北京市朝阳区2016届中考二模数学试卷

北京市朝阳区2016届中考二模数学试卷

2016.6

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．2015年6月国家主席习大大和比利时国王菲利普，在人民大会堂共同见证了两国公司在 集成电路方面进行合作研发的签约仪式，两国将共同着力研发14纳米量产技术，这标志 着我国芯片制造能力将进入国际顶尖水平．14纳米为0.000 000 014米，将0.000 000 014 用科学记数法表示应为

A ．7

0.1410-? B ．8

1.410-? C ．6

0.01410-? D ．9

1410-? 2．如图，在单位长度为1的数轴上，点A 、B 表示的两个数互为相反数，那么点A 表示的 数是

A ．2

B ．-2

C ． 3

D ．-3 3．在中国有很多吉祥的图案深受大家喜爱，人们会用这些图案来装饰生活，祈求平安． 比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是．轴对称图形，不是．．中心

对称图形的为

A

B

C D 4．一个袋子中只装有黑、白两种颜色的球，这些球的形状、质地等完全相同，其中白色球有2个，

黑色球有n 个．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子

中并摇匀．同学们进行了大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n 的值为

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

5．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形ABCDEF

的半径是

，

则这个正六边形的周长是

A

． B ．12 cm C ．

123cm D ．36 cm

6．某篮球队12名队员的年龄统计如图所示，则该队队员年龄的众数和中位数分别是

A ．16，15

B ．15，15.5

C ．15，17

D ．15，16 7．一艘海上搜救船借助雷达探测仪寻找到事故船的位置，雷达示意图如图所示，搜救船位于图中

圆心O 处，事故船位于距O 点40海里的A 处，雷达操作员要用方位角．．．把事故船相对于搜救船

的位置汇报给船长，以便调整航向，下列四种表述方式中正确的为

A ．事故船在搜救船的北偏东60°方向

B ．事故船在搜救船的北偏东30°方向

C ．事故船在搜救船的北偏西60°方向

D ．事故船在搜救船的南偏东30°方向 8．现有A 、B 两种商品，买3件A 商品和2件B 商品用了160元，买2件A 商品和3件B 商品用

了190元．如果准备购买A 、B 两种商品共10件，下列方案中费用最低的为 A ．A 商品7件和B 商品3件 B ．A 商品6件和B 商品4件 C ．A 商品5件和B 商品5件 D ．A 商品4件和B 商品6件

9．把图1所示的正方体的展开图围成正方体（文字露在外面），再将这个正方体按照图2，依次

翻滚．．

到第1格，第2格，第 3格，第4格，此时正方体朝上一面的文字为 A ．富 B ．强 C ．文 D ．民

第7题图

第5题图

第6题图

10．

如图，ABC ?为等边三角形，点O 在过点A 且平行于

BC ABC ?高为半

径的⊙O 分别交线段AB 、AC 于点E 、F ，则

A ．从?0到?30变化

B ．从?30到?60变化

C ．总等于?30

D ．总等于?60 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：2

312=a -________． 12．函数1

21

y x x =+

+的自变量x 的取值范围是________． 13．请写出一个开口向下，并且与y 轴交于点（0，2）的抛物线的表达式，y =________．

14．将一元二次方程0562

=+-x x 化成2

()x a b -=的形式，

则ab =________．

15．如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，

若OB 的长为10，4

sin 5

BOD ∠=

， 则AB 的长为________． 16．在数学活动课上，老师说有人根据如下的证明过程，得到“1=2”的结论．

大家经过认真讨论，发现上述证明过程中从某一步开始出现错误，这一步是________ （填入编号），造成错误的原因是________．

图1

第9题图

图2 C

B 第10题图

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

17

11|5|()2tan602

----?．

18．解方程组212x y x y +=??-=?

