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高一第1讲 集合概念与运算(教师)

高一第1讲 集合概念与运算(教师)
高一第1讲 集合概念与运算(教师)

第1讲 集合概念与运算(教师版)

一. 学习目标

(1)了解集合的含义,元素与集合的属于关系;能用列举法或描述法表示集合.

(2)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;了解全集与空集的含义.

(3)理解并会求并集、交集、补集;能用Venn 图表达集合的关系与运算.

二.重点难点

重点:(1)理解集合、子集,空集的概念(2)了解属于、包含、相等关系的意义

(3)掌握集合的有关术语和符号(4)理解集合的交、并、补运算的概念及性质

(5)会用Venn 图及数轴解有关集合问题

难点:子集与真子集、属于与包含关系、交集与并集之间的区别与联系.

三.知识梳理

1.集合的基本概念:

(1)集合的概念: 具有某种公共属性的一类事物的全体形成一个集合。 ;

(2)集合中元素的三个特性: 确定性,互异性,无序性。 ;

(3)集合的三种表示方法: 描述法,列举法,图示法。

2.集合的运算

(1)子集:若 集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,则A ?B ;

真子集:若A ?B ,且 B 中至少有一个元素不在A 中 ,则A ?B ;

?是 任何 集合的子集,是 任何非空 集合的真子集.

(2)交集:A ∩B ={|x x A B ∈∈且x };

(3)并集:A ∪B ={|x x A B ∈∈或x }.

(4)补集:若U 为全集,A ?U ,则u C A ={|x x U A ∈?且x },

3.集合的常用运算性质

(1)A ∩φ=φ;A ∩A =A ;(2)A ∪φ=A ;A ∪A =A ;

(3) A ∩(u C A )= φ ;A ∪(u C A )= U ;u C (u C A )= A ;

(4)A ?B ?A ∩B = A ,A ∪B = B ;

(5)()u C A B =()()u u C A C B ;()u C A B =()()u u C A C B ;

(6)card(A ∪B )=card(A )+card(B )-()card A B

四.典例剖析

题型一 集合的基本概念

例1 考查下列每组对象能否构成一个集合:

(1)著名的数学家;(2)某校2013年在校的所有高个子同学;

(3)不超过20的非负数;(4)2012年度诺贝尔文学奖获得者.

思路探索: 紧扣集合的概念,根据集合元素的确定性逐一分析,作出判断.

解 (1)“著名的数学家”无明确的标准,对于某个人是否“著名”无法客观地判断,因此“著名的数学家”不能构成一个集合;类似地,(2)也不能构成集合;(3)任给一个实数x ,可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”,即“0≤x ≤20”与“x >20或x <0”,两者必居其一,且仅居其一,故“不超过20的非负数”能构成集合.(4)2012年度诺贝尔文学奖获得者是中国作家莫言,是确定的,能构成集合.综上:(1),(2)不能构成集合;(3),(4)能构成集合.

教师点评:1.判断元素能否构成集合,关键在于是否有一个明确的客观标准来衡量这些对象,即看这些元素是否具有确定性,如果条件满足就可以断定这些元素可以组成集合,否则就不能构成集合.

2.注意集合元素的互异性,相同的元素在集合中只能出现一次.

例2 (1) 若所有形如3a +2b (a ∈Z ,b ∈Z)的数组成集合A ,判断6-22是不是集合A 中

的元素.

解:根据元素与集合的关系判断,可令a=2,b=-2.所以6-2 2是集合A中的元素.(2)已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},且1∈A,求实数2 013a的值;

思路探索:(1)1∈A,则a+2,(a+1)2,a2+3a+3可以分别为1,但又要注意它们互不相同.(2)从集合元素互异性的特点分析,它们必须具备两两不等.

解:(1)当a+2=1,即a=-1时,(a+1)2=0,a2+3a+3=1与a+2相同,∴不符合题意.当(a+1)2=1,即a=0或a=-2时,①a=0符合要求.②a=-2时,a2+3a+3=1与(a +1)2相同,不符合题意.当a2+3a+3=1,即a=-2或a=-1.①当a=-2时,a2+3a +3=(a+1)2=1,不符合题意.②当a=-1时,a2+3a+3=a+2=1,不符合题意.综上所述,a=0.∴2 013a=1.

教师点评:1.(1)判断一个元素是不是某个集合的元素关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征.(2)要熟练掌握R、Q、Z、N、N*表示什么数集.

(2)加强对集合中元素的特征的理解,互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.

(3)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.

例3 用适当的方法表示下列集合:

(1)A={(x,y)|x+y=4,x∈N*,y∈N*};

(2)平面直角坐标系中所有第二象限的点.

解(1)∵x∈N*,y∈N*,∴x=1,y=3或x=2,y=2或x=3,y=1,

∴A={(1,3),(2,2),(3,1)}.

(2){(x,y)|x<0,y>0}.

教师点评:表示集合的要求:(1)根据要表示的集合元素的特点,选择适当方法表示集合,一般要符合最简原则.

(2)一般情况下,元素个数无限的集合不宜用列举法表示,描述法既可以表示元素个数无限的集合,也可以表示元素个数有限的集合.

课堂练习1:(1)下列各组对象可以组成集合的是( )

A.数学必修1课本中所有的难题.B.方程x2-9=0在实数范围内的解

C.直角坐标平面内第一象限的一些点.D.3的近似值的全体

解析A中“难题”的标准不确定,不能构成集合;B中只有两个元素3与-3,是确定的,B 能构成集合;C中“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合;D中“3的近似值”不明确精确到什么程度,

因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值,所以不能构成集合.

答案 B

(2)下列所给关系正确的个数是( )①π∈R ;②

3?Q ;③0∈N *;④|-4|?N *.

A .1

B .2

C .3

D .4

解析 ∵π是实数,3是无理数,0不是正整数,|-4|=4是正整数, ∴①②正确,③④不正确,正确的个数为2..答案 B

(3)(2013年高考江西卷(文))若集合A ={x ∈R|ax 2+ax+1=0}其中只有一个元素,则a=

A .4

B .2

C .0

D .0或4

【答案】A 题型二 集合间的基本关系

例4(1)(2012年高考大纲文)已知集合

{}|A x x =是平行四边形,{}|B x x =是矩形,{}|C x x =是正方形,{}|D x x =是菱形,

则 ( )A .A B ?

B .

C B ? C .

D C ? D .A D ?

