第27讲 三角法与向量法解平面几何题
相关知识
在ABC ?中,R 为外接圆半径,r 为内切圆半径,2
a b c
p ++=,则 1,正弦定理:
2sin sin sin a b c
R A B C
===, 2,余弦定理:2
2
2
2cos a b c bc A =+-,2
2
2
2cos b a c ac B =+-,2
2
2
2cos c a b ab C =+-. 3,射影定理:cos cos a b C c B =+,cos cos b a C c A =+,cos cos c a B b A =+. 4,面积:211sin 2sin sin sin 224a abc S ah ab C rp R A B C R
=
==== = (sin sin sin )rR A B C ++
2
221(cot cot cot )4
a A
b B
c C =
++. A 类例题
例1.在ΔABC 中,已知b =asinC ,c =asin (900
-B ),试判断ΔABC 的形状。 分析 条件中有边、角关系, 应利用正、余弦定理, 把条件统一转化为边或者是角的关系, 从而判定三角形的形状。
解 由条件c = asin (900
- B ) = acosB = c
b c a ac b c a a 222
22222-+=-+
2
2222c b c a =-+? 是直角A b c a ?+=?2
22
1sin sin sin =?=A A C c
A a 是直角??
?C a c C
c
a sin sin =?=?. Q C a
b sin =?=?
c b ΔABC 是等腰直角三角形。
例2.(1)在△ABC 中,已知cosA =13
5,sinB =53
,则cosC 的值为( )
A .6516
B .6556
C .65566516或
D . 65
16-
解 ∵C = π - (A + B ),∴cosC = - cos (A + B ),又∵A ∈(0, π),∴sinA = 13
12,而sinB =53
显然sinA > sinB ,∴A > B , ∵A 为锐角, ∴B 必为锐角, ∴ cosB = 5
4
∴cosC = - cos (A + B ) = sinAsinB - cosAcosB =65
1654135531312=?-?.选A . 说明 △ABC 中,sinA > sinB ?A > B . 根据这一充要条件可判定B 必为锐角。 (2)在Rt △ABC 中,C =90°,A =θ,外接圆半径为R ,内切圆半径为r ,
当θ为 时,R
r 的值最小。 解答 由题意,R =2c ,r =2a b c
+-.(其中a 、b 、c 为Rt △ABC 的三条边长,c 为斜边长)
∴R
r =c a b c +-=1sin cos 1θθ+-=12sin()14
πθ+-.
∵
sin (α+
4π)≤1,∴R
r ≥121
-=2+1. 当且仅当θ=
4π时,R
r
的最小值为2+1。 例3 在△ABC 中,tan tan tan tan A B A B -+=c b
c
-,求证:B 、A 、C 成等差数列。
分析 由于条件等式是关于三角形的边、角关系,而要证的结论只有角的关系,故应运用正
弦定理将边转化为角。而B 、A 、C 成等差数列的充要条件是A =60°,故应证A =60°。 证明 由条件得
sin()sin()A B A B -+=sin sin sin C B
C
-.∵sin (A +B )=sinC ,
∴sin (A -B )=sinC -sinB ,∴sinB =sin (A +B )-sin (A -B )=2cosAsinB . ∵sinB ≠0,∴cosA =
1
2
,A =60°.∴B 、A 、C 成等差数列。 例4 ?ABC 中,三个内角A 、B 、C 的对边分别为c b a 、、,若2
2
2
a c
b a
c +=+,
:31):2a c =+且,求角C 的大小。
解 由2
1
22222
2
2
=-++=+ac b c a ac b c a 可得
=cosB ,故B =60o ,A +C =120o . 由正弦定理有:
213sin sin +==c a C A ,31sin sin ,2
A C ∴= 又sinA =sin (120o
-C )=
C C sin 2
1
cos 23+,于是=+C C sin 21cos 2331
sin ,2
C ∴sinC =cosC ,∴tanC =1, ∴C =45o 。 ∴A +C =120o ,31
sin sin ,2
A C =
要求C 需消去A 。 说明 解本题时首先要运用正弦定理将边的关系转化为角的关系,从而得关于A 、C 的两个方程
链接
1.利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)己知两角和任一边,求其它两边和一角;
(2)己知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其它的边和角)。己知两边和其中一边的对角解三角形,有一解或两解。
2.利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)己知三边,求三个角;
(2)己知两边和它们的夹角,求第三边和其它两个角。
3.解斜三角形:要明确三角形的六个元素(三条边、三个内角)中己知什么,求什么。再运用三角形内角和定理、正弦定理与余弦定理解题。
4.研究三角形的边角关系和判断三角形的形状:运用三角形内角和、正弦定理与余弦定理及三角变换公式,灵活进行边角转换。
三角形中的边角关系式和三角形形状的判断证明,都可归入条件恒等式证明一类,常用到互补、互余角的三角函数关系。
情景再现
1 △ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,如果a 2=b (b +c ),求证:A =2B . 2.?ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知a 、b 、c 成等比数列,且3
cos 4
B =
(1)求cot cot A C +的值
(2)设3
2
BA BC ?=u u u r u u u r ,求a c +的值
3 已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角,y =cot A +
)
(C B A A
-+cos cos sin 2.
(1) 若任意交换两个角的位置,y 的值是否变化?试证明你的结论.(2)求y 的最小值.
B 类例题
例5 如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地,△ABC 外的地方种草,△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池,其余的地方种花.若BC=a ,∠ABC=θ,设△ABC 的面积为S 1,正方形的面积为S 2.
(1)用a ,θ表示S 1和S 2;
(2)当a 固定,θ变化时,
求2
1
S S 取最小值时的角θ。 解(1)22111
sin ,cos sin cos sin 224
AC a AB a S a a θθ
θθθ==∴==Q
设正方形边长为x ,则cot ,tan cot tan BQ x RC x x x x a θθ
θθ==∴++=
2sin cos sin 2cot tan 11sin cos 2sin 2a a a x θθθ
θθθθθ
===++++
2
2222
sin 2sin 22sin 24sin 24sin 2a a S θθθθθ??
∴== ?+++??
(2)当a 固定,θ变化时,
1214sin 244sin 2S S θθ??
=++ ???
令1211sin 2,44S t t S t θ??
==++ ???
则
()10,0 1.2t f t t t πθ<<∴<≤=+Q 令,用导数知识可以证明:函数()1
f t t t
=+在(]0,1是减函数,于是当1t =时,
1
2
S S 取最小值,此时4
πθ=
。
说明 三角函数有着广泛的应用,本题就是一个典型的范例。通过引入角度,将图形的语言转化为三角的符号语言,再将其转化为我们熟知的函数()t
t t f 1+=。三角函数的应用性问题是历年高考命题的一个冷点,但在复习中应引起足够的关注。
例6如图,A 、B 是一矩 OEFG 边界上不同的两点,且∠AOB=45设∠AOE=α.
(1)写出△AOB 的面积关于α的函数关系式f(α); (2)写出函数f(x)的取值范围。 解:(1)∵OE=1,EF=3
∴∠EOF=60°
当α∈[0,15°]时,△AOB 的两顶点A 、B 在E 、F 上, 且AE=tan α,BE=tan(45°+α)
∴f(α)=S △AOB =
2
1
[tan(45°+α)-tan α] =)45cos(·cos 245sin α+??α=2
)452cos(22
+?+α 当a ∈(15°,45°]时,A 点在EF 上,B 点在FG 上,且OA=αcos 1,OB=)
45cos(3
α-? ∴)(αf =S △
AOB =
21OA ·OB ·sin45°=αcos 21·)
45cos(3
α-?·sin45°=
2
)24
cos(26
+-απ
综上得:f(α)= ????
