第二十一章二次根式课堂练习题及答案

第二十一章 二次根式

测试1 二次根式

学习要求

掌握二次根式的概念和意义，会根据算术平方根的意义进行二次根式的运算．

课堂学习检验

一、填空题

1．a +1表示二次根式的条件是______． 2．当x ______时，12--

x 有意义，当x ______时，3

1+x 有意义． 3．若无意义2+x ，则x 的取值范围是______． 4．直接写出下列各式的结果： (1)49＝_______；

(2)2)7(_______； (3)2)7(-_______；

(4)2)7(--_______； (5)2)7.0(_______；(6)22])7([- _______． 二、选择题

5．下列计算正确的有( )．

①2)2(2=- ②22=- ③2)2(2=- ④2)2(2-=- A ．①、②

B ．③、④

C ．①、③

D ．②、④

6．下列各式中一定是二次根式的是( )． A ．23-

B ．2)3.0(-

C ．2-

D ．x

7．当x =2时，下列各式中，没有意义的是( )． A ．2-x

B ．x -2

C ．22-x

D ．22x -

8．已知,21)12(2a a -=-那么a 的取值范围是( )． A ．2

1>a B ．2

1<

a C ．2

1≥

a D ．2

1≤

a 三、解答题

9．当x 为何值时，下列式子有意义? (1);1x -

(2);2x -

(3);12+x

(4)

?+-x

x

21

10．计算下列各式：

(1);)23(2 (2);)1(22+a

(3);)4

3

(22-?-

(4).)3

23

(2-

综合、运用、诊断

一、填空题

11．x 2-表示二次根式的条件是______． 12．使

1

2-x x

有意义的x 的取值范围是______． 13．已知

411+=-+-y x x ，则x y 的平方根为______．

14．当x =－2时，2244121x x x x ++-+-＝________． 二、选择题

15．下列各式中，x 的取值范围是x ＞2的是( )．

A ．2-x

B ．21-x

C ．x -21

D ．

1

21-x

16．若022|5|=++-y x ，则x －y 的值是( )． A ．－7

B ．－5

C ．3

D ．7

三、解答题

17．计算下列各式：

(1);)π14.3(2

-

(2);)3(22--

(3);])3

2

[(21-

(4).)5.03(

22

18．当a =2，b =－1，c =－1时，求代数式a

ac

b b 242-±-的值．

拓广、探究、思考

19．已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：

化简：||)(||22b b c c a a ---++-的结果是：______________________．

20．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 均为整数，且a 和b 满足.09622

=+-+-b b a 试求

△ABC 的c 边的长．

测试2 二次根式的乘除(一)

学习要求

会进行二次根式的乘法运算，能对二次根式进行化简．

课堂学习检测

一、填空题

1．如果y x xy ?=24成立，x ，y 必须满足条件______．

2．计算：(1)=?

121

72_________；(2)=--)84)(2

13(__________； (3)=?-03.027.02___________．

3．化简：(1)=?3649______；(2)=?25.081.0 ______；(3)=-45______． 二、选择题

4．下列计算正确的是( )． A ．532=?

B ．632=?

C ．48=

D ．3)3(2-=-

5．如果

)3(3-=-?x x x x ，那么( )．

A ．x ≥0

B ．x ≥3

C ．0≤x ≤3

D ．x 为任意实数

6．当x =－3时，2x 的值是( )． A ．±3 B ．3 C ．－3 D ．9

三、解答题

7．计算：(1);26?

(2));33(35-?- (3);8223?

(4);125

2735? (5);1

31a

ab ?

(6)

;5252a

c c b b a ??

(7);49)7(2?- (8);51322-

(9)

.7272y x

8．已知三角形一边长为cm 2，这条边上的高为cm 12，求该三角形的面积．

综合、运用、诊断

一、填空题

9．定义运算“@”的运算法则为：,4@+=

xy y x 则(2@6)@6=______．

10．已知矩形的长为cm 52，宽为cm 10，则面积为______cm 2

．

11．比较大小：(1)23_____32；(2)25______34；(3)－22_______－6． 二、选择题

12．若b a b a -=2

成立，则a ，b 满足的条件是( )．

A ．a ＜0且b ＞0

B ．a ≤0且b ≥0

C ．a ＜0且b ≥0

D ．a ，b 异号

13．把4

3

2

4根号外的因式移进根号内，结果等于( )． A ．11- B ．11

C ．44-

D ．112

三、解答题

14．计算：(1)=?x xy 6335_______；

(2)=+222927b a a _______；

(3)=??2

1

1322

12_______； (4)=+?)123(3_______．

15．若(x －y ＋2)2与

2-+y x 互为相反数，求(x ＋y )x 的值．

拓广、探究、思考

16．化简：(1)=-+1110)12()12(________；

(2)=-?+)13()13(_________．

测试3 二次根式的乘除(二)

学习要求

会进行二次根式的除法运算，能把二次根式化成最简二次根式．

课堂学习检测

一、填空题

1．把下列各式化成最简二次根式：

(1)=12______；(2)=x 18______；(3)=3548y x ______；(4)

=x

y

______；

(5)

=3

2

______；(6)=214______；(7)=+243x x ______；(8)

=+3121______． 2．在横线上填出一个最简单的因式，使得它与所给二次根式相乘的结果为有理式，如：23 与.2

(1)32与______； (2)32与______；

(3)a 3与______； (4)2

3a 与______； (5)33a 与______． 二、选择题 3．

x

x

x x -=-11成立的条件是( )． A ．x ＜1且x ≠0 B ．x ＞0且x ≠1 C ．0＜x ≤1 D ．0＜x ＜1

4．下列计算不正确的是( )． A ．4

7

1613

= B ．

xy x x y 63132= C ．20

1

)51()41(22=-

D ．

x x x

3294= 5．把

32

1

化成最简二次根式为( )． A ．3232 B ．

3232

1

C ．

28

1 D ．

24

1

三、计算题 6．(1);2516 (2);9

72

(3)

;3

24 (4);1252755÷-

(5);15

25 (6);3366÷

(7);2

11311÷

(8)

.125.02

1

21÷

综合、运用、诊断

一、填空题

7．化简二次根式：(1)=?62________(2)

=8

1

_________(3)=-314_________

8．计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式： (1)

=5

1_______(2)

=x 2_________(3)=322

__________(4)

=y

x 5__________ 9．已知,732.13≈则≈3

1

______；≈27_________．(结果精确到0．001) 二、选择题

10．已知13+=a ，1

32

-=

b ，则a 与b 的关系为( )． A ．a =b B ．ab =1

C ．a =－b

D ．ab =－1

11．下列各式中，最简二次根式是( )．

A ．

y

x -1

B ．

b

a C ．42+x D ．

b a 25

三、解答题

12．计算：(1);3

b a ab a

b ?÷

(2);3

2

12y xy ÷

(3)

?++b

a b a

13．当24,24+=-=y x 时，求2

22y xy x +-和xy 2＋x 2y 的值．

拓广、探究、思考

14．观察规律：

,32321,

23231,

121

21-

=+

-

=

+

-=

+……并求值．

(1)