解析:B (2)、(2011·新课标全国)已知集合M ={0,1,2,3,4},N ={1,3,5},P =M ∩N ,则P 的子集共有( ) A .2个 B .4个 C .6个 D .8个

解析 P =M ∩N ={1,3},故P 的子集有22=4个.

*(3)(2011 年高考安徽)设集合 A ={1,2,3,4,5,6},B ={4,5,6,7},则满足 S ?A 且 S ∩B ≠

?的集合 S 的个数为( )

(A )57 (B )56 (C )49 (D )8

【答案】B

教师点评:1.写有限集合的所有子集,首先要注意两个特殊的子集:?和自身;其次按含一个元素的子集,含两个元素的子集…依次写出,以免重复或遗漏.

2.若集合A 含n 个元素,那么它子集个数为2n ;真子集个数为2n -1,非空真子集个数为2n -2.

例5 已知集合A ={x |-3≤x ≤4},B ={x |2m -1<x <m +1},且B ?A .求实数m 的取值范围.

[思路探索] 借助数轴分析,注意B 是否为空集.

解 ∵B ?A ,(1)当B =?时,m +1≤2m -1,解得m ≥2.

(2)当B ≠?时,有????? -3≤2m -1,m +1≤4,

2m -1<m +1,解得-1≤m <2,综上得m ≥-1.

课堂练习2:(2011·北京高考改编)已知集合P ={x|x 2≤1},M ={x|-a +2≤x ≤2a -7}, 若P ∪M =P ,求实数a 的取值范围.

【解析】 由P ∪M =P ,知M ?P ,

(1)若-a +2>2a -7,即a <3时,M =?,满足P ∪M =P.

(2)当a ≥3时,M ≠?,由M ?P ,得

?????

-a +2≥-1,2a -7≤1.

解之得a ≤3,∴a =3. 综合(1)、(2)可知,若P ∪M =P ,实数a 的取值范围是a ≤3.,

教师点评:在解决两个数集关系问题时,避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解,另外,在解含有参数的不等式(或方程)时,要对参数进行分类讨论.分类时要遵循“不重不漏”的分类原则,然后对每一类情况都要给出问题的解答.

分类讨论的一般步骤:①确定标准;②恰当分类;③逐类讨论;④归纳结论. 题型三 集合的基本运算

例6 (1)(2013年高考课标Ⅰ卷(文))已知集合{1,2,3,4}A =,2

{|,}B x x n n A ==∈,则A B = A .{1,4} B .{2,3} C .{9,16} D .{1,2}

【答案】A

(2)设集合 A ={x |x >3},B ={x |x 2-5x +4<0},则 A ∪B =( )

A .?

B .{x |3

C .{x |-2

D .{x |x >1}

【答案】D

(3)(2013年高考陕西卷(理))设全集为R ,

函数()f x M , 则C M R 为

(A) [-1,1] (B) (-1,1) (C) ,1][1,)(∞-?+∞- (D) ,1)(1,)(∞-?+∞-

【答案】D

(4)(2013年高考安徽(文))已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ?=

A .{}2,1--

B .{}2-

C .{}1,0,1-

D .{}0,1 【答案】A 例7 设A ={x |x 2+4x =0},B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2-1=0}.若A ∩B =B ,求a 的取值范围.

[思路探索] 由A ∩B =B ,得B ?A ,由子集的定义建立关于a 的方程或不等式求解. 解 由已知得A ={-4,0},且A ∩B =B ,

∴B ?A ,则B =?,{-4},{0},{-4,0}.

①若B =?,则Δ=4(a +1)2-4(a 2-1)=8(a +1)<0,得a <-1.

②若B ={-4},则方程x 2+2(a +1)x +a 2-1=0有两个相等的实根x 1=x 2=-4.

∴?

???? -42+2a +1·-4+a 2-1=0,

Δ=8a +1=0,方程组无解. ③若B ={0},则?????

a 2-1=0,

Δ=8a +1=0,∴a =-1. ④若B ={-4,0},则????? -2a +1=-4,a 2-1=0,

Δ=8a +1>0.解得a =1.

综上可知,a =1或a ≤-1.

教师点评:1.在利用集合的交集、并集性质解题时,常常会遇到A ∩B =A ,A ∪B =B 等这类问题,解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析,如A ∩B =A ?A ?B ,A ∪B =B ?A ?B 等,解答时应灵活处理.

2.当集合B ?A 时,如果集合A 是一个确定的集合,而集合B 不确定,运算时要考虑B =?的情况,切不可漏掉.

课堂练习3:(1)已知集合A ={x |-2≤x ≤5},B ={x |2a ≤x ≤a +3},若A ∪B =A ,求实数a 的取值范围.

解 ∵A ∪B =A ,∴B ?A .,若B =?时,2a >a +3,即a >3;

若B ≠?时,????? 2a ≥-2,a +3≤5,

2a ≤a +3,解得:-1≤a ≤2,

综上所述,a 的取值范围是{a |-1≤a ≤2或a >3}.

*(2)(2013年上海高考数学试题(文科))设常数a ∈R ,集合()(){}|10A x x x a =--≥, {}|1B x x a =≥-.若A B =R ,则a 的取值范围为 A .(),2-∞

B .(],2-∞

C .()2,+∞

D .[)2,+∞

【答案】B 题型四 用韦恩图解题

例8 (1) 已知全集 U =R ,则正确表示集合 M ={-1,0,1}和 N ={x |x 2+x =0}关系的韦恩(Venn)图是( )

答:B .

(2) (2013年上海市春季高考数学试卷)设全集U R =,下列集合运算结果为R 的是( )

(A)u Z N e (B)u N N e (C)()u u ?痧 (D){0}u e

【答案】A (3)设全集U ={1,2,3,4,5},集合A ∩B ={2},(?U A )∩B ={4},(?U A )∩(?U B )={1,5},求集合A 和

B .

解:由Venn 图,可知A ={2,3},B ={2,4}.

教师点评:Venn 图直观形象地反映了元素、集合之间的关系.在解题中将隐性的关系显性化,利用韦恩图易于找到元素与元素、元素与集合、集合与集合之间的联系.

例9.向50名学生调查对A 、B 两事件的态度,有如下结果赞成A 的人数是全体的五分之

三,其余的不赞成,赞成B 的比赞成A 的多3人,其余的不赞成;另外,对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?

