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全国各地高考文科数学试题分类汇编

2013年高考文科数学试题分类立体几何李远敬整理

一.三视图

1．（2013年高考重庆卷（文））某几何体的三视图如题(5)所示,则该几何体的表面积为

（）

A ．180

B ．200

C ．220

D ．240

【答案】D

2．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标

分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为

【答案】A

3．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为

（）

A ．168π+

B ．88π+

C ．1616π+

D ．816π+

【答案】A

4．（2013年高考四川卷（文））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（）

A ．棱柱

B ．棱台

C ．圆柱

D ．圆台

【答案】D

5．（2013年高考浙江卷（文））已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体

积是

（）

A ．108cm 3

B ．100 cm 3

C ．92cm 3

D ．84cm 3

【答案】B

6．（2013年高考广东卷（文））某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是

图 2

俯视图

侧视图

正视图（）

A ．

16 B ．

C ．

D ．1

【答案】B

7．（2013年高考湖南（文））已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧

的矩形,则该正方体的正视图的面积等于______

（）

A B ．1 C D

【答案】D

8．（2013年高考山东卷（文））一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如

右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是

（）

A ．

B ．8

C ．81),

+ D ．8,8

【答案】B

9．（2013年高考江西卷（文））一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为

（）

A ．200+9π

B ．200+18π

C ．140+9π

D ．140+18π

【答案】A

10．（2013年高考北京卷（文））某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为__________.

【答案】3

11．（2013年高考陕西卷（文））某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为________.

【答案】π3

12．（2013年高考辽宁卷（文））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是

____________.

【答案】1616π

二.求值

．（

2013

年

高

考

大

纲

卷

（

文

））

已知正四棱锥

111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于

（）

A ．

B C ．

D ．

【答案】A

（）

14 ．（2013年高考北京卷（文））如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为对角线1BD 的

三等分点,则P 到各顶点的距离的不同取值有

（）

A ．3个

B ．4个

C ．5个

D ．6个

【答案】B

15．（2013年高考辽宁卷（文））已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,

若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为

（）

A ．

B ．

C ．

132

D ．

【答案】C

16．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知正四棱锥O-ABCD 的体积为,底面边长为,则以O

为球心,OA 为半径的球的表面积为________.

【答案】24π

17．（2013年高考湖北卷（文））我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在

下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺

二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是__________寸. (注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 【答案】3

18．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知H 是球O 的直径AB 上一点,:1:2AH

HB =,AB ⊥

平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为_______.

【答案】

; 19．（2013年高考大纲卷（文））已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球O

的半径,3

602

OK O K =，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于______.

【答案】16π

20．（2013年上海高考数学试题（文科））已知圆柱Ω的母线长为l ,底面半径为r ,O 是上地

面圆心,A 、B 是下底面圆周上两个不同的点,BC 是母线,如图.若直线OA 与BC 所成角的大小为

π6,则1

=________.

21．（2013年高考天津卷（文））已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为

, 则正方体的棱长为 ______.

22．（2013年高考江西卷（文））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且

AB//CD,则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_____________.

【答案】4

23．（2013年高考安徽（文））如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q

为线段1CC 上的动点,过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ,则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号).

①当102CQ <<时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当3

CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足113C R =;④当3

CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,S 的

【答案】①②③⑤

三.根据定理判定

24．（2013年高考浙江卷（文））设m.n 是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面,

（）

A ．若m ∥α,n ∥α,则m ∥n

B ．若m ∥α,m ∥β,则α∥β

C ．若m ∥n,m ⊥α,则n ⊥α

D ．若m ∥α,α⊥β,则m ⊥β

【答案】C

25．（2013年高考广东卷（文））设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是

（）

A ．若//l α,//l β,则//αβ

B ．若l α⊥,l β⊥,则//αβ

C ．若l α⊥,//l β,则//αβ

D ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥

【答案】B

四.证明线、面,面、面的平行、垂直.求体积.

26．（2013年高考辽宁卷（文））

如图,.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点

(I)求证:BC PAC ⊥平面；

(II)设//.Q PA G AOC QG PBC ?为的中点，为的重心，求证：平面

27．（2013年高考浙江卷（文））如图,在在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥面

ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G 为线段PC 上的点.

(Ⅰ)证明:BD⊥面PAC ;

(Ⅱ)若G 是PC 的中点,求DG 与APC 所成的角的正切值; (Ⅲ)若G 满足PC⊥面BGD,求

的值.

28．（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底

面中心, A 1O ⊥平面ABCD , 1AB AA ==1

(Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1;

(Ⅱ) 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积.