=+2

271_______；(2)

=+10

111_______；(3)

=++1

1n n _______．

15．试探究22)(a 、a 与a 之间的关系．

测试4 二次根式的加减(一)

学习要求

掌握可以合并的二次根式的特征，会进行二次根式的加、减运算．

课堂学习检测

一、填空题

1．下列二次根式15,12,18,82,454,125,27,

32化简后，与2的被开方数

相同的有______，与3的被开方数相同的有______，与5的被开方数相同的有______．

2．计算：(1)=+3

1

312________； (2)=-x x 43__________．

二、选择题

3．化简后，与2的被开方数相同的二次根式是( )． A ．10

B ．12

C ．

2

1 D ．

6

1 4．下列说法正确的是( )．

A ．被开方数相同的二次根式可以合并

B ．8与80可以合并

C ．只有根指数为2的根式才能合并

D ．2与50不能合并

5．下列计算，正确的是( )． A ．3232=+

B ．5225=-

C ．a a a 26225=+

D ．xy x y 32=+ 三、计算题

6．.48512739-+

7．.61224-+

8．?++32

18121 9．?---)5.043

13

()8

14

12(

10．.1878523x x x +- 11．

?-+x

x x x 1

246932

综合、运用、诊断

一、填空题

12．已知二次根式b a b +4与b a +3是同类二次根式，(a ＋b )a 的值是______．

13．

383

2

ab 与b a b 26无法合并，这种说法是______的．(填“正确”或“错误”) 二、选择题

14．在下列二次根式中，与a 是同类二次根式的是( )．

A ．a 2

B ．23a

C ．3a

D ．4a

三、计算题 15．.)15(2

8

22180-+-

- 16．

).272(4

3

)32(21--+ 17．?+-+b

b a b a a

1

41

18．.21233ab b

b a a

b

a b

a

b a

-

+

-

四、解答题

19．化简求值：y y x y x x

3241+-+，其中4=x ，9

1

=y ．

20．当3

21-=x 时，求代数式x 2－4x ＋2的值．

拓广、探究、思考

21．探究下面的问题：

(1)判断下列各式是否成立?你认为成立的，在括号内画“√”，否则画“×”．

①32

2322=+

（ ） ②83

3833=+

（ ） ③15

441544=+（ ） ④24

552455=+

（ ）

(2)你判断完以上各题后，发现了什么规律?请用含有n 的式子将规律表示出来，并写出

n 的取值范围．

(3)请你用所学的数学知识说明你在(2)题中所写式子的正确性．

测试5 二次根式的加减(二)

学习要求

会进行二次根式的混合运算，能够运用乘法公式简化运算．

课堂学习检测

一、填空题

1．当a =______时，最简二次根式12-a 与73--a 可以合并． 2．若27+=

a ，27-=

b ，那么a ＋b =______，ab =______．

3．合并二次根式：(1)=-+)18(50________；(2)=+-ax x

a

x 45________． 二、选择题

4．下列各组二次根式化成最简二次根式后的被开方数完全相同的是( )． A ．

ab 与2ab

B mn 与

n

m 11+ C ．2

2n m +与22n m - D ．

239

8b a 与4329

b a

5．下列计算正确的是( )． A ．b a b a b a -=-+2))(2( B ．1239)33(2=+=+

C ．32)23(6+=

+÷

D ．641426412)232(2-=+-=-

6．)32)(23(+-等于( )． A ．7 B ．223366-+- C ．1

D ．22336-+

三、计算题(能简算的要简算) 7．?-12

1

).2218( 8．).4818)(122(+-

9．).3

2841)(236215(-- 10．).32

1

8)(8321(

-+

11．.6)1242764810(÷+- 12．.)18212(2-

综合、运用、诊断

一、填空题

13．(1)规定运算：(a *b )=｜a －b ｜，其中a ，b 为实数，则=+7)3*7(_______．

(2)设5=a ，且b 是a 的小数部分，则=-b

a

a ________． 二、选择题

14．b a -与a b -的关系是( )． A ．互为倒数 B ．互为相反数 C ．相等

D ．乘积是有理式

15．下列计算正确的是( )．

A ．b a b a +=+2)(

B ．ab b a =+

C ．b a b a +=+22

D ．a a

a =?

1

三、解答题 16．?+?-2

2

1221 17．?--

+

?2

818)2

12(2

18．.)21()21(20092008-+ 19．.)()(22b a b a --+

四、解答题

20．已知,23,23-=+=y x 求(1)x 2－xy ＋y 2；(2)x 3y ＋xy 3的值．

21．已知25-=x ，求4)25()549(2++-+x x 的值．

拓广、探究、思考

22．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式

互为有理化因式．如：a 与a ，63+与63-互为有理化因式． 试写下列各式的有理化因式： (1)25与______；

(2)y x 2-与______；

(3)mn 与______； (4)32+与______； (5)223+与______；

(6)3223-与______．

23．已知,732.13,414.12≈≈求)23(6-÷．(精确到0.01)

答案与提示

第二十一章 二次根式

测试1

1．a ≥－1．2．<1， >－3．3．x <－2．

4．(1)7； (2)7； (3)7； (4)－7； (5)0.7； (6)49． 5．C ． 6．B ． 7．D ． 8．D ．

9．(1)x ≤1；(2)x ＝0；(3)x 是任意实数；(4)x ≤1且x ≠－2． 10．(1)18；(2)a 2＋1；(3);2

3

- (4)6．

11．x ≤0． 12．x ≥0且?=/

2

1

x 13．±1． 14．0． 15．B ． 16．D ． 17．(1)π－3．14；(2)－9；(3);23 (4)36． 18．2

1

-或1．

19．0． 20．提示：a ＝2，b ＝3，于是1

测试2

1．x ≥0且y ≥0．2．(1);6 (2)24；(3)－0.18．

3．(1)42；(2)0.45；(3).53- 4．B ． 5．B ． 6．B ． 7．(1);32 (2)45； (3)24； (4);5

3

(5);3b

(6);5

2 (7)49； (8)12； (9)?y xy 263

8．.cm 62

9．.72 10．210． 11．(1)>；(2)>；(3)<． 12．B ． 13．D ．

14．(1);245y x (2);332b a + (3) ;34 (4)9． 15．1． 16．(1);12- (2).2

测试3

1．(1);32 (2);23x (3);342

xy y x (4)

;x

xy (5)

;36 (6);223 (7);32

+x x (8)

6

30． 2．.3)5(;3)4(;3)3(;2)2(;3)1(a a 3．C ． 4．C ． 5．C ． 6．.4)8(;3

22)7(;22)6(;63)5(;215)4(;22)3(;3

5)2(;54)1(-

7．?-3

39)3(;42)2(;32)1( 8．?y y x x x 55)4(;6

6

)3(;2)2(;55)