解:赞成A 的人数为50×53=30,赞成B 的人数为30+3=33,如上图,记50名学生组成的集合为U ,赞成事件A 的学生全体为集合A ;赞成事件B 的学生全体

为集合B 。

设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x ,则对A 、B 都不赞成的学生人数为3

x +1,赞成A 而不赞成B 的人数为30-x ,赞成B 而不赞成A 的人数为33-x 。依题意(30-x )+(33-x )+x +(3

x +1)=50,解得x =21。所以对A 、B 都赞成的同学有21人,都不赞成的有8人。 教师点评:在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法等,需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件,想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头绪,不好找线索。画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系。

课堂练习4:(1)设A 、B 、U 均为非空集合,且满足A ?B ?U ,则下列各式中错误的是( )

A .(?U A )∪

B =U B .(?U A )∪(?U B )=U

C .A ∩(?U B )=

D .(?U A )∩(?U B )=?U B 答:B

(2)设U 为全集,集合M ,N ,P 都是它的子集,则图中阴影部分表示的集合是( )

A .M ∩(?U N ∩P )

B .M ∩(N ∪P )

C .[(?U M )∩(?U N )]∩P

D .(M ∩N )∪(N ∩P )

【解析】阴影部分在集合N 的外部,集合P 的内部,则(?U N )∩P .又在集合M

的内部,

*(3)求1到200这200个数中既不是2的倍数,又不是3的倍数,也不是5的倍数的自然数共有多少个?

解:如图先画出Venn 图,不难看出不符合条件 的数共有[200÷2]+[200÷3]+[200÷5]

-[200÷10]-[200÷6]-[200÷15]

+[200÷30]=146 ([x]表示不大于x 的最大整数。) 所以,符合条件的数共有200-146=54(个)

教师点评:分析200个数分为两类,即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类,而不满足条件的这一类标准明确而简单,可考虑用扣除法。

题型五 集合中的新定义问题

例10 (2012·课标全国)已知集合A ={1,2,3,4,5},B ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x -y ∈A },则B 中

所含元素的个数为 ( )

A .3

B .6

C .8

D .10

易错分析 本题属于创新型的概念理解题,准确地理解集合B 是解决本题的关键,该题解题过程易出错的原因有两个,一是误以为集合B 中的元素(x ,y )不是有序数对,而是无序的两个数值;二是对于集合B 的元素的性质中的“x ∈A ,y ∈A ,x -y ∈A ”,只关注“x ∈A ,y ∈A ”,而忽视“x -y ∈A ”的限制条件导致错解.

解析 ∵B ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x -y ∈A },A ={1,2,3,4,5},

∴x =2,y =1;x =3,y =1,2;x =4,y =1,2,3;x =5,y =1,2,3,4.

∴B ={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},

∴B 中所含元素的个数为10.

答案 D

教师点评:判断集合中元素的性质时要注意两个方面:一是要注意集合中代表元素的字母符号,区分x 、y 、(x ,y );二是准确把握元素所具有的性质特征,如集合{x |y =f (x )}表示函数y =f (x )的定义域,{y |y =f (x )}表示函数y =f (x )的值域,{(x ,y )|y =f (x )}表示函数y =f (x )图象上的点.

3的倍数

2的倍数5的倍数

课堂练习5:(1)(2010广东文)在集合{}d c b a ,,,上定义两种运算○+和○*如下

那么d ○*a (○+=)c A.a B.b C.c D.d

解:由上表可知:a (○+c c =),故d ○*a (○+=)c d ○*a c =,选A

*(2)已知集合S ={0,1,2,3,4,5},A 是S 的一个子集,当x ∈A 时,若有x -1?A ,且x +1?A ,则称x 为A 的一个“孤立元素”,那么S 中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个,其中的一个是____________.

解:由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”,如{0,1,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5}这样的集合,故共有6个.

五.易错探究

例11 若A ={x |x 2-2x -3=0},B ={x |ax -2=0},且A ∩B =B ,求由实数a 组成的集合C .

[错解] 由A ={x |x 2-2x -3=0},得A ={-1,3}.∵A ∩B =B ,∴B ?A ,从而B ={-1}或B ={3}.当B ={-1}时,由a ×(-1)-2=0,得a =-2;

当B ={3}时,由a ×3-2=0,得a =23.故由实数a 组成的集合C =?

?????-2,23. [错因分析] 由交集定义容易知道,对于任何一个集合A ,都有A ∩?=?,所以错解忽略了B =?时的情况.

[正解] ①当B ≠?时,同上解法,得a =-2或a =23

; ②当B =?时,由ax -2=0无实数根,得a =0.

综上可知,实数a 组成的集合C =?

?????-2,0,23. 六.品味高考

1 .(2013年高考浙江卷(文))设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T=

A .[-4,+∞)

B .(-2, +∞)

C .[-4,1]

D .(-2,1] 【答案】D 2 .(2013年高考天津卷(文))已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?=

A .(,2]-∞

B .[1,2]

C .[-2,2]

D .[-2,1]

【答案】D

3 .(2013年高考四川卷(文))设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则A B =

A .?

B .{2}

C .{2,2}-

D .{2,1,2,3}- 【答案】B 4.(2013年高考辽宁卷(文))已知集合{}{}01,2,3,4,|||2,A B x x A B ==<= ,

则 A .{}0

B .{}0,1

C .{}0,2

D .{}0,1,2 【答案】B

5.(2013年高考课标Ⅱ卷(文))已知集合M={x|-3

A .{-2,-1,0,1}

B .{-3,-2,-1,0}

C .{-2,-1,0}

D .{-3,-2,-1 } 【答案】C

6.(2013年高考江西卷(文))若集合A ={x ∈R|ax 2+ax+1=0}其中只有一个元素,则a=

A .4

B .2

C .0

D .0或4 【答案】A

7.(2013年高考湖北卷(文))已知全集{1,2,3,4,5}U =,集合{1,2}A =,{2,3,4}B =,则

U B A = e

A .{2}

B .{3,4}

C .{1,4,5}

D .{2,3,4,5} 【答案】B

8.(2013年高考广东卷(文))

设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈,2{|20,}T x x x x R =-=∈,则S T =

A .{0}

B .{0,2}

C .{2,0}-

D .{2,0,2}-

【答案】A 9.(2013年高考福建卷(文))若集合}4,3,1{},3,2,1{==B A ,则B A 的子集个数为

A .2

B .3

C .4

D .16

【答案】C

10.(2013年高考大纲卷(文))设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,u U A A ===集合则e

A .{}1,2

B .{}3,4,5

C .{}1,2,3,4,5

D .? 【答案】B

11.(2013年高考北京卷(文))已知集合{}1,0,1A =-,{}|11B x x =-≤<,则A B =

A .{}0

B .{}1,0-

C .{}0,1

D .{}1,0,1- 【答案】B

12.(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题)已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}=12A ,

,{}=23B ,,则()=U A B e A.{}134,

, B.{}34, C. {}3 D. {}4 【答案】D

13.(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题)已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?=

(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1]

【答案】D

14.(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题)已知集合A ={0,1,2},则集合B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是

(A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9

【答案】C

15.(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理))设集合

{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

【答案】B

16.(2013年高考四川卷(理))设集合{|20}A x x =+=,集合2

{|40}B x x =-=,则A B =

(A){2}- (B){2} (C){2,2}- (D)?