，

．

19．已知2220a a --=，求代数式

2

21

11

a a a -÷-+的值． 20．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90o，AD 是BC 边上的中线，

ED BC ⊥于D ，交BA 延长线于点E ，若∠E =35°，

求∠BDA 的度数．

21．每年的4月23日，是“世界读书日”．据统计，“幸福家园小区”1号楼的住户一年

内共阅读纸质图书460本，2号楼的住户一年内共阅读纸质图书184本，1号楼住户的人数比2号楼住户人数的2倍多20人，且两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量相同．求这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量是多少本？

22．如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B = 90o， F 为DC 上一点，

且FC = AB ，E 为AD 上一点，EC 交AF 于点G ． （1）求证：四边形ABCF 是矩形； （2）若ED = EC ，求证：EA = EG ．

23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数4

y x

=

的图象 与正比例函数y =kx 的图象的一个交点为M （1，b ）． （1）求正比例函数y =kx 的表达式；

（2）若点N 在直线OM 上，且满足MN=2OM ， 直接写出点N 的坐标．

E

D C

B

A

前四天每天接待的观众人数统计图

图1

5月3日观看各种戏剧人数分布统计图

图2

24．如图，O 是∠MAN 的边AN 上一点，以OA 为半径作⊙O ，交∠MAN 的平分线于点D ，

DE ⊥AM 于E ．

（1）求证：DE 是⊙O 的切线；

（2）连接OE ，若∠EDA =30o，AE =1，求OE 的长．

25．为弘扬中国传统文化，2016年4月30日“北京戏曲文化周”在北京园博园开始举行，

活动期间开展了丰富多样的戏曲文化互动体验活动，同时也推出了好戏连台园博看大戏的活动，主办方统计了前几天观看戏剧情况的部分相关数据，绘制统计图表如下：

（1）m =_______；

（2）若5月3日当天看豫剧的人数为93人，请你补全图1；

（3）请你根据前四天接待观众人数，估计“北京戏曲文化周”活动在5月4日接待观众约为

________人．5月4日的戏曲活动，分别演出 “京剧”、“北京曲剧”、“沪剧”、

“秦腔”、“粤剧”． 通过对100名观众的调查发现， 有12人喜欢“沪剧”，5人喜

欢“秦腔”，8人喜欢“粤剧”．主办方希望把“沪剧”、“秦腔”、“粤剧”三种戏

剧安排到以下五个园（如下表）中的三个园进行演出．请你结合下表为这三种戏剧选择

合适的演出地点，并说明理由．

26．（1）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线32

y x =

+与抛物线y = x 2相交于点A 、B ， 与x 轴交于点C ，A 点横坐标为x 1，B 点横坐标为x 2（x 1 < x 2），C 点横坐标为x 3． 请你计算1211x x +与3

1

x 的值，并判断它们的数量关系．

（2

组

条件中选择一组．．．．

，证明1211x x +与3

1

x 仍具有（1）中的数量关系． ①如图，∠APC =120o，PB 平分∠APC ，直线l 与PA 、PB 、PC 分别交于点A 、B 、C ， PA =x 1，PC =x 2，PB =x 3．

②如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点A (x 1，0)、B (0，x 2)作直线l ，与直线y =x 交于

点C ，点C 横坐标为x 3．

l

C

B

A

P

x

y x 3

x 1

x 2

C

A

B

O

27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(9)6y x m x =-++-的对称轴是2x =．

（1）求抛物线表达式和顶点坐标；

（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A ，求点A 的坐标；

（3）抛物线22(9)6y x m x =-++-与y 轴交于点C ，点A 关于平移后抛物线的对称轴的

对称点为点B ，两条抛物线在点A 、C 和点A 、B 之间的部分（包含点A 、B 、C ） 记

为图象M ．将直线22y x =-向下平移b （b >0）个单位，在平移过程中直线与图象M

始终有两个公共点，请你写出b 的取值范围_________．

28．在ABC ?中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BE 、CD 相交于点O ，且A E B C

D C B

∠=∠=∠2

1

． （1）如图1，若AB =AC ，则BD 与CE 的数量关系是______________；

（2）如图2，若AC AB ≠，请你补全图2，思考BD 与CE 是否仍然具有（1）中的数量关系，

并说明理由；

（3）如图3，?=∠105BDC ，BD = 3，且BE 平分∠ABC ，请写出求BE 长的思路． （不用写出计算结果）

l

图 1

图

3

29．P 是⊙O 内一点，过点P 作⊙O 的任意一条弦AB ，我们把PA PB ?的值称为点P 关于

⊙O 的“幂值”．

（1）⊙O 的半径为5，OP = 3．

①如图1，若点P 恰为弦AB 的中点，则点P 关于⊙O 的“幂值”为________； ②判断当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P 关于⊙O 的“幂值”的取值范围．

