高数 第一章 函数 习题详解
第 一 章 函 数
习 题 1.1
1．用区间表示下列点集：
(1) {}
0x x ≠； (2) {}
45x x -<； (3) {}10x x +>； (4) {
}
2
560x x x ++<． 解 (1) 由于实数全体为),(-∞+∞，因此
{}0(,0)
(0,)x x ≠=-∞+∞．
(2) 由54<-x ，有91<<-x ，因此
{}
45(1,9)x x -<=-．
(3) 由01>+x ，有1->x 或1- {} 10(,1)(1,)x x +>=-∞--+∞． (4) 由0652 <++x x ，有32x -<<-，因此 {} 2 560(3,2)x x x ++<=--． 2．求下列函数的定义域： (1) 1y x =- (2) 31 arcsin 2ln()2 x y x -= +； (3) , 11, 1x x y x x >?=? -≤? ． 解 (1) 要使函数有定义, 必须???≥-≠0 10 2 x x ，即[1,0)(0,1]x ∈-，所以函数的定义域为[1,0) (0,1]x ∈-． (2) 使得函数有意义的数集满足以下不等式组： 2201021123112 x x x x x ?+-≥? ?+>?? ? +≠?? -?≤??， 解之，得 121 212113 x x x x -≤≤?? ?>-?? ? ≠?? ?-≤≤??， 即 1132 112 x x ?-≤ 所以函数的定义域为111,,1322????-? ?????? ． (3) 分段函数的定义域为各段函数定义域的并，所以函数的定义域为[1,)-+∞． 3．设1, 01 ()2, 12 x f x x ≤≤?=? -<≤?，求下列函数的定义域： (1) (3)f x +； (2) (2)f x ． 解 函数()f x 的定义域为02x ≤≤，所以 (1) (3)f x +的定义域为032x ≤+≤，即31x -≤≤-． (2) (2)f x 的定义域为022x ≤≤，即01x ≤≤． 4．求下列函数的值： (1) 1()2f x x = +，求()() (2),(2),f x h f x f f h h +-+，其中h 为常数且0,4h ≠-； (2) 1, 1()23, 1 x x f x x x + +>?，求(0),(1.5),(1)f f f h +，其中h 为常数． 解 (1) 当2x =时，11 (2)224f = =+； 当2x h =+时， 11 (2)224f h h h +==+++； 11 ()()1 22(2)(2) f x h f x x h x h h x h x - +-+++==+++． (2) 当0x =时，(0)011f =+=； 当 1.5x =时，(1.5)2 1.536f =?+=； 当11x h =+<，即0h <时，(1)2f h h +=+； 当11x h =+>，即0h >时，(1)25f h h +=+． 5．下列各题的两个函数是否相同? 为什么? (1) y x = 与y =； (2) y = y x =； (3) y = y =； (4) 1y =与22cos sin y x x =+． 解 (1) 不相同，因为对应法则不同，所以不是同一函数． (2) 不相同，因为 y x ===， 它们对应法则不同，所以不是同一函数． (3) 相同， 因为y = y =的定义域都是一切实数， 且对应法则相同， 所以是相同函数． (4) 相同，因为对于任意),(+∞-∞∈x ，都有2 2 cos sin 1x x +=，所以是相同函数． 6．判断下列函数的单调性： (1) 2 1y x =-； (2) ln y x x =+． 解 (1) 因为2 y x =在(,0)-∞上是减函数，而在(0,)+∞上是增函数，所以2 1y x =-在(,0)-∞上是增函数，而在(0,)+∞上是减函数． (2) 因为函数()ln y f x x x ==+的定义域为(0,)+∞，任取12,(0,)x x ∈+∞，且 21x x <，则 121122()()ln ln f x f x x x x x -=+-- 1 122 ln 0x x x x =-+<， 即12()()f x f x <，故ln y x x =+在(0,)+∞上是单增函数． 7．证明函数21 ()25 f x x x = ++在其定义域内是有界的． 证 因为2225(1)44x x x ++=++≥，所以 2 11 0254 x x < ≤++， 故函数21 ()25 f x x x = ++在其定义域内是有界的． 8．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？ (1) 233y x x =-； (2) (1)(1)y x x x =-+； (3) sin cos 1y x x =-+； (4) 2 x x a a y -+=． 解 (1) 23()3y f x x x ==-，其定义域为(,)-∞+∞，是对称区间，又因为 2323()3()()3f x x x x x -=---=+， ()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-， 所以()f x 既非偶函数又非奇函数． (2) ()(1)(1)y f x x x x ==-+，其定义域为(,)-∞+∞，是对称区间，因为 ()([()1][()1]f x x x x -=----+ (1)(1)()x x x f x =-+-=-， 所以()f x 为奇函数． (3) ()sin cos 1y f x x x ==-+，其定义域为(,)-∞+∞，是对称区间，因为 ()sin()cos()1sin cos 1f x x x x x -=---+=--+， ()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-， 所以()f x 既非偶函数又非奇函数． (4) ()2 x x a a y f x -+==，其定义域为(,)-∞+∞，是对称区间，因为 ()()2 x x a a f x f x -+-==， 所以()f x 为偶函数． 9．下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： (1) cos(2)y x =-； (2) 1sin y x π=+； (3) 2sin y x x =； (4) cos3y x =． 解 (1 ) 是周期函数，周期为π2． (2) 是周期函数，周期为2． (3) 不是周期函数． (4) 是周期函数，周期为 3 π． 10．当k 为何值时，函数2()22 x k f x kx kx +=++的定义域是(,)-∞+∞？ 解 当0k =时，()2 x f x = ，此时函数的定义域为(,)-∞+∞； 当0k ≠时，只要2 220kx kx ++≠， 即 2(2)420k k ?=-?<， 也就是当02k <<时，函数的定义域为(,)-∞+∞； 故当02k ≤<时，函数2 ()22 x k f x kx kx +=++的定义域为(,)-∞+∞． 习 题 1.2 1．已知()1x f x x = -，求(())f f x ，((()))f f f x ． 解 1 1(())(1,) 12211x x x f f x x x x x -==≠≠---； (())11 12((()))(1,,)1(())1323 112x f f x x x f f f x x x x x f f x x x -===≠≠≠----． 2．已知1,0()0,01,0x f x x x ==??->?， 求2(1)(1)f x f x --，． 解 1,1 0(1)0,101,10x f x x x - -=-=??-->?， 即 1,1(1)0,11,1x f x x x -==??->? ； 22221,10(1)0,101,10x f x x x ?- -=-=??