【答案】A

17.(2013年高考新课标1(理))已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<<,则 A.A∩B=? B.A∪B=R C.B ?A D.A ?B 【答案】B.

18.(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理))

已知集合{}{}2|(1)4,,1,0,1,2,3M x x x R N =-<∈=-,则=N M

(A){}2,1,0

(B){}2,1,0,1- (C){}3,2,0,1- (D){}3,2,1,0 【答案】A

19.(2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷)

设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N =

A . {}0 B.{}0,2 C.{}2,0- D.{}2,0,2-

【答案】D

20.(2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题)设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ,则=?T S C R )(

A.(2,1]-

B. ]4,(--∞

C. ]1,(-∞

D.),1[+∞

【答案】C

21.(2013年高考湖南(文))已知集合{2,3,6,8},{2,3},{2,6,8}U A B ===,则

()C A B ??=_____

【答案】}862{,,

*22.(2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷)设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n = .令集合

(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立,若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )

A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ? B.(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈

C.(),,y z w S ?,(),,x y w S ∈

D.(),,y z w S ?,(),,x y w S ∈

答;可用特值验证法,因为(x,y,z )和(z,w,x)答都在S 中,不妨令x=2,y=3,w=1,则(y,z,w)= (3,4,1)S ∈,(x,y,w)=(2,3,1) S ∈,故(y,z,w)S ?,(x,y,w) S ?的说法均错,可排除A,C,D.

高三一轮复习1.1集合的概念与运算教案

§集合的概念与运算 【2014高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性,以集合中含参数的元素为背景,探求参数的值;2.求几个集合的交、并、补集;3.通过集合中的新定义问题考查创新能力. 【复习备考要这样做】 1.注意分类讨论,重视空集的特殊性;2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算;3.重视对集合中新定义问题的理解. 1.集合与元素 (1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 2.

(1)子集:对任意的x∈A,都有x∈B,则A?B(或B?A). (2)真子集:若A?B,且A≠B,则A?B(或B?A). (3)空集:空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集.即??A,??B(B≠?). (4)若A含有n个元素,则A的子集有2n个,A的非空子集有2n-1个. (5)集合相等:若A?B,且B?A,则A=B. 3.集合的运算 4. 并集的性质:A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A. 交集的性质:A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B. 补集的性质:A∪(?U A)=U;A∩(?U A)=?;?U(?U A)=A. [难点正本疑点清源] 1.正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念,特别是集合中元素的三个特征,尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用.在解决含参数问题时,要注意检验,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误. 2.注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解题时,若未明确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能性.例如:A?B,则需考虑A=?和A≠?两种可能的情况. 3.正确区分?,{0},{?} ?是不含任何元素的集合,即空集.{0}是含有一个元素0的集合,它不是空集,因为它有一个元素,这个元素是0.{?}是含有一个元素?的集合.??{0},??{?},?∈{?},{0}∩{?}=?.

集合基本概念及性质

集合及运算 集合:一般的,一定范围内某些确定的,不同的对象的全体构成一个集合。 子集:对于两个集合 A和B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合 A是集合B的子集,记作A? B 空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为$ 集合的三要素:确定性、互异性、无序性 集合的表示方法:列举法、描述法、视图法、区间法 集合的分类:(按集合中元素个数多少分为:)有限集、无限集、空集 常见数集:“N全体非负整数组成的集合“N+'或“N*'所有正整数组成的集合 “Z” 全体整数组成的集合"Q全体有理数组成的集合“ R全体实数组成的集合 关系: 元素属于集合:a € A 集合与集合:A? B , A=B 运算: 交集:由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,叫做集合A与集合B的交集。记作A A B 并集:由所有属于集合 A或属于集合B的元素组成的集合,叫做集合A与B的并集记作A U B 补集:由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合,记为CuA 4 ?集合的运算性质 (1)A A B=BA A ; A PB € A ; A PB € B ;A A U=A ; A A A=A ; A A$ = $ (2) A U B=BUA ; A € A U B; B € A U B ; A U U=U ; A U A=A ;A U $ =A ; (3)Cu ( CuA) =A ; Cu$ =U; CuU=$ ; A A CuA=$ ; A U CuA=U; (4)A? B, B? A,贝U A=B , A? B, B? C,贝U A? C 5.常用结论: (1) A? B<=>A A B=A;A ? B<=>A U B=B; A U B=A A B<=>A=B ⑵ CuA A CuB=Cu(A U B), CuA U CuB=Cu(A A B)——德摩根律

人教版高一数学必修一第一章 集合与函数概念知识点

高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上最高的山 (2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 ◆注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1)列举法:{a,b,c……} 2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4)Venn图: 4、集合的分类: (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是注意:B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集

集合与函数概念单元测试题_有答案

高一数学集合与函数测试题 一、 选择题(每题5分,共60分) 1、下列各组对象:○12008年北京奥运会上所有的比赛项目;○2《高中数学》必修1中的所有难题;○3所有质数;○4平面上到点(1,1)的距离等于5的点的全体;○5在数轴上与原点O 非常近的点。其中能构成集合的有( ) A .2组 B .3组 C .4组 D .5组 2、下列集合中与集合{21,}x x k k N +=+∈不相等的是( ) A .{23,}x x k k N =+∈ B .{41,}x x k k N +=±∈ C .{21,}x x k k N =+∈ D .{23,3,}x x k k k Z =-≥∈ 3、设221()1x f x x -=+,则(2)1()2 f f 等于( ) A .1 B .1- C .35 D .35- 4、已知集合2{40}A x x =-=,集合{1}B x ax ==,若B A ?,则实数a 的值是( ) A .0 B .12± C .0或12± D .0或12 5、已知集合{(,)2}A x y x y =+=,{(,)4}B x y x y =-=,则A B =I ( ) A .{3,1}x y ==- B .(3,1)- C .{3,1}- D .{(3,1)}- 6、下列各组函数)()(x g x f 与的图象相同的是( ) (A )2)()(,)(x x g x x f == (B )22)1()(,)(+==x x g x x f (C )0)(,1)(x x g x f == (D )???-==x x x g x x f )(|,|)( )0()0(<≥x x 7、是定义在上的增函数,则不等式的解集

