2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(六)试题含解析
2021年广东省普通高中学业水平考试数学模
拟测试卷(六)
(时间:90分钟满分:150分)
一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)
1.不等式x(x-2)≤0的解集是()
A.[0,2)
B.(-∞,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,0]∪[2,+∞)
D.[0,2]
2.全集为实数集R,M={x|-2≤x≤2},N={x|x<1},则
(?R M)∩N=() A.{x|x<-2} B.{x|-2 C.{x|x<1} D.{x|-2≤x<1} 3.为了调查某班级的作业完成情况,将该班级的52名学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知5号,18号,44号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应该是() A.23 B.27 C.31 D.33 4.直线2x-y+2=0与坐标轴围成的三角形的面积是() A.1 2 B.1 C.2 D.4 5.函数f(x)=lg(x+1) x 的定义域是() A.(-1,0)∪(0,+∞) B.[-1,0)∪(0,+∞) C.(-1,+∞) D.[-1,+∞) 6.以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0,2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为() A.(x-1)2+(y-1)2=5 B.(x+1)2+(y+1)2=5 C.(x-1)2+y2=5 D.x2+(y-1)2=5 7.设函数f(x)={1-x2,x≤1, x2+x-2,x>1, 则f(1 f(2) )的值为() A.18 B.-27 16C.8 9 D.15 16 8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 () A.π B.2π C.3π D.4π 9.已知sin α=2 3 ,则cos(π-2α)等于() A.-√5 3B.-1 9 C.1 9 D.√5 3 10.实数x ,y 满足{x +2y -3≤0, x +3y -3≥0,y ≤1, 则z=x-y 的最大值是 ( ) A.-1 B.0 C.3 D.4 11.已知非零向量OA ????? ,OB ????? 不共线,且BM ?????? =1 3BA ????? ,则向量OM ?????? = ( ) A .13OA ????? +23OB ????? B .23OA ????? +1 3OB ????? C .13 OA ????? ?23 OB ????? D .13 OA ????? ?4 3 OB ????? 12.函数f (x )=2x +3x 的零点所在的一个区间是 ( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 13.函数f (x )=A sin(ωx+φ)+b 的图象如图所示,则f (x )的解+析式为 ( ) A .f (x )=12sin 12x+1 B .f (x )=sin 12x+1 2 C .f (x )=1 2sin πx 2+1 D .f (x )=sin πx 2+1 2 14.设α,β为钝角,且sin α=√5 5,cos β=-3√1010 ,则α+β的值为 ( ) A .3π4 B .5π4 C .7π 4 D .5π 4或7π 4 15.已知数列{a n }满足a n+1=11-a n ,若a 1=1 2,则a 2 018= ( ) A.2 B.-2 C.-1 D.1 2 二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分) 16.函数y=√x -1+ln(2-x )的定义域是 . 17.已知直四棱柱底面是边长为2的菱形,侧面对角线的长为2√3,则该直四棱柱的侧面积为 . 18.若非零向量a ,b 满足|a |=|b |,(2a +b )·b =0,则a 与b 的夹角为 . 19.计算sin (-15π6 )cos 20π3 tan (-7π 6)= . 三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分) 20.在锐角三角形ABC 中,角A ,B 所对的边长分别为a ,b ,且2a sin B=√3b. (1)求角A 的大小; (2)若a=3,求△ABC 周长l 的最大值. 21.如图,在四棱锥P -ABCD 中,PC=AD=CD=1 2AB=2,AB ∥DC ,AD ⊥CD ,PC ⊥平面ABCD. (1)求证:BC ⊥平面PAC ; (2)若M 为线段PA 的中点,且过C ,D ,M 三点的平面与线段PB 交于点N ,确定点N 的位置,说明理由;并求三棱锥N -AMC 的体积. 22.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,a n+1=2S n +1,数列{b n }满足a 1=b 1,点P (b n ,b n+1)在直线x-y+2=0上,n ∈N *. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)设c n =b n a n ,求数列{c n }的前n 项和T n . 答案： 1.D 不等式x (x-2)≤0对应方程的两个实数根为0和2, 所以该不等式的解集是[0,2]. 故选D . 2.A ∵M={x|-2≤x ≤2}, ∴?R M={x|x<-2,或x>2}, 又∵N={x|x<1}, ∴(?R M )∩N={x|x<-2}. 故选A . 3.C 因为5号,18号,44号同学在样本中,18-5=13,44-18=26,所以抽样间隔为13,样本中还有一位同学的编号应该是18+13=31.故选C . 4.B ∵2x-y+2=0中, 由x=0,得y=2;由y=0,得x=-1. ∴直线2x-y+2=0与坐标轴围成的三角形的面积是 S=1 2×2×1=1. 故选B . 