求离心率的取值范围解题策略
求离心率的取值范围策略
圆锥曲线共同的性质：圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线L（F不在定直线L上）的距离之比是一个常数e。椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率。求椭圆与双曲线离心率的范围是圆锥曲线这一章的重点题型。下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围。
一、利用曲线的范围，建立不等关系
例1．设椭圆的左右焦点分别为、，如果椭圆上存在点P，使
，求离心率e的取值范围。
解：设因为，所以
将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得
例2．双曲线在右支上存在与右焦点、左准线长等距离的点，求离心率e的取值范围。解：设在双曲线右支上，它到右焦点的距离等于它到左准线的距离，即=
二、利用曲线的几何性质数形结合，构造不等关系
例3．直线L过双曲线的右焦点，斜率k=2。若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。解：如图1，若，则L与双曲线只有一个交点；若，
则L与双曲线的两交点均在右支上，
例4. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。若△ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。
解：如图2，因为△ABF2是等腰三角形，所以只要∠AF2B是锐
角即可，即∠AF2F1<45°。则
三、利用定义及圆锥曲线共同的性质，寻求不等关系
例5．已知双曲线的左右焦点分别为、，点P在双曲线的右支上，且
，求此双曲线的离心率e的取值范围。
解：因为P在右支上，所以又得
所以又所以
例6．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线右支上一点，P到右准线的距离为d，若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。
解：由题意得因为，所以，从而，
。又因为P在右支上，所以。。
。
四、利用判断式确定不等关系
例7．例1的解法一：解：由椭圆定义知
例8．设双曲线与直线相交于不同的点A、B。求双曲线的离心率e的取值范围。解：
通过以上各例可以看出，在解决“求圆锥曲线离心率的取值范围”的问题，若能根据题意建立关于a、b、c 的不等式，即可转化为关于e的不等式进行求解。
练习
1、设椭圆122
22=+b y a x （a>b>0）的两焦点为F1、F2，长轴两端点为A 、B ，若椭圆上存在一点Q ，使
∠AQB=120o，求椭圆离心率e 的取值范围。（e ≤23<1）.
2、设椭圆122
22=+b y a x （a>b>0）的两焦点为F1、F2，若椭圆上存在一点Q ，
使∠F1QF2=120o，求椭圆离心率e 的取值范围。(13
6<≤e ) 3、椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，过椭圆左焦点F1的直线交椭圆于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ ，
求椭圆的离心率e 的取值范围。（1215<≤-e ）。
4、（2000年全国高考题）已知梯形ABCD 中，，点E 分有向线段所成的比为，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当时，求双曲线离心率的取值范围。2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，设其中
是梯形的高，由定比分点公式得，把C 、E 两点坐标分别代入双曲线方程得
，，两式整理得，从而建立函数关系式，由已知得，，解得。
5、已知双曲线上存在P 、Q 两点关于直线对称，求双曲线离心率的取值范围。PQ 中点为M ，由点差法求得
，当点M 在双曲线内部时，整理得：无解；当点M 在双曲线外部时，点M 应在两渐近线相交所形成的上下区域内，由线性规划可知：，即，则，所以。
求椭圆离心率范围的常见题型与解析
求椭圆离心率范围的常见题型解析解题关键:挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e的不等式. 一、利用曲线的范围，建立不等关系 例1已知椭圆22 2 2 1(0) x y a b a b +=>>右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围. 例2已知椭圆 22 22 1(0) x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为 12 (,0),(,0) F c F c -,若椭圆上存 在一点P使 1221 sin sin a c PF F PF F =,则该椭圆的离心率的取值范围为() 21,1 -.
