用导数研究三次函数
用导数研究三次函数
一、知识点解析
1定义:
定义1、形如y =ax3?bx2? CX ?d(a =0)的函数，称为“三次函数”。
定义2、三次函数的导函数为二次函数：f / (x) = 3ax2 2bx c(a = 0),我们把
2 2
=4b -12ac=4(b -3ac),叫做三次函数导函数的判别式。
2、三次函数图象与性质的探究：
1、单调性
2 3 2
一般地，当b -3ac二0时，三次函数y = ax bx ?cχ?d(a=0)在R上是单调函数；当b -3ac 0时，三次函数y = ax bx CX d(a 0)在R上有三个单调区间。
2、对称中心
3 2
三次函数f (x) = ax bx CX d (^?-z 0)是关于点对称，且对称中心为点
b b
(—I f (—))，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
3a 3a
y= f(x)图象的对称中心在导函数y=∕'O)的对称轴上，且又是两个极值点的中点，
同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题
(1)当.?, =b2 _3ac乞0时，由于不等式「(X)恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
■ 0时，由于方程f(X)= 0有两个不同的实根x1, X2,不妨设
(2)当厶=b2 _3ac
X i ：：：x2, 可知，(χ1,f(χj)为函数的极大值点,(X2, f(x2))为极小值点，且函数y = f(x)在(」：，X1)和(x2, ■--)上单调递增，在"x1,x2 I上单调递减。
此时：
①若f (x1) f (x2) 0 ,即函数y = f (x)极大值点和极小值点在X轴同侧，图象均与X轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。
②若f (χ1) f (χ2) ：：：0 ,即函数y = f (x)极大值点与极小值点在X轴异侧，图象
与X轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。
③若f(X1) f(X2^0 ,即f(X1)与f(X2)中有且只有一个值为0,所以，原方程有三个实根，其中两个相等。
4、极值点问题
若函数f(X)在点X o的附近恒有f(X 0) ≥ f(X)(或f(X 0) ≤ f(x)),则称函数f(x) 在点X o 处取得极大值(或极小值)，称点X o为极大值点(或极小值点)。
当.「0时，三次函数y=f X在一:：，?：:上的极值点要么有两个。
当「：_0时，三次函数y =f X在-：L上不存在极值点。
5、最值问题。
函数JV ∈［^f丹h 若心w［删F 畀］,且
,'-'I1,则：f maX X -? f m ,f X o ,f n：■；，「、----- 。
6、过三次函数上一点的切线问题
3 2
设点P为三次函数f (χ) =ax bX ? ex ? d(a = 0)图象上任一点，则过点 P —定有直线与y = f (X)的图象相切。若点 P为三次函数图象的对称中心，则过点 P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点 P有两条不同的切线。
7、过三次函数外一点的切线问题
3 2
设点P(X
,y
O
)
为三次函数
f
(x) =ax bx ex d(a=0)图象外，则过点P —定有直线与N = f (X)图象相
切。可能有一条、两条或三条。(具体情况分析不作要求) 8、f (x) =ax3 bx2 ex d( a - 0)类似于二次函数的图像和性质表：
的交点
单调性在(—I Xj和(X2,畑)上为增函数?，在(X1, X2)上为减函数在R上为增函数极值有两个极值，一个极大值f(xj ,—个极小值f(X2)无极值
、经典题型
一、考查函数的奇偶性和单调性
例1 已知函数f(x)=x3+px+q(x∈ R)是奇函数，且在 R上是增函数，则( )
A、p=0,q=0
B、P ∈ R,q=0 C P ≤ 0,q=0D、P ≥
解析由奇函数以及增函数的定义易知选D
二、考查函数图象的对称性
例2函数f(x)=x3-3x2+x-1的图象关于()对称
A、直线x=1
B、直线y=x C 点(1,-2)D、原点
解析由f(x)=ax3+bχ2+cx+d(a≠0)的图象关于 -3?,d -牆?黑成中心对称知选 C
2 7a
2 2
例3、( 2013课标全国，16)若函数f(x)=(1-x)(X +ax+b)的图像关于直线 x=-2对称，则f (x)的最大值为_______________
2 2 f (0) = f (—4)
解析：函数f (x) =(1 -X )(x +ax + b)的图象关于直线 x=-2对称，则J
f(1)= f(—5)解得a=8, b=5,所以f(x) =(1-χ2)(χ2? 8χ 15)可以解得f (x)的最大值为16。
三、运用函数的性质和数形结合思想解题
3 2 .. ..
例4 已知函数f(x)=ax +bx +cx+d的图象如图所示，则(
A、b ∈ (-∞ ,0)
B、b ∈ (0,1)
C b ∈ (1,2) D、b∈(2,+ ∞)
解析显然 f(0)=d=0 ,由 f(x)=ax(x-1)(x-2)知 a>0,又 f(x)= ax -3ax
+2ax比较系数可知 b=-3a<0，故选 A 引申试确定的a,b,c,d符号
(答：a>0,b<0,c>0,d=0)
例5 (2013课标全国π卷，10)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c下列结论中错误的是()
(A) T X α∈ R,f(Xα ) = 0
(B) 函数y=f(x)的图像是中心对称图形
(C) 若X a是f(x)的极小值点，贝U f(x)在区间(-∞,Xα)单调递减
(D) 若X0是f (X)的极值点，贝U f ' X0 =0
解析：由三次函数值域为R知f(x)=0有解，A正确；由性质可知B正确;由性质可知若f(x)有极小值点，则 f (X) = 0由两个不相等的实数根X1,X2(X1 ：：：X2), f (x) =3X2? 2ax ? b =3(X -X I)(X-X2),则 f(x)在(-∞,xQ上为增函数，在(x h x2)