?????∈+-∈++]4,12(2)42
cos(26]12,0[2
)4
2cos(22ππαππ
απ α α
(2)由(1)得:当α∈[0,
12
π
]时 f(α)= 2
)4
2cos(22++πα∈[2
1
,3-1]
且当α=0时,f(α)min =21;α=12
π
时,f(α)max =3-1;
当α∈]4,12(
ππ时,-12π≤2α-4π≤4
π
,f (α)=2
)42cos(26
+-π
α∈[6-3,
2
3
] 且当α=8π时,f(α) min =6-3;当α=4
π
时,f(α) max =23
所以f(x) ∈[21,2
3
]。
说明 三角函数与其他数学知识有着紧密的关系,它几乎渗透了数学的每一个分支。注意三角函数的综合应用。
例7 海中相距2海里的A 、B 两岛,分别到海岸线l
(直线)的距离AC
=
BD =P ,使∠APB 最大,求点P 的位置,且求
∠APB 的最大值。
解 如图,过P 作l 的垂线PQ 交
AB 于Q ,,AC l BD l AC PQ DB ⊥⊥∴Q P P 、,设
,,APQ BPQ APB αβαβ∠=∠=∴∠=+,且,CAP DBP αβ∠=∠=,在直角梯形ABDC
中,2,AC
BD AB CD ===∴=A 作'AA BD ⊥
于','A BA ∴=
在'K R AA B ?
中求出'AA =
,设CP t =
(0t ≤≤
tan tan tan tan()01tan tan αβαβαβαβ∴=
=+∴+=
==>-?
(0,),tan()2
π
αβαβ∴+∈∴+有最大值时,αβ+也有最大值。
令20,1)40y yt t y =>∴-++=
0,y t ?>∈?Q
20,1)4(40y y ?∴≥∴+--≥
,即21410y --≤
142y ∴-
≤≤∴≤Q 又y>0,0 max 2y ∴= 时,122t y +?==+=? ∴ 当t =y 有最大值,即tan()αβ+有最大值,其值为1, APB αβ∴∠=+的最大值为4π , 点P 在点D 时,APB ∠最大,最大值为4 π 。 例8 某城市有一条公路,自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB ,现要修建一条铁路L ,L 在OA 上设一站A ,在OB 上设一站B ,铁路在AB 部分为直线段,现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ,问把A 、B 分别设在公路上离中心O 多远处才能使|AB |最短?并求其最短距离.(不要求作近似计算) 解:在△AOB 中,设OA =a ,OB =b . 因为AO 为正西方向,OB 为东北方向,所以∠AOB =135°. 则|AB |2=a 2+b 2-2ab cos135°=a 2+b 2+2ab ≥2ab +2ab =(2+2)ab ,当且仅当a =b 时,“=”成立.又O 到AB 的距离为10,设∠OAB =α,则∠OBA =45°-α.所以a =α sin 10 ,b = )(α-?45sin 10 , ab =α sin 10·)(α-?45sin 10 = ) (αα-??45sin sin 100 L D B A ’ C P A Q = )( αααsin 22cos 22sin 100 - =)(αα2cos 14 22sin 42100 -- =2452sin 2400-?+)(α≥22400 -, 当且仅当α=22°30′时,“=”成立. 所以|AB |2≥ 2 222400-+) (=400(2+1)2, 当且仅当a =b ,α=22°30′时,“=”成立. 所以当a =b = 0322sin 10 ' ?=10) (222+时,|AB |最短,其最短距离为20(2+1),即当AB 分别在OA 、OB 上离O 点10)(222+ km 处,能使|AB |最短,最短距离为20(2-1). 链接 1.一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用,另一方面要体会解三角形是重要的测量手段,通过数值计算进一步提高技能技巧和解决实际问题的能力. 2.要加大以三角形为背景,以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练. 3.根据实际情景,选择适当的变量,建立目标函数,通过函数方法达到问题的解决。 情景再现 4 如图,三棱锥P -ABC 的底面ABC 为等腰三角形,AB = AC = a ,侧棱长均为2a ,问BC 为何值时,三棱锥P -ABC 的体积V 最大,最大值是多少? 5 如图,一科学考察船从港口O 出发,沿北偏东α角的射线OZ 方向航行,其中tan α= 3 1。在距离港口O 为133a (a 为正常数)海里北偏东β角的A 处有一个供给科学考察船物资的小岛,其中cos β= 13 2。现指挥部紧急征调沿海岸线港口O 正东方向m 海里的B 处的 补给船,速往小岛A 装运物资供给科学考察船,该船沿BA 方向不变全速追赶科学考察船,并在C 处相遇。经测算,当两船运行的航线OZ 与海岸线OB 围成的三角形OBC 面积S 最小时,补给最合适。 (1)求S 关于m 的函数关系式S(m); (2)当m 为何值时,补给最合适? C 类例题 例9.若△ABC 的外接圆的直径AE 交BC 于D ,则t a n B ?t a n C = AD DE . 证 如图,作AM ⊥BC ,EN ⊥BC , 于是有 ABC EBC S AM AD S EN DE ??== . ① 另一方面, 1 sin 2 1sin 2 ABC EBC AC AB A S S BE EC BEC ??= ∠g g 注意到sin A =sin ∠BEC ,AC EC =t a n ∠AEC =t a n B ,AB BE =t a n ∠AEB =t a n C . 因此 ABC EBC S S ??=t a n B ?t a n C . ② O A B C Z 东北 由①、②得t a n B ?t a n C = AD DE . 例10 在□ABCD 的每个边上取一点,若以所取的四个点为顶点的四边形的面积等于平行四边形面积的一半,则该四边形至少有一条对角线平行于平行四边形的边. 证 如图,设∠DAB =α,AD =a ,AB =b . K N M L C B D A α 由面积公式得S △AKN = 12AK ?AN sin α,S △BLK =12BL ?(b -AK )?sin α,S △CLM =1 2 (a -BL )(b -MD )?sin α,S △DMN = 1 2 (a -AN )?MD ?sin α,S □ABCD =ab sin α. 于是 S LMNK = S □ABCD -(S △AKN +S △BLK +S △CLM +S △DMN )= 1 2 ab sin α?[1-()()AN BL AK MD ab --]. 由S LMNK = 1 2 ab sin α,得(AN -BL )(AK -MD )=0. 故AN =BL ,或AK =MD ,也就是说LN ∥AB 或KM ∥AD . 例11在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ,满足∠BAE =∠CAF ,作FM ⊥AB ,FN ⊥AC (M 、N 是垂足),延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D 点. 证明:四边形AMDN 与△ABC 面积相等. 证 连结MN 、BD ,因为FM ⊥AB ,FN ⊥AC ,所以A 、M 、F 、N 四点共 圆.所以∠AMN =∠AFN ,∠AMN +∠BAE =∠AFN +∠CAF =90°,即MN ⊥AD ,S AMDN = 1 2 AD ?MN . 又因为∠CAF =∠BAD ,∠ACF =∠ADB ,所以△AFC ∽△ABD ,所以 AF AC AB AD = ,AF ?AD =AB ?AC .而AF ?sin ∠BAC =MN ,AF = sin MN BAC ∠,所以S △ABC =12AB ?A csin ∠BAC =1 2 AF ?AD sin ∠BAC = 1 2 AD ?MN =S AMDH . 例12 如图,在四边形ABCD 中,对角线AC 平分∠BAD ,在CD 上取一点E ,BE 与AC 相交于F ,延长DF 交BC 于G .求证:∠GAC =∠EAC . 2 1H G F E D C B A 证 连结BD 交AC 于 H ,对△BCD 用塞瓦定理有:1CG BH DE GB HD EC =g g . 因为AH 是∠BAD 的角平分线,由角平分线定理有: BH AB HD AD =.故1CG AB DE GB AD EC =g g 设∠BAC =∠DAC =α(α∈0,2π?? ???),设∠GAC =∠1,∠EAC =∠2,由张角公式有: ()sin 1sin 1CG AC GB AB α∠=-∠,()sin 2sin 2 AD DE EC AC α-∠= ∠,于是()()sin 2sin 11sin 2sin 2AD AC AB AB AD AC αα-∠∠=-∠∠g g ,即sin ∠1?sin (α-∠2)=sin ∠2?sin (α-∠1),所以sin ∠1?sin αcos ∠2-sin ∠1?cos αsin ∠2=sin ∠2?sin αcos ∠1-sin ∠2?cos αsin ∠1.所以sin ∠1?cos ∠2=cos ∠1?sin ∠2,即sin (∠1-∠2)=0,而∠1,∠2∈0,2π?? ??? ,所以∠1-∠2=0,即∠GAC =∠EAC . 情景再现 6 已知在圆内接四边形ABCD 中,BC =CD .求证:AC 2=AB ?AD +BC 2. 7 在△ABC 中,若D 是BC 上一点,且BD=p ,DC=q ,AB=c ,AC=b ,则 第27讲作业 1.在△ABC 中,acosB =bcosA 是△ABC 为等腰三角形的 ( ) A .必要但不充分条件 B .充分但不必要条件 C .充分必要条件 D .既非充分又非必要条件 2.设A 是△ABC 中的最小角,那么函数y =sinA -cosA 的值域为( ) A .[-2,2] B .(-1, 312-) C .(-1,312-] D .[-1,31 2 -] 3.ΔABC 中,AB =AC ,AB 边上的高为3,AB 边上的高与BC 的夹角为60o,则ΔABC 的面积是( ) A .3 B .32 C .2 D .33 8.船以32海里/时的速度向正北航行,在A 处看灯塔S 在船北偏东30o,半小时后航行到B 处,在B 处看灯塔S 在船的北偏东75o,则灯塔S 与B 点的距离为______海里(精确到0.1 海里)。 