二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系 例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足 的点P 总在椭圆内部，则椭圆离心 率的取值范围是（ ） Ａ．(0,1) Ｂ．1(0,]2 Ｃ．(0,2 Ｄ．2
三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系 例4已知ABC ?的顶点B 为椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 短轴的一个端点，另两个顶点也在 椭圆上，若ABC ?的重心恰好为椭圆的一个焦点F )0,(c ,求椭圆离心率的范围. 四、利用函数的值域，建立不等关系 例5椭圆122 22 =+ b y a x )0(>>b a 与直线01=-+y x 相交于A 、B 两点，且0=?OB OA （O 为原点），若椭圆长轴长的取值范围为 []6,5，求椭圆离心率的范围. 五、利用均值不等式，建立不等关系. 例6 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.求椭圆离心率的范围； 解 设椭圆方程为x 2 a 2＋y 2 b 2＝1 (a>b>0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a. 在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2 ＝m 2 ＋n 2 －2mncos 60°＝(m ＋n)2 －3mn ＝4a 2 －3mn≥4a 2 －3·?? ? ?m ＋n 22 ＝4a 2－3a 2＝a 2 (当且仅当m ＝n 时取等号)．∴c 2 a 2≥14，即e≥1 2 .
曲线的离心率求法
圆锥曲线的离心率问题 离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。 一、基础知识： 1、离心率公式：c e a = （其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞ 2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：222a b c =+， （2）双曲线：222c b a =+ 3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向： （1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。从而可求解 （2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解，或者带入曲线求解 （3）利用三角形的相似关系 （4）利用点线距离关系 4、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑： （1）题目中某点的坐标是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口 （2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率 注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、考点一：求离心率 方法一：焦点三角形问题 例1（1）：设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ）
圆锥曲线专题(求离心率的值、离心率的取值范围)
圆锥曲线专题 求离心率的值 师生互动环节 讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。 策略一：根据定义式求离心率的值 在椭圆或双曲线中，如果能求出c a 、的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到c a 、的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中221a b a c e -==；双曲线中22 1a b a c e +==.所以只 要求出 a b 值即可求离心率. 例1.（2010年全国卷2）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()22 22100x y a b a b -=＞，＞相交于 D B 、两点，且BD 的中点为)3,1(M ，求曲线C 的离心率. 解析：如图，设),(),(2211y x D y x B 、，则 122 1221=-b y a x ① 12 22 222=-b y a x ② ①-②整理得 0) )(())((2 212122121=+--+-b y y y y a x x x x ③ 又因为)3,1(M 为BD 的中点，则6,22121=+=+y y x x ，且21x x ≠，代入③得 13222121==--=a b x x y y k BD ，解得322 =a b ，所以231122=+=+=a b e .
方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与a b 的关系，解得22 a b 的值，从而整体代入求出离 心率e .当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得),(21b a x x ?=+， 2),(=b a ?或者),(21b a y y ω=+，6),(=b a ω从而解出22 a b 的值，最后求得离心率. 【同类题型强化训练】 1.（呼市二中模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为032=±y x ，则双曲线的离心率为（ ）. 313. A 213. B 315. C 2 10 . D 2.（衡水中学模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与圆222)1()2(r y x =-+-交于 B A 、两点，AB 恰是该圆的直径，且直线AB 的斜率2 1 -=k ，求椭圆的离心率. 3.（母题）已知双曲线)0(1:22 >=-m y m x C ，双曲线上一动点P 到两条渐近线的距离乘积为21， 求曲线C 的离心率. 【强化训练答案】 1.答案：由双曲线焦点在x 上，则渐近线方程0=±ay bx ，又题设条件中的渐近线方程为 032=±y x ，比较可得32=a b ，则3 13 941122=+=+=a b e . 2.答案：设椭圆方程为)0(122 22>>=+b a b y a x ，),(),,(2211y x B y x A ，则 1221221=+b y a x ① 122 2 222=+b y a x ② ①-②整理得 0) )(())((2 212122121=+-++-b y y y y a x x x x ③ 因为AB 恰是该圆的直径，故AB 的中点为圆心)1,2(，且21x x ≠ 则2,42121=+=+y y x x ，代入③式整理得22 21212a b x x y y k -=--=
