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新定义集合问题的破题利器

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新定义集合问题

考纲要求:

了解创新型问题的基本解法,读懂创新型问题的基本背景.

基础知识回顾:

新定义问题无基础知识.

应用举例:

【2013高考广东(理)】设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合

(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立,

若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )

A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ?

B .(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈

C .(),,y z w S ?,(),,x y w S ∈

D .(),,y z w S ?,(),,x y w S ∈

【2011高考广东(理)】设S 是整数集Z 的非空子集,如果,,a b S ?∈有ab S ∈,则称S 关于数 的乘法是封闭的.若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集,,T U Z ?=且,,,a b c T ?∈有

;,,,abc T x y z V ∈?∈有xyz V ∈,则下列结论恒成立的是( )

A .,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的

B .,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的

C .,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的

D .,T V 中每一个关于乘法都是封闭的

变式训练:

【变式1】已知集合A ={1,2,3,4,5},B ={(x ,y)|x ∈A ,y ∈A ,x -y ∈A},则B 中所含元素的个数为( ).

A .3

B .6

C .8

D .10

【变式2】设非空集合{}S x m x n =≤≤满足:当x S ∈时,有2x S ∈,给出如下三个命题:

①若1,m =则{}1S =;②若1,2

m =-则114n ≤≤;③若1,2n =则02m -≤≤. 其中正确的命题的个数为( )

A.①

B.①②

C.②③

D.①②③

方法、规律归纳:

新定义题型是近几年高考命题中经常出现的一种命题方式,考查考生阅读、迁移能力和继续学习的潜能.当题目的条件中提供一种信息,需要解题者很好地把握这种信息,并恰当地译成常见数学模型,然后按通常数学模型的求解方法去解决.这种信息常常用定义的方式给出,有时规定一种运算,有时把一些未学过的知识内容拿来用定义方式给出.因此,解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质,紧扣新定义进行推理论证,把其转化为我们熟知的基本运算.

实战演练:

1、定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为( )

A.0 B.2 C.3 D.6

【答案】D;

【解析】根据题中定义的集合运算知A*B={0,2,4},故应选择D.

2、定义差集A-B={x|x∈A且x?B},现有三个集合A、B、C分别用圆表示,则集合C-(A-B)可用阴影表示为( )

3、在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],

即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论:

①2011∈[1]; ②-3∈[3];

③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];

④“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”.

其中,正确结论的个数是( )

A .1

B .2

C .3

D .4

【答案】C ;

4、已知集合{(,)|()}M x y y f x ==,若对于任意11(,)x y M ∈,存在22(,)x y M ∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“好集合”.给出下列4个集合: ①1{(,)|}M x y y x == ②{(,)|e 2}x

M x y y ==-

③{(,)|cos }M x y y x == ④{(,)|ln }M x y y x ==

其中所有“好集合”的序号是( )

A .①②④

B .②③

C .③④

D .①③④

5、设P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a 、b ∈R ,都有a +b 、a -b, ab 、a b

∈P(除数b≠0),则称P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域;数集F ={a +b 2|a ,b ∈Q}也是数域.有下列命题: ①整数集是数域;②若有理数集Q ?M ,则数集M 必为数域;

③数域必为无限集;④存在无穷多个数域.

其中正确的命题的序号是________.(把你认为正确的命题的序号填填上)

专题2 集合中的新定义问题-高一数学必修一专题复习训练含答案

专题2 集合中的新定义问题-高一数学必修一专题复习训练含答案 一、选择题 1.设A B ,是两个非空集合,定义集合{|}A B x x A x B -=∈?且,若={|05}A x N x ∈≤≤, 2{|7100}B x x x =-+<,则A B -= ( ) A . {}01, B . {}12, C . {}012,, D . {}0125,,, 【答案】D 【解析】由题意可得: {}0,1,2,3,4,5,{|25}A B x x ==<< , 结合题中新定义的集合运算可得: A B - {}0125,,,. 本题选择D 选项. 2.设A 是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k -1?A 且k +1?A ,那么k 是A 的一个“孤立元”,给定A ={1,2,3,4,5},则A 的所有子集中,只有一个“孤立元”的集合共有( ) A . 10个 B . 11个 C . 12个 D . 13个 【答案】D 【解析】 3.设、为非空集合,定义集合为如图非阴影部分的集合,若| , ,则( ) A . B . C . D .

【答案】D 【解析】 4.定义集合运算:,,.设集合,,则集合的所 有元素的平均数为( ) A . 14 B . 15 C . 16 D . 17 【答案】A 【解析】当x =0时,z =0;当x =3,y =1时,z =12;当x =3,y =2时,z =30.所以 ,集合中所有元素是平均数为 本题选择A 选项. 5.定义集合运算: (){} |,, A B z z xy x y x A y B ⊕==+∈∈,设集合{}0,1A =, {}2,3B =,则集合A B ⊕的所有元素之和为( ) A . 0 B . 6 C . 12 D . 18 【答案】D 【解析】01231340+6+12=18z =????∴或或 ,选D . 6.在集合上定义两种运算和如下:

集合中的定义新运算(人教A版)(含答案)