-->? ， 即 2 1,1(1)0, 11,1 x f x x x ?? ． 3．设2(21)f x x -=，求()f x ． 解 令21t x =-，则1(1)2x t =+，于是21 ()(1)4f t t =+， 即 21 ()(1)4 f x x = +． 4．设()f x 满足2()(1)x f x f x e +-=，求()f x ． 解 令1t x =-，则1x t =-，代入原方程得 12(1)()t f t f t e --+=， 即 12(1)()x f x f x e --+=． 该方程与原方程联立，解得 12()3 x x e e f x --=． 5．下列函数是哪些函数复合而成的？ (1) sin 2y x =； (2) y = (3) 2 3 (1ln )y x =+； (4) 2 sin x y a =． 解 (1) sin ,2y u u x ==． (2) arctan ,cos ,,2t y u v v w w e t x ====． (3) 32,1,ln y u u v v x ==+=． (4) 2,,sin u y a u v v x ===． 6．设1,1 ()0, 11,1 x f x x x ? ==??->? ，()x g x e =，求(())f g x 和(())g f x ． 解 将()f x 直接代入()x g x e =，有 () 1,1(())1,1,1 f x e x g f x e x e x -?? ， 将()x g x e =直接代入()f x ，有 1,1(())0, 11, 1 x x x e f g x e e ? ==??->??． 即 1,0(())0,01,0x f g x x x ==??->? ． 7．求下列函数的反函数： (1) 11x y x -= +； (2) 2sin3y x =； (3) x x x x e e y e e ---=+； (4) 2 , 1,142,4x x x y x x x ? ； (5) 2 1(1), 012 1(2), 123 x x y x x ?+≤ 解 (1) 由11x y x -= +，解出11y x y -=+，得反函数11x y x -=+(1)x ≠-． (2) 由2sin3y x =，解出)22(2arcsin 31 ≤≤-= y y x ，得反函数 )22(2 arcsin 31 ≤≤-=x x y ． (3) 由x x x x e e y e e ---=+，解出11ln 21y x y +=-，得反函数11 ln (1,1)21x y x x +=∈--． (4) 由2 , 1 ,142,4x x x y x x x ? ，解出2 , 1 116log , 16y y x y y y ?，得反函数 2 , 1 116log , 16x x y x x x ?． (5) 当01x ≤<时，21(1)2y x =+的值域为1 12 y ≤<， 此时x =当12 x ≤≤时，1(2)3y x =+的值域为4 13 y ≤≤，此时32x y =-． 于是 112 432, 13y x y y ≤<=??-≤≤ ?? ， 故反函数为 112432, 13x y x x ≤<=??-≤≤?? ． 8．指出下列函数是由哪些基本初等函数复合或四则运算而成： (1) arcsin 4 (1)x y e =+ ； (2) 2cos y x = (3) 2 ( )1x y x =+； (4) y = 解 (1) 4,1,arcsin v y u u e v x ==+=． (2) 2,cos ,,w y x u u v v e w ==== (3) 2 ,1x y u u x == +． (4) tan ,x y u v v e ==． 9．下列函数中哪些是初等函数？ (1) cos y x = (2) y =； (3) 21, 12 cos sin ,24 x x y x x x ?+-<≤=?+<≤?； (4) sin ln 2y x x =+． 解 (3) 这个分段函数不能用基本初等函数复合或四则运算得到，因此它不是初等函数．而(1)，(2)，(4)均可由基本初等函数经复合或四则运算得到，因此是初等函数． 10．设函数3 ()f x x x =-，()sin 2x x ?=，求(( ))12 f π ?，(((1)))f f f ． 解 33113 (( ))()()()()121212228 f π ππ???=-=-=-； (((1)))((0))(0)0f f f f f f ===． 习 题 1.3 1．火车站行李收费规定如下：当行李不超过50千克时，按每千克0.15元收费，当超出50千克时，超重部分按每千克0.25元收费，试建立行李收费()f x (元)与行李重量x (千克)之间的函数关系． 解 依题意，函数关系为 0.15, 050 ()0.15500.25(50), 50x x f x x x <≤?=? ?+->? ， 则 0.15, 050 ()7.50.25(50), 50 x x f x x x <≤?=? +->?． 2．某商品的总成本函数为 21 61009 C Q Q =++， 产品销售价格P 与产量Q 的关系为 1 463 P Q =-， 试将产品全部销售出去后获得的总利润π表示为产量Q 的函数． 解 商品总收益函数为 211 ()()(46)4633 R R Q QP Q Q Q Q Q ===-=-+． 由于总成本函数为 21 61009 C Q Q =++， 将产品全部销售出去后获得的总利润函数为 ()()()Q R Q C Q ππ==- 2211 46(6100)39Q Q Q Q =-+-++ 24 401009 Q Q =-+-． 由于销售价格0P >，即1 4603 Q ->，解得0138Q <<．故利润函数的定义域为 0138Q <<． 3．某商品的定价为5元/件，每月可销售出1000件，若每件售价降低0.01元，则可多售出10件，试求线性需求函数()Q P ，并求收益R 与多售出件数x 的函数关系式． 解 设商品价格为P ，Q a bP =-，由题意知 100051010 4.99a b a b =-?? =-? ， 即 6000 1000 a b =?? =?． 故60001000Q P =-． 因为销售量Q 与多售出件数x 的关系是1000Q x =+，所以 600010001000P x -=+， 解得50.001P x =-，从而收益R 与多售出件数x 的函数关系式为 2(50.001)(1000)500040.001R PQ x x x x ==-+=+-． 4．收音机每台销售为90元，成本为60元，厂方为了鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为每台75元． (1) 将每台的实际售价P 表示为订购量x 的函数； (2) 将厂方所获的利润π表示成订购量x 的函数； (3) 某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？ 解 (1) 90, 0100()90(100)0.01, 100160075, 1600x P x x x x ≤≤?? =--?< ； (2) 2 30, 0100()(60)310.01, 100160015, 1600x x x P x x x x x x π≤≤??=-=-< ； (3) (1000)21000π=元． 5．已知需求函数和供给函数分别为14 1.545d s Q P Q P =-=-，，求： (1) 市场均衡价格； (2) 若每销售一单位商品，政府征税1元， 此时的均衡价格． 解 (1) 因为s d Q Q =，则14 1.545P P -=-，解得 3.45P ≈(元)； (2) 14 1.54(1)5P P -=--，得 4.18P ≈(元)． 6．某手表厂生产一只手表可变成本为15元，每天的固定成本为2000元，如果每只手表出厂价为20元，为了不亏本,该厂每天至少应生产多少手表． 