1( 9．0.577，5.196． 10．A ． 11．C ． 12．.)3(;33)2(;)1(b a x b

ab

+ 13．

.112;2222222=+=+-y x xy y xy x

14．.1)3(;1011)2(;722)1(n n -+--

15．当a ≥0时，a a a ==22)(；当a <0时，a a -=2

，而2)(a 无意义．

测试4

1．.454,125;12,27;

18,82,32 2．(1).)2(;33x

3．C ． 4．A ． 5．C ． 6．.33 7．.632+ 8．?8

2

7 9．.23+ 10．.214x 11．.3x 12．1． 13．错误． 14．C ． 15．.12+ 16．

?-423411 17．.32

1

b a + 18．0．

19．原式,32

y x

+=

代入得2． 20．1． 21．(1)都画“√”；(2)1

1

22-=-+n n n

n n n (n ≥2，且n 为整数)；

(3)证明：?-=-=-+-=-+1

11)1(1223222

n n

n n n n n

n n n n n 测试5

1．6． 2．.3,72 3．(1);22 (2) .3ax - 4．D ． 5．D ． 6．B ． 7．

?66

8．.1862-- 9．.33

14218- 10．?4

1

7 11．.215 12．.62484-

13．(1)3；(2).55-- 14．B ． 15．D ． 16．?-4

1

17．2． 18．.21-

19．ab 4(可以按整式乘法，也可以按因式分解法)．

20．(1)9； (2)10． 21．4．

22．(1)2； (2)y x 2-； (3)mn ； (4)32-； (5)223-； (6)3223+(答

案)不唯一． 23．约7.70．

人教版八年级数学下第十六章 二次根式章末复习课 课堂检测题

人教版八年级数学下第十六章 二次根式章末复习课课堂检测题 时间:40分钟 分值:100分 一、填空题(每小题3分,共18分) 1.使√x -9有意义的x 的取值范围为 . 2.计算:√(-5)2= . 3.计算:√18÷√3×√13= . 4.一个等腰三角形的两边长分别为√12 cm,√45 cm,则这个三角形的周长为 cm . 5.如图,在长方形内有两个相邻的正方形A,B,正方形A 的面积为3,正方形B 的面积为24,则图中阴影部分的面积是 . 6.观察下列各式:√1+13=2√13,√2+14=3√14,√3+15=4√15,…,请你将猜到的规律用含n (n 为正整数)的代数式表示出来: . 二、选择题(每小题3分,共24分) 7.在下列各式中,不是二次根式的有 ( ) ①√-10;②√10a (a ≥0);③√m n (m ,n 同号且n ≠0);④√x 2+1;⑤√83. A .3个 B .2个 C .1个 D .0个 8.若代数式√x+1x -3有意义,则实数x 的取值范围是 ( ) A .x ≥-1 B .x ≥-1且x ≠3 C .x>-1 D .x>-1且x ≠3 9.下列式子中为最简二次根式的是 ( ) A .√3 B .√12 C .√45 D .√12 10.有下列计算:(1)(√2)2=2;(2)√(-2)2=2; (3)(-2√3)2=12;(4)(√2+√3)(√2-√3)=-1.其中结果正确的个数为 ( ) A .1 B .2 C .3 D .4 11.若√75n 是整数,则正整数n 的最小值是 ( ) A .2 B .3 C .4 D .5 12.一个直角三角形的两条直角边长分别为2√3 cm,3√6 cm,那么这个直角三角形的面积是( ) A .8√2 cm 2 B .7√2 cm 2 C .9√2 cm 2 D .√2 cm 2 13.若√5=a ,√17=b ,则√0.85的值用含a ,b 的式子可以表示为 ( )

-《二次根式》观课报告

《二次根式》观课报告 今年暑期研修中,按照省远程研修的要求,我认真、细致、耐心的观看了四位 教师的课,这些教师都认真对待本次讲课,积极准备,从备教材、备数学课程标准,备学生、备重点、备难点方面,在教学设计中设计详细,各项目书写全面,给我提供了很好的讲课蓝本,就其中一节初中数学《二次根式》谈一下自己的体会。尹老师的这节课,教学设计合理,教材与学情分析准确、全面;教学目标明确。重点、难点处理符合学生认知规律;情境与活动设计指向问题解决。教学环节相对完整、过程流畅、结构清晰;课堂容量适当。学生学习兴趣浓厚,积极主动,参与度高,在学习活动中获得良好体验,课堂气氛活跃有序。 总体来看本节课凸显学生的主体地位,以如何提高学生的证明思路分析能力为着力点,通过定理的证明、例题的引领、练习题的巩固,及时地总结提升,培养学生分析问题、解决问题的能力。从创造性地使用例题到设计变式训练、迁移训练;从设计条件开放、结论开放题,到设计条件不变、图形变化的各种训练;从展示正确证明过程到展示错误证明过程让学生评价,使学生的思维在广度和深度上得以发展,从而实现数学思维的全方位训练。这节课有以下几点很值得学习: 1、从教师教学来看,教师对课堂教学进行了精心设计,课堂结构合理,活动安 排科学,能够落实分层教学,考虑全体学生。练习设计合理,有层次,有梯度,基础知识掌握在课堂上,关键性的训练完成在课堂上,问题解决在课堂上。面向全体,不同层次学生均得到发展;过程体验充分,学习能力得到提升;教学目标检测及时有效,达成度高。 2、目标明确,设置恰当,符合课程标准的要求。教学中,始终围绕目标进行,教学内容安排合理,讲授正确,课堂结构合理; 3、课堂气氛营造:针对初二学生的年龄特点,教师又适当的加入激励性的语言,激起学生的参与意识,例如:“在这一节的学习中,我们又会面临哪些挑战呢?大家想

《二次根式》 word版 公开课一等奖教案3

当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一些珍贵资料，融合以后进行再制作，形成了本套作品。 本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 二次根式 课题 二次根式 授课时间 课型 复习 二次修改意见 课时 1 授课人 科目 数学 主备

教学目标知识与技能 1、使学生理解二次根式的意义,会讨论式子 b ax+(b a,是已知数且0 ≠ a)中字x的取值范围； 2、理解和应用二次根式的性质()()0 2 ≥ =a a a 过程与方法探究、归纳． 情感态度价 值观 通过运用知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力． 教 材分析重难点 理解二次根式的意义及其性质 求二次根式的被开方数中的字母的取值范围 教学设想教法三主互位导学法学法小组合作学习法教具幻灯片 课堂设计 目标展示 1．计算的结果是（） A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9 2．若二次根式有意义，则x的取值范围为（） A．x≥2 B．x≠2 C．x＞2 D．x=2 3．下列二次根式中，最简二次根式是（） A． B． C． D． 预习检测 4．下列根式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 5．下列计算中，正确的是（） A．= B．×=6 C．÷=4 D．﹣= 6．计算的结果为（）