集合中的定义新运算(人教A版) 一、单选题(共10道,每道10分) 1.设集合,,如果把b-a叫做集合 的“长度”,那么集合的“长度”是( ) A. B. C. D. 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:新定义集合 2.若集合S满足对任意的,有,则称集合S为“闭集”,下列集合不是“闭集”的是( ) A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.实数集 答案:A 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:新定义集合 3.设和是两个集合,定义集合,如果 ,,那么( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:新定义集合 4.对于集合A,B,规定,则( ) A. B. C. D. 答案:A 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:新定义集合 5.定义,设集合,,则集合的所有元素之和为( ) A.3 B.0 C.6 D.-2 答案:B 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:新定义集合 6.设集合,集合,定义 ,则的元素个数为( ) A.4 B.7 C.10 D.12 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:新定义集合 7.设集合,在上定义运算为:,其中, .那么满足条件的有序数对 共有( )个. A.12 B.8 C.6 D.4 答案:A 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:新定义集合 8.设是整数集的一个非空子集,对于,如果且,那么是的一个“孤立元”,给定,则A的所有子集中,“孤立元”仅有1个的集合共有( )个. A.10 B.11 C.12 D.13 答案:D 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:新定义集合 9.集合A的n元子集是指A的含有n个元素的子集.已知集合中所有二元子集中两个元素的和的集合为,则集合的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路:

新定义集合问题的破题利器

新定义集合问题 考纲要求: 了解创新型问题的基本解法,读懂创新型问题的基本背景. 基础知识回顾: 新定义问题无基础知识. 应用举例: 【2013高考广东(理)】设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合 (){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立, 若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( ) A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ? B .(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈ C .(),,y z w S ?,(),,x y w S ∈ D .(),,y z w S ?,(),,x y w S ∈

【2011高考广东(理)】设S 是整数集Z 的非空子集,如果,,a b S ?∈有ab S ∈,则称S 关于数 的乘法是封闭的.若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集,,T U Z ?=且,,,a b c T ?∈有 ;,,,abc T x y z V ∈?∈有xyz V ∈,则下列结论恒成立的是( ) A .,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B .,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C .,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D .,T V 中每一个关于乘法都是封闭的 变式训练: 【变式1】已知集合A ={1,2,3,4,5},B ={(x ,y)|x ∈A ,y ∈A ,x -y ∈A},则B 中所含元素的个数为( ).

A .3 B .6 C .8 D .10 【变式2】设非空集合{}S x m x n =≤≤满足:当x S ∈时,有2x S ∈,给出如下三个命题: ①若1,m =则{}1S =;②若1,2 m =-则114n ≤≤;③若1,2n =则02m -≤≤. 其中正确的命题的个数为( ) A.① B.①② C.②③ D.①②③ 方法、规律归纳: 新定义题型是近几年高考命题中经常出现的一种命题方式,考查考生阅读、迁移能力和继续学习的潜能.当题目的条件中提供一种信息,需要解题者很好地把握这种信息,并恰当地译成常见数学模型,然后按通常数学模型的求解方法去解决.这种信息常常用定义的方式给出,有时规定一种运算,有时把一些未学过的知识内容拿来用定义方式给出.因此,解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质,紧扣新定义进行推理论证,把其转化为我们熟知的基本运算.

专题一-集合中的新定义问题

专题一 集合中的新定义问题 一、常规题型 例1 、元素的互异性 (1)已知A ={a +2,(a +1)2,a 2+3a +3}且1∈A ,求实数a 的值; (2)已知M ={2,a ,b },N ={2a ,2,b 2}且M =N ,求a ,b 的值. 例2 、有限集用韦恩图 设集合, (1) 若,求实数的值;(2)若,求实数的取值范围. 例3 、集合,,且,求实数的值. 例4 、全集U={x|x<10,x ∈N +},A ?U ,B ?U ,且(C U B )∩A={1,9},A ∩B={3}, (C U A)∩(C U B)={4,6,7},求A 、B. 例5、无限集用数轴 集合A ={x ||x -3|<a ,a >0},B={x |x 2-3x +2<0},且B ?A ,则实数a 的取值范围是 . {}0232=+-=x x x A {}0)5()1(222=-+++=a x a x x B {}2=B A I a A B A =Y a {|10}A x ax =-={} 2|320B x x x =-+=A B B =U a

二、新运算问题 例1、定义集合A 与B 的运算:{|A B x x A =∈e 或,}x B x A B ∈??,已知集合{}{}1,2,3,4,3,4,5,6,7A B ==,则()A B B =e e ( ) {}.1,2,3,4,5,6,7A {}.1,2,3,4B {}.1,2C {}.3,4,5,6,7D 例2、设,M P 是两个非空集合,定义M 与P 的差集为{}|,M P x x M x P -=∈?,则()M M P --等于( ) .A P .B M P ? .C M P ? .D M 三、元素或集合的个数问题 例3、设{}{}3,4,5,4,5,6,7P Q ==,定义P ※{}(,)|,Q a b a P b Q =∈∈,则P ※Q 中元素的个数为( ) .3A .4B .7C .12D 例4、设,M P 是两个非空集合,定义M 与P 的差集为{}|,M P x x M x P -=∈?.已知{}{}1,3,5,7,2,3,5A B ==,则集合A B -的子集个数为( ) .1A .2B .3C .4D 四、元素的和问题 例5、定义集合,A B 的一种运算:{}1212|,,A B x x x x x A x B *==+∈∈,若 {}{}1,2,3,1,2A B ==,则A B *中的所有元素之和为( ) .9A .14B .18C .21D 五、集合的分拆问题 例6、若集合12,A A 满足12A A A ?=,则称12(,)A A 为集合A 的一个分拆,并规定:当且仅当12A A =时,12(,)A A 与21(,)A A 为集合A 的同一种分拆,则集合{}123,,A a a a =的不同分拆种数是 ( ) .27A .26B .9C .8D 六、集合长度问题 例7、设数集31{|},{|}43M x m x m N x n x n =≤≤+=-≤≤,且,M N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集,如果把b a -叫做集合{}|x a x b ≤≤的“长度”,那么集M N ?的长度的最小值是 . 例8、设非空集合满足:当时,有,给出如下三个命题: ①若则;②若则;③若则. {} S x m x n =≤≤x S ∈2x S ∈1,m ={}1S =1,2m =-114n ≤≤1,2 n =02m -≤≤

