当前位置：搜档网 › 2016年高考三角函数专题复习(含答案)

2016年高考三角函数专题复习(含答案)

高考复习—三角函数与三角形

一、基础知识

定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义2 角度制：把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=

,其中r 是圆的半径。定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=

r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y

x ，定理1 同角三角函数的基本关系式，

倒数关系：tan α=

αcot 1

；商数关系：tan α=α

αααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；

平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α;

（Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α; （Ⅳ）s in ???

??-απ2=co s α, co s ??

??-απ2=s in α。定理3 正弦函数的性质：根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。单调区间：在区间??

22,2

2πππ

πk k 上为增函数，在区间??

?++

πππ

π232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇函数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2

时, y 取最小值-1。对称性：直线x =k π+

均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里 k ∈Z .

定理4 余弦函数的性质：根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。

单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。最小正周期为 2π。奇偶性：偶函数。

对称性：直线x =k π均为其对称轴，点??

0,2π

πk 均为其对称中心。有界性：当且仅当x =2k π时，y 取最大值1；当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。值域为[-1， 1]。这里k ∈Z .

定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+2π)在开区间(k π-2π, k π+2

)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（k π+2

，0）均为其对称

中心。

,2x x k k ππ??≠+∈Z ????

定理6 两角和与差的基本关系式： co s(α±β)=co s αco s β s in αs in β, s in (α±β)=s in αco s β±co s αs in β;

tan (α±β)=

αβ

αtan tan 1tan tan ±±

定理7 和差化积与积化和差公式:

s in α+s in β=2s in ???

??+2βαco s ???

??-2βα,

s in α-s in β=2s in ??? ??+2βαco s ???

??-2βα,

co s α+co s β=2co s ??? ??+2βαco s ???

??-2βα,

co s α-co s β=-2s in ??? ??+2βαs in ???

??-2βα,

s in αco s β=21

[s in (α+β)+s in (α-β)],

co s αs in β=21

[s in (α+β)-s in (α-β)],

co s αco s β=21

[co s(α+β)+co s(α-β)],

s in αs in β=-2

[co s(α+β)-co s(α-β)].

定理8 倍角公式: s in 2α=2s in αco s α,

co s2α=co s 2α-s in 2α=2co s 2α-1=1-2s in 2α, tan 2α=

tan 1(tan 22

αα

定理9 半角公式:

s in ???

??2α=2)cos 1(α-±,co s ?

? ??2α=2)cos 1(α+±, tan ??

??2α=)cos 1()cos 1(αα+-±=

.sin )cos 1()cos 1(sin αααα-=+

定理10 万能公式:

??? ??+??? ??=

2tan 12tan 2sin 2ααα, ??? ??+??? ??-=2tan 12tan 1cos 22ααα,.2tan 12tan 2tan 2?

??-?

?? ??=ααα

定理11 辅助角公式：如果a , b 是实数且a 2+b 2≠0，则取始边在x 轴正半轴，终边经过点(a ,

b )的一个角为β，则s in β=

a b +,co s β=

a a

+，对任意的角α.

a s in α+bco s α=)(2

2b a +s in (α+β).

定理12 图象之间的关系：y =s inx 的图象经上下平移得y =s inx +k 的图象；经左右平移得y =s in (x +?)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的

，得到y =s in x ω(0>ω)

的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y =A s inx 的图象（振幅变换）；y =A s in (ωx +?)(ω>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y =A s inx 的图象（振幅变换）；y =A s in (ωx +?)(ω, ?>0)(|A |叫作振幅)的图象向右平移

个单位得到y =A s in ωx 的图象。例：正弦型函数的图象变换方法如下： 1.先平移后伸缩的图象

得的图象

得的图象． 2.先伸缩后平移的图象

得的图象

得的图象．

专题三角函数与三角形

sin()y A x k ?=++sin y x

=???0)或向右(0)平移个单位长度

sin()y x ?=+()

ωωω

?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)

到原来的纵坐标不变sin()y x ω?=+()

A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变sin()y A x ω?=+(0)(0)k k k >

sin()y A x k ?=++sin y x

=(1)(01)

A A A ><

sin y A x =(01)(1)

()

ωωω

<<>?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变sin()y A x ω=(0)(0)???

个单位

sin ()y A x x ω?=+(0)(0)

k k k >

sin()y A x k ω?=++

1.【2015高考新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )

（A ）B （C ）12-（D ）12

【答案】D

【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=1

，故选D. 【考点定位】三角函数求值.

【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式. 2.【2015高考山东，理3】要得到函数sin 43y x π??

=- ??

的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（）（A ）向左平移

12π个单位（B ）向右平移12

π个单位（C ）向左平移3π个单位（D ）向右平移3

个单位【答案】B

【解析】因为sin 4sin 4312y x x ππ?

?=-

=- ? ?

???