离心率及范围计算
1．已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ， 2F ，过2F 的直线 与椭圆交于A ，B 两点，若1F AB ?是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. 63- B. 23- C. 52- D. 2 2 【答案】A 2．椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上、下顶点分 别为12B B ，右顶点为A ，直线1AB 与21B F 交于点D .若1123AB B D =，则C 的离心率等于__________． 【答案】 14 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上的一 点，若， ，则双曲线的离心率是__________． 【答案】 4．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右两个焦点分别为12,F F ，以线 段12F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，若 122MF MF b -=，该双曲线的离心率为e ，则2e =（ ） A. 2 B. 212 C. 322+51 + 【答案】D
5．已知F 1,F 2是椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，且 ，线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的 面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于 ( ) A. B. C. D. 【解析】由题意设 与四边形 的面积之比为 与 的面 积 之 比 为 又 ，即 将 和 代入椭圆方程得 即 解得 故选 C 6．若12,F F 分别是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点， O 为坐标原点， 点P 在双曲线的左支上，点M 在双曲线的右准线上，且满足1 FO PM =， 11OF OM OP OF OM λ?? ?=+ ??? (0)λ>，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
求圆锥曲线中离心率取值范围方法举例
圆锥曲线中离心率取值范围的求解 范围问题是数学中的一大类问题，在高考试题中占有很大的比重，圆锥曲线中离心率取值范围问题也是高考中解析几何试题的一个倍受青睐的考查点，其求解策略的关键是建立目标的不等式，建立不等式的方法一般有：利用曲线定义，曲线的几何性质，题设指定条件等． 策略一：利用曲线的定义 例1若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） Ａ．(1,2) Ｂ．(2,)+∞ Ｃ．(1,5) Ｄ．(5,)+∞ 【解析】Ｂ 22033352022 a ex a e a a a e e c -=?->+?-->， 2e ∴>或13 e <-（舍去），(2,)e ∴∈+∞． 例2双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（ ） Ａ． Ｂ．)+∞ Ｃ．1]+ Ｄ．1,)++∞ 【解析】Ｃ 222 000(1)(1),a a a ex a x e x a a e a c c c -=+?-=+?+≥- 2111121011a e e e e c e ∴-≤+=+?--≤?≤≤+ 而双曲线的离心率1e >，1],e ∴∈故选Ｃ. 【点评】例1、例2均是利用第二定义及焦半径公式列出方程．例1根据题设列出不等式；例 2是根据0x 的范围将等式转化为不等式，从而求解．这种利用、x y 的范围将等式转化为不等式求参数范围的方法是解析几何常用的方法． 策略二：利用曲线的几何性质 例已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率 的取值范围是（ ） Ａ．(0,1) Ｂ．1(0,]2 Ｃ． Ｄ． 【解析】Ｃ 由题，M 的轨迹为以焦距为直径的圆，由M 总在椭圆内部，知： 2222212c b c b a c e >时M 点有4个在椭圆上；c b =时M 有2个在椭圆上，就是椭圆短轴的两个端点． 例4已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） Ａ．(1,2] Ｂ．(1,2) Ｃ．[2,)+∞ Ｄ．(2,)+∞
巧解椭圆离心率的取值范围
巧解椭圆离心率的取值范围 河北容城中学 牛文国 邮编071700 在椭圆问题中经常会遇到下面一类问题，就教学中的一些体会提供此类问题的常规解法，供大家参考。 设椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的两焦点为21,F F ，若在椭圆上存在一点p ，使21PF PF ⊥，求椭圆e 的取值范围。 解析1：设()y x P ,，由21PF PF ⊥得1-=-?+c x y c x y ，即222x c y -=，代入12222=+b y a x 得()22222c b c a x -= ，2220b c x ≥∴≥ 即222c a c -≥，2 2≥=∴a c e 又1 222a c b a c b <≤?<≤ ∴2222a c c a <≤-12 2<≤∴ e 说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长。 解析4：椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 当P 与短轴端点重合时∠21PF F 最大 此题是否可以得到启示呢？ 