一道典型的集合新定义问题解析

一道典型的集合新定义问题解析 对于非空实数集A ,记{} *,A y x A y x =∈≥任意的对。设非空实数集合M P ,满足M P ?,且若1x >,则x P ?。现给出以下命题: ①对于任意给定符合题设条件的集合M P ,,必有** P M ?; ②对于任意给定符合题设条件的集合M P ,,必有* M P ≠?I ; ③对于任意给定符合题设条件的集合M P ,,必有* M P =?I ; ④对于任意给定符合题设条件的集合M P ,,必存在常数a ,使得对于任意的* b M ∈, 恒有* a b P +∈。 其中正确命题的序号为 。 解析:因为对于任意的x A ∈,y x ≥,说明y x ≥的最大值。 所以集合* A 是由所有大于或等于集合A 中最大元素的一切实数组成。 依题设,M P ?,若1x >,则x P ?,可得集合P 是由小于或等于1的实数组成的集合, 集合M 是集合P 的子集。 下面分别讨论: ①对于任意给定符合题设条件的集合M P ,,必有** P M ?; 因为P 中的最大元素大于或等于M 中的最大元素,所以** P M ?,①对。 ②对于任意给定符合题设条件的集合M P ,,必有* M P ≠?I ; 因为M 中的最大元素小于或等于P 中的最大元素,所以* M P ≠?I ,②对。 ③对于任意给定符合题设条件的集合M P ,,必有* M P =?I ; 因为若M 中的最大元素等于P 中的最大元素,则可得* M P ≠?I ,所以③错。 ④对于任意给定符合题设条件的集合M P ,,必存在常数a ,使得对于任意的* b M ∈, 恒有* a b P +∈。 因为** P M ?,所以必存在常数a ,使得对于任意的*b M ∈,恒有* a b P +∈。④对。 例如,取[1,2],[1,3]M P ==,则* * [2,),[3,)M P =+∞=+∞,存在常数1满足题意。

集合中的定义新运算测试题(含答案)

集合中的定义新运算 一、单选题(共10道,每道10分) 1.设集合,,如果把b-a叫做集合 的“长度”,那么集合的“长度”是( ) A. B. C. D. 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:新定义集合 2.若集合S满足对任意的,有,则称集合S为“闭集”,下列集合不是“闭集”的是( ) A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.实数集 答案:A 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:新定义集合 3.设和是两个集合,定义集合,如果, ,那么( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:新定义集合 4.对于集合A,B,规定,则( ) A. B. C. D. 答案:A 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:新定义集合 5.定义,设集合,,则集合的所有元素之和为( ) A.3 B.0 C.6 D.-2 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:新定义集合 6.设集合,集合,定义

,则的元素个数为( ) A.4 B.7 C.10 D.12 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:新定义集合 7.设集合,在上定义运算为:,其中, .那么满足条件的有序数对 共有( )个. A.12 B.8 C.6 D.4 答案:A 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:新定义集合 8.设是整数集的一个非空子集,对于,如果且,那么是的一个“孤立元”,给定,则A的所有子集中,“孤立元”仅有1个的集合共有( )个. A.10 B.11 C.12 D.13 答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:新定义集合 9.集合A的n元子集是指A的含有n个元素的子集.已知集合中所有二元子集中两个元素的和的集合为,则集合的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( ) A. B. C. D.

集合中参数问题的解答方法(部分答案)

