俯视图
高三第一次月考 数学试题(理科)
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题意要求的.
1.在平行四边形ABCD 中,下列结论中错误..的是 ( ) A .→--AB =→
--DC
B .→--AD +→--AB =→
--AC
C .→
--AB -→
--AD =→
--BD
D .→
--AD +→--CB =→
0 2.函数y=)23(log 2
1-x 的定义域是
( )
A .[1,+∞)
B .(3
2
,+∞)
C .[3
2
,1]
D .(3
2
,1]
3.如右图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2
的正三角形,其俯
视图轮廓为正方形,则其体积是 )
A
B
C D .83 4.已知向量,a b
均为单位向量,若它们的夹角是60°,
则3a b
-
等于
( )
A B C D .4
5.已知条件p :(x+1)2>4,条件q:x>a,且q p ??是的充分而不必要条件,则a 的取值范围是
( )
A .a ≥1
B .a ≤1
C .a ≥-3
D .a ≤-3
6.设函数?
??<--≥+=1,22,1,
12)(2
x x x x x x f 若1)(0>x f ,则0x 的取值范围 ( )
A .),1()1,(+∞--∞
B .[)+∞--∞,1)1,(
C .),1()3,(+∞--∞
D .[
)+∞--∞,1)3,( 7.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,异面直线B 1C 和C 1D 所成角的正弦值为
( )
A .
2
B .
12
C .—
2
D .—
12
8.定义21---=?ka ab b a ,
则方程x x ?=0有唯一解时,实数k 的取值范围是 ( ) A .}5,5{- B .]2,1[]1,2[ --
C .]5,5[-
D .]5,1[]1,5[ --
9.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )= ??
?>---≤-0
),2()1(0
),1(log 2x x f x f x x ,则f (2011)的值
为
( )
A .-1
B .0
C .1
D .2
10.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ,b ]上的两个函数,若对任意x ∈[a ,b ],都有
|()()|1f x g x -≤成立,则称()f x 和()g x 在[a ,b ]上是“密切函数”,区间[a ,b ]称为“密切区间”.若2()34f x x x =-+与()23g x x =-在[a ,b ]上是“密切函数”,则其“密切区间”可以是
( )
A .[1,4]
B .[2,4]
C .[3,4]
D .[2,3]
第Ⅱ卷 (非选择题共100分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在答题卡相应位置. 11.函数17
6221+-?
?
? ??=x x y 在[]1,3-∈x 上的值域为 .
12.设非零向量a =)(x x 2,,b =)(2,3x -,且a ,b 的夹角为钝角,则x 的取值范围是 . 13.已知集合{}
20A x x x x =-∈,R ≤,设函数2x f x a -=+()(x A ∈)的值域为B ,若B A ?,
则实数a 的取值范围是 .
14.已知函数12)2(24)(2
2
+----=p p x p x x f 在区间[-1,1]上至少存在一个实数c
使f (c )>0,则实数p 的范围 .
15.已知βα,是平面,n m ,是直线,则下列命题中正确..的是 . 若m ∥α⊥m n ,,则α⊥n ○
2若m ∥n =?βαα,,则m ∥n
若⊥m βα⊥m ,,则α∥β ○
4若⊥m βα?m ,,则⊥αβ
16.研究问题:“已知关于x 的不等式02
>+-c bx ax 的解集为)2,1(,解关于x 的不等式
02>+-a bx cx ”,有如下解法:
解:由02
>+-c bx ax ?0)1()1(2
>+-x
c x b a ,令x y 1=,则)1,2
1
(∈y , 所以不等式02
>+-a bx cx 的解集为)1,21
(.
参考上述解法,已知关于x 的不等式
0<++++c
x b
x a x k 的解集为)3,2()1,2( --,则
关于x 的不等式
01
1
1<--+-cx bx ax kx 的解集为 . 三、解答题:本大题共6小题,共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数()),0(2
R a x x
a
x x f ∈≠+
= (1)判断函数()x f 的奇偶性;
(2)若()x f 在区间[)+∞,2是增函数,求实数a 的取值范围。
18.如图,四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD=DC ,E 是PC
的中点.
(Ⅰ)证明PA//平面BDE ;
(Ⅱ)求二面角B —DE —C 的平面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱PB 上是否存在点F ,使PB ⊥平面DEF ?证明你的结论.
19.已知2(1,),(,),m x n x x x a ==+-
为实数,求关于x 的不等式:
23()2()602
a m n a m n ?-+?+>
的解集.
20.厦门某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为错误!不能通过
编辑域代码创建对象。(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为错误!不能通过编辑域代码创建对象。平方米,且高度不低于错误!不能通过编辑域代码创建对象。米.记防洪堤横断面的腰长为错误!不能通过编辑域代码创建对象。(米),外周长(梯形的上底线段.......错误!不能通过编辑域代码创建对象。.................与.两腰长的和.....