，所以要得到函数sin 43y x π??=- ???的图象，只需将函数sin 4y x =的图象向右平移12

个单位.故选B. 【考点定位】三角函数的图象变换.

【名师点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.

3.【2015高考新课标1，理8】函数()f x =cos()x ω?+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )

(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13

(2,2),44

k k k Z ππ-+∈ (C)13(,),44k k k Z -

+∈(D)13

(2,2),44

k k k Z -+∈

【答案】D

【考点定位】三角函数图像与性质

【名师点睛】本题考查函数cos()y A x ω?=+的图像与性质，先利用五点作图法列出关于

ω?，方程，求出ω?，，或利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求

出?，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求ω?，使解题的关键. 4.【2015高考四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）

()cos(2)2A y x π=+()sin(2)2

B y x π

=+()sin 2cos2C y x x =+()sin cos D y x x =+

【答案】A

【解析】对于选项A ，因为2sin 2,2

y x T π

π=-==，且图象关于原点对称，故选A. 【考点定位】三角函数的性质.

【名师点睛】本题不是直接据条件求结果，而是从4个选项中找出符合条件的一项，故一般是逐项检验，但这类题常常可采用排除法.很明显，C 、D 选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而B 选项中的函数是偶函数，故均可排除，所以选A.

5.【2015高考重庆，理9】若tan 2tan 5

πα=，则

3cos()

10sin()

παπα-

=-（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C 【解析】

由已知，

3cos()10sin()

παπ

α-

-33cos cos

sin sin 1010

sin cos

cos sin

ππ

ααπ

αα+-33cos tan sin 1010

tan cos

sin

ππ

απ

α+=

-33cos 2tan sin

105102tan cos sin

555ππππππ+=

- 33cos cos 2sin sin

510510sin

cos

πππππ

＝

155(cos cos )(cos cos )210101010

12sin 25

ππππ

π++-3cos 103cos

ππ

==，选C .

【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.

【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用． 6.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数

3sin(

y x k π

?=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（）

A ．5

B ．6

C ．8

D ．10

【答案】C

【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ．【考点定位】三角函数的图象与性质．

【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．

解题时一定要抓住重

要字眼“最大值”，否则很容易出现错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知sin 16x π???

+=-

???

时，y 取得最小值，进而求出k 的值，当sin 16x π???

+= ???

时，y 取得最大值． 7.【2015高考安徽，理10】已知函数()()sin f x x ω?=A +（A ，ω，?均为正的常数）的最小正周期为π，当23

x π

时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（）（A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<- 【答案】A

【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.

【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条

件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出ω，通过最值判断出?，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可. 【2015高考湖南，理9】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2

??<<

个单位后得到

函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12

min

x x π

，则?=（）

512π B.3π C.4π D.6

π 【答案】D. 【解析】

试题分析：向右平移?个单位后，得到)22sin()(?-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴

不妨

ππ

k x 22

21+=

，ππ

?m x 22

222+-

=-，∴π?π

)(2

21m k x x -+-=

-，又∵

min

x x π

，

∴

?π

-，故选D.

【考点定位】三角函数的图象和性质.

【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的

考查，多以

)sin()(?ω+=x A x f 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角

恒等变形，对三

角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等. 【2015高考上海，理13】已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，???，m x 满足

1206m x x x π≤<

()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+???+-=（2m ≥，m *∈N ），则m

的最小值为．【答案】8

【解析】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+???+-=的m 最小，须取 123456783579110,,,,,,,6,2

22222

x x x x x x x x π

πππππ

π==

=====即8.m = 【考点定位】三角函数性质

【名师点睛】三角函数最值与绝对值的综合，可结合数形结合解决.极端位置的考虑方法是解决非常规题的一个行之有效的方法.

8.【2015高考天津，理13】在ABC ? 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ?

的面积为，1

2,cos ,4

b c A -==- 则a 的值为. 【答案】8

【解析】因为0A π<<，所以sin A ==

，

又1sin 242ABC S bc A bc ?=

==∴=，解方程组224

b c bc -=??

=?得6,4b c ==，由余弦定理得

2222212cos 64264644a b c bc A ??

=+-=+-???-= ???

，所以8a =.

【考点定位】同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.

【名师点睛】本题主要考查同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.解三角形是实际应用问题之一，先根据同角三角关系求角A 的正弦值，再由三角形面积公式求出24bc =，解方程组求出,b c 的值，用余弦定理可求边a 有值.体现了综合运用三角知识、正余弦定理的能力与运算能力，是数学重要思想方法的体现.

【2015高考上海，理14】在锐角三角形C AB 中，1

tan 2

A =，D 为边C

B 上的点，D ?AB 与CD ?A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF

C ⊥A 于F ，则

D DF

E ?=

．

【答案】16

【考点定位】向量数量积，解三角形

【名师点睛】向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos ．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.向量夹角与三角形内角的关系，可利用三角形解决；向量的模与三角形的边的关系，可利用面积解决.

9.【2015高考广东，理11】设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，