集合中参数问题的解答方法 集合中的参数问题主要包括:①集合与集合关系中的参数问题;②集合运算过程中的参数问题;每类问题又涉及到求参数的值和求参数的取值范围两种情况。那么在实际解答这类问题时,到底应该怎样展开思路,寻求解答方法呢?下面通过对典型例题的解析来回答这个问题。 【典例1】解答下列问题: 1、含有三个元素的集合可以表示为{a, b a ,1},也可以表示为{2a ,a+b,0}. 求:20092010a b +的值。 2、设A={x|2x -3x+2=0},B={x|x+2>a },如果A ? B,求实数a 的取值范围; 3、已知集合A={x|0<ax+1≤5},B={x|- 12 <x ≤2}. ①若A ? B, 求实数a 的取值范围; ②若B ? A, 求实数a 的取值范围; ③A 、B 能否相等?若能求出实数a 的值;若不能说明理由。 4、已知集合A={x|a 2x -3x+2=0,a ∈R }. ①若A 是空集,求实数a 的取值范围; ②若A 中只有一个元素,求a 的值,并把这个元素求出来; ③若A 中至多有一个元素,求实数a 的取值 【解析】 1、【知识点】①集合相等的定义与性质;②集合元素的定义与特性;③参数值的求法;④代数式的值的意义与求法; 【解答思路】根据集合相等的定义与性质,结合结合元素的特性求出参数a ,b 的值,再把求得的值代入代数式通过计算得出结果; 【详细解答】Q {a,b a ,1}={2a ,a+b,0},0∈{a,b a ,1},a ≠0,∴b a =0,?b=0,2a =1, ?a=±1,Q a ≠1,∴a=-1,∴20092010a b +=2009(1)-+20100=-1+0=-1。 2、【知识点】①集合的表示方法;②一元二次方程的定义与解法;③一元一次不等式的定义与解法;④数轴的定义与运用;⑤子集的定义与性质; 【解答思路】根据一元二次方程的定义与解法把集合A 用列举法表示出来,由一元一次不等式的定义与解法把集合B 用描述法表示出来,运用A B 结合数轴得到关于a 的不等式,求解不等式就可得出结果; 【详细解答】如图,Q A ?B ,∴a-2≤1,?a ≤3 0 1 2 ∴当A ?B ,实数a 的取值范围是(-∞,3]。 3、【知识点】①集合的表示法;②一元一次不等式的定义与解法;③参数分类讨论的原则与方法;④子集的定义与性质; 【解答思路】根据一元一次不等式的定义与解法把集合A 用描述法表示出来,由A ?B 得

抽象集合与新定义集合归类

新定义集合与抽象集合归类 所谓“新定义集合”,就是在现有的运算法则和运算规律的基础上,定义一种新的运算。“抽象集合”只给出集合元素满足的性质,探讨集合中的元素属性,要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力。由于此类题目编制角度新颖,突出能力立意,突出学生数学素质的考查,特别能够考查学生“现场做题”的能力,并且在近几年高考模拟试题和高考试题中出现频繁出现,甚至将大学集合论中的有关概念移植到考题中,例如08年福建:数域的判断,06年四川:融洽集判断。下面选取几例进行分类归纳,解题时应时刻牢记集合元素的三要素:确定性,互异性,无序性。 一、新运算问题 例1 定义集合A 与B 的运算:A ⊙B ={x |x ∈A ,或x ∈B ,且x ?A ∩B },已知集合A ={1,2,3,4},B ={3,4,5,6,7},则(A ⊙B )⊙B 为( ) (A) {1,2,3,4,5,6,7} (B) {1,2,3,4} (C) {1,2} (D) {3,4,5,6,7} 解法一 利用韦恩图,知(A ⊙B )⊙B 为阴影所示部分,即为{1,2,3,4},而选(B). 解法二 直接由新运算分步计算,由新定义,得A ⊙B ={1,2,5,6,7},则 (A ⊙B )⊙B ={1,2,5,6,7}⊙{3,4,5,6,7}={1,2,3,4},而选(B). 例2 设M ,P 是两个非空集合,定义M 与P 的差集为M -P ={x |x ∈M 且x ?P },则M -(M -P )等于( ) (A) P (B) M ∩P (C) M ∪P (D) M 分析 这是集合新定义题,“M -P ”是学生在中学不曾学过的一种集合运算,应紧扣集合中元素的属性来解题. 解 当M ∩P ≠?时,由韦恩图知,M -P 为图形中的阴影部分,则M -(M -P )显然为M ∩P . 当M ∩P =?时,M -P =M ,则M -(M -P )=M -M ={x |x ∈M 且x M }=?. 综上,应选(B).

(完整版)集合问题中常见易错点归类分析答案与解析

集合问题中常见易错点归类分析 有关集合问题,涉及范围广,内容多,难度大,题目灵活多变.初学时,由于未能真正理解集合的意义,性质,表示法或考虑问题不全,而造成错解.本文就常见易错点归纳如下: 1.代表元素意义不清致误 例1 设集合A ={(x , y )∣x +2 y =5},B ={(x , y )∣x -2 y =-3},求A I B . 错解: 由???-=-=+3252y x y x 得???==2 1y x 从而A I B ={1,2}. 分析 上述解法混淆了点集与数集的区别,集合A 、B 中元素为点集, 所以A I B ={(1,2)} 例2 设集合A ={y ∣y =2x +1,x ∈R },B ={x ∣y =x +2},求A∩B. 错解: 显然A={y ∣y≥1}B={x ∣y≥2}.所以A ∩B=B . 分析 错因在于对集合中的代表元素不理解,集合A 中的代表元素是y ,从而A ={y∣y≥1},但集合B 中的元素为x , 所以B ={ x ∣x ≥0},故A ∩B=A . 变式:已知集合}1|{2+==x y y A ,集合}|{2y x y B ==,求B A I 解:}1|{}1|{2≥=+==y y x y y A ,R y x y B ===}|{2 }1|{≥=y y B A I 例3 设集合}06{2=--=x x A ,}06|{2 =--=x x x B ,判断A 与B 的关系。 错解:}32{,-==B A 分析:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。元素的属性可以是方程,可以是数,也可以是点,还可以是集合等等。集合A 中的元素属性是方程,集合B 中的元素属性是数,故A 与B 不具包含关系。 例4设B ={1,2},A ={x |x ?B },则A 与B 的关系是( ) A .A ? B B .B ?A C .A ∈B D .B ∈A 错解:B 分析:选D.∵B 的子集为{1},{2},{1,2},?, ∴A ={x|x ?B}={{1},{2},{1,2},?},从集合与集合的角度来看待A 与B ,集合A 的元素属性是集合,集合B 的元素属性是数,两者不具包含关系,故应从元素与集合的角度来看待B 与A,∴B ∈A. 评注:集合中的代表元素,反映了集合中的元素所具有的本质属性,解题时应认真领会,以防出错. 2 忽视集合中元素的互异性致错 例5 已知集合A={1,3,a },B={1,2a -a +1}, 且A ?B ,求a 的值. 错解:经过分析知,若2a -,31=+a 则2a ,02=--a 即1-=a 或2=a .若2a ,1a a =+-则2a ,012=+-a 即1=a .从而a =-1,1,2.