解 设手表产量为Q ，成本为C ，收益为R ，则 Q R Q C 20,200015=+=， 利润为20005-=-Q C R ， 令020005≥-=-Q C R ，得400≥Q ，即每天至少生产400只． 7．某产品年产量为Q 台，每台售价180元，当年产量在300台以内时，可以全部售出，当年产量超过300台时，经广告宣传后可以多销售200台，超出部分每台的平均广告费20 元，生产再多一些，即使广告宣传本年内也就售不出去，试将本年的销售收入R 表示为年产量Q 的函数． 解 由题意知， 当300Q ≤时，收入180R Q =元； 当300500Q <≤时，收入300180160(300)6000160R Q Q =?+-=+元； 当500Q >时，收入30018020016020(500)9600020R Q Q =?+?--=-元； 即本年销售收入R 为年产量x 的函数为 180, 3006000160, 3005009600020, 500Q Q R Q Q Q Q ≤?? =+<≤??->? ． 总 习 题 一 1．填空题： (1) 若1()1f x x = -，则1 ( )() f f x = ； (2) 设1 ()ln(2) f x x = -的定义域是 ； (3) 设函数()f x 的定义域为(1,2]，则函数2(1)f x +的定义域为 ； (4) 已知2 ()x f x e =，(())1f x x ?=-，且()0x ?>，则()x ?= ，其定义域为 ； (5) 已知()f x 为偶函数，且0x >时，()(1)f x x x =-，则0x <时，()f x 的表达式为 ； (6) 已知22 1,0 ()1,0 x x f x x x ?-≥?=?- 1 x ；(2) (2,3)(3,5]；(3) [1,0)(0,1]-； (4) ,0)-∞； (5) ()(1)f x x x =-+；(6) 0, 0 2, 0x x ≠??-=? ． 2．选择题： (1) 设1, 1 ()0, 1 x f x x ?≤?=? >??，则((()))f f f x 等于( )． (A) 0； (B) 1； (C) 1,1 0,1 x x ?≤??>??； (D) 0,1 1, 1 x x ?≤?? >??． (2) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义，下列函数中一定为偶函数的是( )． (A) ()y f x =； (B) ()y f x =-； (C) ()y f x =； (D) 1()f x -． (3) 下列各对函数中为相同函数的是( )． (A) 2 ,x y x y x ==； (B) 2ln ,2ln y x y x ==； (C) cos y y x ==； (D) y y =． (4) 下列函数在给定的区间内有界的是( )． (A) ()1x x e f x e =+ ； (B) ()1 (), 01x f x e x =∈，； (C) ()sin f x x x =； (D) ()()ln , 01f x x x =∈，． (5) 函数cos ()sin x f x x x e =，x -∞<<+∞是( )． (A) 有界函数； (B) 单调函数； (C) 周期函数； (D) 偶函数． (6) 函数2 ()1x f x x = +在定义域内( )． (A) 有上界无下界； (B) 有下界无上界； (C) 有界，且1 ()2 f x ≤ ； (D) 有界，且()2f x ≤． (7) 设函数(),()f x g x ，其定义域均为(,)-∞+∞，其中一个是偶函数，一个是奇函数，则必有( )． (A) ()()()()f x g x f x g x -+-=-； (B) ()()()()f x g x f x g x -+-=-+； (C) ()()()()f x g x f x g x -?-=?； (D) ()()()()f x g x f x g x -?-=-?． 解 (1) B ； (2) C ； (3) B; (4) A ；(5) D ； (6) C ； (7) D ． 3．设22, 1 ()1, 13 x f x x x ?≤?=?+<≤??，求()(3)(3)g x f x f x =++的定义域． 解 ()f x 的定义域为[3,3]-，则(3)f x +的定义域为 33360x x -≤+≤?-≤≤， (3)f x 的定义域为 33311x x -≤≤?-≤≤． 故()(3)(3)g x f x f x =++的定义域为 {}60,11[1,0)x x x -≤≤-≤≤=-． * 4．设(,)a b 是一个有限的开区间，证明：对任意的(,)x a b ∈，一定存在x 的一个邻 域(,)O a b δ?． 证 对任何),(b a x ∈，有b x a <<，记},min{ a x x b --=δ，则0>δ．下面证明(,)(,)o U x a b δ?． 对任何(,)o t U x δ∈，有δδ+<<-x t x 且t x ≠；由于},min{a x x b --=δ，则 x b -≤δ，从而b x ≤+δ，由δ+ δ->x t ，可得a t >，因此b t a <<，从而(,)(,)o U x a b δ?． 5．证明()sin f x x x =在(0,)+∞上是无界函数． 证 对于任意正数0>M ，都存在一个自然数k ，使 M k >+ 2 2π π， 从而取2(0,)2 k x k M π π=+ >∈+∞，则有()22 k f x k M π π=+ >， 故()f x 在(0,)+∞上是无界函数． 6．设下面所考虑函数的定义域关于原点对称，证明： (1) 两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数； (2) 两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数． 证 (1) 设)(),(11x g x f 为奇函数，)(),(22x g x f 为偶函数，则 )()()()(2222x g x f x g x f +=-+-， 即两个偶函数的和仍为偶函数．而 )]()([)()(1111x g x f x g x f +-=-+-， 所以两个奇函数的和是奇函数． (2) 设)(),(11x g x f 为奇函数，)(),(22x g x f 为偶函数，则 )()()()(2222x g x f x g x f ?=-?-， 所以两个偶函数的乘积仍为偶函数．而 )()()()(1111x g x f x g x f ?=-?-， 所以两个奇函数的乘积是偶函数； 又 )()()]([)()()(211212x f x f x f x f x f x f ?-=-?=-?- 所以偶函数与奇函数的乘积是奇函数． 7．设1 ()21x e x f x x x ?>=?≤?，，，2sin 0()0 x x x x x ?>?=?≤?，，，求[()]f x ?． 解 (),()1 [()]2(),()1 x e x f x x x ??????>=?≤?， 当1)(>x ?时，有以下两种情况： 0>x 时，1sin )(>=x x ?不可能； 0≤x 时，1)(2>=x x ?，即1- 当1)(≤x ?时，也有以下两种情况： 0>x 时，1sin )(≤=x x ?，即0>x ； 0≤x 时，1)(2≤=x x ?，即01≤≤-x ． 综上所述，得2 2 , 1[()]2, 102sin , 0x e x f x x x x x ??<-??=-≤≤??>?? ． 8 ．设()f x = ()(...())n f x f f f x =，其中n 为自然数． 解 因 1()()f x f x == 21()(())f x f f x == = ， 32()(())f x f f x == = 所以不妨设()k f x = ，则 1()(())k k f x f f x +== = ． 