4.根据下列条件,判断△ABC 的形状 (1)a cos A =b cos B (2)sin 2Α+sin 2B =sin 2 C ,且c =2a cos B 5. 在△ABC 中,若a 2 =b (b +c ),则A 与B 有何关系? 6. 在△ABC 中,求证.tan tan 222 222C B c b a c b a =+--+ 7. 在△ABC 中,已知2sin 2A =3sin 2B +3sin 2 C ①证明 cos2A +3cos A +3cos (B -C )=1 ②求:a ∶b ∶c 8. 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A +C =2B ,且 B C A cos 2 cos 1cos 1- =+, 求cos 2 C A -的值 9.△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a ,b ,c 顺序成等差数列,且∠A-∠C=120°,求sinA ,sinC . 10.已知⊙O 的半径为R ,,在它的内接三角形ABC 中,有 ( )( ) B b a C A R sin 2sin sin 222-= - 成立,求△ABC 面积S 的最大值. 11在?ABC 中,a ,b ,c 分别是∠∠∠A B C ,,的对边长,已知a ,b ,c 成等比数列,且 a c ac bc 22-=-,求∠A 的大小及 b B c sin 的值。 12. 如右图,在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯,桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比,角 和这一点到光源的距离 r 的平方成反比,即I =k ·2sin r θ ,其中 k 是一个 和灯光强度有关的常数,那么怎样选择电灯悬挂的高度h ,才能使桌子边 缘处最亮? 13 在正三角形ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点,使沿线段DE 折叠三角形时,顶点A 正好落在边BC 上,在这种情况下,若要使AD 最小,求AD ∶AB 的值 14 如图,海岛O 上有一座海拔1000米高的山,山顶上设有一个观察站A .上午11时测得一轮船在岛北偏东ο 60的C 处,俯角为ο 30,11时10分又测得该船在岛的北偏西ο 60的B 处,俯角为ο 60。 (1)该船的速度为每小时多少千米? (2)若此船以不变的航速继续前进,则它何时到达岛的正西方向?此时所在点E 离开岛多少千米? 15已知锐角三角形ABC 中,.5 1)sin(,53)sin(=-= +B A B A (Ⅰ)求证:B A tan 2 tan=; (Ⅱ)设AB=3,求AB边上的高. 16 ) ( .3 都相切的圆 的延长线以及边 、 边上的旁切圆是与边 的 注: 边上的旁切圆半径; 的外接圆半径等于 上,求证: 在线段 边上的高, 是 的外心和内心, 分别为 、 如图, BC AC AB BC ABC BC ABC OD I BC AD ABC I O ? ? ? 情景再现答 1.证明:用正弦定理,a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C,代入a2=b(b+c)中,得sin2A=sin B (sin B+sin C)?sin2A-sin2B=sin B sin C ? 2 2 cos 1A - - 2 2 cos 1B - =sin B sin(A+B) ? 2 1 (cos2B-cos2A)=sin B sin(A+B) ?sin(A+B)sin(A-B)=sin B sin(A+B), 因为A、B、C为三角形的三内角,所以sin(A+B)≠0.所以sin(A-B)=sin B.所以只能有A-B=B,即A=2B. 2 (1)由 3 cos 4 B=,得2 7 sin1cos 4 B B =-= 由2b ac =及正弦定理得2 sin sin sin B A C = 于cos cos sin cos cos sin cot cos sin sin sin sin A C C A C A A C A C A C ++= += sin()1sin sin sin A C A C B += ==(2)由32BA BC ?=u u u r u u u r 得3cos 2ca B =,由3cos 4 B = ,2ca ∴=即2 2b = 由余弦定理2 222cos b a c ac B =+- 225,3a c a c ∴+=∴+= 解:(1)∵y =cot A +[][]) ()() (C B C B C B -++-+-cos πcos πsin 2 =cot A +) ()() (C B C B C B -++-+cos cos sin 2 =cot A + C B C B C B sin sin sin cos cos sin + =cot A +cot B +cot C , ∴任意交换两个角的位置,y 的值不变化. (2)∵cos (B -C )≤1, ∴y ≥cot A +A A cos 1sin 2+= 2 tan 22tan 12 A A -+2tan 2A =21(cot 2A +3tan 2A )≥2cot 2tan 3A A ?=3. 故当A =B =C = 3 π 时,y min =3. 评述:本题的第(1)问是一道结论开放型题,y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第(2)问实际上是一道常见题:在△ABC 中,求证:cot A +cot B +cot C ≥3. 4 分析:因为三棱锥的三条侧棱长均相等,因此顶点P 在底面上的射影O 是△ABC 的外心,从而想到用正弦定理,再利用三角函数来求最值. 解:作PO ⊥底面ABC ,垂足为O . 由P A = PB = PC = 2a ,知O 为△ABC 的外心. ∵ AB = AC = a , ∴ O 落在底面ABC 的高AD 上. 设∠ABC = θ,连结BO , 则BO 为△ABC 外接圆的半径. 记BO = R ,由正弦定理,有θ sin 2a R = , θ θ222 2 sin 1 sin 1621-=-=a BO PB PO ∵ BD = a cos θ,AD = a sin θθcos sin 2 1 2a AD BC S ABC =?=?. θθθθ222sin 1sin 1621cos sin 31-??=a a V ()() θθ223sin 11sin 166 1 --=a 642253217sin 16612 23+ ??? ? ? --=θa ∴当3217sin 2= θ时,3max 16 5 a V =. 此时,a a a BD BC 4 3 sin 12cos 222= -===θθ. 5 解:(1)以O 为原点,正北方向为轴建立直角坐标系。 直线OZ 的方程为y=3x ,① 设A(x 0,y 0),则x 0=3a 13sin β=9a ,y 0=3a 13cos β=6a , ∴A(9a ,6a )。 又B(m ,0),则直线AB 的方程为y=m a a -96(x -m) ② 由①、②解得,C(a m am a m am 76, 72--), ∴S(m)=S △OBC =21 |OB||y c |= a m am 732- ,(a m 7>)。 (2)S(m)=3a [(m-7a )+ a a m a 147492 +-]≥84a 2。 当且仅当m-7a =a m a 7492 -,即m=14a >7a 时,等号成立, 故当m=14a 为海里时,补给最合适。 6 证 设四边形ABCD 的外接圆半径为R ,两条对角线的夹角为θ,由面积公式得 S △ABD = 1 2 AB ?AD ?sin ∠BAD . O A B C Z 东 北 S △BCD =1 2 BC ?CD ?sin ∠BCD . 以上两式相加,并注意到BC =CD ,sin ∠BAD =sin ∠BCD . 可得S ABCD = 1 2 (AB ?AD +BC 2)sin ∠BCD . ① 另一方面 S ABCD = 12AC ?BD ?sin θ=1 2 AC sin θ?2R sin ∠BCD . 注意到θ=∠ABD +∠BAC =∠ABD +∠BDC =∠ABD +∠DBC =∠ABC , 2R sin θ=2R sin ∠ABC =AC 于是得S ABCD = 1 2 AC 2?sin ∠BCD . ② 由①、②得 AC 2=AB ?AD +BC 2. 7 证明简介: 在△ABD 和△ABC 中,由余弦定理,得 第八讲答案 1 .B 2.C 3.A 4. 11.3 4.解:(1)∵a cos A =b cos B ∴ A B b a cos cos = ∴ ,cos cos sin 2sin 2A B B R A R = 即sin A cos A =sin B cos B ∴sin2A =sin2B ∴2A =2B 或2A =π-2B ∴A =B 或A +B = 2 π ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形 (2)∵sin 2A +sin 2B =sin 2 C ∴,)2()2()2( 222R c R b R a =+ ∴a 2+b 2=c 2 故△ABC 是直角三角形,且C =9O °, ∴cos B = c a ,代入c =2a cos B 得cos B = 2 2 ∴B =45°,A =45° 综上,△ABC 是等腰直角三角形 5.解:由正弦定理得sin 2 A =sin B (sin B +sin C ) ∴sin 2A -sin 2 B =sin B ·sin C , (sin A +sin B )(sin A -sin B )=sin B sin C , sin (A +B )sin (A -B )=sin B ·sin C ∵sin (A +B )=sin C ,∴sin (A -B )=sin B , ∴A -B =B ,A =2B ,或A -B =π-B (舍去) 故A 与B 的关系是A =2B 6.证明:由余弦定理,知 a 2+ b 2- c 2=2ab cos C ,a 2-b 2+c 2=2ca cos B , ∴.tan tan cos sin cos sin cos cos cos 2cos 2222 222C B B C C B B c C b B ca C ab c b a c b a ====+--+ 7.