集合中的新定义题完美版

培优专题1新定义集合与抽象集合归类 所谓“新定义集合”,就是在现有的运算法则和运算规律的基础上,定义一种新的运算。“抽象集合”只给出集合元素满足的性质,探讨集合中的元素属性,要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力。由于此类题目编制角度新颖,突出能力立意,突出学生数学素质的考查,特别能够考查学生“现场做题”的能力,并且在近几年高考模拟试题和高考试题中出现频繁出现,甚至将大学集合论中的有关概念移植到考题中,例如2008年福建:数域的判断,2006年四川:融洽集判断。下面选取几例进行分类归纳,解题时应时刻牢记集合元素的三要素:确定性,互异性,无序性。 【题型1】新运算问题 【例1】定义集合A 与B 的运算:{|A B x x A =∈或,}x B x A B ∈??,已知集合 {}{}1,2,3,4,3,4,5,6,7A B ==,则()A B B =( ) {}.1,2,3,4,5,6,7A {}.1,2,3,4B {}.1,2C {}.3,4,5,6,7D 【例2】设,M P 是两个非空集合,定义M 与P 的差集为{}|,M P x x M x P -=∈?,则()M M P --等于( ) .A P .B M P ? .C M P ? .D M 【题型2】元素或集合的个数问题 【例3】设{}{}3,4,5,4,5,6,7P Q ==,定义P ※{}(,)|,Q a b a P b Q =∈∈,则P ※Q 中元素的个数为 ( ) .3A .4B .7C .12D 【例4】设,M P 是两个非空集合,定义M 与P 的差集为{}|,M P x x M x P -=∈?。已知{}{}1,3,5,7,2,3,5A B ==,则集合A B -的子集个数为( ) .1A .2B .3C .4D 【题型3】元素的和问题 【例5】定义集合,A B 的一种运算:{}1212|,,A B x x x x x A x B *==+∈∈,若{}{}1,2,3,1,2A B ==,则A B *中的所有元素之和为( ) .9A .14B .18C .21D 【例6】对集合{}1,2,3,,2001A =及每一个非空子集,定义一个唯一确定的“交替和”如下:按照递减的次序重新排列该子集,然后从最大的数开始,交替的减或加后继的数所得的结果。例如,集合{}1,2,4,7,10的“交替和”为1074216-+-+=,集合{}7,10的“交替和”为{}1073,5-=的“交替和”为5,等等,试求A 的所有子集的“交替和”的总和。 【题型4】集合的分拆问题 【例7】若集合12,A A 满足12A A A ?=,则称12(,)A A 为集合A 的一个分拆,并规定:当且仅当12A A =时,12(,)A A 与21(,)A A 为集合A 的同一种分拆,则集合{}123,,A a a a =的不同分拆种数是 ( )

专题一 集合中的新定义问题

专题一集合中得新定义问题 一、常规题型 例1 、元素得互异性 (1)已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3}且1∈A,求实数a得值; (2)已知M={2,a,b},N={2a,2,b2}且M=N,求a,b得值、 例2、有限集用韦恩图 设集合, (1)若,求实数得值;(2)若,求实数得取值范围、 例3 、集合,,且,求实数得值、 例4、全集U={x|x<10,x∈N},AU,BU,且(CB)∩A={1,9},A∩B={3}, (CA)∩(CB)={4,6,7},求A、B、 例5、无限集用数轴 集合A={x||x-3|<a,a>0},B={x|x2-3x+2<0},且BA,则实数a得取值范围就是、二、新运算问题 例1、定义集合与得运算:或,已知集合,则( ) 例2、设就是两个非空集合,定义与得差集为,则等于( ) 三、元素或集合得个数问题 例3、设,定义※,则※中元素得个数为( ) 例4、设就是两个非空集合,定义与得差集为、已知,则集合得子集个数为( ) 四、元素得与问题 例5、定义集合得一种运算:,若,则中得所有元素之与为( ) 五、集合得分拆问题 例6、若集合满足,则称为集合得一个分拆,并规定:当且仅当时,与为集合得同一种分拆,则 集合得不同分拆种数就是 () 六、集合长度问题 例7、设数集,且都就是集合得子集,如果把叫做集合得“长度”,那么集得长度得最小值就 是、 例8、设非空集合满足:当时,有,给出如下三个命题: ①若则;②若则;③若则. 其中正确得命题得个数为( ) ?A、①B、①② C、②③ D、①②③ 七、理想配集问题 例9、设与就是得子集,若,则称为一个“理想配集”,那么符合此条件得“理想配集”得个 数就是(规定与就是两个不同得“理想配集”)( ) 【练习】

