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公开课(分部积分法)教案

《高职数学》公开课教案

课题：§ 4.4 分部积分法

课型：讲授

教学目的、要求：理解分部积分法的思想方法，正确选取u 、dv ，熟练掌握分部

积分法公式

教学重点、难点：分部积分法及其应用,恰当选取u 、dv

教学内容：

一、分部积分法

设函数u =u (x )及v =v (x )具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为

'+'='uv u (uv)v

移项得 v '-'='u (uv)uv

对这个等式两边求不定积分, 得

??'-='v d x u uv dx v u , 或??-=vdu uv udv ,称为不定积分的分部积分公式。

二、例题

例1

C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==??? 例2 ???-==xdx x x x xd xdx x sin sin sin cos

C x x x ++=c o s s i n

. 利用这个公式的关键在于选取适当的u 和dv

选取的一般原则:1.v 容易求得(凑微分法);

2.u vd ?比?udv 容易求.

例3求

?dx e x x 2 解： x x de x dx e x ?

?=22 C e xe e x dx e xe e x dx

xe e x dx e e x x x x x x x x x x x ++-=--=-=-=???22)

(222222

例4求 ?xdx x arctan

解： ??=

2arctan 2

1arctan xdx xdx x [][]

C x x x x dx x x x dx x x x x x d x x x ++-=??

????+--=??????+-=-=???arctan arctan 2

1)111(arctan 211arctan 21arctan arctan 2122222222 例5 34434411111ln ln ()ln ln 444416

x x xd x x x x dx x x x C ==-=-+蝌? 分部积分法的使用技巧

(1)被积函数是两个不同类型函数的乘积； (2)u 的选取按“反、对、幂、三、指”顺序。

例6求xdx e x sin ?.

解因为???-==x d e x e xde xdx e x x x x sin sin sin sin

??-=-=x x x x x d e x e x d x e x e c o s s i n c o s s i n

?+-=x d e x e x e x x x c o s c o s s i n

?--=xdx e x e x e x x x sin cos sin ,

所以 C x x e xdx e x x +-=

?)cos (sin 21sin . 练习: (1)

(2)xdx x ln 2?

例7 求 ?dx e x

解：令 t x =，则 2t x =，tdt dx 2=，因此

[]C x e C

e te dt

te tdt

e dx e x t t t t x +-=+-===???)1(2 2 2 2

三、小结

使用分部积分公式??-=vdu uv udv

(1)原则:v 容易求得(凑微分法); u vd ?比?udv 容易求;

(2)U 的选取按 “反对幂三指”的顺序。

四、作业

习题4.3 P 109 2、（1）（4）（6）,习题4.4 P 111 1、（3）（5）（6）

《定积分》教学设计与反思

《定积分》教学设计与反思学习目标 1、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分． 2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法．教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分．教学难点：了解微积分基本定理的含义．一、自主学习： 1．定积分的定义：， 2．定积分记号：思想与步骤几何意义． 3．用微积分基本定理求定积分二、新知探究新知1：微积分基本定理：背景：我们讲过用定积分定义计算定积分,但如果要计算，其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。探究问题1：变速直线运动中位置函数S(t)与速度函数v(t)之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位移为S(t),速度为v(t)（），则物体在时间间隔内经过的位移记为，则一方面：用速度函数v(t)在时间间隔求积分，可把位移= 另一方面：通过位移函数S（t）在的图像看这段位移还可以表示为探究问题2：位移函数S(t)与某一时刻速度函数v(t)之间的关系式为上述两个方面中所得的位移可表达为上面的过程给了我们启示上式给我们的启示：我们找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。定理如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法。例1．计算下列定积分：新知2：用定积分几何意义求下列各式定积分：若求新知3：用定积分求平面图形的面积 1、计算函数在区间的积分 2、计算函数在区间的积分 3、求与在区间围成的图形的面积通过此题的计算你发现了什么？教学反思本课的教学设计，是在新课程标准理念指导下，根据本班学生实际情况进行设计的。从实施情况来看，整堂课学生情绪高涨、兴趣盎然。在教学中，教师一改往日应用题教学的枯燥、抽象之面貌，而是借用学生已有的知识经验和生活实际，有效地理解了微积分的基本定理，具体反思如下： 1、改变定理的表述形式，丰富信息的呈现方式。根据高中学生的认知特点，我在教学过程中，出示例题、习题时，呈现形式力求多样、新颖，让学生多种感官一起参与，以吸引学生的注意力，培养对数学的兴趣。本课的教学中，我大胆地改变了教材中实例分析顺序，重组和创设了这样一个情境，从而引入速度关于时间的定积分背景，即切合学生的生活实际，又让学生发现了定理的实际意义，理解了定理的本质，激发了学生学习的兴趣。并更好地为下一环节的自主探索、主动发展作好充分的准备。 2、突出数学应用价值，培养学生的应用意识和创新能力《数学课程标准》中指出，要让学生能够“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。”本课的设计充分体现了这一理念，例题中涉及路程和速度，让学生感受到数学与生活的密切联系，通过自己的探究，运用数学的思维方式解决问题，又能运用掌握的知识去研究解决生活的其它数学问题，，培养了学生的应用意识。