解:由①得2a 2=3b 2+3c 2 ③ ∵cos A =-cos (B +C ) 由②得3cos (B -C )-3cos (B +C )=1-cos2A =2sin 2A =3sin 2B +3sin 2 C ∴cos (B -C )-cos (B +C )=sin 2B +sin 2 C , 2sin B sin C =sin 2B +sin 2 C 即(sin B -sin C )2 =O ,∴sin B =sin C , ∴2R sin B =2R sin C ,∴b =c 代入③得a =3b ∴a ∶b ∶c =3b ∶b ∶b =3∶1∶1 8.解法一 由题设条件知B =60°,A +C =120° 设α= 2 C A -,则A -C =2α,可得A =60°+α,C =60°-α, 1111 cos cos cos(60)cos(60) A C αα+=+?+?-所以 1313cos sin cos sin αααα= -+222cos cos ,133cos sin cos 444 αα ααα= =-- 依题设条件有 ,cos 2 43 cos cos 2B -= - αα .224 3 cos cos ,21cos 2-=-αα ∴=B Θ 整理得42cos 2α+2cos α-32=0(M ) (2cos α-2)(22cos α+3)=0,∵22cos α+3≠0, ∴2cos α-2=0 从而得cos 2-C A 解法二 由题设条件知B =60°,A +C =120° 22cos 1 cos 1,2260cos 2-=+∴-=?-C A Θ ①, 把①式化为cos A +cos C =-22cos A cos C ②, 利用和差化积及积化和差公式,②式可化为 )]cos()[cos(22 cos 2cos 2C A C A C A C A -++-=-+ ③, 将cos 2C A +=cos60°=21,cos(A +C )=-21代入③式得 )cos(22 2 2cos C A C A --=- ④ 将cos(A -C )=2cos 2(2C A -)-1代入 ④ 42cos 2 (2C A -)+2cos 2C A --32=0,(*), (2cos 3)0,22A C A C ---+= 30,2cos 0,22A C A C --+=∴=Q :cos 22 A C -=从而得 9 解:因为2b=a+c ,由正弦定理得 10 解:由已知条件得 ()() ( ) b a B R B A R -=-2sin 2sin sin 222 2 . 即有 2222b ab c a -=-, 又 2 2 2cos 222= -+=ab c b a C ∴ 4 π =c .∴ B A R ab C ab S sin sin 44242sin 212?=== ()()[]B A B A R --+-=cos cos 222 ()??? ?????-+=B A R cos 22222 . 所以当A = B 时,2 max 2 12R S += . 11 解:(I )Θa b c ,,成等比数列 ∴=b ac 2 又a c ac bc 2 2 -=- ∴+-=b c a bc 2 2 2 在?ABC 中,由余弦定理得 cos A b c a bc bc bc = +-==222221 2 ∴∠=?A 60 (II )在?ABC 中,由正弦定理得sin sin B b A a = Θb ac A 2 60=∠=?,, ∴=?=?=b B c b ca sin sin sin 260603 2 。 12 解 R =r cos θ,由此得 2 0,cos 1π<θ<θ=R r , 22 222 sin sin cos (sin cos )k I k k r R R θθθθθ?=?=?=?? 22222 2322222( )2sin (1sin )(1sin )()()3 232 3,sin ,tan 9k k I R R k I h R R R θθθθθ=??--≤?≤?===由此得等号在时成立此时13 解 按题意,设折叠后A 点落在边BC 上改称P 点,显然A 、P 两点关于折线DE 对称, 又设∠BAP =θ,∴∠DP A =θ,∠BDP =2θ, 再设AB =a ,AD =x ,∴DP =x 在△ABC 中, ∠APB =180°-∠ABP -∠BAP =120°-θ, 由正弦定理知APB AB BAP BP sin sin = ∴BP =)120sin(sin θθ-?a 在△PBD 中, ? =-???==60sin 2sin )120sin(sin ,60sin sin ,sin sin θ θθθx a x BP BDP BP DBP DP 从而所以, .3 )260sin(23)120sin(2sin 60sin sin ++?=-????= ∴θθθθa a x ∵0°≤θ≤60°,∴60°≤60°+2θ≤180°, ∴当60°+2θ=90°,即θ=15°时, sin(60°+2θ)=1,此时x 取得最小值 )332(3 23-=+a a ,即AD 最小, ∴AD ∶DB =23-3 14 解(1)在AOB Rt ?与AOC Rt ?中, A ,60,3000=∠=∠OAC OAB 求得3 3 = OB (千米) 3=OC (千米), E B C h θ R r 用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点.向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题. 1 求空间角问题 空间的角主要有:异面直线所成的角;直线和平面所成的角;二面角. (1)求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b (2)求线面角 设l 是斜线 l 的方向向量,n 是平面α的法向量, 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n (3)求二面角 法一、在α内a l ⊥,在β内b l ⊥,其方向如图,则二面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b 法二、设12,,n n 是二面角l αβ --的两个半平面的法向量, 其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角l α β --的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离,这里着重介绍点面距离的求法,象异面直线间的距离、线面距离;面面距离都可化为点面距离来求. (1)求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量,在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设A O α ⊥于O,利用A O α ⊥和点O 在α内 的向量表示,可确定点O 的位置,从而求出||A O . (2)求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β ,则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离,又转化为点A 到平面β的距离. 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别 为异面直线a 、b 的方向向量,求n (n a ⊥ ,n b ⊥ ),则 异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== (此方法移植 于点面距离的求法). 第四节 空间直线及其方程 习题 7-4 1. 求过点(1,1,2)?且与平面20x y z +?=垂直的直线方程. 解 取已知平面的法向量(1,2,1)=?n 为所求直线的方向向量, 则直线的对称式方程为 112 .121 x y z ?+?==? 2. 求过点(1,3,2)??且平行两平面35202340x y z x y z ?++=+?+=及的直 线的方程. 解 因为两平面的法向量12(3,1,5)(1,2,3)=?=?n n 与不平行, 所以两平面相交 于一直线, 此直线的方向向量为 1231 5(7,14,7)7(1,2,1),1 2 3 =×=?=?=??i j k s n n 故可取所求直线的方向向量为(1,2,1)?, 由题设, 所求的直线方程为 132 .121 x y z ++?==? 3. 用点向式方程及参数方程表示直线 10 2340 x y z x y z +++=?? ?++=?. 解 先在直线上找一点. 令1x =, 解方程组2, 36,y z y z +=????=? 得0,2y z ==?, 故(1,0,2)?是直线上一点. 再求直线的方向向量s . 交于已知直线的两平面的法向量为: 12(1,1,1),(2,1,3)==?n n , 12,,⊥⊥s n s n ∵ 121 11(4,1,3),213 ∴=×==???i j k s n n 故所给直线的点向式方程为 12 ,413x y z ?+==?? 参数方程为 14,,23.x t y t z t =+?? =???=??? 4. 求过点(2,0,3)?且与直线2470, 35210x y z x y z ?+?=?? +?+=? 垂直的平面方程. 解 要求所求平面垂直于直线, 所以直线的方向向量为所求平面的法向量, 取 1212 4(16,14,11),3 5 2 ==×=?=??i j k n s n n 由点法式可得 16(2)14(0)11(3)0,x y z ??+?++= 即161411650x y z ???=为所求的平面方程. 5. 求过点(3,1,2)?且通过直线 43521 x y z ?+==的平面的方程. 解 法1 所求平面过点0(3,1,2)M ?及1(4,3,0)M ?, 设其法向量为n , 则01,M M ⊥⊥ n n s , 其中(5,2,1)=s . 取01(1,4,2)(5,2,1)(8,9,22)M M =×=?×=?n s , 则平面方程为 8(3)9(1)22(2)0,x y z ??+?++= 即8922590x y z ???=. 法2 直线L 的交面式方程为25230, 230,x y y z ??=???+=? 过L 的平面束方程为 (23)(2523)0.y z x y λ?++??= 点(3,1,2)?在平面上, 因此(143)(6523)0λ+++??