29．（2013

年高考福建卷（文））如图,在四棱锥

P ABCD

-中,PD ABCD ⊥面,//AB DC ,AB AD ⊥,5BC =,3DC =,4AD =,

60PAD ∠=.

(1)当正视图方向与向量AD 的方向相同时,画出四棱锥P ABCD -的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程);

(2)若M 为PA 的中点,求证://DM PBC 面; (3)求三棱锥D PBC -的体积.

30．（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是

,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ?沿

AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,

其中2

BC =

. (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当2

AD =

时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -. 图 4

31．（2013年高考湖南（文））如图2.在直菱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,AB=AC=

,AA 1=3,D

是BC 的中点,点E 在菱BB 1上运动.

(I) 证明:AD⊥C 1E;

(II) 当异面直线AC,C 1E 所成的角为60°时,求三菱子C 1-A 2B 1E 的体积.

32．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P ABCD

-中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和

F 分别是CD 和PC 的中点,求证:

(1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD

33．（2013

年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱

111

ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=. (Ⅰ)证明:1

AB AC ⊥; (Ⅱ)若2AB CB ==

,1AC =求三棱柱111ABC A B C -的体积.

34．（2013

年高考山东卷（文））如图,四棱锥

P ABCD

-中,,AB AC AB PA ⊥⊥,,2AB CD AB CD =∥,,,,,E F G M N 分别为

,,,,PB AB BC PD PC 的中点

(Ⅰ)求证:CE PAD ∥平面;(Ⅱ)求证:EFG EMN ⊥平面平面

35．（2013年高考四川卷（文））

如图,在三棱柱

11ABC A B C

-中,侧棱

1AA ⊥

底面

ABC ,122AB AC AA ===,120BAC ∠=,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P

是线段AD 上异于端点的点.

(Ⅰ)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ,说明理由,并证明直线

l ⊥平面11ADD A ;

(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AC 于点Q ,求三棱锥11A QC D -的体积.(锥体体积公式:1

V Sh =

,其中S 为底面面积,h 为高)

36．（2013年高考湖北卷（文））如图,某地质队自水平地面A ,B ,C 三处垂直向地下钻探,自A 点

向下钻到A 1处发现矿藏,再继续下钻到A 2处后下面已无矿,从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =.同样可得在B ,C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =,123C C d =,且123d d d <<. 过AB ,AC 的中点M ,N 且与直线2AA 平行的平面截多面体

111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面,其面积记为S 中.

(Ⅰ)证明:中截面DEFG 是梯形;

(Ⅱ)在△ABC 中,记BC a =,BC 边上的高为h ,面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量(即多面体111222A B C A B C -的体积V )时,可用近似公式V S h =?估中来估

算. 已知1231

()3

V d d d S =++,试判断V 估与V 的大小关系,并加以证明.

37．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别是AB,BB 1的中点.

(1) 证明: BC 1//平面A 1CD; (2) 设AA 1= AC=CB=2,AB=2

,求三棱锥C 一A 1DE 的体积

38．（2013年高考安徽（文））如图,四棱锥P ABCD -的底面

ABCD 是边长为2的菱

形,60BAD ∠=.

已知2,PB PD PA === .

(Ⅰ)证明:PC BD ⊥

(Ⅱ)若E 为PA 的中点,求三菱锥P BCE -的体积

39．（2013年上海高考数学试题（文科））如图,正三棱锥O ABC -底面边长为2,高为1,求

第20题图

该三棱锥的体积及表面积.

40．（2013年高考天津卷（文））如图, 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱长

均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1的中点.

(Ⅰ) 证明EF //平面A 1CD ;

(Ⅱ) 证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1;

(Ⅲ) 求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值.

41．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)

如题(41)图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,PA =2BC CD ==,

ACB ACD π

∠=∠=

(Ⅰ)求证:BD ⊥平面PAC ;

(Ⅱ)若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =,求三棱锥P BDF -的体积.

42（2013

年高考江西卷（文））如图,直四棱柱

ABCD – A 1B 1C 1D 1

中,AB//CD,AD ⊥AB,AB=2,AD=,AA 1=3,E 为CD 上一点,DE=1,EC=3 (1) 证明:BE ⊥平面BB 1C 1C;

(2) 求点B1 到平面EA 1C 1 的距离

26【答案】

27【答案】解:证明:(Ⅰ)由已知得三角形

ABC 是等腰三角形,且底角等于

30°,且

6030AB CB AD CD ABD CBD ABD CBD BAC BD DB =?