定积分的元素法讲解学习

定积分的元素法

教学内容一、问题的提出回顾：曲边梯形求面积的问题曲边梯形由连续曲线)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围成。 ?=b a dx x f A )( 面积表示为定积分的步骤如下（1）把区间],[b a 分成n 个长度为i x ?的小区间，相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，第i 个小窄曲边梯形的面积为i A ?，则∑=?=n i i A A 1. （2）计算i A ?的近似值i i i x f A ?≈?)(ξ，i i x ?∈ξ （3）求和，得A 的近似值.)(1i i n i x f A ?≈∑=ξ （4）求极限，得A 的精确值i i n i x f A ?=∑=→)(lim 10ξλ?=b a dx x f )( 提示：若用A ? 表示任一小区间],[x x x ?+上的窄曲边梯形的面积，则 ∑?=A A ，并取dx x f A )(≈?，于是∑≈dx x f A )( a b x y o ) (x f y =

∑=dx x f A )(lim .)(?=b a dx x f 当所求量U 符合下列条件：（1）U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的量；（2）U 对于区间[]b a ,具有可加性，就是说，如果把区间[]b a ,分成许多部分区间，则U 相应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之和；（3）部分量i U ?的近似值可表示为i i x f ?)(ξ；就可以考虑用定积分来表达这个量U 元素法的一般步骤： 1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a ； 2）设想把区间],[b a 分成n 个小区间，取其中任一小区间并记为],[dx x x +，求出相应于这小区间的部分量U ?的近似值.如果U ?能近似地表示为],[b a 上的一个连续函数在x 处的值)(x f 与dx 的乘积，就把dx x f )(称为量U 的元素且记作dU ，即dx x f dU )(=； 3）以所求量U 的元素dx x f )(为被积表达式，在区间],[b a 上作定积分，得?=b a dx x f U )(，即为所求量U 的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法． a b x y o ) (x f y =x dx x +

北师大版高中数学选修定积分教案

定积分复习小结一、教学目标：1、理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程；3、掌握定积分的计算方法；4、利用定积分的几何意义会解决问题。二、学法指导：1、重点理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、定积分的概念是运用分割、近似代替、求和、取极限的思想；3、重点掌握定积分的计算方法。三、重点与难点：重点：理解并且掌握定积分算法；难点：利用定积分的几何意义解决问题。四、教学方法：探究归纳，讲练结合五、教学过程（一）、知识闪烁 1、解决面积、路程、做功问题3个问题一般通过对自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值，分割的，估计值就也接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于时，过剩估计值和不足估计值都趋于；误差趋于。 2、定积分的定义思想：（1） (2) (3) (4) ; 3 、()1 lim n i i n i f x ξ→∞ =?∑= ；其中? 叫做 a 叫做 b 叫做 ()f x 叫 ; 4、 ()b a f x dx ?的几何意义；在x 轴上方的面积取，在x 轴下方的面积取 ()b a f x dx ?的几何意义； ()b a f x dx ?的几何意义； ()b a f x dx ? ， ()b a f x dx ? ，()b a f x dx ?的关系；计算 ()b a f x d x ? 时，若在],a b ??上()0f x ≥则()b a f x dx ?= 若在],a b ??上 ()0 f x <()b a f x dx ? = 若在],a c ??上()0f x ≥，],c b ??上()0f x <()b a f x dx ?= 5、定积分的性质： 1b a dx ?= ()b a kf x dx ? = ()()b a f x g x dx ±??? ??=