集合的概念与运算例题及答案

1 集合的概念与运算(一) 目标: 1.理解集合、子集的概念,能利用集合中元素的性质解决问题 2.理解交集、并集、全集、补集的概念,掌握集合的运算性质, 3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法. 重点: 1.集合中元素的3个性质,集合的3种表示方法,集合语言、集合思想的运用; 2.交集、并集、补集的求法,集合语言、集合思想的运用. 基本知识点: 知识点1、集合的概念 (1)集合:某些指定的对象集在一起就形成一个集合(简称集) (2)元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素 知识点2、常用数集及记法 (1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合记作N ,{}Λ,2,1,0=N (2)正整数集:非负整数集内排除0的集记作N * 或N + {}Λ,3,2,1*=N (3)整数集:全体整数的集合记作Z , {}Λ,,,210±±=Z (4)有理数集:全体有理数的集合记作Q , {} 整数与分数=Q (5)实数集:全体实数的集合记作R {} 数数轴上所有点所对应的=R 注:(1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数0 (2)非负整数集内排除0的集记作N * 或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集,也是这样表示,例如,整数集内排除0的集,表示成Z * 知识点3、元素与集合关系(隶属) (1)属于:如果a 是集合A 的元素,就说a 属于A ,记作a ∈A (2)不属于:如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A ,记作A a ? 注意:“∈”的开口方向,不能把a ∈A 颠倒过来写 知识点4、集合中元素的特性 (1)确定性:按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里, 或者不在,不能模棱两可 (2)互异性:集合中的元素没有重复 (3)无序性:集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出)

集合的基本概念及其表示

学校乐从中学年级高二学科数学导学案 主备审核授课人授课时间班级姓名小组课题:集合的概念和基本关系 课型:复习课时:1 【学习目标】 理解集合的概念,集合的表示方法,深刻理解子集、真子集、空集的概念,能使用Venn图表达集合的关系。 【学习过程】 一、知识要点: 1、集合的概念 (1)、集合的定义:。 (2)、集合的三性:、、。 (3)、元素a属于集合A,记作 元素a不属于集合A,记作 常见数集:。 集合的表示方法:、、。 2、集合的基本关系 (1)、子集:。 (2)、集合相等:。 (3)、真子集:。 (4)、空集:。 二、例题讲解 例1(1)写出数集N,Z,Q,R,C之间的包含关系,并用Venn图表示(2)判断对错:①Φ?A ②Φ A ③A A?④A A 例2选择恰当的符号填空: ①、Φ___{0}, ②、0 Φ, ③、0 {(0,1)}, ④、(1,2){1,2,3}, ⑤、{1,2} {1,2,3} 例3对于集合A、B,“不成立”的含义是( ) (A)B是A的子集 (B)A中的元素都不是B中的元素 (C)A中至少有一个元素不属于B (D)B中至少有一个元素不属于A 例4 下列命题中,正确的命题的序号是____________________- ① {2,4,6,8}与{4,8,2,6}是同一集合。 ② {x|x > 3 ,x∈R} 与{t|t > 3 ,t∈R}表示同一集合。 ③{y|y= x2,x∈R}与{(x,y)|y=x2,x∈R}表示的是同一集合。 ④{x|x2-2x-1=0}与{x2-2x-1=0}表示同一集合。 ⑤ {x|x=2k-1,k∈Z }与{x|x=2k+1,k∈Z } 表示同一集合。 例5.已知集合A={x∈N| 12 6x - ∈N },试用列举法表示集合A. (教师“复备”栏或 学生笔记栏)

第一章集合与函数概念(教师用书)

第一章集合与函数概念 §1.1集合 1.1.1 集合的含义与表示(一) 1.体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程,了解集合的含义以及集合中元素的特性,培养自己的抽象、概括能力. 2.掌握“属于”关系的意义,知道常用数集及其记法,初步体会集合语言和符号语言表示数学内容的简洁性和准确性. 1.元素与集合的概念 (1)把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母表示. (2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母表示. 2.集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性. 3.集合相等:只有构成两个集合的元素是一样的,才说这两个集合是相等的. 4.元素与集合的关系 (1)如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A. (2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作a A. 5.实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N+来表示.

对点讲练 集合的概念 【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合: (1)著名的数学家;(2)某校2007年在校的所有高个子同学; (3)不超过20的非负数;(4)方程x2-9=0在实数范围内的解; (5)直角坐标平面内第一象限的一些点;(6)3的近似值的全体. 解(1)“著名的数学家”无明确的标准,对于某个人是否“著名”无法客观地判断,因此“著名的数学家”不能构成一个集合;类似地,(2)也不能构成集合;(3)任给一个实数x,可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”,即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”,两者必居其一,且仅居其一,故“不超过20的非负数”能构成集合;类似地,(4)也能构成集合;(5)“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合;(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值,所以(6)不能构成集合. 规律方法判断指定的对象能不能形成集合,关键在于能否找到一个明确标准,对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素,同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 变式迁移1 下列给出的对象中,能构成集合的是() A.高个子的人B.很大的数C.聪明的人D.小于3的实数 答案 D

集合与函数概念单元测试题(含答案)

新课标数学必修1第一章集合与函数概念测试题 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题5分,共50分)。 1.用描述法表示一元二次方程的全体,应是 ( ) A .{x |ax 2+bx +c =0,a ,b ,c ∈R } B .{x |ax 2+bx +c =0,a ,b ,c ∈R ,且a ≠0} C .{ax 2+bx +c =0|a ,b ,c ∈R } D .{ax 2+bx +c =0|a ,b ,c ∈R ,且a ≠0} 2.图中阴影部分所表示的集合是( ) A.B ∩[C U (A ∪C)] B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.[C U (A ∩C)]∪B 3.设集合P={立方后等于自身的数},那么集合P 的真子集个数是 ( ) A .3 B .4 C .7 D .8 4.设P={质数},Q={偶数},则P ∩Q 等于 ( ) A . B .2 C .{2} D .N 5.设函数x y 111+=的定义域为M ,值域为N ,那么 ( ) A .M={x |x ≠0},N={y |y ≠0} B .M={x |x <0且x ≠-1,或x >0},N={y |y <0,或0<y <1,或y >1} C .M={x |x ≠0},N={y |y ∈R } D .M={x |x <-1,或-1<x <0,或x >0=,N={y |y ≠0} 6.已知A 、B 两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地,在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地,把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t (小时)的函数表达式是 ( ) A .x =60t B .x =60t +50t C .x =???>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D .x =?????≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150) 5.20(,60t t t t t 7.已知g (x )=1-2x,f [g (x )]=)0(122≠-x x x ,则f (21)等于 ( ) A .1 B .3 C .15 D .30 8.函数y=x x ++-1912是( )

第一章 1.1集合的概念与运算

§1.1集合的概念与运算

1.集合与元素 (1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系有属于或不属于两种,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 A B(或 B A) 3. (1)若有限集A中有n个元素,则A的子集个数为2n个,非空子集个数为2n-1个,真子集有2n-1个. (2)A?B?A∩B=A?A∪B=B.

