小学工程问题归纳与经典练习题
解工程问题的方法
工程问题是研究工作量、工作效率和工作时间三者之间关系的问题。这三者之间的关系是：
工作效率×工作时间 =工作量
工作量÷工作时间 =工作效率
工作量÷工作效率 =工作时间
根据上面的数量关系，只要知道三者中的任意两种量，就可求出第三种量。
由于工作量的已知情况不同，工程问题可分为整数工程问题和分数工程问题
两类。在整数工程问题中，工作量是已知的具体数量。解答这类问题时，只要按
照上面介绍的数量关系计算就可解题，计算过程中一般不涉及分率。在分数工程问题中，工作量是未知数量。解这类题时，也要根据上面介绍的数量关系计算，
但在计算过程中要涉及到分率。
一、工作总量是具体数量的工程问题
例1 建筑工地需要 1200 吨水泥，用甲车队运需要 15 天，用乙车队运需要
10 天。两队合运需要多少天？（适于四年级程度）
解：这是一道整数工程问题，题中给出了总工作量是具体的数量1200 吨，还给出了甲、乙两队完成总工作量的具体时间。先根据“工作量÷工作时间 =工作
效率”，分别求出甲、乙两队的工作效率。再根据两队工作效率的和及总工作量，利用公式“工作量÷工作效率 =工作时间”，求出两队合运需用多少天。
甲车队每天运的吨数：（甲车队工作效率）
1200÷15=80 （吨）
乙车队每天运的吨数：（乙车队工作效率）
1200÷10=120 （吨）
两个车队一天共运的吨数：
80+120=200 （吨）
两个车队合运需用的天数：
1200÷200=6 （天）
综合算式：
1200÷（1200÷15+1200÷10）
=1200÷（80+120 ）
=1200÷200
=6 （天）
答略。
*例 2 生产 350 个零件，李师傅 14 小时可以完成。如果李师傅和他的徒弟小王合作，则 10 小时可以完成。如果小王单独做这批零件，需多少小时？（适于四年级程度）
解：题中工作总量是具体的数量，李师傅完成工作总量的时间也是具体的。
李师傅 1 小时可完成：
350÷14=25 （个）
由“如果李师傅和他的徒弟小王合作，则 10 小时可以完成”可知，李师傅和徒弟小王每小时完成：
350÷10=35 （个）
小王单独工作一小时可完成：
35-25=10 （个）
小王单独做这批零件需要：
350÷10=35 （小时）
综合算式：
350÷（350÷10-350 ÷14）
=350÷（ 35-25
=350÷10
=35 （小时）
答略。
*例 3 把生产 2191 打毛巾的任务，分配给甲、乙两组。甲组每小时生产毛
巾128 打，乙组每小时生产毛巾 160 打。乙组生产 2 小时后，甲组也开始生产。两组同时完工时超产 1 打。乙组生产了多长时间？（适于四年级程度）
解：两组共同生产的总任务是：
2191-160 ×2+1=1872 （打）
两组共同生产的时间是：
1872÷（160+128 ） =6.5（小时）
乙组生产的时间是：
6.5+2=8.5 （小时）
综合算式：
（2191-160×2+1）÷（ 160+128 ）
+2 =1872÷288+2 =6.5+2
=8.5 （小时）
答略。
练习题：
1、筑路队疾患修筑一条长 2400 米的公路，甲队单独做需要 20 天完成，乙队单独需要 30 天完成。如果两队同时开工共同修筑，只需几天就可以完成？
2、甲、乙两个工程队合修一条长 42 千米的水泥路，甲队每天修 0.5 千米，比乙队的 2 倍多 0.1 千米。
（1）乙队每天修多少千米？
（2）两队合修多少天可以修完？
3、红星服装厂计划生产 2800 套夏季学生服，已经生产了 5 天，每天生产 80 套，剩下的 20 天完成，平均每天要生产多少套？
4、王师傅加工一种零件，由原来的每个用 12 分钟降低到每个 8 分钟，原来每天加工 300 个，现在每天加工多少个？
5、用两台机器生产 108 个齿轮。第一台 4.5 小时能生产 18 个，第二台 1.6 小时能生产 8 个。两台机器一同生产一段时间以后，还剩 45 个。两台机器一同生产了多少小时？
综合算式：
答略。
二、工作总量不是具体数量的工程问题
工程问题方法总结
一：基本数量关系：
工效×时间 =工作总量
二：基本特点：
设工作总量为“1”，工效 =1/ 时间
三：基本方法：
算术方法、比例方法、方程方法。
四：基本思想：
分做合想、合做分想。
五：类型与方法：
一：分做合想:1. 合想 ,2. 假设法 ,3. 巧抓变化 ( 比例 ),4.假设法。
二：等量代换：方程组的解法→代入法，加减法。
三：按劳分配思路：每人每天工效→每人工作量→按比例分配
四：休息请假：
方法： 1. 分想：划分工作量。 2. 假设法：假设不休息。
五：休息与周期：
1.已知条件的顺序：①先工效，再周期，②先周期，再天数。
2.. 天数：①近似天数，②准确天数。
3.列表确定工作天数。
六：交替与周期：估算周期，注意顺序！
七：注水与周期： 1. 顺序， 2. 池中原来是否有水， 3. 注满或溢出。
八：工效变化。
九：比例： 1. 分比与连比， 2. 归一思想， 3. 正反比例的运用， 4. 假设法思
想(周期)。
十：牛吃草问题： 1. 新生草量， 2. 原有草量， 3. 解决问题。
工程问题
当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也就是知道了所需的时
间比。
因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更
灵活一些 .