二次根式复习课优质说课稿

《二次根式》复习课说课稿 一、教学内容与学情分析 1．本课在教材、新课标中的地位与作用 本课内容是二次根式章节的复习课，是学生在学完新人教版八年级教材下册第十六章后的一个总结复习。二次根式是初中数学知识体系与结构中一个不可或缺的部分，是中考直接考查的一个重点内容。本课复习内容的教学将让学习更为系统地认识二次根式，并在学习新知的基础上得到一个升华。同时也是为了学生能够在下一张勾股定理以及九年级的解直角三角形学习中打下一些有效的基础。 关于二次根式在《数学课程标准》中提出要求： 1.了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则； 2.会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）； 在本章内容新授过程中，教师更多的关注了学生对概念及运算法则的讲解，对方法、技巧、能力等各方面并没有对学生作出更高的要求，同时学生本身在学习新课知识时，也是一种模糊的感觉。对课程标准提出的第2点：会用它们进行有关实数的简单四则运算并不能很有效的完成。而本节复习课的教学将给学生一个巩固提高的机会，让大多数学生能加深对二次根式的运算的理解，同时更是为学生掌握更多的学习方法、学习技巧，提高学生的能力提供机会。彻底地贯彻课程标准所提出的要求，完成九年级学生应完成的任务。 2．本课知识点与前后知识点的联系 本课内容是综合性复习，所讲知识点学生基本都熟悉，只不过是没有真正的理解透彻，甚至有些学生可能都已经有部分渐渐淡忘。本节内容的教学其实从本质上讲就是为学生理清知识点，建立一个完整的知识体系与结构。把已学知识系统、全面地呈现在学生的面前，同时也是为了让学生能够对二次根式的理解与运算真正落实到位作出努力。 其实，本课内容的教学不单单是为了复习巩固，更重要的是让学生对本章的知识在初中数学教材中明确地位与作用，让学生感受本章知识的重要性，为即将学习后面的知识做好铺垫工作。 3．学生已有的知识基础 由于新课内容结束离综合性复习时间较长，可以说大多数学生对本章的知识并不是非常熟悉，但学生已具备的知识基础从理论上讲应该是完全具备的，只不过需要一个回顾的过程。同时，随着知识面的拓广以及一些章节中对二次根式的应用，逐步让学生对二次根式这一章的内容也有了更多的认识。在复习时，学生应该说还是很易于接受的。 4．学生学习新知的障碍 在学生已有的知识基础上，本节课的教学其实更主要的是经历回顾、理解、巩固的过程。本节教学内容的新知并不是真正的“新的知识点、新的知识技能、新的知识能力”，而是一种对已学知识的一种重新加工处理的能力，从已学的知识上提炼出更精粹的东西来。这也正是学生在这方面的缺憾，需要教师

二次根式的除法和最简二次根式课堂训练测试题

二次根式的除法和最简二次根式课堂训练测试题 1、 选择题： （1）等式1313--=--a a a a 成立的条件是（ ） A 、a ≠1 B 、a ≥3且a ≠－1 C 、a >1 D 、a ≥3 （2）在下列各式中，是最简二次根式的式子是（ ） A 、a 16 B 、5n m - C 、18a D 、346y x (3) 在式子b a b a a x m +-+,2,4,5.0,31, 182中，是最简二次根式的式子有（ ）个 A 、2 B 、3 C 、1 D 、0 2、化简： （1）81342； （2）224c b a ； （3）2 3 29161643a b ab b a + 3、运算： （1）()18832?÷； （2）9???? ??-÷121423485； （3）??? ? ??÷n n m m n 1； 4、把下列各式分母有理化： （1）63 ； （2）1243 5； （3）38x y x ； （4）)1(11<-+a a a ； （5）42) 2(2++a a 5、把下列各式化成最简二次根式： （1）32；（2）34；（3）c b a 220；（4）3281x x ；（5）（a +b ）b a x +324 （6）（a + b ）b a x +3 24；（7）x y xy y x 32296+-（x >3y ） 6、先化简，再求值：2x 33431x x x +-，其中x =1.69 答案： 1、D 、B 、B 2、（1）9 14；（2）c b a 2；（3）b a +

3、（1）32；（2）7 53-；（3）n 4、（1）26；（2）8 5；（3）x xy 42；（4）a a --112；（5）42+a 5、（1）42；（2）332；（3）c bc a 52；（4）4 2x ；（5）b a b a x x ++)(62 （6）2x )(6b a x +；（7） x xy y x )3(- 6、0.403

-《二次根式》观课报告

《二次根式》观课报告 今年暑期研修中，按照省远程研修的要求，我认真、细致、耐心的观看了四位教师的课，这些教师都认真对待本次讲课，积极准备，从备教材、备数学课程标准，备学生、备重点、备难点方面，在教学设计中设计详细，各项目书写全面，给我提供了很好的讲课蓝本，就其中一节初中数学《二次根式》谈一下自己的体会。尹老师的这节课，教学设计合理，教材与学情分析准确、全面；教学目标明确。重点、难点处理符合学生认知规律；情境与活动设计指向问题解决。教学环节相对完整、过程流畅、结构清晰；课堂容量适当。学生学习兴趣浓厚，积极主动，参与度高，在学习活动中获得良好体验，课堂气氛活跃有序。 总体来看本节课凸显学生的主体地位，以如何提高学生的证明思路分析能力为着力点，通过定理的证明、例题的引领、练习题的巩固，及时地总结提升，培养学生分析问题、解决问题的能力。从创造性地使用例题到设计变式训练、迁移训练；从设计条件开放、结论开放题，到设计条件不变、图形变化的各种训练；从展示正确证明过程到展示错误证明过程让学生评价，使学生的思维在广度和深度上得以发展，从而实现数学思维的全方位训练。这节课有以下几点很值得学习: 1、从教师教学来看，教师对课堂教学进行了精心设计，课堂结构合理，活动安排科学，能够落实分层教学，考虑全体学生。练习设计合理，有层次，有梯度，基础知识掌握在课堂上，关键性的训练完成在课堂上，问题解决在课堂上。面向全体，不同层次学生均得到发展；过程体验充分，学习能力得到提升；教学目标检测及时有效，达成度高。 2、目标明确，设置恰当，符合课程标准的要求。教学中，始终围绕目标进行，教学内容安排合理，讲授正确，课堂结构合理； 3、课堂气氛营造：针对初二学生的年龄特点，教师又适当的加入激励性的语言，激起学生的参与意识，例如：“在这一节的学习中，我们又会面临哪些挑战呢？大家想不想挑战自我？”这节课中类似这样的语言很多。张老师能做到面向全体学生，在教学中，能坚持以学生为本，面向全体学生，调动起所有学生的积极性。 4、师生双边活动：课堂上，教师让学生在讲台上讲解充分暴露学生思维中的缺点，教师及时补充更正，起到了很好的效果。师生交往既有师生的交往，又有生生的交往，发挥了学生的主观能动性，也提高了学生的智力活动水平。 5、学习方式与方法教学中开展了小组活动，活动中，小组成员对共同学习中发现的问题，利用教师所提供的材料，通过分析、比较、抽象和概括与一系列积极的思维活动，实现了认识上的飞跃，有利于培养学生的团队精神和创新能力。 观课反思： 1、多给学生以肯定性评价，对于回答的比较好的学生给以充分的表扬。 2、重视学生思维能力的培养，也要重视学习习惯等非智力因素的培养。 3、在平时的课堂教学中要安排一定时间给学生自己，放心大胆的把课堂还给学生，把时间还给学生。

