判别一元二次方程根的情况

一元二次方程根的判别式知识点

一元二次方程根的判别 式知识点 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]

一元二次方程根的判别式知识点及应用 1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：在一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b24ac 若△＞0则方程有两个不相等的实数根 若△=0则方程有两个相等的实数根 若△＜0则方程没有实数根 2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理： 在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b24ac 若方程有两个不相等的实数根，则△＞0 若方程有两个相等的实数根，则△=0 若方程没有实数根，则△＜0 特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。 一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。 二、例1、判断下列方程根的情况 三、2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0 二、?已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。 例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0有两个实数根？ 三、?证明方程根的性质。 例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。 四、?判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。 例4、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围 内因式分解。 五、?判定二次三项式为完全平方式。 例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。 例6、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是

一元二次方程及根的定义

一元二次方程及根的定 义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及 的值. 思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可. 解：将代入原方程，得 即 解方程，得 当时，原方程都可化为 解方程，得. 所以方程的另一个根为4，或-1. 总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口. 举一反三： 【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式 的值. 思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题. 解：因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以.

. 总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3-27x2=0； (2)4(1-x)2-9=0. 解：(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程： (1)；(2). 解：(1)由， 得， ，

， 所以， 故. (2)由， 得， ， ， 所以 故 4.用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3). 解：(1)这里 并且 所以， 所以，. (2)将原方程变形为， 则 ， 所以，

所以. (3)将原方程展开并整理得， 这里， 并且， 所以. 所以. 总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)； (3). 解：(1)将原方程变形为， 提取公因式，得， 因为，所以 所以或， 故 (2)直接提取公因式，得 所以或，(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得

一元二次方程根的情况试题练习题

一元二次方程根的情况练习题（含答案） 一．选择题 1．一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 2．一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为（） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．两个相等的实数根D．两个不相等的实数根 3．一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 4．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．无实数根D．无法确定 5．a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．无实数根D．有一根为0 6．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 7．一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（）

C．只有一个实数根D．没有实数根 8．y=x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根 9．一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（） A．有一个实数根B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根D．没有实数根 10．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 11．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 12．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根 13．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 14．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）

一元二次方程根的分布情况归纳总结

一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00??? -??? ->??f 综 合结论（不讨论 a ） ()00200b a a f ?>???-?? ()0 0200 b a a f ?>???->???>?? ()00

分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0??? -??? ->??k f 综 合结论（不讨论 a ） ()020b k a a f k ?>??? - ?? ()0 20 b k a a f k ?>??? - >???>?? ()0

一元二次方程的根的判别式(一)_0

一元二次方程的根的判别式（一） 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 1。知识结构： 2。重点、难点分析 （1）本节的重点是会用判别式判定根的情况。一元二次方程的根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也可以利用它进一步学习函数的有关内容，所以，它是本节课的重点。 （2）本节的难点是一元二次方程根的三种情况的推导。教科书首先将一元二次方程用配方法变形为。因为，所以方程右边的符号就由来确定，而方程左边的不可能是一个负数，因此，把分三种情况来讨论方程根的情况。推导过程当中利用了分类的思想方法，对于分

类讨论学生感觉到较难，老师应该讲明分类的基本思想。 3。教法建议： （1）引入要自然、合理 新课引入前，作一个铺垫：前面我们讲了一元二次方程的解法，我们掌握了开平方法、公式法和因式分解法后，就可以解任何一个一元二次方程，但是，存在这样一个问题，并不是所有的一元二次方程都有解，我们可以通过把解求出来，来解方程，也可以通过判定方程无解，来解方程，这样我们就面临着一个问题，什么时候方程有解？什么时候方程无解？我们不解方程能不能判定根的情况？那就是我们本节所要研究的问题。让学生首先感觉到所要学习的知识并不突然，也显露了本节课的重点。 （2）利用多媒体进行教学 本节是根的判别式结论的推导，比较抽象，为了便于学生理解，使用所提供的动画，有助于学生对所讲内容的理解，调动学生主动思维的积极性，活跃