)为错误!不能通过编辑域代码创建对象。(米). ⑴求错误!不能通过编辑域代码创建对象。关于错误!不能通过编辑域代码创建对象。的函数关系式,并指出其定义域;
⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过错误!不能通过编辑域代码创建对象。米,则其腰长错误!不能通过编辑域代码创建对象。应在什么范围内?
⑶当防洪堤的腰长错误!不能通过编辑域代码创建对象。为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)?求此时外周长的值.
21.若定义在R 上的函数()f x 对任意的R x x ∈21,,都有1
)()()(2121-+=+x f x f x x f 成立,且当0>x 时,1)(>x f 。 (1)求证:1)(-x f 为奇函数; (2)求证:)(x f 是R 上的增函数;
B
(3)若5)4(=f ,解不等式3)23(2<--m m f .
22.已知二次函数2(),(1)f x ax bx f x =++为偶函数,函数()f x 的图象与直线y x =相
切.
(1)求()f x 的解析式;
(2)若函数()[()](,)g x f x k x =--∞+∞在上是单调减函数,那么:
①求k 的取值范围;
②是否存在区间[,]()m n m n <,使得()f x 在区间[,]m n 上的值域恰好为
[,]km kn ?若存在,请求出区间[m ,n];若不存在,请说明理由.
参考答案
一、选择题答案:(每小题5分, 10道小题共50分)
4.22220
3(3)691611cos6097,a b a b a a b b -=-=-+=-???+=
3a b ∴-= 6.0()1f x >?000020001,1,1 1.21 1.22 1.
x x x x x x x <≥????≥<-?
?+>-->???或或
8.
x
x ?=0
0212=---?kx x 2
12+=-?kx x ,设
21221+=-=?kx y x y 与
方程解的问题转化为两个函数图象的交点由图可以观察出,]2,1[]1,2[ --∈k
9.2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,
(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,
(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f (x )的值以6为周期重复
性出现.,所以f (2011)= f (1)=-1,
10.22|()()||57|57f x g x x x x x -=-+=-+.由2
571x x -+≤,得2
560x x -+≤,解得
23x ≤≤,.
11.????
??124421,21 12、 ?
????-∞-31,???
??+∞??? ??-,340,31 13、[102-,] 14.)2
3,3(- 15、○
1○3○4 16、)1,21
()31,21( -- 13.解:{}
2001A x x x x =-∈=,R [,], ≤ 11
1021122
x x B a a -∴-∈-?∈?=++[,][,][,].
1
011101022211a B A a a a a ?+≥??∴++?∴?-≤≤??+≤?
,
,[,][,],..
17.
解: (1)当0=a 时,()2x x f =为偶函数;当0≠a 时,()x f 既不是奇函数也不是偶函数.
(2)设212≥>x x ,()()22
212
121x a x x a x x f x f --+
=-()[]a x x x x x x x x -+-=21212
121
, 由212≥>x x 得()162121>+x x x x ,0,02121><-x x x x 要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数只需()()021<-x f x f , 即()02121>-+a x x x x 恒成立,则16≤a 。
另解(导数法):()22'x
a
x x f -
=,要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数,只需当2≥x 时,()0'≥x f 恒成立,即022≥-
x
a
x ,则[)+∞∈≤,1623x a 恒成立,
故当16≤a 时,()x f 在区间[)+∞,2是增函数。
18. 解:(Ⅰ)以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设PD=DC=2,则A (2,0,0),
P (0,0,2),E (0,1,1),B (2,2,0), )0,2,2(),1,1,0(),2,0,2(==-=DB DE PA
设 1(,,)n x y z =
是平面BDE 的一个法向量,
则由 11
100
1,(1,1,1).2200n DE y z y n x y n DB ??=+=??=-=-??+=?=??? 得取得
∵
11220,,//.PA n PA n PA BDE PA BDE ?=-=∴⊥?∴ ,又平面平面
(Ⅱ)由(Ⅰ)知1(1,1,1)n =-
是平面BDE 的一个法向量, 又2(2,0,0)n DA ==
是平面DEC 的一个法向量. 设二面角B —DE —C 的平面角为θ,由图可知12,n n θ=<>
∴
121212cos cos ,||||n n n n n n θ?=<>=?
故二面角B —DE —C 的余弦值为
3
3
(Ⅲ)∵)1,1,0(),2,2,2(=-= ∴.,0220DE PB ⊥∴=-+=?
x
y
z P
A C
假设棱PB 上存在点F ,使PB ⊥平面DEF ,设)10(<<=λλ, 则)22,2,2(),2,2,2(λλλλλλ-=+=-=PF DP DF PF , 由0)22(24402
2
=--+=?λλλλ得 ∴PB
PF 3
1)1,0(31=∈=,此时λ
即在棱PB 上存在点F ,
31
=
PF PB ,使得
PB ⊥平面DEF
19. 解:22
m n x x x x ?=+-= ,23()2()602
a m n a m n ∴?-+?+>
化简得:(3)(2)0ax x -->.