高二数学教案设计(人教版)

2020人教版高二数学教案一、教学目标根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点，依据新课程标准要求，确定本节课的教学目标如下： (1)知识与技能目标： 1、了解微积分基本定理的含义; 2、会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分. (2)过程与方法目标：通过直观实例体会用微积分基本定理求定积分的方法. (3)情感、态度与价值观目标： 1、学会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，提高理性思维能力; 2、了解微积分的科学价值、文化价值. 3、教学重点、难点重点：使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分.

难点：了解微积分基本定理的含义. 二、教学设计复习：1. 定积分定义：其中 --积分号， -积分上限， -积分下限， -被积函数， -积分变量， -积分区间 2.定积分的几何意义：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号. 曲边图形面积： ; 变速运动路程： ; 3.定积分的性质：性质1 性质2 性质3 性质4 二. 引入新课：

计算 (1) (2) 上面用定积分定义及几何意义计算定积分,比较复杂不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的比较一般的方法。问题：设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t), 速度为v(t)( )，则物体在时间间隔[a,b]内经过的路程可用速度函数表示为。另一方面，这段路程还可以通过位置函数S(t)在[a,b]上的增量S(b)-S(a)来表达，即 s= = = S(b)-S(a) 而。推广：微积分基本定理：如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则为了方便起见，还常用表示，即该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了

定积分的概念(教案)

1.5.3．定积分的概念一、复习回顾： 1．回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤： 2．上述两个问题的共性是什么？二、新知探究 1．定积分的概念注：说明：（1）定积分()b a f x dx ?是一个，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为 ()b a f x dx ?，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：（3）曲边图形面积：变速运动路程：变力做功：例1：利用定积分的定义,计算 dx x ?102 、 dx x ?1 03 的值.

2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 ?b a dx x kf )(= ；性质2 dx x g x f b a ?±)]()([= 性质3 ??=c a b a dx x f dx x f )()( + 3．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()b a f x dx ?表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分 ()b a f x dx ?的几何意义。思考：（1）在[,]a b 上0)(≥x f ，()b a f x dx ?= （2）在[,]a b 上0)(≤x f ，()b a f x dx ?= （3）在[,]a b 上)(x f 变号，()b a f x dx ?=

⑤ 练习： 1、利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。（1） dx x ?20sin π （2）dx x ?-212 （3）dx x ?-1 23 2、利用定积分的几何意义，说明下列各式成立（1） 0sin 22=?-dx x π π ， 0sin 20=?dx x π （2）dx x dx x ??=200sin 2sin π π 3、计算下列定积分（1）dx b a ?1 （2）11x dx -?．（3） 5 0(24)x dx -? （4） dx x ?-1021 （5）120(2)x x dx -? 三、课堂小结： ①定积分的概念及性质②用定义法求简单的定积分③定积分的几何意义

高中数学第四章定积分4.1定积分的概念定积分的概念教案

曲边梯形的面积一、教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。二、教学重难点：重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）难点：对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程 1、创设情景我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。一个概念：如果函数()y f x =在某一区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()y f x =称为区间I 上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数） 2、新课探析问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线 ()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？例题：求图中阴影部分是由抛物线2 y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化

为求“直边图形”面积的问题？分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用． 0.1 把区间[]0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S ．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．解：（1）．分割在区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 间：10,n ??????，12,n n ??????，…，1,1n n -?? ? ??? 记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -?? =? ?? ?L ，其长度为11 i i x n n n -?=-= 分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作：

