定积分在经济中的应用
一、由经济函数的边际,求经济函数在区间上的增量
根据边际成本,边际收入,边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量(增量)就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分:
()()()b
a R
b R a R x dx '-=? (1) ()()()b
a C
b C a C x dx '-=? (2) ()()()b
a L
b L a L x dx '-=? (3) 例1 已知某商品边际收入为0.0825x -+(万元/t ),边际成本为5(万元/t ),求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ,总成本C ()x ,利润
()I x 的改变量(增量)
。 解 首先求边际利润
()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+
所以根据式(1)、式(2)、式(3),依次求出:
300
250
(300)(250)()R R R x dx '-=?300250(0.0825)x dx =-+?=150万元 300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==?
?=250万元 300
300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+??=-100万元
二、由经济函数的变化率,求经济函数在区间上的平均变化率 设某经济函数的变化率为()f t ,则称
2
121
()t t f t dt t t -? 为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率。
例2 某银行的利息连续计算,利息率是时间t (单位:年)的函数:
()0.08r t =+求它在开始2年,即时间间隔[0,2]内的平均利息率。
解 由于
2
200()(0.08r t dt dt =+?
?20.160.010.16=+=+所以开始2年的平均利息率为
20()0.0820r t dt
r ==+-?0.094≈
例3 某公司运行t (年)所获利润为()L t (元)利润的年变化率为
()310L t '=?/年)求利润从第4年初到第8年末,即时间间隔
[3,8]内年平均变化率
解 由于
38
85852333()310210(1)3810L t dt t '=?=??+=???
所以从第4年初到第8年末,利润的年平均变化率为
8
53()7.61083L t dt
'=?-?(元/年)
即在这5年内公司平均每年平均获利57.610?元。
三、由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量
设某个项目在t (年)时的收入为()f t (万元),年利率为r ,即贴现率是()rt f t e
-,则应用定积分计算,该项目在时间区间[,]a b 上总贴现值的增量为()b
rt a f t e ndt -?。
设某工程总投资在竣工时的贴现值为A (万元),竣工后的年收入预计为a (万元)年利率为r ,银行利息连续计算。在进行动态经济分析时,把竣工后收入的总贴现值达到A ,即使关系式
0T
rt ae dt A -=?
成立的时间T (年)称为该项工程的投资回收期。
例4 某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元,竣工后的年收入预
计为200万元,年利息率为0.08,求该工程的投资回收期。
解 这里1000A =,200a =,0.08r =,则该工程竣工后T 年内收入的总贴现值为
0.080.080.08002002002500(1)0.08T
t t T
T e dt e e ---==--?
令 0.082500(1)T e --=1000,即得该工程回收期为
110001ln(1)ln 0.60.0825000.08T =-
-=- =6.39(年)