课堂气氛，提高学习效率。 （3）本节在推导根的判别式的结论时，利用了分类的思想，对于学生这是一个难点，一定给学生讲清楚分类的依据，分类的基本思想，使学生对所得结论深信不疑。 一、教学目标 1。理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况； 2。通过根的判别式的学习，培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力； 3．通过根的情况的研究过程，让学生深刻体会转化和分类的思想方法。 二、重点·难点及解决办法 1．教学重点：会用判别式判定根的情况。 2．教学难点：一元二次方程根的三种情况的推导。 3．解决办法：（1）求判别式时，应先将方程化为一般形式，确定a、b、c。（2）利用判别式可以判定一元二次方程

一元二次方程根的分布教学设计

一元二次方程根的分布教学设计 大庆一中高中部孙庆夺 一、教学分析 （一）教学内容分析 本节课所讲的内容是高中数学必修一第三章第一节《函数与方程》之后的一个专题内容，是中学数学的重要内容之一。这段内容与一元二次不等式，二次函数等内容有着紧密的联系。它是在前面学习了函数与方程，二次方程，二次不等式基础上对函数与方程内容的深化和拓展，通过根的分布的不同情况，充分体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。从而提升学生对数学知识的应用能力。通过学习一元二次方程根的分布，有助于学生进一步理解二次方程，二次函数，加深函数与方程思想，数形结合思想在数学学习中的应用的认识，同时也为以后数学的学习打下扎实的基础。 （二）教学对象分析 高中一年级的学生已经有了一定的观察识图能力及分析判断能力，有利用已有知识解决新问题的愿望。学生学习了函数与方程，二次方程，二次函数的知识， 已经具有用数学知识解决实际问题的能力。学生抽象逻辑思维很大程度上还属于经验型，需要感性经验的直接支持。通过学习，抽象逻辑思维逐步成熟，能够用理论作为指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。 （三）教学环境分析 由于本节课涉及到根的分布情况较多，对老师的的作图提出了很高的要求。采用传统的板式教学，根本就无法向学生演示动态过程，很难满足学生的求知欲，达不到教学的最佳效果。多媒体网络教学，是现代高中数学教学全新的教育技术，

使传统的教学方式得到补充。在计算机的帮助下，利用制作好的几何画板课件，操作演示，感受根的分布的不同情况，加深学生的认识和理解，同时也符合学生认识事物从感性认识到理想认识的认知过程。 （四）教学手段 采用多媒体网络教学。《普通高中数学课程标准》指出：“现代信息技术的广泛应用真正对数学教学、数学学习方面产生深刻的影响，数学课程的设计应重视运用现代信息技术，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，提倡实现信息技术与课程内容的有机结合。”本节课涉及到的图象信息较多，利用多媒体网络教学可以实现最大容量地向学生提供图象信息，并让学生整理归纳信息，增强学生的动手能力、思考能力和自主学习能力，也能实现数学课堂中学生的高参与度，从而实现资源、时间、效率的最优化。 （五）教学方式 自主式探究，学案式导学。自主探究，学案导学的教学方式，能够激发学生的学习兴趣、突出学生的主题地位，培养学生的数学应用意识、合作精神，这与《新课标》的要求是吻合的。 二、教学目标 １.知识与能力 加深对一元二次方程，二次函数图象与性质的认识；会利用函数知识，方法重新审视一元二次方程． ２.过程与方法 体验“观察-猜想-验证”探究问题的方法，领会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，加深对函数与方程，数形结合思想的理解。