由数学归纳法知 ()1,2,...n f x n = =． 9． 设()f x 为定义在( )l l -， 内的奇函数，若()f x 在(0 )l ，内单调增加，证明：() f x 在( 0)l -， 内单调增加． 证 任取)0,(,21l x x -∈，且21x x <，则),0(,21l x x ∈--，且12x x -<-，由于) (x f 在),(l l -内是奇函数，且在(0 )l ， 内单调增加，则有 0)()()()(1212<+-=---x f x f x f x f ， 即)()(21x f x f <，故()f x 在( 0)l -， 内单调增加． 10．设()f x 在(0,)+∞内有定义,0,0a b >>,证明: (1) 若 () f x x 在(0,)+∞内单调减少，则 ()()()f a b f a f b +<+； (2) 若 () f x x 在(0,)+∞内单调增加，则 ()()()f a b f a f b +>+． 证 (1) 由已知,a b a a b b +>+>，又由 () f x x 在(0,)+∞内单调减少，有 ()()f a b f a a b a +<+，()() f a b f b a b b +<+， 于是 ()()f a b a f a a b +<+ 且 () ()f a b b f b a b +<+， 将以上两个不等式两端分别相加，得 ()()()f a b f a f b +<+． (2) 方法与(1)类似略． 11．设()f x 是以(0)T T >为周期的函数，证明：()f ax 是以 T a 为周期的函数． 证 令()()F x f ax =，因为()f x 是以(0)T T >为周期的函数，即()()f x T f x +=，则 ()[()]()()()T T F x f a x f ax T f ax F x a a +=+=+==， 故函数()f ax 是以T a 为周期． 12. 设1 ()()2x f x f x x -+=，其中0,1x x ≠≠，求()f x ． 解 令1x t x -=，即1 1x t =-，代入原方程得 12()()11f f t t t +=--， 即 12 ()()11f f x x x +=--． 再令 111u x u -=-，即1 1x u =-，代入上式，得 112(1)()()1u u f f u u u --+=-， 即 112(1)()()1x x f f x x x --+=-． 解联立方程组，得 11 ()11f x x x x =+ +--． 13．某工厂生产某种产品，年产量为a 吨，分若干批进行生产，每批准备费为b 元，设产品均匀投放市场，且上一批卖完后立即生产下一批，即平均库存量为批量的一半．设每年每吨库存费为c 元，显然，生产批量大库存费高；生产批量少则批数多，准备费增加．为了选择最优批量，试求出一年中库存费与生产准备费之和与批量的关系． 解 设批量为x ，库存费与生产准备费之和为y ．因为年产量为a ，每年应生产批a x ，所以准备费为 a b x ?． 又因为平均库存为 2x ，库存费为2 x c ?．故 2 a x y b c x =+． 第1章 函 数 §1.1 函数的概念与性质 1. 绝对值与不等式（0>a ，0b >） （1）x x x -≤≤；x y x y x y -≤±≤+ （2 ）2 112 a b a b +≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值） 一般地，1212111n n x x x n n x x x +++≤≤ +++ （3）{}max ,22a b a b a b -+=+；{}min ,22 a b a b a b -+=- 2. 函数概念与性质 对变量D x ∈的每一个确定值，变量y 按某确定规则f ，都有且只有一确定值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记为()y f x =，D x ∈。 注意：定义域D 和对应规则f 是函数相等的两要素。 （1）无关性 ()()y f x f t == D t x ∈, （2）单调性 1212,,x x I x x ?∈< 1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ≤???≥? ?单调递增单调递减；1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ??严格单增严格单减 （3）奇偶性 ()() ()()()()f x f x f x y f x f x f x -=???-=-??为偶函数，对称于轴为奇函数，对称于原点 注意：函数的奇偶性是相对于对称区间而言，若定义域关于原点不对称，则不是奇/偶函数。 （4）周期性 若()()f x T f x +=，0T >，则称为)(x f 的周期。 （5）有界性 若D x ∈?，M x f ≤)(，()0>M ，则称)(x f 在D 上有界。 常用有界函数：sin 1x ≤，cos 1x ≤，(,)-∞+∞； 高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0 x f x f x x =_______________； 14. =→x x x x 5sin lim 0___________； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _________________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________________ 17. 绝对值函数 = =x x f )(?? ???<-=>.0,;0,0;0,x x x x x 第一章 练习题 一、 设()0112>++=?? ? ??x x x x f ，求)(x f 。 二、 求极限： 思路与方法： 1、利用极限的运算法则求极限； 2、利用有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小这一性质； 3、利用两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e x x x =??? ??+∞→11lim ； 4、利用极限存在准则； 5、用等价无穷小替换。注意：用等价无穷小代替时被代替的应是分子、分母或其无穷小因子。如果分子或分母是无穷小的和差，必须将和差化为积后方可用等价无穷小代替积中的因子部分。 6、利用函数的连续性求极限，在求极限时如出现∞-∞∞ ∞,,00等类型的未定式时，总是先对函数进行各种恒等变形，消去不定因素后再求极限。 7、利用洛比达法则求极限。 1、()()()35321lim n n n n n +++∞ → 2、???? ? ?---→311311lim x x x 3、122lim +∞ →x x x 4、x x x arctan lim ∞ → 5、x x x x sin 2cos 1lim 0-→ 6、x x x x 30 sin sin tan lim -→ 7、()x x 3cos 2ln lim 9 π → 8、11232lim +∞→??? ??++x x x x 三、 已知(),0112lim =??? ?????+-++∞→b ax x x x 求常数b a ,。 四、 讨论()nx nx n e e x x x f ++=∞→12lim 的连续性。 五、 设()12212lim +++=-∞→n n n x bx ax x x f 为连续函数，试确定a 和b 的值。 六、 求()x x e x f --=111 的连续区间、间断点并判别其类型。 七、 设函数()x f 在闭区间[]a 2,0上连续，且()()a f f 20=，则在[]a ,0上 至少有一点，使()()a x f x f +=。 