(1)当a =0时,不等式的解集为{2x x <}. (2)当a >0时,不等式化为a 3()(2)0x x a -->。
①当0,
30,322,a a a
>??<>??即时不等式的解集为{32x x a <>或x };
②当0,
3,3
22,a a a
>??=?=??即时不等式的解集为{2x x R x ∈≠且};
③当0,
3,322,a a a
>??>?
?即时不等式的解集为{2x x >或x <3
a
}.
(3)当a <0时,不等式化为3()(2)0
x x a -
-<,由3
a
<2,
故当a <0时,解集为{x
3
a
<x <2}.
综上所述,不等式的解集为:当a <0时,不等式的解集为{x 3
a
<x <2};当a =0
时,不等式的解集为{x
x <2};当0<a <3
2
时,不等式的解集为{2
x x <或x
>
3a };当a =32
时,不等式的解集为{2x x R x ∈≠且};当a >32时,不等式
的解集为{32x x x a
>或<
}. 20. 解:⑴错误!不能通过编辑域代码创建对象。,其中错误!不能通过编辑域代码创建对
象。,错误!不能通过编辑域代码创建对象。, ∴ 错误!不能通过编辑域代码创建对象。,得错误!不能通过编辑域代码创建对象。, 由错误!不能通过编辑域代码创建对象。,得错误!不能通过编辑域代码创建对象。 ∴错误!不能通过编辑域代码创建对象。; ⑵错误!不能通过编辑域代码创建对象。得错误!不能通过编辑域代码创建对象。∵
错误!不能通过编辑域代码创建对象。 ∴腰长错误!不能通过编辑域代码创建对象。的范围是 错误!不能通过编辑域代码创建对象。 ⑶错误!不能通过编辑域代码创建对象。,当并且仅当错误!不能通过编辑域代码创建
对象。, 即错误!不能通过编辑域代码创建对象。时等号成立. ∴外周长的最小值为错误!不能通过编辑域代码创建对象。米,此时腰长为错误!不
能通过编辑域代码创建对象。米。
21.解:
(1)证明:定义在R 上的函数()f x 对任意的R x x ∈21,,都1
)()()(2121-+=+x f x f x x f 成立。 令1)0(1)0()0()00(,021=?-+=+==f f f f x x 则
令1)()()(,,21--+=--==x f x f x x f x x x x 则,∴[][]
01)(1)(=--+-x f x f ,∴1)(-x f 为奇函数
(2)证明:由(1)知:1)(-x f 为奇函数, ∴[]1)(1)(--=--x f x f 任取R x x ∈21,,且21x x <,则012>-x x ∵1)()()(2121-+=+x f x f x x f ∴[]1)()(1)()(1)()()(12121212+-=--=--+=-x f x f x f x f x f x f x x f ∵当0>x 时,1)(>x f ,
∴11)()()(1212>+-=-x f x f x x f ,∴)()(21x f x f <
∴)(x f 是R 上的增函数。
(3)解:∵1)()()(2121-+=+x f x f x x f ,且5)4(=f ∴3)2(1)2()2()4(=?-+=f f f f ,由不等式3)23(2
<--m m f ,
得)2()23(2
f m m f <--
由(2)知:)(x f 是R 上的增函数∴3
4
104322322<<-?<--?<--m m m m m
∴不等式3)23(2<--m m f 的解集为:??
? ??-34,1
22.
解:(1)∵f (x+1)为偶函数,∴即),1()1(+=+-x f x f )1()1()1()1(22+++=+-++-x b x a x b x a 恒成立,即(2a+b )x=0恒成立,∴2a+b=0,∴b=-2a ,∴ax ax x f 2)(2-= ∵函数f (x )的图象与直线y=x 相切,
∴二次方程0)12(2=+-x a ax 有两相等实数根, ∴004)12(2=?-+=?a a ,
x x x f a +-=-=∴22
1
)(,21(5分)
(2)①kx x x x g -+-
=23
2
1)(, '23
()2.()(,)2
g x x x k g x ∴=-+--∞+∞ 在上是单调减函数
上恒成立,在),(0)('+∞-∞≤∴x g 3
2,0))(2
3(44≥≤---=?∴k k 得
故k 的取值范围为),3
2
[+∞
②,2121)1(21)(2≤+--=x x f 11213
[,](,],,,,22324
km kn kn k n k ∴?-∞∴≤≥∴≤≤又
[,](,1],()[,]m n f x m n ∴?-∞∴在上是单调递增函数
2
21()2(),1,
2
m m km f m km f n kn n n kn ?-+=?=??∴??
=??-+=??即 即???-==-==k n n k m m 22,022,0或或∵m <n , 故当
2
1[,][0,22]3
k m n k ≤<=-时,; 当k >1时,];0,22[],[k n m -=当k=1时,[m ,n]不存在.