最新苏教版八年级数学下册12.1二次根式公开课优质教案(7)

§12.1 二次根式（1） 个人复备学习目标： 1.了解二次根式地概念 2.能根据二次根式地意义确定被开方数中字母地取 值范围 3.理解公式a a2（a≥0），能利用公式化简二次根式 重点：二次根式地概念以及二次根式地基本性质 难点：经历知识产生地过程，探索新知识 学习过程 一.【预习练习】初步感知、激发兴趣 1.复习：

9地平方根是________，算术平方根是__________； 0.64地平方根是_________，算术平方根是__________； 0地平方根是_________，算术平方根是__________； 总结：一个正数有______个平方根，0地平方根是_______，负数_________平方根； a（a≥0）地平方根是____________，算术平方根是__________； 2.（1）边长为1地正方形地对角线地长为___________; （2）面积为S地圆地半径为___________；

（3）直角边长分别为a、b地直角三角形斜边地长为_____________； 一般地，__________________________叫做二次根式，a叫做_________________。 二.【新知探究】师生互动、揭示通法 问题1：下列哪些式子是二次根式？为什么？ （1）35 ；（2）―(―3) 2 ；（3） 3 2 ；（4）－12 （5）xy（x、y异号）；（6）－m（m≤0）（7）a2＋1 。 问题2：x是怎样地实数时，下列各式在实数范围内 有意义？

（1）（2）x 2（3）12x （4） 问题3：计算：（1）（ 12）2；（2）（32）2；（3）（b a ）2（a ＋b ≥0） （4）（35）2（5）2531（6） 2b a （b ≥0） 三.【变式拓展】能力提升、突破难点 问题4：（1）若2x-1 ＋|y －1|=0，那么x =__ __，y =___ _ （2）若22340a b c ，求a －b +c 地值. 问题5：已知y=2x +2x +5，求x y 地值． x 231 1 x 个人复备

人教版八年级下册数学《二次根式的复习》课堂教学实录

课堂教学实录 原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！ 令公桃李满天下，何用堂前更种花。出自白居易的《奉和令公绿野堂种花》 镇海中学 陈志海 二次根式的复习 师：同学们好！ 生：老师好! 师：同学们，在课前我布置了几道练习题，我想大家都已经完成了，下面我请各 组的小组长汇报各组完成的情况及在解题中遇到的一些问题。 生：各组组长汇报完成情况及遇到的问题 师：根据完成情况请四个同学到黑板板演,请其他同学们注意观察黑板板演的过程 生：计算。 (1)33－23 (2) －2a +3a (3) －12×6 （4）3x ×6y 师：根据板演情况进行讲解 【评析】教师通过活动1,让学生进一步巩固二次根式的解法 师：二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来． 生： )0()()0())(1(22≥=≥=a a a a a a 与 )0,0()0,0(2≥≥=?≥≥?=b a ab b a b a b a ab 与）（； )00()00()3(>≥=>≥=，b a b a b a ， b a b a b a 与 师：你说得对.请看下面的化简.(投影)

【评析】通过不同的计算方法让学生懂得解题的方法并不唯一，激发学生在今后 的学习中，要多动脑筋勤思考。 师：要注意 22)(a a 不一定能化成． 【评析】通过分析板演，让学生知道在计算二次根式的时候把握法则。让学生进 一步巩固二次根式的混合运算。 师：看下面的题目：x 什么值时，下列各式在实数范围内有意义：(投影) 23)1(-+-x x ；212)2(x x -； x x 22)3(-+；x x 32)4(+． 生1：2≤x ≤3 生2: x ≠±1 生3: x =0 生4: x ≥-2且x ≠0． 师：同学们回答得很好。再看看 例2. 错误!未找到引用源。(投影) . ,,090999.36::2222的值从而确定的值从中求得及有意义的条件分别是与二次根式的值再求多项式的值与先根据已知条件求出分析师m n n n n n n m ，n m ≥-≥---- 生：板演： 解： 因为n 29≥0，9-n 2≥0，且n -3≠0，所以n 2=9且n ≠3，所以

二次根式观课分析报告修订稿

二次根式观课分析报告集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

今年暑期研修中，按照省远程研修的要求，我认真、细致、耐心的观看了四位教师的课，这些教师都认真对待本次讲课，积极准备，从备教材、备数学课程标准，备学生、备重点、备难点方面，在教学设计中设计详细，各项目书写全面，给我提供了很好的讲课蓝本，就其中一节初中数学《二次根式》谈一下自己的体会。尹老师的这节课，教学设计合理，教材与学情分析准确、全面；教学目标明确。重点、难点处理符合学生认知规律；情境与活动设计指向问题解决。教学环节相对完整、过程流畅、结构清晰；课堂容量适当。学生学习兴趣浓厚，积极主动，参与度高，在学习活动中获得良好体验，课堂气氛活跃有序。 总体来看本节课凸显学生的主体地位，以如何提高学生的证明思路分析能力为着力点，通过定理的证明、例题的引领、练习题的巩固，及时地总结提升，培养学生分析问题、解决问题的能力。从创造性地使用例题到设计变式训练、迁移训练；从设计条件开放、结论开放题，到设计条件不变、图形变化的各种训练；从展示正确证明过程到展示错误证明过程让学生评价，使学生的思维在广度和深度上得以发展，从而实现数学思维的全方位训练。这节课有以下几点很值得学习: 1、从教师教学来看，教师对课堂教学进行了精心设计，课堂结构合理，活动安排科学，能够落实分层教学，考虑全体学生。练习设计合理，有层次，有梯度，基础知识掌握在课堂上，关键性的训练完成在课堂上，问题解决在课堂上。面向全体，不同层次学生均得到发展；过程体验充分，学习能力得到提升；教学目标检测及时有效，达成度高。 2、目标明确，设置恰当，符合课程标准的要求。教学中，始终围绕目标进行，教学内容安排合理，讲授正确，课堂结构合理；

二次根式公开课教案

4.1.1二次根式 教学目标 知识与技能： 1、了解二次根式的定义，会判断一个二次根式在实数范围内是否有意义及有意 义的条件。 2、会根据公式2) (a=a(a≥0) 及2a=∣a∣进行计算。 过程与方法：经历观察、比较、总结二次根式的定义，发展学生的归纳能力。情感、态度与价值观：经历观察、比较、总结和应用等教学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识。 教学重难点 1．重点：会判断一个二次根式在实数范围内是否有意义及有意义的条件。 2．难点：会根据公式2) (a=a(a≥0) 及2a=∣a∣进行计算。 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列问题： 1、4的平方根是？4的算术平方根是？ 2、0的平方根是？0的算术平方根是？ 3、2的平方根是？2的算术平方根是？ 4、－7有没有平方根？－7有没有算术平方根？ 对于每一个正实数a有且只有个平方根，记作，其中一个正的平方根叫做a的记作，另一个平方根是。 0的平方根记作，即。 二、探索新知 一般地，我们把形如a（a≥0）?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，简称根号，根号下的数叫做被开方的数。 由于二次根式的被开方数只能取非负值，因此二次根式要有意义就必须被开方数大于等于0。 从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件： ( 1 ) 必须有二次根号； ( 2 ) 被开方数不能小于0 。