一元二次方程的根的判别式练习题

一元二次方程的根的判别式 1、方程2x 2+3x －k=0根的判别式是 ；当k 时，方程有实根。 2、关于x 的方程kx 2+(2k+1)x －k+1=0的实根的情况是 。 3、方程x 2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。 4、关于x 的方程(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0的根的情况是 。 5、当m 时，关于x 的方程3x 2－2(3m+1)x+3m 2－1=0有两个不相等的实数根。 6、如果关于x 的一元二次方程2x(ax －4)－x 2+6=0没有实数根，那么a 的最小整数值是 。 7、关于x 的一元二次方程mx 2+(2m －1)x －2=0的根的判别式的值等于4，则m= 。 8、设方程(x －a)(x －b)－cx=0的两根是α、β，试求方程(x －α)(x －β)+cx=0的根。 9、不解方程，判断下列关于x 的方程根的情况： (1)(a+1)x 2－2a 2x+a 3=0(a>0) (2)(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0 10、m 、n 为何值时，方程x 2+2(m+1)x+3m 2+4mn+4n 2+2=0有实根? 11、求证：关于x 的方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根。 12、已知关于x 的方程(m 2－1)x 2+2(m+1)x+1=0，试问：m 为何实数值时，方程有实数根? 13、 已知关于x 的方程x 2－2x －m=0无实根(m 为实数)，证明关于x 的方程x 2+2mx+1+2(m 2－1)(x 2+1)=0 也无实根。 14、已知：a>0,b>a+c,判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0根的情况。 15、m 为何值时，方程2(m+1)x 2+4mx+2m －1=0。 (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个实数根； (3)有两个相等的实数根； (4)无实数根。 16、当一元二次方程(2k －1)x 2－4x －6=0无实根时，k 应取何值? 17、已知：关于x 的方程x 2+bx+4b=0有两个相等实根，y 1、y 2是关于y 的方程y 2+(2－b)y+4=0的两实根，求以1y 、2y 为根的一元二次方程。 18、若x 1、x 2是方程x 2+ p x+q=0的两个实根，且23x x x x 222121=++，25x 1x 12221=+求p 和q 的值。 19、设x 1、x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0(q ≠0)的两个根，且x 2 1+3x 1x 2+x 2 2=1， 0)x 1(x )x 1(x 2211=+++，求p 和q 的值。 20、已知x 1、x 2是关于x 的方程4x 2－(3m －5)x －6m 2=0的两个实数根，且23x x 21=，求常数m 的值。 21、已知α、β是关于x 的方程x 2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α3－α2β－αβ2+ β3=0，求证：p=0,q<0 22、已知方程(x －1)(x －2)=m 2(m 为已知实数，且m ≠0)，不解方程证明： (1)这个方程有两个不相等的实数根；

一元二次方程判别式及韦达定理

一元二次方程判别式及韦达定理 一、选择题 1.（2013湖北黄冈）已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一根为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 2.（2013四川泸州）若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1k >- B ．1k <且0k ≠ C ． 1k ≥-且0k ≠ D ． 1k >-且0k ≠ 3. （2013四川泸州，）设12,x x 是方程2330x x +-=的两个实数根，则 2112 x x x x +的值为（ ） A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－1 4. （2013福建福州，）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A ．x 2＋3＝0 B ．x 2＋2x ＝0 C ．(x ＋1)2＝0 D ．(x ＋3)(x －1)＝0 5．（2013山东滨州，）对于任意实数k ，关于x 的方程程x 2－2(k +1)x －k 2+2k －1=0的根的情况为 A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．无法确定 6．（2013广东广州）若0205<+k ，则关于x 的一元二次方程042=-+k x x 的根的情况是（ ） A .没有实数根 B .有两个相等的实数根 C .有两个不相等的实数根 D .无法判断 7．（2013山东日照）已知一元二次方程032=--x x 的较小根为1x ,则下面对1x 的估计准确的是 A ．121-<<-x B ．231-<<-x C ．321<

一元二次方程求根公式

一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式

法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，

一元二次方程根的判别式专题训练

一元二次方程根的判别式专题训练 1. (2010 广西钦州市) 已知关于x 的一元二次方程x 2 +kx +1 =0有两个相等的实数根，则k = ． 2. (2010 湖北省荆门市) 如果方程2210ax x ++=有两个不等实根，则实数a 的取值范围是____________. 3. (2010 江苏省苏州市) 若一元二次方程()2 220x a x a -++=的两个实数根分别是3b 、，则a b +=_________. 4. (2010 江苏省苏州市) 下列四个说法中，正确的是（ ） A ．一元二次方程22 452 x x ++=有实数根； B. 一元二次方程23 452 x x ++=有实数根； C. 一元二次方程25 453x x ++= 有实数根； D. 一元二次方程()2451x x a a ++=≥有实数根. 5. (2010 湖南省益阳市) 一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根，则ac b 42 -满足的条件是 Ａ．ac b 42 -＝0 Ｂ．ac b 42-＞0 Ｃ．ac b 42-＜0 Ｄ．ac b 42-≥0 6. (2010 山东省烟台市) 方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，则（x1-1）（x2-1）= . 7. (2010 北京市) 已知关于 x 的一元二次方程 2410x x m -+-= 有两个相等的实数根， 求m 的值及方程的根． 8. 当k 是什么整数时, 方程(k2–1)x2–6(3k –1)x+72=0有两个不相等的正整数根？ 9. 关于x 的一元二次方程()011222=-+--m x m x 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数，求m 的整数值, 并求出两方程的整数根. 10. (2010 重庆市江津区) 在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中5a =，若关于x