八、 设()x f 在[]b a ,上连续，b d c a <<<，试证明：对任意正数p 和q ， 至少有一点[]b a ,∈ξ，使 ()()()()ξf q p d qf c pf +=+ 习题一 1．y ＝lg （－x 2）是不是函数关系？为什么？ 2．Y ＝1 12--x x 与y ＝x ＋1是不是相同的函数关系？什么？ 3．确定下列函数定义域： （1）y ＝29x - （2）y ＝211 x -＋2+x （3）y ＝4 5 2+-x （4）y ＝arcsin 21-x （5）y ＝1－e 1－x2 （6）y ＝1 ||) 3lg(--x x （7）y ＝45lg 2x x - （8）y ＝6712arccos 2---x x x 4．已知 f （x ）＝x 2－3x ＋2，求f （0），f （1），f （2），f （－x ），f （ x 1），f （x ＋1） 5．设f （x ）＝x x -1，求f[f (x)]和f{f[f (x)]} 6．如果f （x ）＝x 5－2x 3＋3x ，证明f （－x ）＝－f （x ） 7．如果f （x ）＝1 1 +---x x e e ，证明f （－x ）＝－f （x ） 8．如果f （x ）＝x x cos 12 -，证明f （－x ）＝f （x ） 9．如果f （x ）＝a x ，证明 f （x ）·f （y ）＝f （x ＋y ）， )()(y f x f ＝f （x －y ） 10．如果f （x ）＝log a x ，证明 f （x ）＋f （y ）＝f （x·y ）， f （x ）－f （y ）＝f （ y x ） 11．确定下列函数的定义域并作出函数图形： （1）f （x ）＝?????<=>0 100 01x x x （2））f （x ）＝?????<<-≤-2||11 1||12x x x x 12．将函数y ＝5－|2x －1|用分段形式示，作出函数图形。 13．设f （x ）＝?? ???>=<0100 01x x x ，求f （x －1），f （x 2－1） 14．设?????≤<≤≤=+21210)1(2 x x x x x ?，求)(x ? 15．判断下列函数的奇偶性： （1）y ＝21 x （2）y ＝tanx （3）y ＝a x （4）y ＝2 x x a a -+ （5）y ＝x ＋sinx （6）y ＝xe x （7）y ＝lg x x +-11 16．判断下列函数的单调增减性： （1）y ＝2x ＋1 （2）y ＝（ 21）x （3）y ＝log a x （4）y ＝1－3x 2 （5）y ＝x ＋lgx 17．函数y ＝cos3x 的周期是多少？ 18．求下列函数的反函数： （1）y ＝2x ＋1 （2）y ＝2 2-+x x （3）y ＝x 3＋2 （4）y ＝1＋lg （x ＋2） 19．如果y ＝u 2， u ＝log a x ，将y 表成x 的函数。 20．如果y ＝u ，u ＝2＋2υ，υ＝cosx ，将y 表成x 的函数。 21．如果f （x ）＝3x 3＋2x ，?（t ）＝lg （l ＋t ），求f[?（t ）]。 22．下列函数可以看成由哪些简单函数复合而成： （1）y ＝13-x （2）y ＝a 31x + （3）y ＝（1＋lnx ）5 （4）y ＝e e-x2 （5）y=x ln （6）y ＝lg 2arccosx 3 23．分别就a ＝2，a ＝2 1，a ＝－2讨论y ＝lg （a －sinx ）是不是复合函数。如果是复合函数，求其定义域。 第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性： 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。 高等数学第一章测试题 一、单项选择题（20分） 1、当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ ）不一定是无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22 βα + (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2 x x βα 2、极限a x a x a x -→??? ??1 sin sin lim 的值是（ ）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3、 ??? ??=≠-+=0 01sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4、函数 ??? ?? ? ???<+<≤>-+=0,sin 1 0,2tan 1,1) 1ln()(x x x x x x x x x f π 的全体连续点的集合是 （ ） (A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (1,+ ∞) (C) (-∞,0) (0, +∞) (D) (-∞,0) (0,1) (1,+ ∞) 5、 设 )1 1( lim 2 =--++∞ →b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（ ） （A ） （1，0） （B ） （0，1） （C ） （1，1） （D ） （1，-1） 6、已知函数 231 )(2 2 +--= x x x x f ，下列说法正确的是（ ）。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点，1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点，1个跳跃间断 随堂练习 一 第一章 函数与极限 一、填空题 1、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 2、函数x x y sin = 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 3、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。 4、=++++∞→3 52352) 23)(1(lim x x x x x x 。 5、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 6、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 7、当+∞→x 时， x 1 是比 3-+x 8、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 9、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 10、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的 间断点。 11、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。 12、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ，则a= 。 13、设? ??>≤+=0,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数a= 。 