点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
定理 在椭圆122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点)
,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22
00a
b x y k MN -=?.
证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，
则有???????=+=+)2(.1)1(,122
22
2222
1221ΛΛΛΛb y a x b y a x )2()1(-，得.022
22
122
22
1=-+-b
y
y a x x
.22
12121212a
b x x y y x x y y -=++?--∴ 又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN
==++--=Θ.22
a
b x y k MN -=?∴ 同理可证，在椭圆122
22=+a
y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点)
,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22
00b
a x y k MN -=?.
典题妙解
例1 设椭圆方程为14
2
2
=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，点N 的坐标为??
?
??21,21.当l 绕点M 旋转时，求：
（1）动点P 的轨迹方程； （2）||NP 的最大值和最小值.
解：（1）设动点P 的坐标为),(y x .由平行四边形法则可知：点P 是弦AB 的中点 . 焦点在y 上，.1,42
2
==b a 假设直线l 的斜率存在.
由22b a x y k AB -=?得：.41-=?-x
y
x y
整理，得：.042
2
=-+y y x
当直线l 的斜率不存在时，弦AB 的中点P 为坐标原点)0,0(O ，也满足方程。
∴所求的轨迹方程为.0422=-+y y x
（2）配方，得：.14
1)21(1612
2=-+y x .4141≤≤-∴x 12
7
)61(341)21()2
1
()21(||2222
22+
+-=-+-=-+-=∴x x x y x NP
∴当41=
x 时，41||min =；当6
1
-=x 时，.621||max = 例2 在直角坐标系xOy 中，经过点)2,0(且斜率为k 的直线l 与椭圆12
22
=+y x 有两个不同的交点P 和Q.
（1）求k 的取值范围；
（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量
OQ OP +与共线？如果存在，求k 的取值范围；如果不存在，请说明理由.
解：（1）直线l 的方程为.2+
=kx y
由?????=++=.12,22
2y x kx y 得：.0224)12(22=+++kx x k
Θ直线l 与椭圆1222
=+y x 有两个不同的交点， )12(83222+-=?∴k k ＞0.解之得：k ＜22-
或k ＞2
2.
∴k 的取值范围是???
? ??+∞???? ??-∞-,22
22,Y . （2）在椭圆12
22
=+y x 中，焦点在x 轴上，1,2==b a ，).1,2(),1,0(),0,2(-=∴AB B A 设弦PQ 的中点为),(00y x M ，则).,(100y x = 由平行四边形法则可知：.2OM OQ OP =+
ΘOQ OP +与共线，∴OM 与共线.
12
00y x =
-∴
，从而.2
200-=x y 由2200a b x y k PQ -=?得：21
22-=???
? ??-?k ，.22=∴k 由（1）可知2
2
=
k 时，直线l 与椭圆没有两个公共点，∴不存在符合题意的常数k . 例3已知椭圆12222=+b
y a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22
=e ，右
准线方程为2=x .
(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；
(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3
26
2||22=+F F ，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）根据题意，得
???
????====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . （Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为),(y x P . 由平行四边形法则知：P F N F M F 2222=+. 由3262||22=
+N F M F 得：326||2=P F .∴.9
26
)1(22=+-y x ……………① 若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F F F ，
与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在. 由22a b x y k MN
-=?得：.211-=?+x y x y ∴).(2
122x x y +-= ………② ②代入①，得.9
26
)(21)1(22=+-
-x x x 整理，得：0174592=--x x .解之得：317=
x ，或3
2
-=x . 由②可知，317=x 不合题意.∴32-=x ，从而31±=y .∴.11
±=+=x y
k
∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .
例4 已知椭圆1:2222=+b
y a x C （a ＞b ＞0）的离心率为33
，过右焦点F 的直线l 与C 相交于
A 、
B 两点. 当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为2
2. （1）求b a ,的值；
（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OB OA OP +=成立？若存在，求出所有点P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由.
解：（1）椭圆的右焦点为)0,(c F ，直线l 的斜率为1时，则其方程为c x y -=，即0=--c y x . 原点O 到l 的距离：2
2
222
|
00|=
=
--=
c c
d ，∴1=c . 又3
3
==
a c e ，∴3=a . 从而2=
b .∴3=a ， 2=b . （2）椭圆的方程为1232
2=+y x . 设弦AB 的中点为),(y x Q . 由OB OA OP +=可知，点Q 是线段OP 的中点，点P 的坐标为)2,2(y x .∴123
422
=+y x .…………………① 若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点Q 与)0,1(F 重合，)0,2(=OP ，点P 不在椭圆上，故直线l 的斜率存在.