一元二次方程根的差别式

典型例题一 例 求证：如果关于x 的方程922+=+m x x 没有实数根，那么，关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根. 分析：由已知，可根据一元二次方程的根的判别式证之. 证明 设方程922+=+m x x 即0922=--+m x x 的根的判别式为1?，方程 0522=+-+m my y 的根的判别式为2?，则 . 36)4( 208)25(4. 440)9(42222221-+=-+=--=?+=++=?m m m m m m m ∵方程922+=+m x x 无实数根， 01+∴m ，即036)4(2>-+m . 故方程0522=+-+m my y 有两个不相等的实数根. 说明：上述证明中，判定02>?用到了01

分析：运用根的判别式判定根的情况时，要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号，尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“?”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“?”的符号，从而判定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键. 解：（1）),1(4,2,1-=-==k c k b a )1(414)2(422-??--=-=?∴k k ac b )2(4)44(416 16422 2≥-=+-=+-=k k k k k ∴方程有两个实数根. （2）0≠a ， ∴方程02=+bx ax 是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项，将常数项看作零. ∴2204b a b =?-=?. ∴不论b 取任何实数，2b 均为非负数， 02≥=?b 恒成立. ∴方程有两个实数根. （3）0≠a ， ∴方程02=+c ax 是缺少一次项的不完全的一元二次方程，它的一次项系数0=b . ac a 40402-=?-=?， ∴需要讨论a 、c 的符号，才能确定?的符号. 当0=c 时，0=?，方程有两个相等的实数根； 当a 、c 异号时，0>?，方程有两个不相等的实数根； 当a 、c 同号时，0

解一元二次方程(根的判别式)

第四课时 解一元二次方程（根的判别式） 学习目标： 1、熟练使用公式法解一元二次方程。 2、会用ac b 42 -的值来判断一元二次方程。 授课内容： 1、用公式法法解下列方程： （1）0222=--x x （2）0122=+-x x （3）0222=+-x x . 2、观察上述方程的根，方程（1）两个实数根________，方程（2）两实数根________， 方程（3）_______________。那么方程根出现不同情况是由什么来判断的呢？ 3,结论：一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的情况可由ac b 42-来判定： 当__________时，方程有两个不相等的实数根； 当__________时，方程有两个相等的实数根； 当__________时，，方程没有实数根。 我们把ac b 42-叫做一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的判别式 说明：（1）可以不解方程求ac b 42 -的值来判别方程的根的情况。 （2）上述结论反过来也成立。 例题讲解 例1、不解方程，判别方程根的情况： （1）0132=-+x x （2）0962 =+-x x （3）04322=+-y y （4）x x 5252=+ 变式：求证：不论x 取何值时，关于x 的一元二次方程012 =--kx x 总有两个不相等的实 数根。

例2、k 取什么值时，关于x 的方程022)2(22=-++-k x k x 有两个相等的实数根？有 两个不等的实数根？无实数根？ 变式1：已知关于0232 =-+-k x x 有实数根，求k 的取值范围。 例3、已知关于x 的方程220kx +-=有两个不相等的实数根．．．．．．．．．，求k 的取值范围。 变式:关于x 的方程．．2 (2)2(1)10k x k x k ---++=有实数根，求k 的取值范围。 课堂练习: 1,已知关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=，K 取什么值时 ○ 1、方程有两个不相等的实数根； ○ 2、方程有两个相等的实数根； ○ 3、方程无实数根； 2,试说明关于x 的方程222(1)2(4)0m x mx m +-++=无实数根。

一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） a

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧 12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n

