北师版数学九年级构造垂线巧解反比例函数问题

北师版数学九年级构造垂线巧解反比例函数问题

过反比例函数图像的一点，向x 轴引垂线，是解答反比例函数问题时经常用到一条重要辅助线，下面就举例说明这条辅助线的应用，供学习时借鉴．

1 过图像上的点向x 轴引垂线，根据三角形的面积求函数的解析式

例1 如图1，反比例函数y=x k (k ≠0)的图象上有一点A ，AB 平行于x 轴交y 轴于点B ，△ABO 的面积是1，则反比例函数的解析式是（ ）

A. y=x 21

B. y=x 1

C. y=x 2

D. y=4x

1

解析 过点A 作AD ⊥x 轴于点D ．则四边形ABOD 是矩形，因为△ABO 的面积是1，所以三角形AOD 的面积是1，所以矩形ABOD 的面积为1+1=2．

根据|k|=矩形ABOD 的面积，得|k|=2，所以k=2或k=-2.因为函数图象位于第一象限， 所以k ＞0，所以k=2．所以反比函数解析式为y=x

2，所以选C ． 点评 过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，这是反比例函数系数k 的几何意义，也是求函数解析式经常用到的知识点，同学们应高度关注．

2 过图像上的点向x 轴引垂线，根据反比例函数的解析式求三角形的面积

例2 如图2，点P （a ，a ）是反比例函数y=x

16在第一象限内的图象上的一个点，以点P 为顶点作等边△PAB ，使A 、B 落在x 轴上，则△POA 的面积是（ ）

A. 3

B. 4

C. 33412-

D. 3

3824-

解析 过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．因为点P （a ，a ）是反比例函数y=x 16在第一象限内的图象上的一个点，所以OD=PD=a ，且2a =16，解得a=4或a=-4(舍去).

所以PD=OD=4.因为三角形PAB 是等边三角形，所以PA=2AD ，根据勾股定理得

32AD =16，所以AD=334,所以OA=OD-AD=4-334=33412-,所以三角形PAO 的面积为： 4334-1221??=3

3824-，所以选择D ． 点评 灵活处理点的坐标与线段长之间的关系是解题的关键，解答时要注意点的位置，这将决定线段长的具体表达方式．

3 过图像上的点向x 轴引垂线，根据菱形顶点的坐标求k 的值

例3 如图3，菱形OABC 的顶点C 的坐标为（3，4）．顶点A 在x 轴的正半轴上，反比例函数y=x

k （x ＞0）的图象经过顶点B ，则k 的值为（ ） A. 12 B. 20 C. 24 D. 32

解析 过点B 作BD ⊥x 轴于点D, 过C 点作CE ⊥x 轴，垂足为E ，因为C 的坐标为（3，4）， 所以OE=3，CE=4，在直角三角形EOC 中， OC=222243+=+OE CE =5,

所以菱形的边长为5，所以BC=5，易证四边形CEDB 为矩形，所以ED=BC=5，

所以OD=OED=3+5=8，BD=CE=4，所以点B 的坐标为（8,4），所以k=8×4=32.

所以选D ．

点评 通过作出辅助线，借助菱形的性质，矩形的性质和勾股定理求得点B 的坐标是解题的关键．

4 过图像上的点向x 轴引垂线，根据三角形的面积求线段的长度

例4 如图4，在函数)0(11

＜x x k y =和)0(x

k y 22＞x =的图象上，分别有A 、B 两点，若AB ∥x 轴，交y 轴于点C ，且OA ⊥OB ，三角形AOC 的面积为21，三角形BOC 的面积为2

9，则线段AB 的长度=_______

解析 过点B 作BD ⊥x 轴于点D, 过A 点作AE ⊥x 轴，垂足为E ，因为AB ∥x 轴，交y 轴于点C ，所以A C ⊥y 轴，BC ⊥y 轴，因为三角形AOC 的面积为21，三角形BOC 的面积为29， 所以矩形ACOE 的面积为1，矩形BDOC 的面积为9，所以1k =-1，2k =9，

所以函数的解析式分别为1y =-

x 1，2y =x 9，设点B 的坐标为（b

9，b ），则点A 的坐标为（-b 1，b ），所以AB=b 9-(-b 1)=b

10.因为OA ⊥OB ，所以∠AOE+∠BOD=90°，因为∠AOE+∠OAE=90°，所以∠BOD=∠OAE ，所以△AOE ∽△OBD ，所以OD AE =BD

OE ，所以b b b b |1|9-=， 解得b=3，所以AB=b 10=3

10=3310. 点评 根据平行线的性质，确定矩形的面积，从而确定出两个函数的解析式，后根据三角形的相似，求出待定字母的值，解答时，要时刻注意两点：一是平行线上点的坐标的特点，二是坐标表示线段时注意加上绝对值．

5 过图像上的点向x 轴引垂线，根据直角三角形两直角边的关系求k 值

例5 如图5，在平面直角坐标系xOy 中，已知第一象限内的点A 在反比例函数y=x 1的图象上，第二象限内的点B 在反比例函数y=x

k 的图象上，连接OA 、OB ，若OA ⊥OB ，OB=2

2OA ，则k= ．

解析 过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，

设点A 的坐标为（a,a 1），点B 的坐标为（b ，b k ），因为点A 在第一象限，点B 在第二象限，所以AE=a 1,OE= a ，OD =-b,BD=b k . 因为OA ⊥OB ，所以∠AOE+∠BOD=90°，因为∠AOE+∠OAE=90°，所以∠BOD=∠OAE ，

所以△AOE ∽△OBD ，所以OD AE =BD OE =BO

AO ，因为OB=22OA ，所以b

k a b =-a 1

=2， 所以a b=-22，k=2

ab ，所以k= -21. 点评 借助反比例函数的解析式，设出图像上点的某个坐标，从而实现用同一个字母表示点的坐标，是解题的一个重要技巧；将点的坐标转化为线段的长度是解题的另一个重要技巧，巧妙构造相似三角形则是解题的关键和基础.

6 过图像上的点向x 轴引垂线，根据直角三角形的度数求反比例函数两个系数之间的关系 例6 如图6，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数x m y =

1的图象经过点A ，反比例函数的x

n y 2=图象经过点B ，则下列关于m ，n 的关系正确的是（ ） A. m=-3n B. m=-3n C. m=-

33n D. m=33n

解析 有例4 和例5作为基础，例6的解答应该是很顺利的，请读者自己完成吧．注意答案是A ．