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.(×) (2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.(×) (3)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)?(A∪B)恒成立.(√) (4)若A∩B=A∩C,则B=C.(×) (5)已知集合M={1,2,3,4},N={2,3},则M∩N=N.(√) (6)若全集U={-1,0,1,2},P={x∈Z|x2<4},则?U P={2}.(√) 1.(2014·课标全国Ⅰ)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B等于() A.[-2,-1]B.[-1,2) C.[-1,1]D.[1,2) 答案 A 解析∵A={x|x≥3或x≤-1},B={x|-2≤x<2}, ∴A∩B={x|-2≤x≤-1}=[-2,-1],故选A. 2.(2014·四川)已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则A∩B等于() A.{-1,0,1,2} B.{-2,-1,0,1} C.{0,1} D.{-1,0} 答案 A 解析因为A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},又因为集合B为整数集,所以集合A∩B ={-1,0,1,2},故选A. 3.(2013·山东)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是() A.1 B.3 C.5 D.9 答案 C

集合的概念及其运算

第一节 集合 一.考试要求: 理解集合,子集,补集,交集,并集的概念,了解空集和全集的意义,了解属于、包含、相等关系的意义,掌握有关的术语和符号,并用它们正确表示一些简单的集合。 二.基本概念和性质 1.集合的基本概念: 某些指定的对象集在一起成为一个集合。其中每一个对象叫做集合的_______,集合中的元素具有________、_________、________三个特性。 2.集合的三种表示方法:_________、________、_________,它们各有优点,用什么方法来 表示集合要具体问题具体分析。 3.集合中元素与集合的关系分为__________或_________,它们用符号___或____表示。 4.集合间的关系及运算 子集:___________________________________称A 为B 的子集,记作为_____; 真子集:___________________________________称A 为B 的真子集,记为_____; 空集:____________________,记为_____ 补集:如果已知全集U ,集合A U ?,则U C A =_________________; 交集:A B =___________________;并集:A B =_____________________ 5.集合中常用运算性质 若,A B B A ??则______,若,A B B C ??则_______, ___A ?, 若,A ≠?则___A ?,___,__,__,__A A A A A A =?==?= __U A C A = __,()__,()__U U U A C A C A B C A B === ____A B A B A B ??=?= 6.熟练掌握描述法表示集合的方法,理解下列五个常见集合: {}{}{}{}{}(1)|()0,:______________(2)|()0,:_________________ (3)|():____________________(4)|(),:________________(5)(,)|(),:__________________________ x f x x R x f x x R x y f x y y f x x M x y y f x x M =∈>∈==∈=∈ 7.特别注意: (1)空集和全集是集合中的特殊集合,应引起重视,特别是空集,避免误解或漏解。 (2)为了直观表示集合之间的关系,常用韦恩图来解决问题,另外要充分利用数轴和平面 直角坐标系来反映集合及其关系。 (3)解决有关集合问题,关键在于集合语言的转化。 三、例题选讲

(完整word版)《集合的概念》教学设计.docx

附件 2:教学设计模板 教学设计 课题名称:姓名1.1 集合-集合的概念 工作单位 学科年级高一教材版本人教版 一、课程标准要求 (1)使学生初步理解集合的概念,知道常用数集的概念及记法 (2)使学生初步了解“属于”关系的意义 (3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 二、教材地位作用 集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中,就渗透了集合的初步概念,到了初中,更进一步应 用集合的语言表述一些问题例如,在代数中用到的有数集、解集等;在几何中用到的有点集至于逻辑,可以说,从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用,基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中,也是认 识问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义,也是本章学习的基础。 把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始,是因为在高中数学中,这些知识与其他内容有着密切联系,它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如,下一章讲函数的概念与性质,就离不开集合与逻辑。本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手,引出集合与集合的元素的概念,并且结合实例对集 合的概念作了说明然后,介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法,还给出了画图表示集合的例子这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣,使学生认识学习本章的意 义本节课的教学重点是集合的基本概念 三、学情调查分析 1.学生心理特征分析: 集合为高一上学期开学后的第一次授课知识,是学生从初中到高中的过渡知识,存在部分同学还沉浸在暑 假的懒散中,从而增加了授课的难度。再者,与初中直观、具体、易懂的数学知识相比,集合尤其是无限集合 就显得抽象、不易理解,这会给学生产生一定的心理负担,对高中数学知识的学习产生排斥心理。因此本节授 课方法就显得十分重要。 2.学生知识结构分析: 对于高一的新生来说,能够顺利进入高中知识的学习,基本功还是较扎实的,有良好的学习态度,也有一 定的自主学习能力和探究能力。对集合概念的知识接纳和理解打下了良好的基础,在教学过程中,充分调动学 生已掌握的知识,增强学生的学习兴趣。 四、教学目标确定 (1)使学生初步理解集合的概念,知道常用数集的概念及记法 (2)使学生初步了解“属于”关系的意义 (3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 五、重点、难点

高中数学第一章集合与函数概念知识点

高中数学第一章集合与函数概念知识点 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法 表示正整数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,N表示自然数集,N*或N + R表示实数集. (3)集合与元素间的关系 ?,两者必居其一. ∈,或者a M 对象a与集合M的关系是a M (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x|x具有的性质},其中x为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等

(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有 21n -个非空子集,它有22n -非空真子集. (8)交集、并集、补集 【1.1.3】集合的基本运算

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法 (2)一元二次不等式的解法 0) 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 (1)函数的概念

①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →. ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足 ,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞. 注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须 a b <. (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ①()f x 是整式时,定义域是全体实数. ②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中,()2 x k k Z π π≠+ ∈. ⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域