一元二次方程的根的判别式

【学习课题】 九上 补充内容 一元二次方程的根的判别式 【学习目标】 1、经历探索一元二次方程的根的判别式的过程，进一步理解根的判别式； 2、能利用判别式判定根的情况以及在已知根的情况时，能求出未知系数的 值。 【学习重点】 能准确地使用判别式解决相关问题。 【学习难点】已知根的情况时，能求出未知系数的值。 【学习过程】 学习准备： 复习：（1）一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的求解方法有①_________法②________法， ③_________法,④_________法。 (2) 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的求根公式为____________( ) (3) 用配方法解下列方程：① x 2+6x+8=0 ② 3x 2-1=6x 解读教材： 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)经配方可变形为：（x+ ）2=2244a ac b -,因为a ≠0，所以， 4a 2＞0，于是有： （1） 当b 2-4ac ＞0时，方程右边是一个___数，则：x 1=________；x 2=_______ 即方程有两个不相等的实数根。 （2） 当b 2-4ac=0时，方程右边是_____,则有：x 1= x 2=_________；即方程有两个相等 的实数根。 （3） 当b 2-4ac ＜0时，方程右边是一个___数，而方程左边的（x+ ）2 ___0 不可能是___数。所以，方程没有实数根。 由上可知：一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的情况可由b 2-4ac 来判定。所以，把b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式。用符号“△”来表示。（“△”是希腊字母，读作delta ） 特别地：a 、c 异号时方程一定有两个不相等的实数根。想一想：为什么？ 挖掘教材： 1、 不解方程，判别方程根的情况： 例1：不解方程，判别下列方程根的情况： （1）2x 2+3x-4=0 (2) 16y 2+9=24y (3) 5(x 2+1)-7x=0 分析：根据△的大小，利用一元二次方程根的判别式作出判断。 解：（1）∵△=32-4×2×(-4)=__________（ ）0 ∴原方程__________________ （2）∵△=_______________=_____________( ) 0 ∴原方程__________________ (3) ∵△=________________=______________( ) 0 ∴原方程__________________ 即时练习：不解方程，判别下列方程根的情况： (1)2y 2+5=6y (2) 4p(p-1)-3=0 (3) x 2+5=25x

一元二次方程根与系数关系附答案

一元二次方程根与系数的关系（附答案） 评卷人得分 一．选择题（共6小题） 1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说确的是（） A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1 3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6 5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D． 6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（） A．﹣1 B．0 C．1 D．3 评卷人得分

二．填空题（共1小题） 7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为． 评卷人得分 三．解答题（共8小题） 8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值围； （2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长． 9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）若该方程的一个根为1，求a的值； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程一个根为3，求m的值． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程； （2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值围； （3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值． 12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．

一元二次方程根的两个特性及简单运用

一元二次方程根的两个特性及简单运用 我们知道方程的解是由方程的系数（包括常数项）决定的。因此，一元二次方程的根与其系数有着密切的联系。教材中我们探索了一元二次方程的二次项系数为1的情况下的两根之和、两根之积与系数的关系。现在我们接着来探索一般形式下的一元二次方程20(0) ax bx c a ++=≠的两根之和、两根之积与系数的关系。 例1、先阅读，再填空解题： (1)方程：x2-4x-12=0 的根是：x 1=6, x 2 =-2，则x 1 +x 2 =4，x 1 ·x 2 =-12； (2)方程2x2-7x+3=0的根是：x 1= 1 2 , x 2 =3，则x 1 +x 2 = 7 2 ，x 1 ·x 2 = 3 2 ； (3)方程3x2+6x-2=0的根是：x 1= , x 2 = .则x 1 +x 2 = ， x 1·x 2 = ； 根据以上（1）(2)(3)你能否猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0且a、b、c为常数）的两根为x 1、x 2 ，那么x 1 +x 2 、x 1 x 2 与系数a、b、c有 什么关系？请写出来你的猜想并说明理由。 解析：方程3x2+5x-2=0的根是：x 1= 1 3 x 2 =-2。则x 1 +x 2 = 5 3 -，x1·x2= 2 3 -。 能猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数） 的两根为x 1、x 2 ，那么x 1 +x 2 a b - =、x1x2 a c =。理由如下： 根据求根公式可知，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c 为常数）的两根为： a ac b b x 2 4 2 1 - + - =， a ac b b x 2 4 2 2 - - - = 所以x 1+x 2 = a ac b b 2 4 2- + - + a ac b b 2 4 2- - - a b - = x 1x 2 = a ac b b 2 4 2- + - · a ac b b 2 4 2- - - a c = 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，这个方程的两个根与系数的关系是：两根之和，等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商．