例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： （1）32； （2）6； （3）12- ； （4）m -（m ≤0）； (5)xy (x y 异号) （6）12+a ； （7）38 解：二次根式有：（1）32； （2）m -（m ≤0）； （3）12+a ； 例2当x 是多少时，二次根式1-x 在实数范围内有意义？ 解：由x-1≥0，得：x ≥1 当x ≥1时，1-x 在实数范围内有意义． 例3计算： 讨论：如果将上题中的数字换成字母，你发现2)(a 与 2a 有何异同呢？ 三、巩固练习：见学案 四、课堂小结： 1、二次根式的概念； 2、二次根式的性质。 五、布置作业： P 131T 1、2、3。 ==2222251））（（））（（()=?22225 =?248 ()()()???<-≥=≥=0)0(.20.122a a a a a a a a ()()22 0a a a =≥时，当

二次根式课堂检测反馈

1（本题5分）下列式子中，是二次根式的是（ ） A ．- B ． C D ．x 2（每题5分）当x 取什么实数时，下列各式有意义 (1) x 52- (2) () 122 +x (3) x x 235-- + (4) x x --112 3（本题5分）已知a 、b =b+4，求a 、b 的值

1.计算（每题5分） （1）2（2）-）2 （3）（1 2 2（4）（2 2（本题5）． A．0 B．2 3C．42 3 D．以上都不对 3（每题5分）在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）3x2-5 4（本题5分）若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+。

1．计算:（每题5分） (1) 2731? ； (2)155?； (3)8423?. 2.化简：（每题5分） (1)3227y x ； (2)ab a 183 2?. 3（本题5分）、1112 -= -?+x x x 成立的条件是 4（本题10分）.等边三角形的边长是3，求这个等边三角形的面积.

1、计算: （每题5分） （1） 2 18； （2） 10 217 5÷ ； (3) a b a 21125 32 ÷ ； (4) 3 1501000m m . 2、把下列各式分母有理化：（每题5分） （1） 6 3； （2） 12 435； （3） 3 8x y x ； （4）5.1 检测反馈：（共30分） 1（每题5分）计算: （1）27—67 （2）80—20+5 （3）18+（98—27） （4）) 272(43)32(21 - - + （5）x x 2242+ （6）3222x a x -

二次根式单元测试卷讲评课教案

试卷讲评课教案 泸州七中罗兵 【教学内容】数的开方与二次根式单元测试 【教学目标预设】 1．通过试题的讲评，能帮助学生澄清模糊概念，培养学生思维能力，在剖析试题与知识切入点的过程中，能使学生明确解题思路，提高解题能力. 2．通过适当的表扬鼓励促使学生追求战胜困难的愉快，体会解决困难的满足感；通过设置恰如其分的台阶引导学生不断获取学习成功，领略成功的喜悦，增强兴趣的持久性。 【教学重点、难点】 典型错题与知识点切入；解题方法与技巧提炼。 【教学方法】 根据考试情况暴露的突出问题，对典型问题采用： 评（互动）——讲（知识切入、方法提炼）——练（补偿性训练、拓展提高）【教学过程】 一、学情分析： 1．考试情况统计 成绩统计：

2．答卷中存在主要问题 从评卷情况看，学生存在的问题，主要表现在以下几个方面：（1）二次根式和最简二次根式概念模糊 （2）不能熟练地把二次根式化成最简二次根式 （3）二次根式的运算，负指数、零指数的运算正确率不高 （4a 理解掌握不够 二、学生典型错误评析 根据学生存在的典型问题，对每一个典型问题抓住以下几个要点：1．投影出错题目 2．试题与知识切入点，明确破题思路； 3．典型错误展示（投影）；诱导学生互动剖析错因； 4．修正（板书或投影）； 5．变式练习（难易度不变）； 6．解题方法技巧小结。 具体的典型问题评析：

典型问题1： 一、1题3分：3的平方根是12人出错 对应知识点是：a 的平方根是±变式训练 典型问题2： 一、4题3分：当x 是_______25人出错 0a ≥ 变式训练： 典型问题3： 二、4题3分：在二次根式中，最简二次根 式的个数为（ ） 知识点：最简二次根式概念 方法点拨：对照概念一一判别 变式训练： 二、2题3分把化成最简二次根式得（ ）——24人出错 主要错误是选择B 知识点：最简二次根式化法——根据概念，使被开放数不含分母。 8 = = 数的因素即可） 变式训练： 典型问题4： 三、计算题典型错误投影（3个学生的原版错误） 学生互动：指出错误所在，应该怎样修正，正确答案应该是什么？ 典型问题5： 四、2题5分： () ) ( )2 2 31 3 --- - ——36人出错 本题考查知识点：负指数、零指数、完全平方公式的计算（教师在黑板上板书公式） 投影错误实例：

9上21.2《二次根式性质》课堂教学实录

课堂实录 21.1.2 二次根式的性质 【预习反馈】 师：根据课前预习及以前学过的知识做课前延伸 生：各组组长汇报完成情况：主要错题是（1）（3）（4）第（1）大于等于负x 2 3；第（3）题x 为0；第（4）题好几人不会做 师：第（1）题分母不为0 ；第（3）题中被开方数不是是x -（x -5）2第（4）题a -5与5-a 互为 相反数又要同时为非负数，所以只有都为0 〖评析〗提醒学生：教师让学生回顾再现旧知识，为下一步学习二次根式的性质做好铺垫和准备． 【导入新课】 师：下面请同学们一起来看这一道问题：-2-2和、- 222-2和）（相等吗？（幻灯片） 生：（脱口而出）不等． 师：为什么？ 生：被开方数不能为负 师：为什么不能为负？ 生：没有哪个数的平方为负 师：很好。那么什么情况下形如这样的两个式子相等？ 生：换为3次方根 师：非常棒 师：那么2 2(-2))2(和、222)2(和、222-)2(）（和相等吗？ 生：（自信地）相等。 师：为什么？ 生：被开方数相等。 师：很好！（揭示课题，板书） 【探索新知】 师：同学们，观察预习思考题，你发现了什么？利用你的发现填空： ； =________．

当a>0a 0; 当a=00 生：2， 0.01， 101， 32， 0， 7 3， ＞， ＝ 师：很好．:生：非负数 师：非常好下面我们来看第二问题： 根据算术平方根的意义填空： ）2=_______；）2=_______；2=______；）2=_______ 生：4， 2， 3 1， 0 师：怎么得到的 是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于42=4．其余的跟它一样 师：非常棒！所以：生：a 师：非常好下面我们来看第三问题： 探究（三） ； =________； 生： 2， 0.01， 3 2 0 师：很好． 师：当a 不加任何条件时2a =多少？（停顿） 师：（竖起大拇指）回答得很好。 板书：（1