5.A {x +1>0,x ≠0,解得,x>-1且x ≠0,区间形式为(-1,0)∪(0,+∞),故 选A . 6.A 由题意得,点(a ,1)到两条直线的距离相等,且为圆的半径.∴ √2+(-1)= √2+(-1),解得a=1. ∴r= √2+(-1)=√5, ∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5. 7.D f (2)=22+2-2=4, 则 f (1f (2))=f (14)=1-(14) 2=15 16. 故选D . 8.C 三视图还原的几何体是圆柱,底面半径为1、高为3, 所以这个几何体的体积是π×12×3=3π. 故选C . 9.B 由三角函数的诱导公式可知cos(π-2α)=-cos 2α,由倍角公式可得cos 2α=1-2sin 2α=1-2×4 9=1 9,cos(π-2α)=-1 9,故选B . 10.C 作出不等式{x +2y -3≤0, x +3y -3≥0,y ≤1 对应的平面区域如图, 由z=x-y ,得y=x-z , 平移直线y=x-z ,由图象可知,当直线y=x-z 经过点B (3,0)时,直线y=x-z 的截距最小,此时z 最大. 此时z 的最大值为z=3-0=3.故选C . 11.A BM ?????? =13 BA ????? ?OM ?????? ?OB ????? =1 3 (OA ????? ?OB ????? )?OM ?????? =13 OA ????? + 2 3 OB ????? .故选A . 12.B ∵f (-1)=1 2-3<0,f (0)=1>0,∴f (-1)·f (0)<0. 又函数f (x )的图象在(-1,0)上是连续不断的,故f (x )的零点所在的一个区间为(-1,0).故选B . 13.C 由函数f (x )=A sin(ωx+φ)+b 的图象可知,A=1.5-0.5 2 =1 2, b= 1.5+0.5 =1, 又最小正周期T=4=2πω , ∴ω=π 2.又0×ω+φ=0,∴φ=0. ∴f (x )的解+析式为f (x )=1 2sin πx 2+1. 故选C . 14.C ∵α,β为钝角,且sin α=√5 5,cos β=-3√10 10 , ∴cos α=- 2√55,sin β=√10 10 , ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β =-2√55×(-3√1010)?√55× √10 10 = √2 2 , 又α,β为钝角,∴α+β∈(π,2π),∴α+β=7π 4.故选C . 1 5.A ∵a n+1=1 n ,a 1=1 , ∴a 2=11-a 1=1 1-12 =2, a 3=11-a 2=1 1-2=-1, a 4=11-a 3 = 11-(-1)=1 2 , ∴数列{a n }是以3为周期的周期数列, ∵2 018=672×3+2, ∴a 2 018=a 2=2.故选A . 16.[1,2) 要使函数有意义,须满足{ x -1≥0, 2-x >0, 解得1≤x<2, ∴函数y=√x -1+ln(2-x )的定义域是[1,2). 17.16√2 如图所示,直四棱柱底面ABCD 是边长为2的菱形,侧面对角线的长为2√3, ∴侧棱长为CC 1=√(2√3)2-22=2√2, ∴该直四棱柱的侧面积为S=4×2×2√2=16√2. 18.120° (2a +b )·b =0?2|a||b|cos +b 2 =0,因为|a |=|b |,所以 19.-√3 6 sin (- 15π6)cos 20π3tan (-7π 6 ) =sin (-2π-π2)cos (6π+2π3)tan (-π-π 6) =cos 2π3tan π6=(-12)×√33 =-√36. 20.【解】(1)由题及正弦定理得2sin A sin B=√3sin B , ∵sin B ≠0,∴sin A=√32,又A ∈(0,π2),∴A=π 3. (2)由a=3,A=π3得 b sinB =c sinC = a sinA = 3 2 =2√3, ∴b=2√3sin B ,c=2√3sin C , ∴l=a+b+c=2√3sin B+2√3sin C+3 =2√3sin B+2√3sin (2π 3-B)+3 =3√3sin B+3cos B+3 =6sin (B +π 6)+3, 当B=π3 时,l 取最大值9. ∴△ABC 的周长l 的最大值为9. 21.【解】(1)证明:在直角梯形ABCD 中, AC=√AD 2+DC 2=2√2, BC=√(AB -CD )2+AD 2=2√2. ∴AC 2+BC 2=AB 2,即BC ⊥AC. ∵PC ⊥平面ABCD ,BC ?平面ABCD ,∴BC ⊥PC. 又AC ∩PC=C ,∴BC ⊥平面PAC. (2)点N 是PB 的中点,连接MN ,CN ,理由如下; 如图,∵点M 为PA 的中点,点N 为PB 的中点, ∴MN ∥AB. 又∵AB ∥DC ,∴MN ∥CD. ∴M 、N 、C 、D 四点共面. 即点N 为过C 、D 、M 三点的平面与线段PB 的交点; ∵BC ⊥平面PAC ,N 为PB 的中点, ∴点N 到平面PAC 的距离d=1 2BC=√2, S △ACM =12S △PAC =12·12·PC ·AC=1 4×2×2√2=√2. ∴V 三棱锥NAMC =13S △AMC ·d=13×√2×√2=2 3. 22.【解】(1)由a n+1=2S n +1可得,a n =2S n-1+1(n ≥2), 两式相减得a n+1-a n =2a n , 即a n+1=3a n (n ≥2). 又a 2=2S 1+1=3,所以a 2=3a 1. 故{a n }是首项为1,公比为3的等比数列, 所以a n =3n-1. 由点P (b n ,b n+1)在直线x-y+2=0上,所以b n+1-b n =2. 则数列{b n }是首项为1,公差为2的等差数列, 则b n =1+(n-1)·2=2n-1. (2)因为c n =b n a n =2n -1 3n -1, 所以T n = 1 3 0+ 33 1+ 5 3 2+…+ 2n -1 3n -1 , 则13T n =131+332+533+…+2n -33 n -1+2n -13n , 两式相减,得2T n =1+2+232+…+23 n -1?2n -1 n , 所以T n =3-12·3n -2 ? 2n -1 2·3n -1 =3-n+13n -1 .