=, 解得4 11 λ=, 因此平面的方程为 第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中,点(1,-2,3)在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线3 1 2141: 1+= +=-z y x l 与?? ?=-++=-+-0 20 1:2z y x y x l ,的夹角是 [ C ] A. 4 π B. 3π C. 2 π D. 0 4. 在空间直角坐标系中,点(1,2,3)关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周,所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±= C. x z y 422=+ D. x z y 422±=+ 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13 - B. 13 C. 23 - D. 23 7. 在空间直角坐标系中,点(1,2,3)关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程22 222x y z a b +=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则=b proj a [ C ] A. 3 B.3 1- C. -1 10.已知,a b 为不共线向量,则以下各式成立的是 D A. 222()a b a b =? B. 222()a b a b ?=? C. 22()()a b a b ?=? D. 2222()()a b a b a b ?+?= 11.直线1l 的方程为0 3130290 x y z x y z ++=?? --=?,直线2l 的方程为 利用法向量解立体几何题 一、运用法向量求空间角 向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ,只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量 ''AA BB 和,则角<','AA BB >=θ或π-θ,因为θ是锐角,所以cos θ= '''' AA BB AA BB ??, 不需 要用法向量。 1、运用法向量求直线和平面所成角 设平面α的法向量为n =(x, y, 1),则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为 sin θ= cos( 2 π -θ) = |cos 则?ˉ //AA n ,所以∠BAA ' =<,BA n >(或其补角) ∴异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA ' = || || AB n n ? * 其中,n 的坐标可利用a 、b 上的任一向量,a b (或图中的,AE BF ),及n 的定义得 0n a n a n b n b ??⊥?=?????⊥?=??? ? ① 解方程组可得n 。 2、求点到面的距离 求A 点到平面α的距离,设平面α的法向量法为(,,1)n x y =,在α内任取一点B ,则A 点到平面α的距离为 d = || || AB n n ?,n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系,得到方程组(类似于前面所述, 若方程组无解,则法向量与XOY 平面平行,此时可改设 (1,,0)n y =,下同)。 3、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线a 到平面α的距离,设平面α的法向量法为(,,1)n x y =,在直线a 上任取一点A , 在平面α内任取一点B ,则直线a 到平面α的距离 d = || || AB n n ? 4、求两平行平面的距离 设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y =,在平面α、β内各任取一点A 、 B ,则平面α到平面β的距离 d = || || AB n n ? 三、证明线面、面面的平行、垂直关系 设平面外的直线a 和平面α、β,两个面α、β的法向量为12,n n ,则 1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥? 12////n n αβ? 12n n αβ⊥?⊥ 第八章 空间解析几何与向量代数答案 一、选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点,向量 的模是(A ) A 5 B 3 C 6 D 9 2. 设a =(1,-1,3), b =(2,-1,2),求c =3a -2b 是( B ) A (-1,1,5). B (-1,-1,5). C (1,-1,5). D (-1,-1,6). 3. 设a =(1,-1,3), b =(2, 1,-2),求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为(A ) A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是( C ) A 2π B 4π C 3 π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B (2,1,2),求∠AMB 是( C ) A 2π B 4π C 3 π D π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L :12213+=-=z y x 的距离是:( A ) A 138 B 118 C 158 D 1 7. 设,23,a i k b i j k =-=++r r r r r r r 求a b ?r r 是:( D ) A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D 3i -3j +3k 8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -,求三角形的面积是:( A ) A 2 B 364 C 3 2 D 3 9. 求平行于z 轴,且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是:( D ) A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D 01=-+y x . 10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ,则必有( C ); A -+a b =a b ; B =a b ; C 0?a b =; D ?a b =0. 11、设,a b 为非零向量,且a b ⊥, 则必有( C ) A a b a b +=+ B a b a b -=- C +=-a b a b D +=-a b a b 12、已知()()2,1,21,3,2---a =,b =,则Pr j b a =( D ); A 5 3; B 5; C 3; 用向量方法求空间角和距离 前言: 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点.向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题. 1.求空间角问题 空间的角主要有:异面直线所成的角;直线和平面所成的角;(平面和平面所成的角)二面角. (1)求异面直线所成的角 设a r 、b r 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos ||||||a b a b r r g r r (2)求线面角 设l r 是斜线l 的方向向量,n r 是平面α的法向量, 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n r r g r r 则斜线l (3)求二面角 方法一:在α内a r l ⊥,在β内b r l ⊥,其方向如图,则二面角l αβ--的平面角 α=arccos |||| a b a b r r g r r 方法二:设12,,n n u r u u r 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角l αβ--的平面角 α=1212arccos |||| n n n n u r u u r g u r u u r 2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离,这里着重介绍点面距离的求法,像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求. (1)求点面距离 方法一:设n r 是平面α的法向量,在α内取一点B, 则 A 到 α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ==u u u r r u u u r g r 方法二:设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示,可确定点O 的位置,从而求出||AO uuu r . (2)求异面直线的距离 方法一:找平面β使b β?且a βP ,则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离,又转化为点A 到平面β的距离. a r 、 b r 分别为异面直线a 、b 的方向 法二:在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设 第27讲 三角法与向量法解平面几何题 相关知识 在ABC ?中,R 为外接圆半径,r 为内切圆半径,2 a b c p ++=,则 1,正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===, 2,余弦定理:2 2 2 2cos a b c bc A =+-,2 2 2 2cos b a c ac B =+-,2 2 2 2cos c a b ab C =+-. 3,射影定理:cos cos a b C c B =+,cos cos b a C c A =+,cos cos c a B b A =+. 4,面积:211sin 2sin sin sin 224a abc S ah ab C rp R A B C R = ==== = (sin sin sin )rR A B C ++ 2 221(cot cot cot )4 a A b B c C = ++. A 类例题 例1.