6-2012级高数A(1)期末考试试题&&答案
6-2012级高数A(1)期末考试试题&&答案
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??大厦白蚁预防工程承包合同?合同签订版?
的最小曲率半径 ?
??大厦白蚁预防工程承包合同?合同签订版?
．曲线1ln (0)y x e x x ??
=+
> ??
?
的斜渐近线为 ? ? 设x e -是()f x 的一个原函数，则
()f x dx '=? ?
．
11
(x -+=?
?
?
1min ,2x e dx +∞-?
?= ??
??
?
??曲线1()2
x
x y e e -=
+上相应于x 从1-到1的一段弧的长度s = ?
??已知一阶线性常微分方程()x y p x y e '+=有特解,x y xe = 则该微分方程的通解为 ?
二．计算题（每小题 分，共 ?分）
．求3
101tan lim .1sin x x x x →+??
?+??
??大厦白蚁预防工程承包合同?合同签订版?
?
?．设2sin 1ln tan ,2cos 224x x y x π??
=
++ ???
求.dy dx
?方程20
2tan()sec x y x x y t dt ---=
?
确定隐函数(),y y x = 求
22.d y
dx
湖南大学课程考试试卷
湖
南
大
学教务处
考试
中心
?
?．求.dx ?
?? 设2
1
(),t x f t e dx -=?
求1
20
().t f t dt ?
?
? 求微分方程2cos y y x ''+=的通解
三 应用题 ???分? 过抛物线2y x =上一点2(,)a a 作切线，问a 为何值时所作切线与抛物线241y x x =-+-所围成的图形面积最小？
湖南
大学课
程考试
试卷 湖
南大学
教务
处考
试
中心
?
四．证明题? ?分?
设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且有 ()2
21(),
(),2
b a
f a a f x dx b a ==
-?
求证：在(,)a b 内至少存在一点,ξ 使得()() 1.f f ξξξ'=-+
?
高数??????卷?期末考
试题参考答案
一 填空题?每小题 分，共 ?分?
??? 1,;e ??? 0,1; ???
0; 22111();28
x x o x =+-+
??? 1;4
??? 1;y x e
=+ ??? ;
x e C --+ ??? ;2
π
??? 1(ln 21);2+ ???? 1;e e
- ? ?? ().x y x C e =+
二 计算题?每小题 分，共 ?分? ? 解 3
3
11
001tan tan sin lim lim 11sin 1sin x x x x x x x x x →→+-??
??=+
? ?++??
?
?
()3
()
1()
tan sin lim 1(),()1sin x x x x x x
x x x
????→-?
?=+=
??+?
?
?
因为
()
1()
lim 1(),x x x e ??→+=
3
30
0()
tan sin 1
lim
lim
,(1sin )2
x x x x x x x x ?→→-==+
所以 原式
.=
解法二 原式＝?
??
???
??? ??++→x x x x sin 1tan 1ln 1lim exp 3
?
??
?
??+-+=→30
)sin 1ln()tan 1ln(lim ex p x x x x
??
??
??????????+-+=→2203sin 1cos tan 1sec lim exp x x x x x x ?
??
???+++-+=→)sin 1)(tan 1(3cos )tan 1(sec )sin 1(lim exp 220x x x x x x x x e =
解法三 原式?
??
???
??? ??++=→x x x x sin 1tan 1ln 1lim exp 3
????
??+-?=→x x x x x sin 1sin tan 1lim ex p 3
e =
? ?
解法四 原式
31
0sin 1sin tan 1lim x x x x x ??? ??
+-+=→ 31
0sin 1)cos 1(tan 1lim x x x x x ??
? ??+-+=→ 3
1
3
021lim x
x x ???
? ??+=→ e =
?? 解：3222
243
sin 2cos 4sin cos cos 2sin ,2cos 4cos 2cos x x x x x x
x x x '++??== ???
21111ln tan sec 2
242224tan 24x x x πππ'??????
+=???+ ? ? ?????????+ ???
1
2cos x
=
31.cos dy dx x
=
? 解法一 方程两边同时对x 求导，得
222[sec ()](1)[sec ()](1)x y y x y y ''--?-=-?-
2sin ()y x y '=-
? ?
2sin()cos()(1)y x y x y y '''=---32sin()cos ().x y x y =--
解法二 由所给方程可得 )tan(y x x -=
两边同时对x 求导，得 )(sec )1(12y x y -'-=
2sin ()y x y '=- 以下同解法一。 ?
．解法一
12dx =-
?
212?
?
?
???
=--???
????
?
?
3
arcsin(21).2
x C =-+-+
解法二
dx =?
令1
1sin ,,22
2
2
x u u π
π
-=-
<<
则
31
sin
22
dx u du
??
==+
?
??
??
31
cos
22
u u C
=-+
3
arcsin(21).
2
x C
=--
解法三
1
2
dx=-
?
()
()
??
-
+
-
-
-
=
2
2
2
1
3
2
)
(
x
x
d
x
x
x
x
d
()C
x
x
x+
+
-
-
=arcsin
3
2
．解 2
(1)0,()t
f f t e-
'
==
()
11
23
00
1
()()
3
t f t dt f t d t
=
??
1
3
13
1
()()
33
t
f t t f t dt
'
=-?
2
13
1
3
t
t e dt
-
=-?()2
12
1
6
t
t d e-
=?
12
1.
6e
??
=-
?
??
? 解 齐次方程0
y y
''+=的通解为
12
cos sin.
y C x C x
=+
? ?
? ?
211cos cos 222
x x =+
非齐次方程12y y ''+=的特解11.2
y *=
设非齐次方程1cos 22
y y x ''+=
的特解为2cos2sin2,y A x B x *=+ 代入计算得1
,0,6
A B =-= 于是得2
1cos 2.6
y x *
=- 原方程的通解为 1211
cos sin cos 2.26
y C x C x x =++
- 三．解 抛物线2y x =在点2(,)a a 处的切线方程为
22,y ax a =-
这条切线与抛物线241y x x =-+-的两个交点的横坐标记为1x 和2x ?不 妨设21(),x x > 则1x 和2x 是方程
222(2)10x a x a +-+-=
的两个根，从而得
21212211,2(2),x x a x x a x x ?=-+=--=
上述切线与抛物线 241y x x =-+-所围成的平面图形面积 21
22(412)x x S x x ax a dx =
-+--+?
3
224
(243)3
a a =-+
12
2
()8[2(1)1](1).S a a a '=-+-
? ?
令()0S a '=得唯一驻点1,a =当1a <时，()0;S a '< 当1a >时，
()0,S a '> 所以1a =为极小值点，即最小值点，也就是说，1a =时所围
图形面积最小。
四 证 ()221
()[()]0.2
b
b a
a
f x dx b a f x x dx =-?
-=??
由积分中值定理知，存在点(,),c a b ∈ 使得().f c c =
构造函数
()(()),x F x e f x x -=-
对函数()F x 在区间[,]a c 上应用罗尔中值定理即可得证。