两个人的问题
标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.
（一）两个人的问题
例1．1 一件工作，由 A 做 20 天完成， B 做 15 天完成。（ 1）两队合做 5 天
可以完成工程的几分之几？（ 2）两队合做 6 天，还剩下工程的几分之几？（ 3）两
队合做几天完成？
解：（1）(11
) 57 201512
（2）1 (1
1 )63 201510
（3）1 (1
1 )608
4
(天) 201577
答：（ 1）两队合做 5 天可以完成工程的7
。（ 2）两队合做 6 天，还剩下12
工程的3
。（ 3）两队合做8
4
天完成。107
【解析】
此题是工作效率问题。 A 用 20 天完成，总工程是“ 1 ”，所以甲队的工作
效率是 120
1 ，乙对的工作效率是 1 15 1 。
2015
问题（ 1）要求完成的工程量，用工作效率×工作时间；
问题（ 2）要求剩余工程量，可先求出已做的工程量，用总工程量“ 1”减去已做工程量；
问题（ 3）要求完成时间，用总工程量“ 1 ”÷总工效。
例 1.2 、一工作，甲做 9 天可以完成，乙做 6 天可以完成，现在甲、乙做了
3 天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？
解：（ 1） 1 (
1
1
) 3
1
9 6
6
（2） 1
1 1(天)
6
6
答：乙需要做 1 天可以完成全部工作。
【解析】
要解决此题， 就要清楚此工程的过程，此工程是甲和乙完成一件工作，先是甲和乙一起做，之后转由乙单独完成，求的是乙单独完成剩下的工作时间。
总工程是“ 1 ”，就可以知道：甲的工作效率是 1 9
1
，乙对的工作效率
1 。 9
是 1 6
6
求乙单独完成剩下的工作时间， 还需要知道乙的工作总量， 乙的工作总量 =1-甲乙一起 3 天做的工作量。
甲和乙 3 天的工作总量：工作效率×工作时间＝工作总量
(
1
1
) 3，
9 6
剩下：
1 1
1
1 (
6 ) 3
9 6
乙完成剩下的工作时间：利用工作总量÷工作效率＝工作时间
1
1 1( 天 )
6
6
练习一
1、 一项工程，甲队单独做 24 天完成，乙队单独做 16 天完成。甲、乙两队合做，多少天可以完成？（适于六年级程度）
解：把这项工程的工作总量看作
1。甲队单独做 24 天完成，做 1 天完成
答略。
2、一项工程，由甲工程队修建需要20 天，由乙工程队修建需要30解：把这项工程的工作总量看作1，由甲工程队修建需要20 天，知甲工
3、一项工程，甲、乙合做 5 天可以完成，甲单独做 15 天可以完成。乙单独
做多少天可以完成？（适于六年级程度）
解：把这项工程的工作量看作1。甲、乙合做 5 天可以完成，甲、乙合
需要多长的时间。
=7.5 （天）
答：乙单独做 7.5 天可以完成。
例 2.1 ：一件工作，甲做 9天可以完成，乙做 6天可以完成。现在甲先做了 3 天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？
解一：把这件工作看作 1，甲每天可完成这件工作的九分之一，做 3天完成的1/3。
乙每天可完成这件工作的六分之一，（1-1/3）÷1/6=4（天）
答：乙需要做 4天可完成全部工作 .
解二：9与 6的最小公倍数是 18.设全部工作量是 18份.甲每天完成 2份，乙每天完成 3份.乙完成余下工作所需时间是
（18- 2×3）÷3= 4（天）.