北师大版数学高二定积分的简单应用教案选修2-2

高中数学定积分的简单应用教案选修2-2 一：教学目标知识与技能目标 1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。过程与方法情感态度与价值观二：教学重难点重点曲边梯形面积的求法难点定积分求体积以及在物理中应用三：教学过程： 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用（一）利用定积分求平面图形的面积例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。解：2 01y x x x y x ?=??==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=1 1 20 0xdx x dx = -? ?，所以 ?1 20S =(x -x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。巩固练习计算由曲线3 6y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x = 以及x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯 2 x y =y x A B C D O

七年级数学上册科学记数法课堂教学实录新人教版

课堂实录 1.5.2 科学记数法【情境导入】复习引入，从学生原有认知结构提出问题 10，-10，(-10)的底数、指数、幂． 333师：什么叫乘方？说出生：求几个相同因数的积的运算，底数分别是10、10、-10，指数分别是3，3，3，幂分别是1000，-1000，-1000. 10，-10，(-10) ． 333师：请一位同学口答：生：1000，-1000，-1000. 师：把下列各式写成幂的形式：100，27，-125，-10000 10，3，-5，-10. 2334生： 10，10，10，10，10，10，10． 12345610师：请一个同学汇报计算结果：生：10，100，1000，10000，100000，1000000，1000000000. 〖评析〗从前面乘方的概念复习起，而且选取了以10为底数的幂的形式，为本课新知—科学记数法奠基．【探索新知】师：同学们完成得很好，下面我观察第4题计算， 510=100000 ， 610=1000000 ， 1010=10000000000 左边用10的n次幂表示简洁明了，且不易出错，右边有许多零，很容易发生写错的情况，读的时候也是左易右难，这就使我们想到用10的n次幂表示较大的数，比如一亿，一百亿等等．但是像太阳的半径大约是696 000千米，光速大约是300 000 000米／秒，中国人口大约 13亿等等，我们如何能简单明了地表示它们呢？这就是本节课我们要学习的内容——科学记数法．（三）讲授新课 10的特征： n师：现在我们把同学们的运算结果对齐看一下， 110=10 ， 210=100 ， 310=1000 ， 410=10000 ． 1010=10000000000 10中的n表示n个10相乘，它与运算结果中0的个数有什么关系？与运n哪位同学们说一下，算结果的数位有什么关系？生：n与0的个数相等；位数是n+1. 师：回答得很好，我们根据上面积累的经验做两组练习：练习(1) 把下面各数写成10的幂的形式． 1000，100000000，100000000000．练习(2) 指出下列各数是几位数．，10，10，10. 351210010 （同学们练习2分钟后）师：哪位同学汇报一下求解答案． 1：练习(1)中依次为10，10，10； 3811生

第一节定积分的元素法

本科高等数学第六章定积分的应用教学内容与基本要求：掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量（平面图形面积，平面曲线的弧长、体积、变力作功、引力、压力等）第一节定积分的元素法㈠．本课的基本要求掌握掌握定积分的元素法的思想㈡．本课的重点、难点元素法的思想为重点，其条件为难点㈢．教学内容 1．定积分的定义（略）注：1.所求量A 与[a,b]有关且所求量对积分区间具有可加性，即积分区间分为若干个区间，总体量也分为若干部分且等于这若干部分之和 2.i i i A x f ?≈?)(ξ, i i i x x f ??是)(ξ的线性函数，且与i A ?之差是比i x ?还要高阶的无穷小──线性性 ?=b a dx x f A )( 方法：1.取典型子区间：],[dx x x +其对应的部分量为ΔA 2.dx x f A )(≈?──A 的微元（面积元素），∑?= =i A A dx x f dA ,)( 3.?=b a dx x f A )( 所求量总体I 满足下列条件才能用定积分 1.I 与某变量x 所在的区间有关 2.I 对于[a,b]具有可加性 3.部分量dx x f I )(=? （线性性）可简化为两步： 1．分割区间[a,b]，取其中任上小区间],[dx x x +，求出相应的部分量I 的近似值dx x f )(，称它为所求量I 的微元，记为I=dx x f )(，即不变代变求积分 2．对这些微分在[a,b]上无限求和，即在整个区间上求积分得所求量?=b a dx x f I )(，即微分累积成积分上面这种“无限细分”及“无限求和”两步解决问题的方法称为微元法（或称元素法）以下各节，我们就用微元法的思想来讨论定积分在几何、物理方面的一些应用。

