高中数学三角函数公式汇总(正版)一、任意角的三角函数
在角正弦:正切:正割:的终边上任取一点 P(x, y) ,记: 2 2
rx y ,..
y x
sin 余弦: cos
r r
y x
tan 余切: cot
x y
r r
sec 余割: csc
x y
注:我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数:如图,与单位圆有关的有向线段 MP 、 OM 、 AT 分别叫做角的正弦线、余弦线、正..
切线。
二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系: sin csc 1 , cos sec 1, tan cot 1 。
商数关系: tan sin
, cot
cos
。cos sin
平方关系: sin 2 cos2 1,1 tan 2 sec2 ,1 cot 2 csc2 。三、诱导公式
⑴2k( k Z ) 、、、、2的三角函数值,等于的同名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。(口诀:函数名
..
不变,符号看象限)
⑵、、3
、
3
的三角函数值,等于的异名函数值,
222 2
前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。(口诀:函数名改变,符号看
..
象限)
四、和角公式和差角公式
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
tan( )
tan tan 1 tan tan
tan( )
tan tan 1 tan tan
五、二倍角公式
sin 22sin cos
cos2cos2sin 22cos2 1 1 2sin2( )
2tan
tan2
1 tan2
二倍角的余弦公式( ) 有以下常用变形:(规律:降幂扩角,升幂缩角)
1 cos
2 2cos2 1 cos2 2 sin 2
1 sin
2 (sin cos )2 1 sin 2 (sin cos )2
2 1 cos2 sin 2 1 cos2 ,tan 1 cos2 sin 2
cos
2 , 2 sin 2 。
1 cos2
六、万能公式(可以理解为二倍角公式的另一种形式)
2 tan 1 tan 2
, tan 2 2 tan
。
sin 2
2 , cos2
tan2 1 tan 2
1 tan 1
万能公式告诉我们,单角的三角函数都可以用半角的正切..来表示。
七、和差化积公式
sin sin 2 sin cos⑴
2 2
sin sin 2 cos sin⑵
2 2
cos cos2cos cos⑶
2 2
cos cos2sin sin⑷
2 2
了解和差化积公式的推导,有助于我们理解并掌握好公式:
sin sin
2 sin cos cos sin
2 2 2 2 2
sin sin
2 sin cos cos sin
2 2 2 2 2 两式相加可得公式⑴,两式相减可得公式⑵。
cos cos
2 cos cos sin sin
2 2 2 2 2
cos cos
2 cos cos sin sin
2 2 2 2 2
两式相加可得公式⑶,两式相减可得公式⑷。
八、积化和差公式
sin cos 1
) sin( ) sin(
2
cos sin 1
) sin( ) sin(
2
cos cos 1
cos( ) cos( ) 2
sin sin 1
cos( ) cos( ) 2
我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。
九、辅助角公式
a sin x
b cosx
a 2
b 2 sin( x
) ()
其中:角 的终边所在的象限与点 (a,b) 所在的象限相同,
sin
a 2
b , cos
a , tan
b 。
b 2
a 2
b 2
a
十、正弦定理
a
b c sin A sin B
2R ( R 为 ABC 外接圆半径)
sin C
十一、余弦定理
a 2
b 2
c 2 2bc cos A b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2
a 2
b 2 2ab cosC
十二、三角形的面积公式
S
ABC
1 底 高
2
S
ABC
1
ab sin C
1
bcsin A
1
ca sin B (两边一夹角)
2
2 2
S ABC
abc
( R 为 ABC 外接圆半径)
4R
S
ABC
a b
c
2
r ( r 为 ABC 内切圆半径)
S
ABC
p( p a)( p b)( p c) 海仑公式(其中 p
a
b c )
y
y
2
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos 0
o
x
o
x
sin
cos
sin
cos
A( 2,2)
x y 0 A( 2,2)
x y
十三诱导公式
公式一:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角
函数的值相等
k是整数
公式二:
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
公式三:
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系
公式五:
利用公式四和三角函数的奇偶性可以得到
α-π与α的三角函数值之间的关系
公式六:
利用公式一和公式三可以得到 2π-α与α的三角函数值之间的关系sin( 2k π +)α=sin αcos( 2k π +)α=cos αtan( 2k π +)α=tan αcot( 2k π +)α=cot αsec( 2k π +)α=sec αcsc( 2k π +)α=csc αsin(π +)α =- sin αcos(π +α)=- cos αtan(π +α) =tan αcot(π +α) =cot αsec( π +α-sec)= αcsc( π +α-csc)=α
sin(-α) =-sin αcos(-α)=cos αtan(-α) =- tan αcot(-α) =- cot αsec(-α )=sec α
csc(-α )=-csc α
sin(π-α) =sin αcos(π-α)=-cos αtan(π-α) =- tan αcot(π-α) =- cot αsec( -πα )=-sec α
csc( -πα )=csc α
sin(α-π) =- sin αcos(α-π) =- cos αtan(α-π) =tan αcot(α-π) =cot αsec( -απ )=-sec α
csc( -απ )=-csc α
sin( 2π-α) =- sin αcos( 2π-α) =cos αtan( 2π-α) =- tan αcot( 2π-α) =- cot α
sec(2 -πα )=sec α
csc(2 -πα )=-csc α
sin(π /2+)α=cos α
cos(π /2+)α=-sin α
tan(π /2+)α=- cot α
cot(π /2+)α=- tan α
sec( π /2+ α-csc)= α
csc( π /2+ α )=sec α
sin(π /2-α) =cos α
cos(π /2-α) =sin α
tan(π /2-α) =cot α
cot(π /2-α) =tan α
sec( π-α/2 )=csc α
公式七:
csc( π-α/2 )=sec α
π /2 ±α及3π /2 ±α与α的三角函数值之间的关
sin( 3π /2+)α=- cos α
系
cos( 3π /2+)α=sin α
tan( 3π /2+)α=- cot α
cot( 3π /2+)α=- tan α
sec(3 π /2+ α )=csc α
csc(3 π /2+ α-sec)=α
sin( 3π /2-α) =- cos α
cos( 3π /2-α)=- sin α
tan( 3π /2-α) =cot α
cot( 3π /2-α) =tan α
sec(3 π-α/2 )=-csc α
csc(3 π-α/2 )=-sec α