无妨设满足条件的点P 不存在 ，则∠21PF F <090 2 245sin sin 001=<∠=<∴OPF a c 又10< 【高考数学专题】 求离心率的值或取值范围 一．方法综述 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况： ①根据题意求出,,a b c 的值，再由离心率的定义椭圆2222 222e ===1()c a b b a a a -- 双曲线2222 222e ===1()c a b b a a a ++直接求解； ②由题意列出含有,,a b c 的方程(或不等式)，借助于椭圆222b a c ＝－、双曲线 222b c a ＝－消去b ，构造,a c 的齐次式，求出e ； ③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解； ④根据圆锥曲线的统一定义求解． 解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标 0a x a -≤≤等． 二．解题策略 类型一 直接求出c a ,或求出a 与b 的比值，以求解e 【例1】【2019年4月28日三轮《每日一题》】已知双曲线 的右焦点为抛物线 的焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离为 ，若点在该双曲线上，则双曲线的离心率为( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 设，则，所以抛物线的方程为. 因为点到双曲线的一条渐近线的距离为， 不妨设这条渐近线的方程为，即，则， 又点在双曲线上，所以，解得， 故，即. 故选B. 【指点迷津】求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围． 【举一反三】 1.【广西桂林市2019届高三4月（一模】设抛物线的焦点为，其准线与双曲线的两个交点分别是，若存在抛物线使得是等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 因为抛物线，所以，准线为， 将代入得，不妨设为右支上的点， 则， 因为是等边三角形，则，即， 求离心率的取值范围 求离心率的取值范围 椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率。求椭圆与双曲线离 心率的范围是圆锥曲线这一章的重点题型。求离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式。 下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围。 一、利用曲线的范围，建立不等关系 例1．设椭圆的左右焦点分别为、，如果椭圆上存在点P， 使，求离心率e的取值范围。 例2．已知椭圆 22 22 1(0) x y a b a b +=>>右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA， 求椭圆的离心率e的取值范围。二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系 例1．已知 12 、 F F是椭圆的两个焦点，满足的点P总在椭圆内部，则椭圆离心率 的取值范围是（） Ａ．(0,1)Ｂ． 1 (0,] 2 Ｃ． 2 (0,) 2 Ｄ． 2 [,1) 2 例2．直线L过双曲线的右焦点，斜率k=2。若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。 例3. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。若△ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。 例4.设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )． A． 23 2 3 ?? ? ?? B． 3 2 3 ?? ? ?? ?? C． 3 3 ?? +∞ ? ? ?? D． 23 3 ?? +∞? ?? ?? 例5.过双曲线的左焦点 1 F且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A、B两点，若在双曲线的虚轴所在直线上存在一点C，使得0 90 ACB ∠=，双曲线的离心率e的取值范围为_______________ 离心率的取值范围的求法 舒云水 求椭圆、双曲线的离心率的取值范围，是高考的一个热点，也是一个难点，难在关于 a 、b 、c 的不等式的建立，下面从三个方面谈不等式的建立 一、 根据已知条件建立不等式 例1 已知1F 、2F 分别是双曲线22 221(0x y a a b -=>，0)b >的左右焦点，过1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若2ABF ?为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围 ﹒ 解析：由已知条件易求21b AF a =，2 212112tan 22b AF b a AF F F F c ac ∠===，由于2ABF ?为锐角三角形，故只需2AF B ∠为锐角即可，则有 2 21tan 2b AF F ac ∠=tan 451?<=，整理得：22b ac <，所以2220c a ac --<，两边同时除以2a 得：2120e e --< ，求得：11e -<<(1,)e ∈+∞， 故(1,1e ∈+﹒ 点评：根据2AF B ∠为锐角知21AF F ∠45?<，通过tan 21AF F ∠45?<＝１建立a 、b 、c 的不等式，本题不等式的建立思路比较明确自然，难度不大﹒ 二、 根据相关线段的取值范围建立不等式 例2 已知双曲线22221(0x y a a b -=>，0)b >的左、右焦点分别为1F （－ｃ,0)，2(,0)F c ﹒若双曲线上存在点P 使 c a F PF F PF =∠∠1221sin sin ，则该双曲线的离心率的取值范围是 ﹒ 解析：依题意及正弦定理得112 <=c a PF PF ，因此点P 位于双曲线的右支上，且点P 不与21F F 共线，所以有 c a a PF PF =+222，即c a PF a =+122﹒ 又a c a c a PF a -<-=2122，得2)1(2<-e ，即1221+<<-e ﹒ 又),1(+∞∈e ，故)21,1(+∈e ﹒ 点评：本题难度比较大，不等式的建立比较隐蔽，利用隐含条件P 建立不等式是解决本题的关键 三、 根据变量x ，y 的取值范围建立不等式 例3. 椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点为1F （－ｃ,0)，2(,0)F c ，M 是椭圆上一点，满足021=?F F ，则离心率e 的取值范围是 . 