集合问题中常见易错点归类分析答案解析

集合问题中常见易错点归类分析 有关集合问题,涉及范围广,内容多,难度大,题目灵活多变.初学时,由于未能真正理解集合的意义,性质,表示法或考虑问题不全,而造成错解.本文就常见易错点归纳如下: 1.代表元素意义不清致误 例1 设集合A ={(x ,y )∣x +2y =5},B ={(x ,y )∣x -2y =-3},求A I B . 错解: 由???-=-=+3252y x y x 得???==2 1y x 从而A I B ={1,2}. 分析 上述解法混淆了点集与数集的区别,集合A 、B 中元素为点集, 所以A I B ={(1,2)} 例2 设集合A ={y ∣y =2x +1,x ∈R },B ={x ∣y =x +2},求A∩B. 错解: 显然A={y ∣y≥1}B={x ∣y≥2}.所以A ∩B=B . 分析 错因在于对集合中的代表元素不理解,集合A 中的代表元素是y ,从而A ={y∣y≥1},但集合B 中的元素为x , 所以B ={x ∣x ≥0},故A ∩B=A . 变式:已知集合}1|{2+==x y y A ,集合}|{2 y x y B ==,求B A I 解:}1|{}1|{2≥=+==y y x y y A ,R y x y B ===}|{2 }1|{≥=y y B A I 例3 设集合}06{2=--=x x A ,}06|{2=--=x x x B ,判断A 与B 的关系。 错解:}32{,-==B A 分析:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。元素的属性可以是方程,可以是数,也可以是点,还可以是集合等等。集合A 中的元素属性是方程,集合B 中的元素属性是数,故A 与B 不具包含关系。 例4设B ={1,2},A ={x |x ?B },则A 与B 的关系是( ) A .A ? B B .B ?A C .A ∈B D .B ∈A 错解:B 分析:选D.∵B 的子集为{1},{2},{1,2},?, ∴A ={x|x ?B}={{1},{2},{1,2},?},从集合与集合的角度来看待A 与B ,集合A 的元素属性是集合,集合B 的元素属性是数,两者不具包含关系,故应从元素与集合的角度来看待B 与A,∴B ∈A. 评注:集合中的代表元素,反映了集合中的元素所具有的本质属性,解题时应认真领会,以防出错. 2 忽视集合中元素的互异性致错 例5 已知集合A={1,3,a },B={1,2a -a +1}, 且A ?B ,求a 的值. 错解:经过分析知,若2a -,31=+a 则2a ,02=--a 即1-=a 或2=a .若2a ,1a a =+-则2a ,012=+-a 即1=a .从而a =-1,1,2.

专题一 集合中的新定义问题

专题一集合中的新定义问题 一、常规题型 例1 、元素的互异性 (1)已知A ={a +2,(a +1)2,a 2+3a +3}且1∈A ,求实数a 的值; (2)已知M ={2,a ,b },N ={2a ,2,b 2}且M =N ,求a ,b 的值. 例2 、有限集用韦恩图 设集合, (1) 若,求实数的值;(2)若,求实数的取值范围. 例3 、集合,,且,求实数的值. 例4 、全集U={x|x<10,x ∈N +},A ?U ,B ?U ,且(C U B )∩A={1,9},A ∩B={3}, (C U A)∩(C U B)={4,6,7},求A 、B. 例5、无限集用数轴 集合A ={x ||x -3|<a ,a >0},B={x |x 2-3x +2<0},且B ?A ,则实数a 的取值范围是. {}0232=+-=x x x A {}0)5()1(222=-+++=a x a x x B {}2=B A a A B A = a {|10}A x ax =-={} 2|320B x x x =-+=A B B = a

二、新运算问题 例1、定义集合A 与B 的运算:{|A B x x A =∈ 或,}x B x A B ∈??,已知集合 {}{}1,2,3,4,3,4,5,6,7A B ==,则()A B B = ( ) {}.1,2,3,4,5,6,7A {}.1,2,3,4B {}.1,2C {}.3,4,5,6,7D 例2、设,M P 是两个非空集合,定义M 与P 的差集为{}|,M P x x M x P -=∈?,则()M M P --等于( ) .A P .B M P ?.C M P ?.D M 三、元素或集合的个数问题 例3、设{}{}3,4,5,4,5,6,7P Q ==,定义P ※{}(,)|,Q a b a P b Q =∈∈,则P ※Q 中元素的个数为( ) .3A .4B .7C .12D 例4、设,M P 是两个非空集合,定义M 与P 的差集为{}|,M P x x M x P -=∈?.已知{}{}1,3,5,7,2,3,5A B ==,则集合A B -的子集个数为( ) .1A .2B .3C .4D 四、元素的和问题 例5、定义集合,A B 的一种运算:{}1212|,,A B x x x x x A x B *==+∈∈,若 {}{}1,2,3,1,2A B ==,则A B *中的所有元素之和为( ) .9A .14B .18C .21D 五、集合的分拆问题 例6、若集合12,A A 满足12A A A ?=,则称12(,)A A 为集合A 的一个分拆,并规定:当且仅当12A A =时,12(,)A A 与21(,)A A 为集合A 的同一种分拆,则集合{}123,,A a a a =的不同分拆种数是 ( ) .27A .26B .9C .8D 六、集合长度问题 例7、设数集31{|},{|}43M x m x m N x n x n =≤≤+=-≤≤,且,M N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集,如果把b a -叫做集合{}|x a x b ≤≤的“长度”,那么集M N ?的长度的最小值是. 例8、设非空集合满足:当时,有,给出如下三个命题: ①若则;②若则;③若则. 其中正确的命题的个数为( ) {} S x m x n =≤≤x S ∈2x S ∈1,m ={}1S =1,2m =- 114n ≤≤1,2n =02 m ≤≤