二、计算题 1、计算下列极限 （1）)2141211(lim n n ++++ ∞ → ； （2）2)1(321lim n n n -++++∞→ ； （3）35lim 22-+→x x x ； （4）1 1 2lim 221-+-→x x x x （5）)12)(11(lim 2x x x -+ ∞ → ； （6）x x x 1 sin lim 20→ ； （7）x x x x +---→131lim 21 ； （8）)1(lim 2 x x x x -++∞ → ； 2、计算下列极限 （1）x wx x sin lim 0→ ； （2）x x x 5sin 2sin lim 0→ ； （3）x x x cot lim 0→ ； （4）x x x x )1( lim +∞→ ； （5）1 )11(lim -∞→-+x x x x ； （6）x x x 1 )1(lim -→ ； 3、比较无穷小的阶 （1）32220x x x x x --→与，时 ； （2）)1(2 1 112 x x x --→与，时 ； (3)当0→x 时 ， 232-+x x 与x 。 4、利用等价无穷小性质求极限 （1）30sin sin tan lim x x x x -→ ； （2）),()(sin ) sin(lim 0是正整数m n x x m n x → ； 5、讨论函数的连续性 。 在? ??=>-≤-=11,31 ,1)(x x x x x x f 6、利用函数的连续性求极限 （1）)(lim 22 x x x x x -- ++∞ →； （2）x x x sin ln lim 0 → （3）x x x 2)11(lim + ∞→； （4）)1 1 (lim ,)1(lim )(1 --=+ →∞→t f n x x f t n n 求设 （5）)1(lim 2 x x x x -++∞ → ； （6）1)1232( lim +∞→++x x x x ； （7）3 0sin tan lim x x x x -→ ； 7、设函数???≥+<=0 ,0 ,)(x x a x e x f x 应当怎样选择a ，使得) ()(∞+-∞，成为在x f 内的连续函数。 8、证明方程135 =-x x 至少有一个根介于1和2之间。 9、设????? ≤+>=0 ,0,1sin )(2 x x a x x x x f 要使),()(∞+-∞在x f 内连续， 应当怎样选择数a ？ 第一章 函数、极限与连续 第一节 函数及其特性 （一）集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。 我们通常用大字拉丁字母A 、B 、C 、……表示集合，用小写拉丁字母a 、b 、c ……表示集合中的元素。 如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作：a ∈A ，否则就说a 不属于A ，记作：a ?A 。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作 N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z 。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q 。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R 。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合中元素的个数 有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 （二）常量与变量 ⑴、变量的定义：我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。 ⑵、变量的表示：如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。 区间的名称 区间的满足的不等式 区间的记号 区间在数轴上的表示。 闭区间 a ≤x ≤b [a ，b] 开区间 a ＜x ＜b （a ，b ） 半开区间 a ＜x ≤b 或a ≤x ＜b （a ，b]或[a ，b ） 以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间： [a ，+∞)：表示不小于a 的实数的全体，也可记为：a ≤x ＜+∞； (-∞，b)：表示小于b 的实数的全体，也可记为：-∞＜x ＜b ； (-∞，+∞)：表示全体实数，也可记为：-∞＜x ＜+∞ 注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。 ⑶、邻域：00000{}(, (,) )-----x x x x x U x x δδδδδ=-<-+=一维 以为中心，以为半径的邻域 0000000{}(, )(, )------x 0(,)x x x x x x x U x δδδδδ=-<=-?+<以为中心，以为半径的空心邻域 00(),()U x U x -----0x 的某个邻域、某个空心邻域 第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤ 第一章综合测试题 一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ，则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、 设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 则（ ）为奇函数. （A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x 2、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（ ）. （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、 设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x （ ）. （A ）在点2x =，2x =-都连续 （B ）在点2x =，2x =-都间断 （C ）在点2x =连续，在点2x =-间断 （D ）在点2x =间断，在点2x =-连续 4、 设lim 0n n n x y →∞ =，则下列断言正确的是（ ）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散 （B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界 （C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小 （D ）若1n x ?????? 收敛 ，则{}n y 必为无穷小 5、当0x x →时，()x α与()x β都是关于0x x -的m 阶无穷小，()()x x αβ+是关于0x x -的n 阶无 第一章函数、极限、连续 一、单项选择题 1.区间[a,+∞)，表示不等式（） 2.若 3.函数是（）。 （A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数 4.函数y=f(x)与其反函数 y=f-1（x）的图形对称于直线（）。 5.函数 6.函数 7.若数列{x n}有极限a,则在a的ε邻域之外，数列中的点（） （A）必不存在 （B）至多只有有限多个 （C）必定有无穷多个 （D）可以有有限个，也可以有无限多个 8.若数列{ x n }在（a-ε, a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（），（其中为某一取定的正数） （A）数列{ x n }必有极限，但不一定等于 a （B）数列{ x n }极限存在且一定等于 a （C）数列{ x n }的极限不一定存在 （D）数列{ x n }一定不存在极限 9.数列 （A）以0为极限（B）以1为极限（C）以（n-2）/n为极限（D）不存在极限 10.