A C D 分别作000,,P A P C P D 的垂线，两两相交得

111A B C ?，易知0P 在ACD ?内，从而在111A B C ?内，记ABC ?之三内角分别为x y z ，，，则0180AP C y z x ∠=?-=+，又因110B C P A ⊥，110B A P C ⊥，得1B y ∠=，同理有1A x ∠=，1C z ∠=，

所以111A B C ?∽ABC ?．设11B C BC λ=，11C A CA λ=，11A B AB λ=，则对平面上任意点M ，有

0000()()f P P A BC P D CA P C AB λλ=?+?+? 011011011P A B C P D C A P C A B =?+?+? 1112A B C S ?=

111111MA B C MD C A MC A B ≤?+?+? ()MA BC MD CA MC AB λ=?+?+? ()f M λ=，

从而 0()()f P f M ≤．由M 点的任意性，知0P 点是使()f P 达最小值的点．由点0P 在O 上，故0P A B C 、、、四点共圆．

方法三：（1）引进复平面，仍用,,A B C 等代表,,A B C 所对应的复数．由三角形不等式，对于复数12,z z ，有 1212z z z z +≥+，当且仅当1z 与2z （复向量）同向时取等号．

有 PA BC PC AB PA BC PC AB

?+?≥?+?，

二、【解析】（1）若T 是有理数，则存在正整数,m n 使得n

T m

=

且(,)1m n =，从而存在整数,a b ，使得 1ma nb +=．于是

11ma nb a bT a b T m m

+==+=?+?是()f x 的周期．又因01T <<，

从而2m ≥．设p 是m 的素因子，则m pm '=，m *'∈N ，从而 11

m p

m

'=?是()f x 的周期．

（2）若T 是无理数，令 11

1a T T ??=-????

，则101a <<，且1a 是无理数，令

21111a a a ??

=-????， 111n n n a a a +??=-????

， 由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<．又

111n n a a ??

-

．因此{}n a 是递减数列．

最后证：每个n a 是()f x 的周期．事实上，因1和T 是()f x 的周期，故11

1a T T ??=-????

亦

是()f x 的周期．假设k a 是()f x 的周期，则111k k k a a a +??

=-????

也是()f x 的周期．由数学归

纳法，已证得n a 均是()f x 的周期．

下取数列{}n x 为01

n

k

n k x s ==∑，1,2,

n =，则明显地{}n x 满足题设条件（ⅰ），且

1000

1

01n n

k

n k s s x s s +=-==-∑．因001s <<，故10lim 0n n s +→∞=，因此1

00000lim lim 11n n n n s s s x s s +→∞→∞-==--，

即{}n x 的极限存在，满足（2）． 最后验证{}n x 满足（3），因0()0f s =，即2008

01

1k

k k a s ==∑，从而

2008200820081000011

1

1

()()n k n n k n n k k k n k n k k k k x x s a s s a s a x x +-++-===-====-∑∑∑．

综上，存在数列{}n x 满足（1）.