解三：甲与乙的工作效率之比是
6∶ 9= 2∶ 3.
甲做了 3天，相当于乙做了 2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天） .
练习二
1、一项工程，甲独做需 15 天，乙独做需 12 天，现在甲乙合作若干天后，乙再接着做 3 天，就完成了全部工程，问甲乙合作了多少天？
2、一项工程，甲队单独做需 20 天完成，如果甲乙合作 12 天可以完成，如果乙队
单独做，多少天可以完成？
●例 3.1 ：一件工作，甲、乙两人合作 30天可以完成，共同做了 6天后，甲离开了，由乙继续做了 40天才完成 .如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？
解：共做了 6天后，
原来，甲做24天，乙做24天，
现在，甲做 0天，乙做 40=（ 24+16）天 .
这说明原来甲 24天做的工作，可由乙做 16天来代替 .因此甲的工作效率
如果乙独做，所需时间是50天
如果甲独做，所需时间是75天
答：甲或乙独做所需时间分别是75天和 50天 .
练习三
1、甲乙两人合作生产一批零件， 6 天可以完成任务，甲先做 5 天，因有事外出，
1
这时只完成任务的4，如果接下来由乙完成，还需要多少天？
1
2、一批零件，先由 20 人生产了 10 天完成任务的4，余下的工程要提前 10 天完成，还要增加多少人？
3、甲乙二人合作一批零件需 20 天，甲比乙多做了这批零件的 1/9 ，甲单独做需多少天完成？
4、一项工程，甲乙两队需10 天完成，甲乙两队合作了几天，因乙队有事调离，由甲队又干了 8 天，又知甲队独做需 20 天完成，问甲、乙两队合干了多少天？
例4.1 ：一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成 .现在两队合作，其间甲队休息了 2天，乙队休息了 8天（不存在两队同一天休息） .问开始到完工共用了多少天时间？
解一：甲队单独做 8天，乙队单独做 2天，共完成工作量
余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是
2+8+ 1= 11（天） .
答：从开始到完工共用了11天.
解二：设全部工作量为 30份.甲每天完成 3份，乙每天完成 1份 .在甲队单独做8 天，乙队单独做 2天之后，还需两队合作
（30- 3×8- 1×2）÷（3+1）= 1（天）.
解三：甲队做 1天相当于乙队做 3天 .
在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量 .相当于乙队要做2×3=6（天） .乙队单独做 2天后，还余下（乙队） 6-2=4（天）工作量 .
4=3+1，
其中 3天可由甲队 1天完成，因此两队只需再合作 1天.
解四：
方法：分休合想（题中说甲乙两队没有在一起休息，我们就假设他们
在一起休息 .) 甲队每天工作量为 1/10，乙为 1/30，因为甲休息了 2天，而乙休息
了8天，因为8>2，所以我们假设甲休息两天时，乙也在休息。那么甲开始工作时，乙还要休息： 8-2=6(天）那么这 6天内甲独自完成了这项工程的 1/10 ×6=6/10，剩
下的工作量为 1-6/10=4/10，而这剩下的 4/10为甲乙两人一起合作完成的工程量，所以，工程量的 4/10 需要甲乙合作： (4/10) ÷(1/10+1/30)=3天。所以从开始到完工
共需： 8+3=11(天）
●例 4.2 ：一项工程，甲队单独做 20天完成，乙队单独做 30天完成 .现在他们两队一起做，其间甲队休息了 3天，乙队休息了若干天 .从开始到完成共用了 16天.问乙队休息了多少天？解一：如果 16天两队都不休息，可以完成的工作量是
（ 1÷20）×16+（ 1÷30）×16=4/3
由于两队休息期间未做的工作量是4/3-1=1/3
乙队休息期间未做的工作量是
1/3-1/20 3=11/60×
乙队休息的天数是11/60 ÷(1/30)=11/2
答：乙队休息了 5天半 .
解二：设全部工作量为 60份 .甲每天完成 3份，乙每天完成 2份.
两队休息期间未做的工作量是
（3+2）×16- 60= 20（份） .
因此乙休息天数是
（20- 3×3）÷2= 5.5（天）.
解三：甲队做 2天，相当于乙队做 3天.
甲队休息 3天，相当于乙队休息 4.5天 .
如果甲队 16天都不休息，只余下甲队 4天工作量，相当于乙队 6天工作量，乙休息天数是16-6-4.5=5.5（天） .