《新定义集合问题》专题训练

《新定义集合问题》专题训练 一.选择题 1.设P 和Q 是两个集合,定义集合{} |P Q x x P x Q -=∈?,且,如果{}2|log 1P x x =<, {}|21Q x x =-<,那么P Q -等于( ) A .{}|01x x << B .{}|01x x <≤ C .{}|12x x ≤< D .{}|23x x ≤< 2.设全集为U 定义集合A 与B 的运算:{*|A B x x A B =∈?且}x A B ??,则(*)*A B A =( ) A .A B .B C .U A B D .U B A 3.定义集合运算:(){} |,,A B z z x x y x A y B ==-∈∈※,设集合 {}1,2A =,{}2,3B =,则集合 A B ※ 的所有元素个数为( ) A .2 B .3 C .4 D .5 4.设,A B 是两个非空集合,定义集合间的一种运算“ ”:{A B x x A B =∈?且}x A B ??.如果 {}11A x x =-≤≤,{}0B x x =>,则A B =( ) A .[)()1,01,-+∞ B .[]()1,01,-+∞ C .[]0,1 D .()1,+∞ 5.已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x ,定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ,则 *(*)B A B 等于( ) A .{|61}-

集合中的新定义(精华)

集合中的新定义 1、设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =L .令集合 (){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立, 若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( ) A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ? B .(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈ C .(),,y z w S ?,(),,x y w S ∈ D .(),,y z w S ?,(),,x y w S ∈ 2、设S 是整数集Z 的非空子集,如果,,a b S ?∈有ab S ∈,则称S 关于数 的乘法是封闭的.若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集,,T U Z ?=且,,,a b c T ?∈有 ;,,,abc T x y z V ∈?∈有xyz V ∈,则下列结论恒成立的是( ) A .,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B .,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C .,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D .,T V 中每一个关于乘法都是封闭的 3、已知集合A ={1,2,3,4,5},B ={(x ,y)|x ∈A ,y ∈A ,x -y ∈A},则B 中所含元素的个数为( ).A .3 B .6 C .8 D .10 4、设非空集合{}S x m x n =≤≤满足:当x S ∈时,有2x S ∈,给出如下三个命题: ①若1,m =则{}1S =;②若1,2m =-则114n ≤≤;③若1,2n =则0m ≤≤. 其中正确的命题的个数为( ) A.① B.①② C.②③ D.①②③ 5、在整数集Z 中,被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[k], 即[k]={5n +k|n ∈Z},k =0,1,2,3,4.给出如下四个结论: ①2011∈[1]; ②-3∈[3];③Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数a ,b 属于同一‘类’”的充要条件是“a -b ∈[0]”. 其中,正确结论的个数是( )A .1 B .2 C .3 D .4 6、已知集合{(,)|()}M x y y f x ==,若对于任意11(,)x y M ∈,存在22(,)x y M ∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“好集合”.给出下列4个集合: ①1 {(,)|}M x y y x == ②{(,)|e 2}x M x y y ==-

三集合容斥原理的新题型和解题技巧

三集合容斥原理的新题型和解题技巧 纵观历年真题,我们可以发现,对于容斥原理类的题目,近年来在国家公务员行测中每年必考,已成为国考题目中的“常青树”。随着考试难度的提升,两集合的容斥原理已慢慢淡出人们的视线,三集合容斥原理类题目的发展却如日中天并且出题形式趋于稳定。但2010和2011这两年的国考里又出现了一种新的三集合题目,这种题目的难度在容斥问题里面算是比较大的,也是最新的一种题型,这里我们重点来探讨一番。以2010年的题目为例我们具体说明一下。 (国家2010一类—74)某高校对一些学生进行问卷,在接收调查的学生中,准备参加注册会计师考试的有63人,准备参加英语六级考试的有89人,准备参加计算机考试的有47人,三种考试都准备参加的有24人,准备选择两种考试参加的有46人,不参加其中任何一种考试的有15人,问接受调查的学生共有多少人?() A.120 B.144 C.177 D.192 按照我们之前的解题思路,这个题目明显可以确定为三集合容斥问题,先把三集合容斥原理的公式摆上: 根据题目所给的条件令注会为A, 六级为B,计算机为C,设学生总数为x,代入上面公式为:x-15= 63+89+47- A∩B - B∩C - C∩A+24,有的考生认为A∩B + B∩C+ C∩A就是题目所给的参加两种考试的46人,这种想法是错误的,像这种情况下公式不管用了,我们就画一下图来看看,如右图所A∩B=a+24,B∩C=c+24,C∩A=b+24, A∩B + B∩C+ C∩A=a+b+c+72,这里a+b+c才是参加两种考试的人,也就是46,代入公式得x=120. 为什么很多考生在做这种题目的时候犯错误,主要是因为没有清楚地认识到集合中重叠部分所代表的含义,那么这里咱们再看另外一种思考方式,如下图所示。