二次根式教学反思

二次根式教学反思 在二次根式这一章的学习中，重点是是掌握二次根式的运算，教学的关键是理解二次根式的性质，这块教学内容是在第十二章实数的基础上，着重研究二次根式。在本章教学中，存在以下问题： 1、在教学设计中，仍然存在着对学情分析不足，主要是过高估计学生的学习能力，一方面每节课设计的教学内容过多，经常一节课结束后还有不少内容没有完成，另一方面对以前学过的知识的复习工作做的不够，导致后续的新知识的学习遇到不少麻烦。如对二次根式的性质的应用时，考虑到以前已经学过，自以为学生不存在困难，就没有重点分析，结果导致不少学生在二次根式的化简过程中因此而出错。 2、九年级数学是新教材，在教学过程中，我的教学理念还没有及时更新，有时对新老教材的区别关注不够，从而导致教学不到位。在二次根式的化简中，老教材比较重视对具体数的化简，对字母的要求不高，一般都确保二次根式有意义，而新教材特别要求引导学生注意二次根式中字母的取值范围，要求培养学生严谨的学习态度和推断字母取值范围的能力。刚开始对这一要求理解不到位，没有对学生提出明确要求，也没有重视对典型错误的分析。 3、在促进学生探索求知和有效学习方面还存在明显不足。新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习，在我的课堂教学中，经常为了完成教学任务而忽视这方面的引导。在本章中，其实有许多内容可以进行这方面的尝试。如判断二次根式中字母的取值范围、选取有理化因式、选择不同的运算途径等都可以让学生进行探究和归纳。在二次根式的运算中我就直接告诉学生：加减运算时利用公式，乘除时利用公式和，结果大部分学生并不接受。若能让学生在探究的基础上归纳出方法，学习的效果会提高很多，学习的能力也会不断提高。 4、在学生的学习方面，也有值得反思的地方我班的学生在老师指导下学习数学方面的积极性并不差，但自主学习方面还存在着不足。遇到困难有畏难情绪、对老师的依赖性太强、作业只求完成率而不讲质量、学习的竞争意识和自我要求明显缺乏。这些都有待于在今后的教学中进行教育和引导，加强改进，提高教学实效。 《二次根式》说课稿 克井一中司永萍一、教材分析 本章是在第13章的基础上，进一步研究二次根式的概念，性质，和运算。“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“锐角三角函数”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础。第一节研究了二次根式的概念和性质。它是学习本章的关键，它也是学习二次根式的化简和运算的依据。

《二次根式》word版 公开课一等奖教案 (21)

当我们在日常办 公时，经常会遇到一 些不太好编辑和制作 的资料。这些资料因 为用的比较少，所以 在全网范围内，都不 易被找到。您看到的 资料，制作于2021 年，是根据最新版课 本编辑而成。我们集 合了衡中、洋思、毛 毯厂等知名学校的多 位名师，进行集体创 作，将日常教学中的 一些珍贵资料，融合 以后进行再制作，形 成了本套作品。 本套作品是集合 了多位教学大咖的创 作经验，经过创作、 审核、优化、发布等 环节，最终形成了本 作品。本作品为珍贵 资源，如果您现在不 用，请您收藏一下吧。 因为下次再搜索到我 的机会不多哦！ 课题 1.1二次根式 课时教学目标1.经历二次根式概念的发生过程 2.了解二次根式的概念 3.理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情况下求根号 内所有含字母的取值范围 4.会求二次根式的值 教学设想教学重点：二次根式的概念 教学难点：例1的第（2）（3）题学生不容易理解。

教 学 程 序 与 策 略 一、 知识回顾： 1、什么叫做平方根？ 一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。 2、什么叫算术平方根? 正数的正平方根和零的平方根，统称算术平根。 用()0≥a a 表示 讨论并解释：为什么a ≥0 ？ 二、 新课教学 做一做：课本P 4 的填空 你认为所得的各代数式的共同特点是什么? 象 这样表示的算术平方根，且根号中含有字母的代数式叫做二次根式 为了方便起见，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式。如2 1 3 解：（1）由a+1≥0 得，a ≥-1 ∴字母a 的取值范围是大于或等于-1的实数 （2）由 a 211-＞0，得 1-2a ＞0。即a<2 1, ∴字母a 的取值范围是小于21的实数 （3）因为无论a 取何值，都有（a-3）2 ≥0,所以a 的取值范围是全体实数 说明：求字母的取值范围实质是：转化为解不等式（组） 练习： 求下列二次根式中字母a 的取值范围： ()11;a +()12;12a -()23(3). a -24a +3 b -2s 24a +3b -2s 求下列二次根式中字母a 的取值范围：

16.1 二次根式教案(公开课)

第16章二次根式 16.1二次根式（1） 【教学目标】 1．根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数必须是非负数的理由； 2．能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系． 【教学重点】 从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念． 【教学过程】 一.创设情境提出问题 1.电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km） 之间存在近似关系r=，其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的 高分别是h1 km、h2 km 你能化简这个 式子吗？ 式子 表示什么？ 公式中 r=中的 表示什么意义？ 2.问题： （1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______． （1）中式子你是怎么得到？得到的两个式子有什么不同？ （2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m．（2）中得到的式子有什么意义？ （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h =5t2，如果用含有h 的式子表示t ，则 ． （3）中当h 的值分别为0，10，15，20，25时，得到的结果分别是什么？

表示的数怎样变化？ 二.合作探究 形成知识 （1）这些式子分别表示什么意义？ （2）这些式子有什么共同特征？ 分别表示3，S ，65，5 h 的算术平方根 这些式子的共同特征是： 都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根． （3）根据你的理解，请写出二次根式的定义． 用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式． a≥0）?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 三.初步应用 巩固知识 练习2 二次根式和算术平方根有什么关系？ 二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的算术平方根是二次根式．

9上218《二次根式的复习》课堂教学实录

课堂教学实录 二次根式的复习 师：同学们好！ 生：老师好! 师：同学们，在课前我布置了几道练习题，我想大家都已经完成了，下面我请各组的小组长 回报各组完成的情况及在解题中遇到的一些问题。 生：各组组长汇报完成情况及遇到的问题 师：根据完成情况请四个同学到黑板板演,请其他同学们注意观察黑板板演的过程 生：计算。 (1)33－23 (2) －2a +3a (3) －12×6 （4）3x ×6y 师：根据板演情况进行讲解 【评析】教师通过活动1,让学生进一步巩固二次根式的解法 师：二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来． 生： )0()()0())(1(22≥=≥=a a a a a a 与 )0,0()0,0(2≥≥=?≥≥?=b a ab b a b a b a ab 与）（； )00()00()3(>≥=>≥=，b a b a b a ， b a b a b a 与 师：你说得对.请看下面的化简.(投影) 【评析】通过不同的计算方法让学生懂得解题的方法并不唯一，激发学生在今后的学习中， 要多动脑筋勤思考。 师：要注意 22)(a a 不一定能化成．