练习四
1、一件工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 30 天完成 . 现在两队合作，其间甲队休息了 2 天，乙队休息了 8 天（不存在两队同一天休息） . 问开始到完工共用了多少天时间？
2、加工一批零件，甲单独做20 天完成，乙单独做30 天完成，现在两人合作完成，中间甲休息了2.5 天，乙休息了若干天（两人没有同事休息一天），这样共用14 天完工，问乙休息了多少天？
3、一件工作，甲单独做需要 12 天完成，乙单独做需要 10 天完成，现在甲乙合作
8 天完成任务，已知这段时间甲休息了 2 天看，那么乙休息了多少天？
4、一项工程，甲单独做需要 12 天完成，乙单独做需要 8 天完成，现在两人合作，
中途休息了 2 天，乙没有休息，完成这件工程共用了多少天？
例题 5 一项工程，甲、乙两队合作15 天完成，若甲队做 5 天，乙队做 3 天，7
只能完成工程的30，乙队单独完成全部工程需要几天？
1
【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是15 ，只要求出甲队货乙队的
工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法” 将甲队独做 5 天，乙队独做 3 天，组合成甲、乙两队合作了 3 天后，甲队独做 2 天来考虑，就可以
求出甲队 2 天的工作量711
30－15×3＝30，从而求出甲队的工作效率。所以171
1÷【15－（30－15×3）÷（ 5－3）】＝ 20（天）答：乙队单独完成全部工程需要20 天。
练习五
1、师、徒二人合做一批零件，12 天可以完成。师傅先做了 3 天，因事外出，
由徒弟接着做 1 天，共完成任务的
3
。如果这批零件由师傅单独做，多少20
天可以完成？
5
2、某项工程，甲、乙合做 1 天完成全部工程的24。如果这项工程由甲队独做
13
2 天，再由乙队独做
3 天，能完成全部工程的24。甲、乙两队单独完成这
项工程各需多少天？
3、甲、乙两队合做，20天可完成一项工程。先由甲队独做8 天，再由乙队独
8
做 12 天，还剩这项工程的15。甲、乙两队独做各需几天完成？
例题 6
一项工程，甲队独做12 天可以完成。甲队先做了 3 天，再由乙队做 2 天，
1
则能完成这项工程的2。现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完
后发现两段所用时间相等。求两段一共用了几天？
1
1 1
【思路导航 】此题很容易先求乙队的工作效率是： （ 2 －
12 ×3）÷2＝ 8 ；再由
条件“做完后发现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。 （1） 乙队每天完成这项工程的
1 1 1
（2 －
12 ×3）÷2＝8
（2） 两段时间一共是
1 1
1÷（ 8 ×2+12 ）× 2＝6（天）
答：两段时间一共是 6 天。
练习六
1、一项工程，甲队独做 15 天完成。若甲队先做 5 天，乙队再做 4 天能完成这项
8
工程的 15 。现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，
两段时间相等。这两段时间一共是几天？
2、一项工程，甲、乙合做 8 天完成。如果先让甲独做 6 天，再由乙独做，完成任
务时发现乙比甲多了 3 天。乙独做这项工程要几天完成？
3、某工作，甲单独做要 12 天，乙单独做要 18 天，丙单独做要 24 天。这件工作先
由甲做了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲 3 倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙的 2 倍。终于完成了这一工作。问总共用了多少天？
（二）、多人的工程问题
例 1. 一件工作，甲、乙两人合作 36 天完成，乙、丙两人合作 45 天完成，甲、丙两人合作要 60 天完成，问甲一人独做需要多少天完成？
解：(
1
1
1 )
2 1
36 45
60
30
1
( 1
1 ) 90 （天）
30 45
1 ( 1 1
) 60 （天）
30 60
1 ( 1 1
) 180 （天）
30 36
答：独做完成，甲需 90 天，乙需 60 天，丙需 180 天。
【解析】
此题有别与以上 3 题，是要对工作效率更深刻的理解， 寻找数学量之间的关
系。
1、有一项工程，甲队独做需 8 天，乙队独做需 10 天，丙队独做需 20 天，现在由丙队先独做 9 天后，再由甲乙合作，问再需多少天可以完成？
2、一项工程，甲乙两人合作 8 天完成，乙丙两人合作 9 天完成，甲丙两人合作 18 天完成，如果丙一人来做，完成这项工程需要多少天？
3、一项工程，甲乙两人合作 8 天完成，乙丙两人合作 6 天完成，丙丁两人合作 12 天完成，那么甲丁两人合作多少天可以完成？
4、一项工程，甲乙两人合作 6 天完成，乙丙两人合作 9 天完成，甲丙两人合作