在ΔABC 中,已知b =asinC ,c =asin (900 -B ),试判断ΔABC 的形状。 分析 条件中有边、角关系, 应利用正、余弦定理, 把条件统一转化为边或者是角的关系, 从而判定三角形的形状。 解 由条件c = asin (900 - B ) = acosB = c b c a ac b c a a 222 22222-+=-+ 2 2222c b c a =-+? 是直角A b c a ?+=?2 22 1sin sin sin =?=A A C c A a 是直角?? ?C a c C c a sin sin =?=?. Q C a b sin =?=? c b ΔABC 是等腰直角三角形。 例2.(1)在△ABC 中,已知cosA =13 5,sinB =53 ,则cosC 的值为( ) A .6516 B .6556 C .65566516或 D . 65 16- 解 ∵C = π - (A + B ),∴cosC = - cos (A + B ),又∵A ∈(0, π),∴sinA = 13 12,而sinB =53 显然sinA > sinB ,∴A > B , ∵A 为锐角, ∴B 必为锐角, ∴ cosB = 5 4 ∴cosC = - cos (A + B ) = sinAsinB - cosAcosB =65 1654135531312=?-?.选A . 说明 △ABC 中,sinA > sinB ?A > B . 根据这一充要条件可判定B 必为锐角。 (2)在Rt △ABC 中,C =90°,A =θ,外接圆半径为R ,内切圆半径为r , 用向量方法求空间角和距离前言: 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点.向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题. 1.求空间角问题 空间的角主要有:异面直线所成的角;直线和平面所成的角;(平面和平面所成的角)二面角. (1)求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos | |||||a b a b (2)求线面角 设l 是斜线l 的方 向向量,n 是平面α的法向量, α所成的角α=arcsin ||||||l n l n 则斜线l 与平面 (3)求二面角 方法一:在α内a l ⊥,在β内b l ⊥,其方向如图,则二面角l αβ --的平面角α=arccos |||| a b a b 12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的方法二:设 法向量,其方向 一个指向内侧,另一个指向外侧,则二的平面角α=1212arccos |||| n n n n 面角l αβ--2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离,这里着重介绍点面距离的求法,像异面直线间的距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求. (1)求点面距离 方法一:设n 是平面α的法向量,在α内取一点B, 则 A 到 α的距离|||||cos ||| AB n d AB n θ== 方法二:设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示, 可确定点O 的位置,从而求出||AO . (2)求异面直线的距离 方法一:找平面β使b β?且a β,则异面直线a 、b 的距离就 转化为直线a 到平面β的距离,又转化为点A 到平面β的距离. 方法二:在a 上取一点A, 在b 上 取一点B, 设a 、b 分别为异面直 线a 、b 的方向向量,求n (n a ⊥,n b ⊥),则异面直线a 、b 的距离|||||cos |||AB n d AB n θ==(此方法移植于点面距离的求法). 例1.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别是 棱1111,A D A B 的中点. (Ⅰ)求异面直线1DE FC 与所成的角; (II )求1BC 和面EFBD 所成的角; (III )求1B 到面EFBD 的距离 解:(Ⅰ)记异面直线1DE FC 与所成的角为α, 则α等于向量1DE FC 与的夹角或其补角, 图建立空间坐标系D xyz -, (II )如1 1||||111111cos ||()()|||||| 222||,arccos DE FC DE FC DD D E FB B C DE FC αα∴=++=-==∴= 第七章 空间解析几何与向量代数 A 一、 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和,计算向量21M M 的模,方向余弦和方向角. 3、 设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=,求向量p n m a -+=34在x 轴 上的投影,及在y 轴上的分向量. 二、 1、设k j i b k j i a -+=--=2,23,求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(??-??及; 及(3)a 、b 的夹角的余弦. 2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -,求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量. 3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ,问μλ与满足_________时,轴z b a ⊥+μλ. 三、 1、以点(1,3,-2)为球心,且通过坐标原点的球面方程为__________________. 2、方程02422 2 2 =++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22 =绕x 轴旋转一周,生成的曲面方程为 __ _____________,曲面名称为___________________. 2)将xOy 坐标面上的x y x 22 2 =+绕x 轴旋转一周,生成的曲面方程 _____________,曲面名称为___________________. 3)将xOy 坐标面上的36942 2 =-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周,生成的曲面方 程为_____________,曲面名称为_____________________. 4)在平面解析几何中2x y =表示____________图形。在空间解析几何中 2x y =表示______________图形. 5)画出下列方程所表示的曲面 (1))(42 22y x z += (2))(42 2 y x z += 四、 巧用平面向量解析几何问题 一:课堂教学设计: 在高中数学新课程教材中,学生学习平面向量在前,学习解析几何在后,而且教材中二者知识整合的不多,很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题,不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰,过程简洁,有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过:学习的最好刺激是对所学材料的兴趣,简单的重复将会引起学生大脑疲劳,学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性,如果我们能重视向量的教学,必然能引导学生拓展思路,减轻负担。所以本节课就这一方面做一归纳。 二:教学目标:利用平面向量的加法,减法,数量积的几何意义解决解析几何问题。 三:教学方法:启发式教学 四:重点难点:把解析几何问题转化为向量问题。 五:例题解析 例1、椭圆14 92 2=+y x 的焦点为F ,1F 2,点P 为其上的动点,当∠F 1P F 2为钝角时,点P 横坐标的取值范围是 。 解:F 1(-5,0)F 2(5,0),设P (3cos θ,2sin θ) 21PF F ∠Θ为钝角 ∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ?= -?-u u u r u u u u r ( =9cos 2θ-5+4sin 2θ=5 cos 2θ-1<0 解得:55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是(5 53,553-) 点评:解决与角有关的一类问题,总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值,通过坐标运算列出不等式,简洁明了。 例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0),M 是圆1)1(2 2=-+y x 上的一动点, +的最大值和最小值; ②求22MB MA +的最大值和最小值 分析:因为O 为AB 的中点,所以MO MB MA 2=+的最值。 浅谈用“向量法”解决解析几何、立体几何、三角、平面几何问题 一、向量的地位、作用分析 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着丰富的实际背景。在高中阶段,学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言和方法表示和解决数学和物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力。 象数一样,向量是可以“算”的,从数的运算,到向量运算,是认识运算的又一次跳跃。向量的加法、减法运算的特征是两个向量通过加法、减法运算得到第三个向量,也满足结合律,有零元, ,所以向量的加法、减法运算是属于型的代数运 算;向量的数乘运算的特征是一个数与一个向量通过数乘运算得到一 个向量,它满足一系列运算规则,例如,结合律:,分配率:,等。所以,数与向量的数乘也是一种运算,是属于型的代数运算;向量的数量积的特征是两个向量通过数量及运算得到一个数,同样,它也满足一系列的运算规则,例如,分配率:,等,所以向量的数量积也是一种运算,是属于型的代数运算。向量的运算不同于数的运算,它涵盖了三种类型的代数运算。