换元法在不定积分和定积分中的联系与区别

换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 1.第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 1.1不定积分中第一换元法的定理形式定理1若，且的原函数容易求出，记，则 . 证明若，令，于是有因而得证。 1.2定积分中第一换元法的定理形式定理2若连续，在上一阶连续可导，且，在构成的区间上连续，其中，则 . 证明令，由于在构成的区间上连续，记，则得证。 1.3 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别区别：第一换元法在定积分中对未知量给出了定义范围，要求换元函数在该定义域内一阶连续可导即可，对积分要求变弱。

联系：不定积分的实质是求一个函数的原函数组成的集合，部分定积分的计算可以利用不定积分的第一换元法求出简单函数的任意一个原函数，再用原函数在定义域的上下限的函数值取差值。例1求. 解因为即有一个原函数，所以例2 计算积分. 解由于于是 2.第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 2.1不定积分中第二换元法的定理形式定理3设连续，及都连续，的反函数存在且连续，并且，（1）则（2）

证明将（2）式右端求导同时注意到（1）式，得，这便证明了（2）式。 2.2定积分中第二换元法的定理形式定理 4 设在连续，作代换，其中在构成的区间上有连续导数，且，则证明设是的一个原函数，则是的一个原函数。于是，定理得证。 2.3 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别区别：由不定积分中第二换元法的证明过程可知，不定积分中第二换元法要求变换的反函数存在且连续，并且。而在定积分的第二换元法则不这样要求，它通过换元法写出关于新变量的被积函数与新变量的积分上下限后可以直接求职，不像不定积分的计算最终需要对变量进行还原。例3用第二换元法求解解令，则

高中数学16微积分基本定理(教案)

三、教学过程 1、复习：定积分的概念及用定义计算 2、引入新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ()T T v t dt ? 。另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算 ()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。注：1：定理如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明：因为()x Φ= ()x a f t dt ? 与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤）其中C 为某一常数。令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ= ()a a f t dt ? =0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =，有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

不定积分换元法例题

【不定积分的第一类换元法】已知 ()()f u du F u C =+? 求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????= =? ?? 【凑微分】 ()()f u du F u C = =+? 【做变换，令()u x ?=，再积分】 (())F x C ?=+ 【变量还原，()u x ?=】【求不定积分()g x dx ? 的第一换元法的具体步骤如下：】（1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ??=?? （2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ????= =??? （3）作变量代换()u x ?=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ????==? ??()u f u d =? （4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+?求出原函数： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()d u u C f u F ==+? （5）将()u x ?=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()f u du F u C ==+?(())F x C ?=+ 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ?=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。 __________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9 9 9 9 (57)(57)(5711(57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?= +?++? ? ? ? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =?=+=+? 【注】111 (ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===?? 3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --= ===? ???? cos ln |cos |c ln |co s |o s x x d C x C x =-=-+=-+?

人教课标版高中数学选修2-2：《定积分的概念》教案-新版

1.5.3 定积分的概念一、教学目标 1．核心素养通过定积分的概念的学习，提升分析问题、解决问题的能力、抽象概括能力和逻辑思维能力. 2．学习目标（1）借助几何直观体会定积分的基本思想；（2）初步了解定积分的概念. 3．学习重点定积分的概念与定积分的几何意义 4．学习难点定积分的概念二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务:预习教材P 45—P 48,完成相应练习题 2．预习自测 1.设 f (x )＝????? x 2(x ≥0)，2x (x <0)，则??－1 1f (x )dx 等于（） A ．??－11x 2dx B ．??－1 12x d C ．??－10x 2dx ＋??012x dx D ．??－102x dx ＋??01x 2dx 答案：D 2.定积分?1 3 (－3)dx 等（）