由22a b x y k AB -=?得：.321-=?-x y x y ∴)(3
2
22x x y --=.………………………②
由①和②解得：4
2,43±==
y x . ∴当42,43==
y x 时，21
-=-=x y k AB ，点P 的坐标为)22,23(，直线l 的方程为022=-+y x ；
当42,43-==
y x 时，21
=-=x y k AB ，点P 的坐标为)22,23(-，直线l 的方程为022=--y x .
金指点睛
1. 已知椭圆422
2
=+y x ，则以)1,1(为中点的弦的长度为（ ）
A. 23
B. 32
C.
330 D. 2
6
3 2.（06江西）椭圆1:22
22=+b
y a x Q （a ＞b ＞0）的右焦点为)0,(c F ，过点F 的一动直线m 绕点
F 转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 为线段AB 的中点.
（1）求点P 的轨迹H 的方程； （2）略.
3．（05上海）（1）求右焦点坐标是)0,2(且过点)2,2(--的椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆C 的方程为122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）.设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A 、B
两点，AB 的中点为M. 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；
（3）略.
4. (05湖北)设A 、B 是椭圆λ=+2
2
3y x 上的两点，点)3,1(N 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直
平分线与椭圆相交于C 、D 两点.
（1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程； （2）略.
5. 椭圆C 的中心在原点，并以双曲线12
42
2=-x y 的焦点为焦点，以抛物线y x 662-=的准线为
其中一条准线.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线)0(2:≠+=k kx y l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线
)0(1:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.
参考答案
1. 解：由422
2
=+y x 得12
42
2=+y x ，∴2,422==b a . 弦MN 的中点)1,1(，由22a b x y k MN -=?得21-=MN k ，∴直线MN 的方程为)1(2
1
1--=-x y . 即32+-=y x . .2
1-=k
由???+-==+3
24222y x y x 得：051262=+-y y . 设),(),,(2211y x N y x M ，则6
5,22121=
=+y y y y . []
3
30)3
104(54)()1
1(||212212=
-?=-++=y y y y k
MN
故答案选C.
2. 解：（1）设点P 的坐标为),(y x ，由22a b x y k AB -=?得：
22
a
b x y
c x y -=?-， 整理，得：02
2
2
2
2
=-+cx b y a x b .
∴点P 的轨迹H 的方程为022222=-+cx b y a x b .
3．解：（1）Θ右焦点坐标是)0,2(，∴左焦点坐标是)0,2(-. 2=c .
由椭圆的第一定义知，
24)2()22()2()22(22222=-++-+-+--=a ，
∴22=a . ∴42
22=-=c a b .
∴所求椭圆的标准方程为14
82
2=+y x .
（2）设点M 的坐标为),(y x ，由22a b x y k AB -=?得：22a
b x y k -=?，整理得：02
2=+ky a x b .
Θa 、b 、k 为定值，
∴当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线022=+ky a x b 上.
4. 解：（1）Θ点)3,1(N 在椭圆λ=+2
2
3y x 内，∴22313+?＜λ，即λ＞12.
∴λ的取值范围是),12(+∞.
由λ=+2
2
3y x 得
13
2
2
=+
λ
λ
x y ，∴3
,22λ
λ=
=b a ，焦点在y 轴上.
若直线AB 的斜率不存在，则直线AB x ⊥轴，根据椭圆的对称性，线段AB 的中点N 在x 轴上，
不合题意，故直线AB 的斜率存在.
由22
b
a x y k AB -=?得：3
13λλ-=?AB k ，∴1-=AB k .
∴所求直线AB 的方程为)1(13-?-=-x y ，即04=-+y x .
从而线段AB 的垂直平分线CD 的方程为)1(13-?=-x y ，即02=+-y x .
5. 解：（1）在双曲线1242
2=-x y 中，6,2,222=+===b a c b a ， ∴焦点为)6(,),6,0(21F F -.
在抛物线y x 622
-=中，6=
p ，∴准线为2
6=
y . ∴在椭圆中，2
62=c a . 从而.3,3==b a ∴所求椭圆C 的方程为13
92
2=+x y . （2）设弦AB 的中点为),(00y x P ，则点P 是直线l 与直线'l 的交点，且直线'
l l ⊥. ∴k
m 1
-
=. 由22
00b
a x y k AB -=?得：300-=?x y k ，∴003x ky -=.…………………………………………①
由11
00+?-
=x k
y 得：k x ky +-=00.…………………………………………………………② 由①、②得：2
3
,200=-=y k x .
又Θ200+=kx y ，
∴
2223+?-=k
k ，即12=k . ∴1±=k .
在2+=kx y 中，当0=x 时，2=y ，即直线l 经过定点)2,0(M .而定点)2,0(M 在椭圆的内
部，故直线l 与椭圆一定相交于两个不同的交点.
∴k 的值为1±.