集合与函数概念单元测试题(含答案)

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分,共50分)。 1.用描述法表示一元二次方程的全体,应是 ( ) A .{x |ax 2+bx +c =0,a ,b ,c ∈R } B .{x |ax 2+bx +c =0,a ,b ,c ∈R ,且a ≠0} C .{ax 2+bx +c =0|a ,b ,c ∈R } D .{ax 2+bx +c =0|a ,b ,c ∈R ,且a ≠0} 2.图中阴影部分所表示的集合是( ) ∩[C U (A ∪C)] B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.[C U (A ∩C)]∪B 3.设集合P={立方后等于自身的数},那么集合P 的真子集个数是 ( ) A .3 B .4 C .7 D .8 4.设P={质数},Q={偶数},则P ∩Q 等于 ( ) A . B .2 C .{2} D .N 5.设函数x y 111 +=的定义域为M ,值域为N ,那么 ( ) A .M={x |x ≠0},N={y |y ≠0} B .M={x |x <0且x ≠-1,或x >0},N={y |y <0,或0<y <1,或y >1} C .M={x |x ≠0},N={y |y ∈R } D .M={x |x <-1,或-1<x <0,或x >0=,N={y |y ≠0} 6.已知A 、B 两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地,在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地,把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t (小时)的函数表达式是 ( ) A .x =60t B .x =60t +50t C .x =???>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D .x =? ????≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t 7.已知g (x )=1-2x,f [g (x )]=)0(12 2≠-x x x ,则f (21)等于 ( ) A .1 B .3 C .15 D .30 8.函数y=x x ++-1912是( ) A .奇函数 B .偶函数 C .既是奇函数又是偶函数 D .非奇非偶数

2019-2020学年高中数学 1.1 集合的概念与运算教案 新人教版必修1.doc

2019-2020学年高中数学 1.1 集合的概念与运算教案新人教版必 修1 【考点透视】 1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念. 2.了解空集和全集的意义. 3.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合. 4.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题. 5.注意空集?的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如 A?B,则有A=?或A≠?两种可能,此时应分类讨论. 【例题解析】 题型1.正确理解和运用集合概念 理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键. 例1.已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},则M∩N=() A.(0,1),(1,2) B.{(0,1),(1,2)}C.{y|y=1,或y=2} D.{y|y≥1} 思路启迪:集合M、N是用描述法表示的,元素是实数y而不是实数对(x,y),因此M、N分别表示函数y=x2+1(x∈R),y=x+1(x∈R)的值域,求M∩N即求两函数值域的交集. 解:M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1}, N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}. ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D. 点评:①本题求M∩N,经常发生解方程组 21, 1. y x y x ?=+ ? =+ ? 0, 1, x y = ? ? = ? 得 1, 2. x y = ? ? = ? 或 从而选B的错误,这是由于在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素是什么.事实上M、N的元素是数而不是点,因此M、N是数集而不是点集.②集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始,要注意区分{x|y=x2+1}、{y|y=x2+1,x ∈R}、{(x,y)|y=x2+1,x∈R},这三个集合是不同的. 例2.若P={y|y=x2,x∈R},Q={y|y=x2+1,x∈R},则P∩Q等于() A.P B.Q C. D.不知道 思路启迪:类似上题知P集合是y=x2(x∈R)的值域集合,同样Q集合是y= x2+1(x∈R)的值域集合,这样P∩Q意义就明确了. 解:事实上,P、Q中的代表元素都是y,它们分别表示函数y=x2,y= x2+1的值域,由P={y|y ≥0},Q={y|y≥1},知Q P,即P∩Q=Q.∴应选B. 例3. 若P={y|y=x2,x∈R},Q={(x,y)|y=x2,x∈R},则必有() A.P∩Q=? B.P Q C.P=Q D.P Q

集合与函数概念单元测试

集合与函数概念单元测试 一、选择题 1.集合},{b a 的子集有 ( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 2、已知函数x x f -=21)(的定义域为M ,2)(+=x x g 的定义域为N ,则=?N M A.{}2-≥x x B.{}2x x (C )||)(x x f =与33)(x x g = (D )11)(2--=x x x f 与)1(1)(≠+=t t x g 4. (A ) (B) (C ) (D) 5..已知()5412-+=-x x x f ,则()x f 的表达式是( ) A .x x 62+ B .782++x x C .322-+x x D .1062-+x x 6.已知函数y f x =+()1定义域是[]-23,,则y f x =-()21的定义域是( ) A []05 2 , B []-14, C []-55, D []-37, 7.函数 是单调函数时,的取值范围 ( ) A . B . C . D . 8.函数在实数集上是增函数,则 ( ) A . B . C . D . 9.已知 在实数集上是减函数,若,则下列正确的是 ( ) A . B . C . D . x y 0 x y 0 x y 0 x y 0

10.已知函数212x y x ?+=?-? (0)(0)x x ≤>,使函数值为5的x 的值是( ) A .-2 B .2或52- C . 2或-2 D .2或-2或52 - 11.下列四个函数中,在(0,∞)上为增函数的是 (A )f (x )=3-x (B )f (x )=x 2-3x (C )f (x )=-|x | (D )f (x )=-2 3+x 12、定义在R 上的偶函数在[0,7]上是增函数,在[7,+∞]上是减函数,又6)7(=f ,则)(x f A 、在[-7,0]上是增函数,且最大值是6 B 、在[-7,0]上是增函数,且最小值是6 C 、在[-7,0]上是减函数,且最小值是6 D 、在[-7,0]上是减函数,且最大值是6 二、填空题 13.已知集合M={(x ,y )|x +y =2},N={(x ,y )|x -y =4},那么集合M∩N= . 14.已知f (x )是偶函数,当x <0时,f (x )=x (2x -1),则当x >0时,f (x )=__ 15. 设f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x-1),则g(x)= . 16.定义域为2[32,4]a a --上的函数f(x)是奇函数,则a= . 17.设32()3,()2f x x x g x x =-=-,则(())g f x = . 三.解答题 18..已知集合A={-1,a 2+1,a 2-3},B={-4,a-1,a+1},且A∩B={-2},求a 的值.(13分) 19.已知集合A={} 71<≤x x ,B={x|2

集合与函数概念

集合与函数概念 一.课标要求: 本章将集合作为一种语言来学习,使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性,帮助学生学会用集合语言描述数学对象,发展学生运用数学语言进行交 流的能力. 函数是高中数学的核心概念,本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型 来学习,强调结合实际问题,使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法,从而发展 学生对变量数学的认识. 1.了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,掌握某些数集的专用符号. 2.理解集合的表示法,能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述 不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中,了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的交集与并集,培养学生从 具体到抽象的思维能力. 6.理解在给定集合中,一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. 7.能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 8.学会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成 的三要素,了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型,体会对 应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域,并熟练使用区间表 示法. 9.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法),并能在实际情境中,恰当 地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象. 10.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 11.结合熟悉的具体函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义,了解奇偶 性和周期性的含义,通过具体函数的图象,初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质,体会数形结合的数学方法.