第一章 微专题1 集合的新定义问题

微专题1 集合的新定义问题 集合新定义问题的类型: (1)新定义性质,(2)新定义运算. 解决集合新定义问题的着手点: (1)正确理解新定义:剥去新定义、新法则、新运算的外表,转化为我们熟悉的集合知识. (2)合理利用集合性质:运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键. (3)对于选择题,可结合选项,通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项,当不满足新定义的要求时,只需通过举反例来说明. 一、新定义集合的概念 例1 若X 是一个集合,τ是一个以X 的某些子集为元素的集合,且满足:①X 属于τ,空集?属于τ;②τ中任意多个元素的并集属于τ;③τ中任意多个元素的交集属于τ. 则称τ是集合X 上的一个拓扑.已知集合X ={a ,b ,c },对于下面给出的四个集合τ: ①τ={?,{a },{c },{a ,b ,c }}; ②τ={?,{b },{c },{b ,c },{a ,b ,c }}; ③τ={?,{a },{a ,b },{a ,c }}; ④τ={?,{a ,c },{b ,c },{c },{a ,b ,c }}. 其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是________. 答案 ②④ 解析 ①τ={?,{a },{c },{a ,b ,c }},因为{a }∪{c }={a ,c }?τ,故①不是集合X 上的一个拓扑; ②满足集合X 上的一个拓扑的集合τ的定义; ③因为{a ,b }∪{a ,c }={a ,b ,c }?τ,故③不是集合X 上的一个拓扑; ④满足集合X 上的一个拓扑的集合τ的定义,故答案为②④. 二、新定义集合的性质 例2 (1)若集合A 具有以下性质: ①0∈A,1∈A ; ②若x ∈A ,y ∈A ,则x -y ∈A ,且x ≠0时,1x ∈A . 则称集合A 是“好集”.给出下列说法:①集合B ={-1,0,1}是“好集”;②有理数集Q 是

高中数学新定义问题分类探究

专题:学习能力型问题 1学习能力型问题常见的有以下几种类型: (1)概念学习型;(2)公式学习型;(3)方法学习型. 2学习能力型问题的特点 (1)内容新 学习能力型习题中常常出现过去没有学习过的新的概念、定理、公式或方法,要求通过 自己学习以后,理解这些概念、定理、公式或方法,并且能运用它们解决有关的问题. (2)抽象性 这里新的概念、定理、公式或方法的叙述通常比较简略,比较抽象,没有解释性和说明 性的语言,需要自己去仔细揣摩、领会和理解.与平时在课堂里教师指导下学习新知识有很 大的区别,没有教师的讲解、举例和解说,没有许多感性的内容,比较抽象和概括,对独立 学习能力和抽象思维能力要求较高.因此解这类问题往往感到很困难. (3)学了就用 这里学习新知识的时间很短,要求通过阅读很快就能理解新的概念、定理、公式和方法, 并能立即运用它们解决有关的问题,不举例题,没有模仿的过程.因此对思维的敏捷性和独 创性要求较高. 3解学习能力型习题的步骤 (1)阅读理解 首先通过阅读理解题意,理解题目所包含的新的概念、定理、公式或方法的本质:这里 分为两步:1、字面理解:要求读懂其中每一个句子的含义.2、深层理解:要求深入理解新 的概念的本质属性,分清新的定理和条件和结论,理解新的方法的关键等。 (2)运用 在理解新的概念、定理、公式或方法的基础上,运用它们解决有关的问题。 4新定义运算问题 4.1定义数对运算 例 1 (1)对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ,规定:(,)(,)a b c d =,当且仅当 ,a c b d ==;运算“?”为:(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ?=-+;运算“⊕”为: (,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++,设,p q R ∈,若(1,2)(,)(5,0)p q ?=,则(1,2)(,)p q ⊕= A.(4,0) B. (2,0) C. (0,2) D. (0,4)- (2)( 10山东) 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下,对任意的a =(m , n ), b =(p , q ),令a ⊙b =mq – np ,下面说法错误的是( ) A.若a 与b 共线,则a ⊙b =0 B. a ⊙b = b ⊙a C.对任意的λ∈R ,有(λa )⊙b =λ(a ⊙b ) D. (a ⊙b )2+(a ·b )2=| a |2| b |2 4.2定义集合运算 例2 对于集合N M ,,定义N M -=}|{N x M x x ?∈且, )(N M N M -=⊕ );(M N -设},2)1(|{},,3|{2R x x y y B R x y y A x ∈+--==∈==,则=⊕B A _____. 4.3定义函数运算 例3 (1)定义运算:a ?b=,,,???<≥b a b b a a 已知函数),3(2)(x x f x -?=那么函数

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