. )(,)2()2(2)2(2)2(0;)()0(0)0()5(5)5(0222222222222222a a ，，，a a a ，，，a ≠-≠--==-<=====≥此时所以无意义但时当此时如时当 【评析】通过分析板演，让学生知道在计算二次根式的时候把握法则。让学生进一步巩固二 次根式的混合运算。 师：看下面的题目：x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：(投影) 23)1(-+-x x ；212)2(x x -； x x 22)3(-+；x x 32) 4(+． 生1：2≤x ≤3 生2: x ≠±1 生3: x =0 生4: x ≥-2且x ≠0． 师：同学们回答得很好。再看看 例2. 的值求且满足为实数已知n m n n n m n m 36,3 499,,22--+-+-=(投影) . ,,090999.36::2222的值从而确定的值从中求得及有意义的条件分别是与二次根式的值再求多项式的值与先根据已知条件求出分析师m n n n n n n m ，n m ≥-≥---- 生：板演： 解： 因为n 2-9≥0，9-n 2≥0，且n -3≠0，所以n 2=9且n ≠3，所以 3 2643499,322-=-=-+-+-=-=n n n m n ， 5)3(3)3 2(636=---?=-n m 师：要使二次根式有意义必须a ≥0 【评析】通过分析进一步让学生理解二次根式的运算。 师：下面请看例3 a a a a a a a -+--?+-+-1123344422计算(投影)

二次根式的性质 公开课获奖教案

第2课时 二次根式的性质 1．经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；(重点) 2．了解并掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算．(重点，难点) 一、情境导入 a 2等于什么？ 我们不妨取a 的一些值，如2，－2，3，－3，…分别计算出对应的a 2的值，看看有什么规律． 22＝4＝2；（－2）2＝4＝2； 32＝9＝3；（－3）2＝9＝3；… 你能概括一下a 2的值吗？ 二、合作探究 探究点一：二次根式的性质 【类型一】行计算 化简： (1)(5)2；(2)52；(3)（－5）2；(4)(－5)2. 解析：根据二次根式的性质进行计算即可． 解：(1)( 5)2＝5；(2) 52＝5； (3)（－5）2＝5；(4)( －5)2＝5. 方法总结：利用a 2＝|a |进行计算与化简，幂的运算法则仍然适用，同时要注意二次根式的被开方数要为非负数． 【类型二】 在实数范围内分解因式． (1)a 2－13；(2)4a 2－5；(3)x 4－4x 2＋4. 解析：由于任意一个非负数都可以写成一个数的平方的形式，利用这个即可将以上几个式子在实数范围内分解因式． 解：(1)a 2－13＝a 2－(13)2＝(a ＋13)(a －13)； (2)4a 2－5＝(2a )2－(5)2＝(2a ＋5)(2a －5)； (3)x 4－ 4x 2＋4＝(x 2－2)2＝[(x ＋2)(x －2)]2＝(x ＋2)2(x －2)2. 方法总结：一些式子在有理数的范围内 无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．这就需要把一个非负数表示成 平方的形式． 探究点二：二次根式性质的综合应用 【类型一】 结合数轴利用二次根式的 性质求值或化简 已知实数a ，b 在数轴上的位置如 图所示，化简：（a ＋1）2＋2（b －1）2－|a －b |. 解析：根据数轴确定a 和b 的取值范围，进而确定a ＋1、b －1和a －b 的取值范围，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简求解． 解：从数轴上a ，b 的位置关系可知－2＜a ＜－1，1＜b ＜2，且b ＞a ，故a ＋1＜0，b －1＞0，a －b ＜0.原式＝|a ＋1|＋2|b －1|－ |a －b |＝－(a ＋1)＋2(b －1)＋(a －b )＝b －3. 方法总结：结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质． 【类型二】 二次根式的化简与三角形三边关系的综合 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简（a ＋b ＋c ）2－（b ＋c －a ）2＋（c －b －a ）2. 解析：根据三角形的三边关系得出b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c .根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号合并即可． 解：∵a 、b 、c 是△ABC 的三边长，∴b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c ，∴原式＝|a ＋b ＋c |－|b ＋c －a |＋|c －b －a |＝a ＋b ＋c －(b ＋c －a )＋(b ＋a －c )＝a ＋b ＋c －b －c ＋a ＋b ＋a －c ＝3a ＋b －c .

九年级上册 目录以及知识点 北京课改版

第一章走进化学 第一节化学让世界更美好 知识要点1 什么是化学 知识要点2 物理变化和化学变化 知识要点3 物理性质和化学性质 第二节实验是化学基础 知识要点1 药品的取用原则 知识要点2 液体药品的取用 知识要点3 酒精灯的使用 第二章空气之谜 第一节空气 知识要点1 空气成分的发展史 知识要点2 物质的变化 知识要点3 化合反应 知识要点4 空气成分 知识要点5 混合物和纯净物 知识要点6 氧气 知识要点7 大气污染 第二节氧气的制法 知识要点1 氧气的制取 知识要点2 催化剂、催化作用 知识要点3分解反应 知识要点4 化合态和游离态 第三节氧气的性质 知识要点1 氧气的物理性质 知识要点2 氧气的化学性质 知识要点3 氧化反应 第三章构成物质的微粒 第一节原子 知识要点1 原子 知识要点2 原子的构成 知识要点3 构成原子的各种粒子之间的关系 知识要点4 相对原子质量 第二节原子核外电子的排布离子知识要点1 核外电子排布 知识要点2 原子结构示意图 知识要点3 离子 第三节分子 知识要点1 分子的存在 知识要点2 分子的性质

知识要点3 分子 知识要点4 分子和原子的比较 第四章最常见的液体——水 第一节水的净化 知识要点1 水的净化方法 知识要点2 水中物质决定水的净化方法 知识要点3 硬水、软水 第二节水的变化 知识要点1 水的物理性质 知识要点2 水的电解 知识要点3 H2的性质 第三节水资源的开发、利用和保护 知识要点1 水的用途 知识要点2 关注并爱护水资源 知识要点3 水资源的开发利用和保护 知识要点4 海水的淡化 第五章化学元素与物质组成的表示 第一节初步认识化学元素 知识要点1 地壳的元素组成 知识要点2 元素、元素符号 知识要点3 单质、化合物、氧化物 知识要点4 物质的简单分类 知识要点5 单质和化合物概念的区分与联系 知识要点6 物质、元素、分子、原子间的关系 知识要点7 地壳中的矿物 知识要点8 元素周期表简介 第二节物质组成的表示——化学式 知识要点1 化学式 知识要点2 相对分子质量 第三节化合价 知识要点1 化合价 知识要点2 书写化合物的化学式时应遵循的规则 第六章燃烧的学问 第一节探索燃烧与灭火 知识要点1 燃烧 知识要点2 燃烧的条件 知识要点3 灭火原理 知识要点4 灭火的方法 第二节化学反应中的能量变化 知识要点1 化学反应中的热现象 第三节化石燃料