15 天完成，现在甲乙丙三人合作需多少天？
5、生产一批零件，甲乙两人合作 12 小时完成，乙丙两人合作 15 小时完成，甲丙
两人合作 20 小时完成，现在甲乙丙三人合作需多少小时？
6、某工程如果由甲乙丙合作 18 天完成，有乙丙丁队合作 15 天完成，由甲乙丁队
合作 12 天完成，有甲丙丁队合作 20 天完成，由甲队单独做需要多少天完成？
例题 2。
一项工作，甲、乙、丙 3 人合做 6 小时可以完成。如果甲工作 6 小时后，乙、
2
丙合做 2 小时，可以完成这项工作的3；如果甲、乙合做 3 小时后，丙做 6 小时，
2
也可以完成这项工作的3。如果由甲、丙合做，需几小时完成？
【思路导航】将条件“甲工作 6 小时后，乙、丙合做 2 小时，可以完成这项工作2
的3”组合成“甲工作 4 小时，甲、乙、丙合做 2 小时可以完成这
2
项工作的3”，则求出甲的工作效率。同理，运用“组合法”再
求出丙的工作效率。
甲每小时完成这项工程的几分之几
21
×2）÷（ 6－ 2）＝1
（3－612丙每小时完成这项工程的几分之几
21
×3）÷（ 6－ 3）＝1
（3－618
甲、丙合做需完成的时间为：
111
1÷（12 +18）＝ 75（小时）
1
答：甲、丙合做完成需要75小时。
练习二
1、一项工作，甲、乙、丙三人合做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、
13
丙合做 2 小时，可以完成这项工作的 18 ；如果甲、乙合做 2 小时后，丙再
11
做 4 小时，可以完成这项工作的 18 。这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？
2、 一项工程，甲、乙合做 6 天可以完成，乙、丙合做 10 天可以完成。现在先
由甲、乙、丙合做 3 天后，余下的乙再做 6 天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成？
3、 一项工程，甲、乙两队合做 10 天完成，乙、丙两队合做 8 天完成。现在甲、
1
乙、丙三队合做 4 天后，余下的工程由乙队独做 52 天完成。乙队单独做这项
工程需多少天可以完成？
4、 一件工作，甲、乙合做 4 小时完成，乙、丙合做 5 小时完成。现在由甲、丙
合做 2 小时后，余下的由乙 6 小时完成。乙独做这件工作需几小时才能完成？
例题 3：
一条公路，甲队独修 24 天可以完成，乙队独修 30 天可以完成。先由甲、乙两队合修 4 天，再由丙队参加一起修 7 天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成？
【思路导航 】将条件“先由甲、乙两队合修 4 天，再由丙队参加一起修 7 天后全部
完成”组合成“甲、乙两队各修（ 4+7）＝ 11 天后，再由丙队单独修了 7 天才全部完成。”就可以求出丙队的工作效率。
丙队每天修这条公路的
1 1 1
【 1－（ 24 +
30 ）】×（ 4+7）＝ 40
三队合修完成时间为
18
111
1÷（24 +30 +40）＝ 10（天）
答： 10 天可以完成。
练习三
1、一件工作，甲单独做12小时完成。现在甲、乙合做4小时后，乙又用6小
时才完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？
2、一条水渠，甲队独挖120天完成，乙队独挖40天完成。现在两队合挖8天，
剩下的由丙队加入一起挖，又用 12 天挖完。这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完成？
3、一件工作，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。如果甲、
丙合做 3 天后，由乙单独做，还要 9 天才能完成。如果全部工作由 3 人合做，需几天可以完成？
4、一项工程，甲、乙两队合做30 天完成，甲队单独做24 天后，乙队加入，
两队又合做了12 天。这时甲队调走，乙队又继续做了15 天才完成。甲队独做这项工程需要多少天？
综合练习
1、一项工程，甲、乙两人合做， 10 天完成；乙、丙两人合做， 15 天完成；甲、丙
两人合做， 18 天完成。甲、乙、丙独做，各需多少天完成？
2、一项工作，甲单独做 8 小时完成。现在甲、乙合做 3 小时后，乙又用 5 小时才完
成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成。
3、一项工程，甲、乙合做 8 天可以完成，乙、丙合做 10 天可以完成。现在先由甲、
乙、丙合做 2 天后，余下的乙再做 4 天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以
完成？
4、一项工作，甲、乙、丙三人合做 4 小时可以完成。甲工作 3 小时后，乙、丙合做 2 小时，可以完成这项工作的；如果甲、乙合做 1 小时后，丙做 4 小时，也可以完成这项工作的。如果由甲、丙合做，需几小时完成？