专题：一元二次方程根的判别式(含答案)(20201101103145)

一元二次方程根的判别式姓名 ?课前预习 1. _________________________________________________________________________________ 一元二次方程ax2+bx+c=0 (0)的根的情况可用b2—4ac?来判定，？b2—4ac?叫做______________________ ,通常用符号“△”为表示. (1) b2—4ac>0 方程__________ ; (2) b2—4ac=0 方程 _________ ; (3) b2—4ac<0 方程 _________ . 2?使用根的判别式之前应先把方程化为一元二次方程的____________ 形式. ?互动课堂 【例1】不解方程，判别下列方程根的情况： (1) x2—5x+3=0 ; (2) X2+2..2X+2=0 ; (3) 3x2+2=4x ; (4) mx2+ ( m+n) x+n=0 ( m 工0, m 工n). 【例2】若关于x的方程(m2—1) x2— 2 (m+2) x+1=0有实数根，求m的取值范围. 【例3】已知关于x的一元二次方程x2—( 2k+1 ) x+4 ( k—丄)=0. (1)求证：无论k取什么实数 2 值，这个方程总有实数根；(2)如果等腰厶ABC有一边长a=4,另两条边长b, c恰好是这个方程的两个实数根，求△ ABC的周长. 【例4】已知关于x的方程x — 2 (m+1) x+m2=0. (1)当m取何值时，方程有两个实数根？ (2)为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根. ?跟进课堂 1 .方程2x2+3x —4=0的根的判别式△ = _______ . 2. _______________________________________________________________________ 已知关于x的一元二次方程mx2—10x+5=0有实数根，则m的取值范围是____________________________ . 3. 如果方程x2—2x —m+3=0有两个相等的实数根， 则m的值为_________ ,此时方程的根为_________ . 4 .若关于x的一元二次方程kx2+2x —仁0没有实数根，则k的取值范围是___________ . 5 .若关于x的一元二次方程mx2—2 ( 3m—1) x+9m —1=0有两个实数根，则实数m?的取值范围是 6 .下列一元二次方程中，没有实数根的是( ). A . x2+2x —仁0 B. X2+2T3X+3=0 C . x2+T2x+ 仁0 D. —x2+x+2=0 7.如果方程2x( kx —4) —x2—6=0有实数根，则k的最小整数是().A. — 1 B . 0 C . 1 D . 2 &下列一元二次方程中，有实数根的方程是( ). A . x2—x+仁0 B . x2—2x+3=0 C . x2+x —仁0 D . x2+4=0 9. 如果关于x的一元二次方程kx2—6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( ). A . k<1 B . k z 0 C . k<1 且k 工0 D . k>1 10 .关于x的方程x2+ (3m —1) x+2m2—m=0的根的情况是( ). A .有两个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根 D .没有实数根 ?课外作业 1. 在下列方程中，有实数根的是( ) (A) X2+3X+仁0 ( B) 4x—1=-1 (C) X2+2X+3=0( D) 上=丄 x 1 x 1 2. 关于x的一元二次方程x2+ kx—仁0的根的情况是 A、有两个不相等的同号实数根 B、有两个不相等的异号实数根

一元二次方程的根

初中数学竞赛专题选讲(初三.1) 一元二次方程的根 一 、内容提要 1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的. 根公式是：x=a ac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式 ① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是： b 2－4a c ≥0. ② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是： b 2－4a c 是完全平方式?方程有有理数根. ③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根?p 2－4q 是整数的平方数. 3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么 ① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)； ② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=a ac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=a c (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件 整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0?x 1=0 ， a+b+c=0?x 1=1 ， a －b+c=0?x 1=－1. 二、例题 例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1. 求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根. （1990年泉州市初二数学双基赛题） 证明 （用反证法） 设 两个方程都没有两个不相等的实数根， 那么△1≤0和△2≤0. 即?? ???++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b 由①得b ≥ 41，b+1 ≥4 5代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0， 即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的. 既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.