高中各种函数图像画法与函数性质
一次函数
（一）函数
1、确定函数定义域的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
二次函数
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称
2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2
y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---
2. 关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2
y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++；
3. 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2
y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+- 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
2
y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-；
()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =--+．
5. 关于点()m n ，
对称 ()2
y a x h k
=-+关于点()m n ，
对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-
反比例函数
1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线
反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。
2、性质：
1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
定义域为x≠0；值域为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。
4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|
5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。
7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。
8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。
9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.
10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|
11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。
12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点
指数函数
概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质
规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；
当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0
＜a＜1时，图像在R上是减函数。
4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数
比较幂式大小的方法：
1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；
2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；
3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；
4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较
底数的平移：
在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数
1.对数函数的概念
由于指数函数y=a x在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，
我们把指数函数y=a x(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log
a
x(a＞0，a≠1).
因为指数函数y=a x的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数
y=log
a
x的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).
2.对数函数的图像与性质
对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.
为了研究对数函数y=log
a
x(a＞0，a≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数
y=log
2x，y=log
10
x，y=log
10
x,y=log
2
1
x,y=log
10
1
x的草图
图
象
a＞1 a＜1 性
(1)x＞0
(2)当x=1时，y=0
比较对数大小的常用方法有：
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.
(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.
(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.
(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.
幂函数
幂函数n
y x
=随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，图像都过（1,1）点
①
11
,,1,2,3
32
a=时，幂函数图像过原点且在[)
0,+∞上是增函数．
②
1
,1,2
2
a=---时，幂函数图像不过原点且在()
0,+∞上是减函数．
③任何两个幂函数最多有三个公共点．
幂函数y x α
=（x ∈R ，α是常数）的图像
在第一象限的分布规律是：
①所有幂函数y x α
=（x ∈R ，α是常数）
的图像都过点)1,1(；
②当
21
,
3,2,1=α时函数y x α
=的图像都过
原点)0,0(；
③当1=α时，y x α
=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；
④当3,2=α时，y x α
=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）
④
21
=
α时，y x α
=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c
⑤ 1-=α时，y x α
=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如
4c ）
当0>α时，幂函数y x α
=有下列性质： （1）图象都通过点)1,1(),0,0(； （2）在第一象限内都是增函数；
（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的； （4）在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。 当0<α时，幂函数y x α
=有下列性质： （1）图象都通过点)1,1(；
（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；
（3）在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近；向右无限地与x 轴无限地接近；（4）在第一象限内，过点)1,1(后，
α
越大，图象下落的速度越快。无论α取任
何实数，幂函数y x α
=的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。
对号函数
函数x
b
ax y +
=（a>0,b>0）叫做对号函数，因其在（0，+∞）的图象似
符号“√”而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，a
b x b ax 2≥+
（当且仅当x
b
ax =
即a b x =时取等号），由此可得函数x
b
ax y +=（a>0,b>0,x ∈R +）的性质:
当a b x =
时，函数x
b
ax y +=（a>0,b>0,x ∈R +）有最小值a b 2，特别地，当a=b=1时函数有最小值2。函数x
b
ax y +
=（a>0,b>0）在区间（0，a b ）上是
减函数，在区间（
a
b
，+∞）上是增函数。因为函数x b ax y +
=（a>0,b>0）是奇函数，所以可得函数x
b ax y +=（a>0,b>0,x ∈R -）的性质：当a b x -
=时，函数x
b
ax y +=（a>0,b>0,x ∈R -）有最大值-a b 2，特别地，当a=b=1时函数有最大值-2。函数x
b
ax y +=（a>0,b>0）在区间（-∞，-a b ）
b
上是增函数，在区间（-
，0）上是减函数。
a