A ．－6 B ．6 C ．－3 D ．3 答案：A 3.已知t >0，若??0t (2x －2)dx ＝8，则t ＝（） A ．1 B ．－2 C ．－2或4 D ．4 答案：D （二）课堂设计 1．知识回顾求曲边梯形面积的步骤 ①分割：把区间[a ，b ]等分成n 个小区间； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值； ③求和：计算出n 个小矩形的面积之和n S ，n S 即为曲边梯形面积的近似值； ④取极限：求lim n n S S →+∞ =（S 即为曲边梯形的面积） 2．问题探究问题探究一什么是定积分？学生活动：阅读课本相应内容，找到定积分的定义，并概括出求定积分的基本步骤：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<< <<< <=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点()12i i ,,...,n ξ=，作和式1 1 ()()n n i i i i b a f x f n ξξ==-?=∑∑ ，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记做()b a f x dx ?.

苏教版选修2-2高中数学1.5.2《定积分》word教案

§1.5.2定积分目的要求：（1）定积分的定义（2）利用定积分的定义求函数的积分，掌握步骤（3）定积分的几何意义（4）会用定积分表示阴影部分的面积重点难点：定积分的定义是本节的重点，定积分的几何意义的应用是本节的难点。教学内容：定积分：一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义，将区间[,]a b 等分为n 个小区间，每个小区间的长度为x ?（b a x n -?=），在每个小区间上取一点，依次为123,,,n x x x x 。作和12()()()()n i n S f x x f x x f x x f x x =??+??++??++??，如果x ?无限趋近于0（亦即n 趋向于)+∞时，n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记为()b a S f x dx =? 其中，()f x 为被积函数，[,]a b 称为积分函数，a 称为积分下限，b 称为积分上限。思考：按定积分的定义第1.5.1节曲边梯形的面积S 就是，即S = 类似的，在第1.5.1节例1中，火箭发射的速度为()v t ，则S = 表示火箭在10s 内所行的距离在第1.5.1节例2中，移动电荷B 的过程中，库仑力所做的功可以表示为S = 。例1．计算定积分 21(1)x dx +? 思考：前面我们均假设被积函数()f x 在区间[,]a b 上非负，那么当()f x 在区间[,]a b 上可取负值时，定积分的几何意义是什么呢？ B A b a x x b a

()b a f x dx =? 定积分的几何意义：例2．计算定积分5 0(24)x dx -? 板演：计算下列定积分：（1） 121(1)2x dx -+? （2）01xdx -? （3）3 0(1)x dx -? （4）20sin xdx π ? 例3．用定积分表示下列阴影部分的面积。 3 y 1 O x O y=g(x) 3 1 x y

北师大版七年级数学上册《 10 科学记数法》公开课教案_3

2017-2018（下）青年教师汇报课教学设计课题：科学计数法。教学目标： A 层：利用10的乘方，进行科学记数，会用科学记数法表示大于10的数。 B 层：会解决与科学记数法有关的实际问题。教学重、难点：用科学记数法表示大数．教学方法：自主交流——探索的方法．教学过程：课前检测：写出下列各数。 1、102=____,103=____,104=____, 2、10 0000 可以表示成_______。_______可以表示成107 3、18万= 14亿= 30.5万= 1.03亿= 一、创设情景，引入新课上次节课我们熟悉了生活中还有很多比100万更大的数。我们看下面几个数据．（1）神十飞船在太空中大约飞行 1008 0000千米； (2) 第六次人口普查时，中国人口约为13 3972 4852人； (3) 太阳的半径约为6 9600 0000米； (4)光的速度约为300000000米/秒。我们注意到上面这几个数比100万还大.我们知道生活中比100万大的数还很多.但我们发现要表示这些较大的数非常麻烦.这时我们就用简单的科学计数法来表示。二、讲授新课（一）我们不妨回顾一下10的n 次幂的规律和意义：101=10； 102=10×10=100; 103=10×10×10=1000; 104=10×10×10×10=10000;…… 1000010001010101010个个n n n =????= (n 为正整数)