解析：设点M 的坐标为),(y x ，则),(1y c x F +=，),(2y c x F -=﹒由021=?F F ，得0222=-+c y x ，即222x c y -=﹒ （※） 又由点M 在椭圆上得??? ? ??-=22221a x b y ，代入（※）得222221x c a x b -=???? ??-，所以??? ? ??-=22 222c a a x ﹒ ∵220a x ≤≤，∴222220a c a a ≤??? ? ??-≤，即12022≤-≤c a ，11202≤-≤e ，解得122≤≤e ，又∵10< 高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率的 取值范围 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率的取值范围 求圆锥曲线离心率的取值范围是高考的一个热点，也是一个难点，求离心率的难点在于如何建立不等关系定离心率的取值范围. 一、直接根据题意建立,a c 不等关系求解. 例1：（08湖南）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是 A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 备选（07北京）椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F ≤2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） Ａ．1(0]2， Ｂ．2(02， Ｃ．1[1)2， Ｄ．21) 二、借助平面几何关系建立,a c 不等关系求解 例2：（07湖南）设12F F ，分别是椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．2(0， B ．3(0]， C ．21) D.31) 三、利用圆锥曲线相关性质建立,a c 不等关系求解. 例3：（2008福建）双曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 求双曲线离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式，下面举例说明。 一、利用双曲线性质 例1设点P在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点P到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。2 设点P在双曲线的右支上，双曲线两焦点，，求双曲线离心率的取值范围。3（同例2）2可知：P在双曲线右支上由图1可知：，，即，两式相加得：，解得：。4 已知点在双曲线的右支上，双曲线两焦点为，最小值是，求双曲线离心率的取值范围。5（2000年全国高考题）已知梯形ABCD中，，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B 为焦点，当时，求双曲线离心率的取值范围。2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，设其中是梯形的高，由定比分点公式得，把C、E两点坐标分别代入双曲线方程得，，两式整理得 ，从而建立函数关系式，由已知 得，，解得。6已知双曲线与直线：交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。7已知双曲线 上存在P、Q两点关于直线对称，求双曲线离心率的取值范 围。PQ中点为M，由点差法求得，当点M在双曲线内部时 ，整理得：无解；当点M在双曲线外部时，点M应在两渐近线相交所形成的上下区域内，由线性规划可知：，即，则，所以。8 已知过双曲线左焦点的直线交双曲线于P、Q两点，且（为原点），求双曲线离心率的取值范围。OP⊥OQ得，即：，解得：，因为，所以，则 ，所以。 解析： 点评： 二、利用平面几何性质 例 解析： ，由三角形性质得：解得： 。 点评： 三、利用数形结合 例 解析： ，点 求离心率的范围问题 求离心率范围的方法 一、建立不等式法： 1.利用曲线的范围建立不等关系。 2.利用线段长度的大小建立不等关系。F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意 一点，PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]；F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点， |PF 1|≥c －a . 3.利用角度长度的大小建立不等关系。 4.利用题目不等关系建立不等关系。 5. 利用判别式建立不等关系。 6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。 7.利用基本不等式，建立不等关系。 二、函数法： 1. 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式； 2.通过确定函数的定义域； 3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围. 练习 利用曲线的范围建立不等关系 1.F 1，F 2是椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，求椭圆的离心率的 取值范围. 2.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA = , 则椭圆离心率的范 围是_________. 3.设12,F F 为椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得 212||||2PF PF c ?=,则椭圆的离心率的最小值为（ ） A ． 12 B ．1 3 C ．2 D ．