与数的运算相比,向量的运算扩充了运算对象。向量运算更加清晰地展示了三种类型的代数运算的特征以及代数运算的功能,同时,向量运算具有与代数运算不同的一些运算规律, 这对于学生进一步理解其他数学运算、增强学生的运算能力具有基础作用。因此,从数的运算到向量运算,是学生数学学习的又一次质变,学生对运算的理解也会更上一层楼。 向量既是代数的对象,又是几何的对象,它是沟通代数与几何的桥梁。《标准》将向量与三角函数设计在一个模块中,主要是为了通过向量沟通代数、几何与三角函数的联系,体现向量在处理三角函数问题中的工具作用。《标准》要求学生经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,并由此公式作为出发点,推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式等。二倍角的正弦、余弦、正切公式以及积化和差、和差化积、半角公式等。这个过程有助于学生体会向量与三角函数的联系、数与形的联系以及三角恒等变换公式之间的内在联系。 二、用“向量法”解决解析几何问题举例 例1 用“向量法”判断两条直线的位置关系 直线 直线 直线的方向向量为,法向量为; 直线的方向向量为,法向量为;与的夹角为. 则有: 法向量解立体几何专题训练 一、运用法向量求空间角 1、向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ,只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量''AA BB 和,则角<','AA BB >=θ或π-θ,因为θ是锐角,所以cos θ= '''' AA BB AA BB ??, 不 需要用法向量。 2、设平面α的法向量为n =(x, y, 1),则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为sin θ= cos( 2π -θ) = |cos 1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥? 12////n n αβ? 12n n αβ⊥?⊥ 四、应用举例: 例1:如右下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点,且EB= FB=1. (1) 求二面角C —DE —C 1的正切值; (2) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值. 解:(I )以A 为原点,1,,AB AD AA 分别为x 轴,y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系, 则D(0,3,0)、D 1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C 1(4,3,2) 于是,11(3,3,0),(1,3,2),(4,2,2)DE EC FD =-==- 设法向量(,,2)n x y =与平面C 1DE 垂直,则有 1330 1320n DE x y x y x y z n EC ⊥-=? ?==-++=⊥?? ???? ?? 11111(1,1,2), (0,0,2), cos 3 ||||1tan 2n AA CDE n AA C DE C n AA n AA θθθ∴=--=∴--?== = ?∴= 向量与平面垂直与所成的角为二面角的平面角 (II )设EC 1与FD 1所成角为β,则 1111cos 14 |||| 1EC FD EC FD β?= = = ? 例2:(高考辽宁卷17)如图,已知四棱锥P-ABCD ,底面ABCD 是菱形,∠DAB=600,PD ⊥平面ABCD ,PD=AD ,点E 为AB 中点,点F 为PD 中点。 (1)证明平面PED ⊥平面PAB ; (2)求二面角P-AB-F 的平面角的余弦值 证明:(1)∵面ABCD 是菱形,∠DAB=600, ∴△ABD 是等边三角形,又E 是AB 中点,连结BD ∴∠EDB=300,∠BDC=600,∴∠EDC=900, 用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线l 的方向向量为a =(a 1,b 1,c 1).平面α,β的法向量u =(a 3,b 3,c 3),v =(a 4,b 4,c 4) (1)线面平行:l ∥α?a ⊥u ?a ·u =0?a 1a 3+b 1b 3+c 1c 3=0 (2)线面垂直:l ⊥α?a ∥u ?a =k u ?a 1=ka 3,b 1=kb 3,c 1=kc 3 (3)面面平行:α∥β?u ∥v ?u =k v ?a 3=ka 4,b 3=kb 4,c 3=kc 4 (4)面面垂直:α⊥β?u ⊥v ?u ·v =0?a 3a 4+b 3b 4+c 3c 4=0 例1、如图所示,在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,E ,F 分别是PC ,PD 的中点,P A =AB =1,BC =2. (1)求证:EF ∥平面P AB ; (2)求证:平面P AD ⊥平面PDC . [证明] 以A 为原点,AB ,AD ,AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空 间直角坐标系如图所示,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,2,0),D (0,2,0),P (0,0,1),所以E ? ????1 2,1,12, F ? ????0,1,12,EF =? ?? ?? -12,0,0,PB =(1,0,-1),PD =(0,2,-1),AP =(0,0,1),AD =(0,2,0),DC =(1,0,0),AB =(1,0,0). (1)因为EF =-1 2AB ,所以EF ∥AB ,即EF ∥AB . 又AB ?平面P AB ,EF ?平面P AB ,所以EF ∥平面P AB . (2)因为AP ·DC =(0,0,1)·(1,0,0)=0,AD ·DC =(0,2,0)·(1,0,0)=0, 所以AP ⊥DC ,AD ⊥DC ,即AP ⊥DC ,AD ⊥DC . 又AP ∩AD =A ,AP ?平面P AD ,AD ?平面P AD ,所以DC ⊥平面P AD .因为DC ?平面PDC , 所以平面P AD ⊥平面PDC . 使用空间向量方法证明线面平行时,既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行,然后根据线面平行的判定定理得到线面平行,也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;证明面面垂直既可以证明线线垂直,然后使用判定定理进行判定,也可以证明两个平面的法向量垂直. 例2、在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠ABC =90°,BC =2,CC 1=4,点E 在线段BB 1上, 且EB 1=1,D ,F ,G 分别为CC 1,C 1B 1,C 1A 1的中点. 求证:(1)B 1D ⊥平面ABD ; (2)平面EGF ∥平面ABD . 第14讲解析几何问题的题型与方法 一、知识整合 高考中解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题),共计30分左右,考查的知识点约为20个左右。其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法...............,这 一点值得强化。 1.能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程;从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式,斜截式、两点式、截距式;能根据已知条件,熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程,熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化,能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了. 2.能正确画出二元一次不等式(组)表示 的平面区域,知道线性规划的意义,知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念,能正确地利用图解法解决线性规划问题,并用之解决简单的实际问题,了解线性规划方法在数学方面的应用;会用线性规划方法解决一些实际问题. 3. 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义,了解解析几何的基本思想,掌握求曲线的方程的方法. 4.掌握圆的标准方程:222)()(r b y a x =-+-(r >0), 明确方程中各字母的几何意义,能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径,掌握圆的一般方程:022=++++F Ey Dx y x ,知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化,能根据条件,用待定系数法求出圆的方程,理解圆的参数方程cos sin x r y r θθ=??=? (θ为参数),明确各字母的意义,掌握直线与圆的位置关系的判定方法. 5.正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义,明确焦点、焦距的概念;能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方 立体几何(向量法)—建系难 例1 (2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))如图,四棱锥P ABCD -中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3 BC CD AC ACB ACD π ===∠=∠=,F 为PC 的中 点,AF PB ⊥. (1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值. 