（2）若⊙O 的半径为r ，OP = d ，请参考（1）的思路，用含r 、d 的式子表示点P 关于⊙O

的“幂值”或“幂值”的取值范围________；

（3）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为4，

若在直线3

y x b =+上存在点P ，使得

点P 关于⊙O 的“幂值”为13，请写出b 的取值范围________．

北京市朝阳区九年级综合练习（二）

数学试卷评分标准及参考答案 2016.6

图2

三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分， 第29题8分）

17．解：原式=52--…………………………………………………………4分 =3．…………………………………………………………………5分 18．解：21,2.x y x y +=??

-=?

①+②，得33x =，

1x =．………………………………………………………2分 把1x =代入②，得12y -=，

1y =-．……………………………………………………4分 所以这个方程组的解是1,

1.

x y =??=-? …………………………………………………5分

19．解：原式()()2

1

111a a a a +=?

+-- ……………………………………………………1分

()

2

2

=

1a - ……………………………………………………………………3分

22

=

21

a a -+．

∵2

220a a --=，

∴2

22a a -=．……………………………………………………………4分

∴ 原式2

3

=

．………………………………………………………………5分 20．解：∵ED BC ⊥，35E ∠=?，

∴55B ∠=?． …………………………………………1分

∵在Rt △ABC 中，∠BAC = 90o，AD 是BC 边上的中线， ∴AD BD =． …………………………………………3分

∴55BAD B ∠=∠=? ．………………………………4分 ∴70BDA ∠=?．…………………………………………………………………5分

①

②

E C

B

A

21．解：设这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为x 本．……………………1分 由题意，得

4602184

20x x

?=+． …………………………………………3分 解得 4.6x =． ……………………………………………………4分 经检验， 4.6x =是原方程的解，且符合题意．……………………………5分 答：这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为4.6本． 22．证明：（1）∵AB ∥DC ，FC=AB ，

∴四边形ABCF 是平行四边形．…………………………………………1分

∵90B ∠=?，

∴四边形ABCF 是矩形．…………………………………………………2分

（2）由（1）可得，90AFC ∠=?，

∴90DAF D ∠=?-∠，90CGF ECD ∠=?-∠． ………………3分 ∵ED EC =，

∴D ECD ∠=∠．…………………………4分 ∴DAF CGF ∠=∠．

∵EGA CGF ∠=∠， ∴EAG EGA ∠=∠．

∴EA EG =．………………………………………………………5分 23．解：（1）∵双曲线4

y x

=

过点M （1，b ）， ∴4b =．……………………………………………………………………1分 ∵正比例函数y kx =的图象过点M （1，4），

∴4k =．……………………………………………………………………2分 ∴正比例函数的表达式为4y x =．………………………………………3分 （

2

）

（

-1

，

-4

）

，

（

3

，

12）． …………………………………………………5分 24．（1）证明：连接OD ．

∵AD 平分MAN ∠， ∴EAD OAD ∠=∠． ∵OA OD =， ∴ODA OAD ∠=∠．

∴EAD ODA ∠=∠．……………………………1分

∵DE AM ⊥于E ， ∴90AED ∠=?． ∴90EAD EDA ∠+∠=?， ∴90ODA EDA ∠+∠=?．

∴OD ED ⊥．

∴DE 是⊙O 的切线． ………………2分 （2）解：∵30EDA ∠=?，

∴60ODA ∠=?． ∵OA OD =，

∴△ADO 为等边三角形．…………………………………………………3分 在Rt △AED 中，1AE =，可得2AD =

，ED ．………………4分 ∴2OD AD ==．

在Rt △ODE

中，由勾股定理可得OE =． ………………………5分

25．解：（1）41． ……………………………………………………………………… ……1分

（2）补全图1，如图所示． ……………………………………………… ………2分

（3）801； ………………………………………………………………3分

答：预计观看“沪剧”、“秦腔”、“粤剧”的人数分别约为96、40、64， (4)

