高考中的线性规划交汇试题解析

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高考中的线性规划交汇试题解析

作者：方秦金

来源：《理科考试研究·高中》2014年第08期

线性规划的内涵及思想方法已渗透到高中数学的各知识模块中，是实现高考试题交汇命制的良好载体，近年的高考试题呈现了对线性规划交汇考查的趋势.本文例举高考试题中线性规

划交汇试题的类型与解法，供参考.

1.与面积交汇

例1（2009安徽理）若不等式组x≥0，x+3y≥4，3x+y≤4所表示的平面区域被直线y=kx+43分为面积相等的两部分，则k的值是（）.

A.73

B.37

C.43

D. 34

解析不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分△ABC，

由x+3y=4，3x+y=4得A（1，1）.又B（0，4），C（0，43），

所以S△ABC=12（4-43）×1=43.设y=kx+43与3x+y=4的交点为D，则由

S△BCD=12S△ABC=23=14BC·xD知xD=12，所以yD=52.

所以52=k×12+43，k=73选A.

评注本题把线性规划与面积交汇在一起，综合考查了线性规划与三角形面积的知识.

2.与基本不等式交汇

例2（2009山东理）设x，y满足约束条件3x-y-6≤0，x-y+2≥0，x≥0，y≥0，若目标函数

z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为12，则2a+3b的最小值为（）.

A.256

B. 83

C.113

D. 4

解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a>0，b>0）过直线x-

y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，

而2a+3b=（2a+3b）2a+3b6=136+（ba+ab）≥136+2=256，故选A.

评注本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画

出不等式表示的平面区域，并且能够利用基本不等式求最值.这是一种常见的交汇方式，如