集合的概念和表示方法教学设计

1集合的概念和表示方法教材分析 集合概念的基本理论,称为集合论.它是近、现代数学的一个重要基础.一方面,许多重要的数学分支,如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等,都建立在集合理论的基础上.另一方面,集合论及其反映的数学思想,在越来越广泛的领域中得到应用.在小学和初中数学中,学生已经接触过集合,对于诸如数集(整数的集合、有理数的集合)、点集(直线、圆)等,有了一定的感性认识.这节内容是初中有关内容的深化和延伸.首先通过实例引出集合与集合元素的概念,然后通过实例加深对集合与集合元素的理解,最后介绍了集合的常用表示方法,包括列举法,描述法,还给出了画图表示集合的例子.本节的重点是集合的基本概念与表示方法,难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合. 教学目标 1.初步理解集合的概念,了解有限集、无限集、空集的意义,知道常用数集及其记法. 2.初步了解“属于”关系的意义,理解集合中元素的性质. 3.掌握集合的表示法,通过把文字语言转化为符号语言(集合语言),培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力. 任务分析 这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解,这里主要根据实例引出概念.介绍集合的概念采用由具体到抽象,再由抽象到具体的思维方法,学生容易接受.在引出概念时,从实例入手,由具体到抽象,由浅入深,便于学生理解,紧接着再通过实例理解概念.集合的表示方法也是通过实例加以说明,化难为易,便于学生掌握. 教学设计 一、问题情境 1.在初中,我们学过哪些集合? 2.在初中,我们用集合描述过什么? 学生讨论得出:

在初中代数里学习数的分类时,学过“正数的集合”,“负数的集合”;在学习一元一次不等式时,说它的所有解为不等式的解集. 在初中几何里学习圆时,说圆是到定点的距离等于定长的点的集合.几何图形都可以看成点的集合. 3.“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近? 学生讨论得出: “全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”,…… 4.请写出“小于10”的所有自然数. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.这些可以构成一个集合. 5.什么是集合? 二、建立模型 1.集合的概念(先具体举例,然后进行描述性定义) (1)某种指定的对象集在一起就成为一个集合,简称集. (2)集合中的每个对象叫作这个集合的元素. (3)集合中的元素与集合的关系: a是集合A中的元素,称a属于集合A,记作a∈A; a不是集合A中的元素,称a不属于集合A,记作a A. 例:设B={1,2,3},则1∈B,4B. 2.集合中的元素具备的性质 (1)确定性:集合中的元素是确定的,即给定一个集合,任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了.如上例,给出集合B,4不是集合的元素是可以确定的. (2)互异性:集合中的元素是互异的,即集合中的元素是没有重复的. 例:若集合A={a,b},则a与b是不同的两个元素. (3)无序性:集合中的元素无顺序.

专题1.1 集合的概念与运算(解析版)

第一篇集合与常用逻辑用语 专题1.1 集合的概念与运算 【考纲要求】 1. 了解集合的含义、元素与集合的属于关系. 2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 4.在具体情境中,了解全集与空集的含义. 5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. 7.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算. 【命题趋势】 1. 利用集合的含义与表示求集合的元素或元素的个数. 2.根据集合间的关系求集合子集的个数、参数的取值或范围. 3.考查数集的交集、并集、补集的基本运算. 4.常运用数轴或韦恩图及数形结合思想来求解含未知参数的集合问题. 5.以集合为载体结合其他数学知识考查新概念、新性质、新法则的创新问题的应用.1.元素与集合【核心素养】 本讲内容主要考查数学抽象和数学运算的核心素养. 【素养清单?基础知识】 1.集合的有关概念 (1) 集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性. 元素互异性,即集合中不能出现相同的元素,此性质常用于求解含参数的集合问题中. (2) 集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. (3) 元素与集合的两种关系:属于,记为∈;不属于,记为?. (4) 五个特定的集合及其关系图: N*或N+表示正整数集,N表示自然数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集.2.集合间的基本关系

(1) 子集:一般地,对于两个集合A ,B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,则称A 是B 的子集,记作A ?B (或B ?A ). (2) 真子集:如果集合A 是集合B 的子集,但集合B 中至少有一个元素不属于A ,则称A 是B 的真子集,记作A ?B 或B ùA . A ? B ? ? ???? A ? B , A ≠ B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ,也要说明B 中存在一个元素不属于A . (3) 集合相等:如果A ?B ,并且B ?A ,则A =B . 两集合相等:A =B ?? ??? ? A ? B ,A ?B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性,B 中任意一个元素也符合A 中元 素的特性. (4) 空集:不含任何元素的集合.空集是任何集合A 的子集,是任何非空集合B 的真子集.记作?. ?∈{?},??{?},0??,0?{?},0∈{0},??{0}. 3.集合间的基本运算 (1) 交集:一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集,记作A ∩B ,即A ∩B ={x |x ∈A ,且x ∈B }. (2) 并集:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为A 与B 的并集,记作A ∪B ,即A ∪B ={x |x ∈A ,或x ∈B }. (3) 补集:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作?U A ,即?U A ={x |x ∈U ,且x ?A }. 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”,集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素,剩下的元素构成的集合即为?U A . 【素养清单?常用结论】 (1) 子集的性质:A ?A ,??A ,A ∩B ?A ,A ∩B ?B . (2) 交集的性质:A ∩A =A ,A ∩?=?,A ∩B =B ∩A . (3) 并集的性质:A ∪B =B ∪A ,A ∪B ?A ,A ∪B ?B ,A ∪A =A ,A ∪?=?∪A =A . (4) 补集的性质:A ∪?U A =U ,A ∩?U A =?,?U (?U A )=A ,?A A =?,?A ?=A . (5) 含有n 个元素的集合共有2n 个子集,其中有2n -1个真子集,2n -1个非空子集. (6) 等价关系:A ∩B =A ?A ?B ;A ∪B =A ?A ?B . 【真题体验】

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