极限定义中ε与δ的关系是（） （A）先给定ε后唯一确定δ （B）先确定ε后确定δ，但δ的值不唯一 （C）先确定δ后给定ε （D）ε与δ无关 11.任意给定 12.若函数f（x）在某点x0极限存在，则（） （A） f（x）在 x0的函数值必存在且等于极限值 （B） f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值 （C） f（x）在x0的函数值可以不存在 （D）如果f（x0）存在则必等于极限值 13.如果 14.无穷小量是（） （A）比0稍大一点的一个数 （B）一个很小很小的数 （C）以0为极限的一个变量 （D）0数 15.无穷大量与有界量的关系是（） （A）无穷大量可能是有界量 理工类专业需要考高数一 高数一内容如下： 第一章：函数定义，定义域的求法，函数性质。 第一章：反函数、基本初等函数、初等函数。 第一章：极限（数列极限、函数极限）及其性质、运算。 第一章：极限存在的准则，两个重要极限。 第一章：无穷小量与无穷大量，阶的比较。 第一章：函数的连续性，函数的间断点及其分类。 第一章：闭区间上连续函数的性质。第二章：导数的概念、几何意义，可导与连续的 关系。 第二章：导数的运算，高阶导数（二阶导数的计算） 第二章：微分 第二章：微分中值定理。 第二章：洛比达法则1 第二章：曲线的切线与法线方程，函数的增减性与单调区间、极值。 第二章：最值及其应用。 第二章：函数曲线的凹凸性，拐点与作用。第三章：不定积分的概念、性质、基本公式，直接积分法。 第三章：换元积分法 第三章：分部积分法，简单有理函数的积分。 第三章：定积分的概念、性质、估值定理应用。 第三章：牛一莱公式 第三章：定积分的换元积分法与分部积分法。 第三章：无穷限广义积分。 第三章：应用（几何应用、物理应用）第四章：向量代数 第四章：平面与直线的方程 第四章：平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，简单二次曲面。第五章：多元函数概念、二元函数的定义域、极限、连续、偏导数求法。 第五章：全微分、二阶偏导数求法 第五章：多元复合函数微分法。 第五章：隐函数微分法。 第五章：二元函数的无条件极值。 第五章：二重积分的概念、性质。 第五章：直角坐标下的计算。1 第五章：在极坐标下计算二重积分、应用。第六章：无穷级数、性质。 第六章：正项级数的收敛法。 第六章：任意项级数。 第六章：幂级数、初等函数展开成幂级数。第七章：一阶微分方程。 第七章：可降阶的微分方程。 第七章：线性常系数微分方程 第一章 整式的乘除单元测试 卷（一） 一、精心选一选(每小题3分，共21分) 1.多项式8923 3 4 +-+xy y x xy 的次数是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2.下列计算正确的是 ( ) A. 8 421262x x x =? B. ()() m m m y y y =÷34 C. ()2 2 2 y x y x +=+ D. 342 2 =-a a 3.计算()()b a b a +-+的结果是 ( ) A. 2 2 a b - B. 2 2 b a - C. 222b ab a +-- D. 2 22b ab a ++- 4. 1532 +-a a 与4322 ---a a 的和为 ( ) A.3252--a a B. 382 --a a C. 532---a a D. 582+-a a 5.下列结果正确的是 ( ) A. 9 1 312 -=? ? ? ??- B. 0590=? C. ()17530 =-. D. 8 1 23-=- 6. 若 () 682 b a b a n m =，那么n m 22-的值是 ( ) A. 10 B. 52 C. 20 D. 32 7.要使式子2 2259y x +成为一个完全平方式，则需加上 ( ) A. xy 15 B. xy 15± C. xy 30 D. xy 30± 二、耐心填一填（第1~4题1分，第 5、6题2 分，共28分） 1.在代数式2 3xy ， m ，362 +-a a ， 12 ， 22514xy yz x - ， ab 32 中，单项式有 个，多项式有 个。 2.单项式z y x 4 2 5-的系数是 ，次数是 。 3.多项式51 34 +-ab ab 有 项，它们分别 是 。 4. ⑴ =?5 2x x 。 ⑵ () =4 3y 。 ⑶ () =3 22b a 。 ⑷ () =-425 y x 。 ⑸ =÷3 9 a a 。 ⑹ =??-024510 。 5.⑴=?? ? ??-???? ??325631mn mn 。 ⑵()()=+-55x x 。 ⑶ =-2 2）（b a 。 ⑷( )()=-÷-2 3 5312xy y x 。 高等数学第一章测试卷（B ） 一、选择题。（每题4分，共20分） 1.假设对任意的∈x R ，都有)()()(x g x f x ≤≤?，且0)]()([lim =-∞→x x g x ?，则)(lim x f x ∞ →（ ） A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C.一定不存在 D.不一定存在 2.设函数n n x x x f 211lim )(++=∞→，讨论函数)(x f 的间断点，其结论为（ ） A.不存在间断点 B.存在间断点1=x C.存在间断点0=x D. 存在间断点1-=x 3.函数222111)(x x x x x f +--=的无穷间断点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.设函数)(x f 在),(+∞-∞内单调有界，}{n x 为数列，下列命题正确的是（ ） A.若}{n x 收敛，则｛)(n x f ｝收敛 B.若}{n x 单调，则｛)(n x f ｝收敛 C.若｛)(n x f ｝收敛，则}{n x 收敛 D.若｛)(n x f ｝单调，则}{n x 收敛 5.设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞ →∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则（ ） A. n n b a <对任意n 成立 B. n n c b <对任意n 成立 C. 极限n n n c a ∞→lim 不存在 D. 极限n n n c b ∞ →lim 不存在 二、填空题（每题4分，共20分） 6.设x x x f x f x 2)1(2)(,2-=-+?，则=)(x f ____________。 7.][x 表示取小于等于x 的最大整数，则=??????→x x x 2lim 0__________。 8.若1])1(1[lim 0=--→x x e a x x ，则实数=a ___________。 9.极限=???? ??+-∞→x x b x a x x ))((lim 2 ___________。 10.设)(x f 在0=x 处可导，b f f ='=)0(,0)0(且，若函数?????=≠+=00sin )()(x A x x x a x f x F 在0=x 处连续，则常数=A ___________。 （高数）基本初等函数图像与性质 1.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则 2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性 3.每个函数的图像很重要 一、幂函数 a x =y (a 为常数） 最常见的几个幂函数的定义域及图形 1.当a 为正整数时，函数的定义域为区间(,)x ∈-∞+∞，他们的图形都经过原点，并当a>1时在原点处与x 轴相切。且a 为奇数时，图形关于原点对称；a 为偶数时图形关于y 轴对称； 2.当a 为负整数时。函数的定义域为除去x =0的所有实数。 