【答案】 解:(1)如图,联结BD 交AC 于O ,因为BC =CD ,即△BCD 为等腰三角形,又AC 平分∠BCD ,故AC ⊥BD .以O 为坐标原点,OB →,OC →,AP → 的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系O -xyz ,则OC =CD cos π3=1,而AC =4,得AO =AC -OC =3.又OD =CD sin π 3=3,故A (0,-3,0),B (3,0,0),C (0,1,0),D (-3,0,0). 因P A ⊥底面ABCD ,可设P (0,-3,z ),由F 为PC 边中点,得F ????0,-1,z 2,又AF → =????0,2,z 2,PB →=(3,3,-z ),因AF ⊥PB ,故AF →·PB →=0,即6-z 2 2 =0,z =2 3(舍去-2 3),所以|P A → |=2 3. (2)由(1)知AD →=(-3,3,0),AB →=(3,3,0),AF → =(0,2,3).设平面F AD 的法 向量为1=(x 1,y 1,z 1),平面F AB 的法向量为2=(x 2,y 2,z 2). 由1·AD →=0,1·AF →=0,得 ?? ?-3x 1+3y 1=0, 2y 1+3z 1=0, 因此可取1=(3,3,-2). 由2·AB →=0,2·AF →=0,得 ?? ?3x 2+3y 2=0, 2y 2+3z 2=0, 故可取2=(3,-3,2). 从而向量1,2的夹角的余弦值为 cos 〈1,2〉=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=1 8 . 故二面角B -AF -D 的正弦值为3 7 8 . 例2(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))如图,四 棱锥P ABCD -中,902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==?o ,与PAD ?都是等边三角形. (I)证明:;PB CD ⊥ (II)求二面角A PD C --的大小. 【答案】解:(1)取BC 的中点E ,联结DE ,则四边形ABED 为正方形. 过P 作PO ⊥平面ABCD ,垂足为O . 联结OA ,OB ,OD ,OE . 由△P AB 和△P AD 都是等边三角形知P A =PB =PD , 所以OA =OB =OD ,即点O 为正方形ABED 对角线的交点, 故OE ⊥BD ,从而PB ⊥OE . 因为O 是BD 的中点,E 是BC 的中点,所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD . 第18讲 平面向量与解析几何 在高中数学新课程教材中,学生学习平面向量在前,学习解析几何在后,而且教材中二者知识整合的不多,很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题,不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰,过程简洁,有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过:学习的最好刺激是对所学材料的兴趣,简单的重复将会引起学生大脑疲劳,学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性,如果我们能重视向量的教学,必然能引导学生拓展思路,减轻负担。 一、知识整合 平面向量是高中数学的新增内容,也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用,它具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形与一体,能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合,形成知识交汇点。而在高中数学体系中,解析几何占有着很重要的地位,有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂,不妨运用向量作形与数的转化,则会大大简化过程。 二、例题解析 例1、(2000年全国高考题)椭圆14 92 2=+y x 的焦点为F ,1F 2,点P 为其上的动点,当∠F 1P F 2为钝角时,点P 横坐标的取值范围是___。 解:F 1(-5,0)F 2(5,0),设P (3cos θ,2sin θ) 21PF F ∠Θ为钝角 ∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ?= -?-u u u r u u u u r ( =9cos 2θ-5+4sin 2θ=5 cos 2θ-1<0 解得:55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是(5 53,553-) 点评:解决与角有关的一类问题,总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值,通过坐标运算列出不等式,简洁明了。 例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0),P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点,求22 PA PB +的最大值和最小值。 分析:因为O 为AB 的中点,所以2,PA PB PO +=u u u r u u u r u u u u r 故可利用向量把问题转化为求向量OP u u u r 的最值。 解:设已知圆的圆心为C ,由已知可得:{1,0},{1,0}OA OB =-=u u u r u u u r 用基底建模向量法解决立体几何问题 空间向量是高中数学新教材中一项基本内容,它的引入有利于处理立体几何问题,有利于学生克服空间想象力的障碍和空间作图的困难,有利于丰富学生的思维结构,利用空间向量的坐标运算解立体几何问题,可把抽 象的几何问题转化为代数计算问题,并具有很强的规律性和可操作性,而利 用空间向量的坐标运算需先建立空间直角坐标系,但建立空间直角坐标系有时要受到图形的制约,在立体几何问题中很难普遍使用,其实向量的坐标形式只是选取了特殊的基底,一般情况下,我们可以根据题意在立体几何图形中选定一个基底,然后将所需的向量用此基底表示出来,再利用向量的运算进行求解或证明,这就是基底建模法.它是利用向量的非坐标形式解立体几何问题的一种有效方法。 基向量法在解决立体几何的证明、求解问题中有着很特殊的妙用。 空间向量基本定理及应用 空间向量基本定理:如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一 向量p存在惟一的有序实数组x、y、乙使p=x a+ y b+ z c. 1、已知空间四边形OAB(中, Z AOB Z BOC / AOC且OA=OB=OCM N分别是OA BC的中点,G是MN的中点. 求证:OGL BC 【解前点津】要证OGL BC只须证明OG?BC 0即可. 而要证OG?BC 0,必须把0G、BC用一组已知的空间基向量来表示 .又已知条件为Z AOB Z BOC Z AOC且OA=O母OC因此可选OA,OB,OC为已知的基向量. 【规范解答】连ON由线段中点公式得: 又 BC OC OB , 【解后归纳】 本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力 【例2】 在棱长为a 的正方体ABC —ABCD 中,求:异面直线 BA 与AC 所成的角. ■ 1 ■ 2 1 ■ 2 BB 1 ? BC 0,BA?AB =-a .所以 BA ^ ? AC =- a . OG OM ON) 彳 ] 彳 El I : 丄 OA 丄(OB OC) 2 2 O B O C ), 所以 O G ? O B 1(O A 4 OB OC)?(OC OB) 丄(OA ?O C 4 OB?OC OC 2 OA?OB OB 2 OC?OB ) 1 = 4(O A? OC OA ?OB 2 2 OC 2 OB 2 ). 因为O A ?O C OA ? OC ? cos AOC OA?OB OA ? OB ? cos AOB 且 OC OB OA ,/ AOB Z AOC 所以 OG ? BC =0,即 OGL BC 【解前点津】 利用BA 1?AC BA 1 ? AC cos B AH , A C ,求出向量BA 1与AC 的夹角〈BA 1 , AC >, 再根据异面直线 BA , AC 所成角的范围确定异面直线所成角 【规范解答】 因为 BA 1 BA BB 1, AC AB 所以BA ] ?AC (BA BB 1)?(AB BC)= BA? AB 因为ABL BC BB L AB BB L BC 又 BA ] ? AC BA 1 ? AC ?cos BA ,AC , cos BA, AC a 2 所以〈B A],A C > =120° . 所以异面直线BA 与AC 所成的角为60°. 【解后归纳】 求异面直线所成角的关键是求异面直 积,必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示 线上两向量的数量积, 而要求两向量的数量 例 3:如图,在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中, / ABC=6(o,PA L 面 ABCD , PA=AC=a,PB=PD= 2a , 点E 在PD 上,且PE:PD=2:1.在棱PC 上是否存在一点 F ,使BF //平面AEC ?证明你的结论. uuu uuir uuu 解析:我们可选取AB,AD,AP 作为一组空间基底 D L C L BC , BA?BC BB 1 ?AB BB 1 ?BC 所以BA?BC 0,BB<| ?AB =0, D用向量方法解立体几何题(老师用)
第7章 向量代数与空间解析几何 习题 7- (4)
向量代数与空间解析几何期末复习题高等数学下册
利用法向量解立体几何题
空间解析几何与向量代数复习题答案
用向量方法解立体几何题
三角法与向量法解平面几何题(正)
用向量方法解立体几何题
(完整版)§7空间解析几何与向量代数习题与答案
巧用平面向量解解析几何问题
浅谈用“向量法”解决解析几何、立体几何、三角、平面几何问题
法向量解立体几何专题训练
用空间向量解立体几何问题方法归纳
高中数学解析几何问题的题型与方法
立体几何(向量法)建系难
经典超级实用的解题方法之平面向量与解析几何
用基底建模向量法解决立体几何问题