你能发现什么规律呢？（10n表示“1”后面跟“n个0”的比较大的数．）你能得到何种启示呢？（我们可以借用10的幂的形式表示大数.）如：300000000=3×1000000000=3×108; 2600000=2.6×1000000=2.6×106; 567000000=5.67×100000000=5.67×108．又如：- 20 0000 = - 2×10 0000= -2×105 - 45 0000 =- 4.5×10 0000=- 4.5×105 - 6700 0000= - 6. 7×1 000 0000=- 6.7×107 一般地，一个大于10的数可以表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为正整数，这种记数的方法叫做科学记数法．（二）思考: 1、在用科学记数法表示一个数的时候，怎样快速地确定出形式中的a和n呢? 2、等号右边10的指数n和等号左边整数的位数,它们存在什么关系? 小组合作，指名汇报。总结：a×10n中10的指数n=整数的位数-1.（教师板书。）练习： 1、在下列各大数的表示方法中，不是科学记数法的是（） A、562 9000=5.629×106 B、4500 0000＝0.45×108 C、997 6000＝9.976×106 D、1000 0000＝10×106 E、1707 0000＝1.707×107 例1：用科学记数法表示下列各数： 100 0000，5700 0000，1230 0000 0000。（教师板书） 2、试一试: (1)如果一个数是6位整数,用科学记数法表示它时,10的指数是_________;如果一个数有9位整数,那10的指数呢?______________. (2) 用科学记数法表示一个n位整数,那10的指数应是_________. 3、辨一辨： (1)地球半径约为1500 0000 0000 米可用科学记数法表示为15×1010米。( ) (2)2003年，我市实现国内生产总值218.4亿元,可用科学记数法表示为0.2184×1013元。( ) (3)上半年，全国财政收入10954．99亿元，可用科学记数法表示为10.95499×1014元。

2019-2020年高中数学第八课时定积分的简单应用(三)教案北师大版选修2-2

2019-2020年高中数学第八课时定积分的简单应用（三）教案北师大版选修2-2 一、教学目标 1、理解定积分概念形成过程的思想； 2、会根据该思想求简单旋转体的体积问题。二、学法指导本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次的研究，关键是对定积分思想的理解及灵活运用，建立起正确的数学模型，根据定积分的概念解决体积问题。三、教学重难点：重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的旋转体的体积问题；难点；数学模型的建立及被积函数的确定。四、教学方法：探究归纳，讲练结合五、教学过程（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积的方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？（二）新课探析问题：函数，的图像绕轴旋转一周，所得到的几何体的体积。典例分析例1、给定直角边为1的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体。求它的体积。 Y 分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）学生阅读课本P89页分析，教师引导。解：圆锥体的体积为 O 1 X Y O X 1231 0033V x dx x ππ π===? 变式练习1、求曲线，直线，与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。

答案：；例2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其体积。分析：解此题的关键是如何建立数学模型。将其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。则A ，B 坐标可得，再求出直线AB 和抛物线方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB 和线段AB 绕X 轴旋转一周形成的。解：将其轴载面按下图位置放置，并建立如图的坐标系。则，，设抛物线弧OA 所在的抛物线方程为：，代入求得： ∴抛物线方程为：（）设直线AB 的方程为：，代入求得： ∴直线AB 的方程为： ∴所求“冰激凌”的体积为：340124223 2246212)()()(cm dx x dx x ππ=??????+-+?? 变式练习2 如图一，是火力发电厂烟囱示意图。它是双曲线绕其一条对称轴旋转一周形成的几何体。烟囱最细处的直径为，最下端的直径为，最细处离地面，烟囱高，试求该烟囱占有空间的大小。（图二）（图一）（精确到）答案：归纳总结：求旋转体的体积和侧面积由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体体积为. 其侧面积为 '22()1[()]b a S f x f x dx π=+?侧. 求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体体

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2019-2020年高中数学 1.5 2定积分概念与性质教案新人教A版选修2-2 一、定积分问题举例 1.曲边梯形的面积曲边梯形:设函数y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值: 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形,每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替,每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积,则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值.具体方法是:在区间[a,b]中任意插入若干个分点 a=x0

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