分

所以演出应分别安排在江苏园、福建园、岭南园．………………………………5分

26．（1）解： 由题意可得2

1

32

x x =

+． ∵12x x <，

前四天每天接待的观众人数统计图

图1

∴13

2x =-

，22x =． …………………………………………………1分 ∴12111

6

x x +=-．

∵直线1

32

y x =+与x 轴交于点C ，C 点横坐标为3x ，

∴36x =-．………………………………………………………………2分

∴311

6x =-．

∴123

111

x x x +=．…………………………………………………………3分

（2）①证明：如图，过点B 作BE ∥PA 交PC 于点E ．

∴△BEC ∽△APC ．…………………………………………………4分 由PB 平分APC ∠，120APC ∠=?，可得△PBE 是等边三角形．

∴3BE PE PB x ===．

∴23EC x x =-．

∵

BE EC

AP PC =， ∴323

12

x x x x x -=．

∴231312x x x x x x +=． ∴

123

111

x x x +=．…………………………………………………………5分 ②解：过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，CE ⊥y 轴于点E ．

∵点C 在直线y x =上，且横坐标为3x ， ∴点C (3x ，3x )．

∴3CE CD x ==．……………………………4分 ∵BOC AOC AOB S S S ???+=， ∴

231312111

222

x x x x x x +=． ∴

123

111

x x x +=．…………………………………………………………5分 27．解：（1）∵抛物线()2

296y x m x =-++-的对称轴是2x =，

l

x

y E D

x 3x 1

x 2C A B

O l

图 2 ∴9

22(2)

m +-

=?-．

∴1m =-． ……………………………………………………………1分

∴抛物线的表达式为2286y x x =-+-．…………………………………2分 ∴22(2)2y x =--+．

∴顶点坐标为（2，2）．………………………………………………3分 （2）由题意得，平移后抛物线表达式为 ()2

232y x =--+……………………4分 ∵()()2

2

2223x x --=--，

∴52x =

． ∴A （52，3

2）．………………………5分

（3）7

02

b <≤． ……………………………7分

28．（1）BD CE =；………………………………………1分

（2）补全图形．………………………………………2分 证明：如图2，在BE 上截取BF CD =，连接CF ．

∵1

2

DCB EBC A ∠=∠=

∠， ∴△DCB ≌△FBC ．………………………3分 ∴BD CF =，FCB DBC ∠=∠．

∴CFE FBC FCB FBC ABE ∠=∠+∠=∠+∠2．

∵CEF A ABE ∠=∠+∠．

∴CFE CEF ∠=∠．………………………………………………………4分 ∴CF CE =．

∴BD CE =．………………………………………………………5分

（3）求解思路如下：

a ．如图3，过点E 作EM BC ⊥于M ；

b ．由BE 平分ABC ∠，可得ABC A ∠=∠；

c ．由BDC ∠=?105，可得EBC ∠=?25，

50A ∠=?，80ACB ∠=?；………………………………………………………6分

d ．由（2）知CE BD ==3，在Rt △CEM 中，可求EM 的长度；

e ．在Rt △BEM 中，由EBM ∠的度数和的EM 的长度，可求BE 的长度．…7分 29．（1）①16．………………………………………………………………………………1分

图3

A

D

B

M C

E

②当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”为定值．………………2分 证明：如图，AB 为⊙O 中过点P 的任意一条弦，且不与OP 垂直． 过点P 作⊙O 的弦''A B ⊥OP ，连接'AA 、'BB ． ∵在⊙O 中，''AA P B BP ∠=∠，''APA BPB ∠=∠，

∴△'APA ∽△'B PB ．…………………………………………………3分

∴

'

'PA PA PB PB

=． ∴''PA PB PA PB ?=?．…………………………4分

∵OP ⊥''A B ，3OP =，⊙O 半径为5． ∴''4A P B P ==．

∴16PA PB ?=．…………………………………………………………5分 ∴当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”为定值．

（2）22r d -． …………………………………………………………………………6分 （3）22b -≤≤． …………………………………………………………………8分