3.当a 为正有理数m n 时，n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞，n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。函数的图形均经过原点和(1,1)； 如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对 称;m，n均为奇数时,跟原点对称。 4.当a为负有理数时,n为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数；n为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数。 二、指数函数 x a y=(a是常数且01 a a >≠ ，)，) , (+∞ -∞ ∈ x 图形过（0，1）点，a>1时，单调增加；0 四、三角函数 正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 正切函数 x y tan =，2ππ+≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ， 余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ； 五、反三角函数 反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ， 反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ， 考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限 极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。 答案： 一.选择题 1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为 ?+=x C dt t f x F 0 )()(，且).()(x f x F =' 当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-?-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见 f(x)为奇函数； 反过来，若f(x)为奇函数，则? x dt t f 0 )(为偶函数，从而 ?+=x C dt t f x F 0 )()(为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=2 2 1x , 排除(D); 故应选(A). 【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 ∞=→)(lim 0 x f x ，所以 x=0为第二类间断点； 0)(lim 1=+ →x f x ，1)(lim 1 -=- →x f x ，所以x=1为第一类间断点，故 应选(D). 【评注】 应特别注意：+∞=-+ →1 lim 1x x x ，.1 lim 1-∞=-- →x x x 从而 +∞=-→+ 1 1lim x x x e ，.0lim 1 1 =-→- x x x e 3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 C ∵x →∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”： 原式 = 2 1111lim )11() 11)(11(lim 0 =++=++++-+→→x x x x x x x . （有理化法） 9 D 10 C 解 原式 16 1821lim )2()cos 1(tan lim 32 030=?=-=→→x x x x x x x x . ▌ 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极 的每项作等价替换，则 原式0)2(l i m 3 =-=→x x x x . 第一章函数 历年试题模拟试题课后习题（含答案解析）[单选题] 1、 设函数，则f(x)=（） A、x(x+1) B、x(x-1) C、(x+1)(x-2) D、(x-1)(x+2) 【正确答案】B 【答案解析】 本题考察函数解析式求解. ，故 [单选题] 2、 已知函数f(x)的定义域为[0，4]，函数g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域是（）. A、[1，3] B、[-1，5] C、[-1，3] D、[1，5] 【正确答案】A 【答案解析】x是函数g(x)中的定义域中的点，当且仅当x满足0≤x+1≤4且0≤x-1≤4 即-1≤x≤3且1≤x≤5也即1≤x≤3，由此可知函数g(x)的定义域D(g)={x|1≤x≤3}=[1,3]. [单选题] 3、 设函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（x2）的定义域为（）. A、[0，2] B、[0，16] C、[-16，16] D、[-2，2] 【正确答案】D 【答案解析】根据f(x)的定义域，可知中应该满足： [单选题] 4、 函数的定义域为（）. A、[-1,1] B、[-1,3] C、(-1,1) D、(-1,3) 【正确答案】B 【答案解析】 根据根号函数的性质，应该满足： 即 [单选题] 写出函数的定义域及函数值（）. A、 B、 C、 D、 【正确答案】C 【答案解析】 分段函数的定义域为各个分段区间定义域的并集， 故D=(－∞，-1]∪（-1，＋∞）. [单选题] 6、 设函数,则对所有的x，则f(-x)=（）. A、 B、 C、 D、 【正确答案】A 【答案解析】本题考察三角函数公式。 . [单选题] 7、 设则=（）. A、 B、 理科A 班第一章综合测试题 一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ，则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、 设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 则（ ）为奇函数. （A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x 2、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（ ）. （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、 设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x （ ）. （A ）在点2x =，2x =-都连续 （B ）在点2x =，2x =-都间断 （C ）在点2x =连续，在点2x =-间断 （D ）在点2x =间断，在点2x =-连续 4、 设lim 0n n n x y →∞ =，则下列断言正确的是（ ）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散 （B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界 （C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小 （D ）若1n x ?????? 收敛 ，则{}n y 必为无穷大学高等数学第一章函数(习题精讲)
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