3 2 π 圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题 【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点， 准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离 心率为（ ） A ． B C D ． 解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =； 圆锥曲线中离心率及其围的求解专题 【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点， 准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离 心率为（ ） A ． B C D ． 解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =； 圆锥曲线中离心率及其范围 题型一 求离心率 1．椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的两个焦点分别为F 、2F ，以1F 、2F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e 为 （ ） A ．312+ B ．31- C ．4(23)- D ．324 + 2过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若 12AB BC = ，则双曲线的离心率是 ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．10 3过椭圆2222 1x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠= ，则椭圆的离心率为（ ） A ．2 2 B ．3 3 C ．12 D ．13 4双曲线22 221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30 的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ） A ．6 B ．3 C ．2 D ．33 5若双曲线122 22=-b y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（ ） （A ）3 （B ）5 （C ） 3 （D ）5 6在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =- ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ． 7设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） 求离心率取值范围—常见6法 在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。因此求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个难点。笔者从事高中数学教学二十余载，积累了六种求解这类问题的通法，供同仁研讨。 一、利用椭圆上一点P(x,y)坐标的取值范围，构造关于a,b,c 的不等式 例1若椭圆上存在一点P，使，其中0为原点，A 为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e 的取值范围。解：设为椭圆上一点，则 . ①因为，所以以OA 为直径的圆经过点P，所以 .②联立①、②消去并整理得当时，P 与A 重合，不合题意，舍去。 所以又，所以， 即得，即又，故的取值范围 是 二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系，构造关于a,b,c 不等式 例2已知双曲线左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为,l P 是双曲线左支上一点，并且，由双曲线第二定义得 ，所以.①由又曲线第一定义得 ②由①-②得 在中，所以 ，即.又，从而解得的取值范围是。 三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式 例3设椭圆的两焦点为F 1、F 2，问当离心率E 在什么范围内 取值时，椭圆上存在点P，使=120°. 解：设椭圆的焦距为2c，由椭圆的定义知 .在中，由余弦定理得 ==（所以所以. 又，故的取值范围是四、利用圆锥曲线的定义，结合完全平方数（式）非负的属性构造关于a,b,c 的不等式 例4如图1，已知椭圆长轴长为4，以y 轴为准线，且左顶点在抛物线上，求椭圆离心率e 的取值范围。 解：设椭圆的中心为，并延长交y 轴于N，则= 因为，所以。所以 所以椭圆离心率的取值范围为 五、将题中已知不等关系巧妙转化为关于a,b,c 的不等式 例5已知椭圆的两焦点为F 1、F 2，斜率为K 的直线过右焦点 椭圆和双曲线的离心率的求值及范围求解问题 【重点知识温馨提示】 1.e ＝c a ＝ 1－ b2a2(0 求离心率的取值范围解 题策略精编 Document number：WTT-LKK-GBB-08921-EIGG-22986 求离心率的取值范围策略 圆锥曲线共同的性质：圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线L（F不在定直线L上）的距离之比是一个常数e。椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率。求椭圆与双曲线离心率的范围是圆锥曲线这一章的重点题型。下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围。 一、利用曲线的范围，建立不等关系 例1．设椭圆的左右焦点分别为、，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。 解：设因为，所以 将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得 例2．双曲线在右支上存在与右焦点、左准线长等距离的点，求离心率e的取值范围。解：设在双曲线右支上，它到右焦点的距离等于它到左准线的距离，即= 二、利用曲线的几何性质数形结合，构造不等关系 例3．直线L过双曲线的右焦点，斜率k=2。若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。 解：如图1，若，则L与双曲线只有一个交点；若，则 L与双曲线的两交点均在右支上， 例4. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。若△ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。 解：如图2，因为△ABF2是等腰三角形，所以只要∠AF2B是锐 角即可，即∠AF2F1<45°。则 三、利用定义及圆锥曲线共同的性质，寻求不等关系 例5．已知双曲线的左右焦点分别为、，点P 在双曲线的右支上，且，求此双曲线的离心率e的取值范围。 解：因为P在右支上，所以又得 所以又所以 例6．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线右支上一点，P到右准线的距离为d，若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。 解：由题意得因为，所以，从而 ，。又因为P在右支上，所以。 。 。 四、利用判断式确定不等关系 例7．例1的解法一：解：由椭圆定义知 求离心率的取值范围策略 圆锥曲线共同的性质：圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线L（F不在定直线L上）的距离之比是一个常数e。椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率。求椭圆与双曲线离心率的范围是圆锥曲线这一章的重点题型。下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围。 一、利用曲线的范围，建立不等关系 例1．设椭圆的左右焦点分别为、，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。 解：设因为，所以 将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得 例2．双曲线在右支上存在与右焦点、左准线长等距离的点，求离心率e的取值范围。解：设在双曲线右支上，它到右焦点的距离等于它到左准线的距离，即= 二、利用曲线的几何性质数形结合，构造不等关系 例3．直线L过双曲线的右焦点，斜率k=2。若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。解：如图1，若，则L与双曲线只有一个交点；若， 则L与双曲线的两交点均在右支上， 例4. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。若△ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。 解：如图2，因为△ABF2是等腰三角形，所以只要∠AF2B是锐 角即可，即∠AF2F1<45°。则 三、利用定义及圆锥曲线共同的性质，寻求不等关系 例5．已知双曲线的左右焦点分别为、，点P在双曲线的右支上，且，求此双曲线的离心率e的取值范围。 解：因为P在右支上，所以又得 所以又所以 例6．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线右支上一点，P到右准线的距离为d，若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。 椭圆离心率的值及取值范围 【题1】 如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为（ ） A ． B. C. 2 D. 12 B 解析：∵ a =2b , ,2 c c e a ∴= == =故选B . 【题2】 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→ ·MF 2→ ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆 离心率的取值范围是 ( ) A ．(0,1) B.????0，1 2 C.? ?? ?0， 22 D.??? ? 22，1 C 【题3】 椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为 ( )． 答案 A ( )． 答案 B 【题5】 如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心 率为( )． A.15 B.25 C.55 D.25 5 解析 由条件知，F 1(－2，0)，B (0，1)，∴b ＝1，c ＝2， ∴a ＝22＋12＝5， ∴e ＝c a ＝25＝255. 答案 D 则 |BF ′|＝|AF |＝6，所以2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14，a ＝7. 因此椭圆的离心率e ＝c a ＝5 7. 答案：B 【题7】 设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点， △F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为 ( ) A.12 B.23 C.34 D.45 解析：由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，所以2???? 32a －c ＝2c ，所以3a ＝4c ，所以e ＝34. 答案：C 【题8】 已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2 n ＝1的离心率 为( ) A.12 B.33 C.22 D.32 解析：由已知得????? 2n ＝m ＋m ＋n ，n 2＝m 2n ，解得 ????? m ＝2， n ＝4， 所以e ＝n －m n ＝2 2，故选C. 答案：C 【题9】 椭圆x 216＋y 2 8＝1的离心率为( ) A.13 B.12 C.33 D.22 D 【解析】 由题意a ＝4，c 2＝8，∴c ＝22，所以离心率为e ＝c a ＝224＝22. 【题11】 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离 心率是( ) A.4 5 B ．35 C.25 D ．15 【解析】 由题意知，2a ＋2c ＝2×2b ，即a ＋c ＝2b . ∴a 2＋2ac ＋c 2＝4b 2，又∵b 2＝a 2－c 2，高考数学专题——离心率的值或范围问题
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