=?????∠=∠=∠=??=?

且

,所以;、BD AC ⊥,又因为PA ABCD BD PA BD PAC BD AC ⊥?⊥?

?⊥?⊥?

;

(Ⅱ)设AC

BD O =,由(1)知DO PAC ⊥,连接GO ,所以DG 与面APC 所

成的

角

是

DGO

∠,由已知及(1)知

1,2

BO AO CO DO =====

12tan 12OD GO PA DGO GO ==?∠===,所以

与面

APC

(Ⅲ)由已知得到

PC ===,因为

P C B G D P C ⊥

∴⊥,

在

PDC

?中

,PD CD PC =

===,设

223

107)2

PG PG x CG x x x PG x GC GC =∴=-∴-=--∴==

28【答案】解: (Ⅰ) 设111O D B 线段的中点为.

1111111//D B BD D C B A ABCD D B BD ∴-的对应棱是和 .

的对应线段

是棱柱和同理，111111D C B A ABCD O A AO -

为平行四边形

四边形且且11111111//////OCO A OC O A OC O A OC AO O A AO ?=?∴

1111111111//,.//B CD BD A O D B C O O BD O A C O O A 面面且?==? .(证毕)

(Ⅱ) 的高是三棱柱面ABD D B A O A ABCD O A -∴⊥11111 . 在正方形AB CD 中,AO = 1 . .111=?O A OA A RT 中，在

11)2(2

21111111=??=

?=-?-O A S V ABD D B A ABD ABD D B A 的体积三棱柱. 所以,1111111=--ABD D B A V ABD D B A 的体积三棱柱.

29【答案】解法一:(Ⅰ)在梯形ABCD 中,过点C 作CE AB ⊥,垂足为E ,

由已知得,四边形ADCE 为矩形,3AE CD == 在Rt BEC ?中,由5BC =,4CE =,依勾股定理得: 3BE =,从而6AB =

又由PD ⊥平面ABCD 得,PD AD ⊥

从而在Rt PDA ?中,由4AD =,60PAD ∠=?,

得PD = 正视图如右图所示:

(Ⅱ)取PB 中点N ,连结MN ,CN 在PAB ?中,M 是PA 中点,

∴MN AB ,1

MN AB =

=,又CD AB ,3CD = ∴MN CD ,MN CD =

∴四边形MNCD 为平行四边形,∴DM CN 又DM ?平面PBC ,CN ?平面PBC ∴DM 平面PBC

(Ⅲ)1

D PBC P DBC DBC V V S PD --?==?

又6PBC s ?=

,PD =,

所以D PBC V -=解法二:

(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)取AB 的中点E ,连结ME ,DE 在梯形ABCD 中,BE CD ,且BE CD =

∴四边形BCDE 为平行四边形

∴DE BC ,又DE ?平面PBC ,BC ?平面PBC ∴DE 平面PBC ,又在PAB ?中,ME PB

ME ?平面PBC ,PB ?平面PBC ∴ME 平面PBC .又DE ME E =,

∴平面DME 平面PBC ,又DM ?平面DME ∴DM 平面PBC

(Ⅲ)同解法一

30【答案】(1)在等边三角形ABC 中,AD AE =

AD AE

DB EC ∴

,在折叠后的三棱锥A BCF -中

也成立,//DE BC ∴ ,DE ?平面BCF ,

BC ?平面BCF ,//DE ∴平面BCF ;

(2)在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥①,

12BF CF ==

在三棱锥A BCF

-中

BC=

,222

BC BF CF CF BF

∴=+∴⊥②

BF CF F CF ABF

?=∴⊥平面;

(3)由(1)可知//

GE CF,结合(2)可得GE DFG

⊥平面

1111111

3232333

F DE

G E DFG

V V DG FG GF

∴==????=????=

31【答案】解: (Ⅰ)

CBB

E面

为动点，所以需证

因为⊥.

ABC

ABC⊥

⊥

∴

,面

且

面

是直棱柱

ABC

RT⊥

∴

?的中点，

为

是等腰直角且

又 .

CBB

BC⊥

⊥

?面

且

面

由上两点，且

(证毕)

(Ⅱ)6

∠

∴AE

CA中，

在

的高

是三棱锥

是直棱柱

中，

在

.2C

ABC

RT-

∴

的体积为

所以三棱锥E

32【答案】(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD

所以PA垂直底面ABCD.

(II)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点

所以AB∥DE,且AB=DE

所以ABED为平行四边形,

所以BE∥AD,又因为BE?平面PAD,AD?平面PAD

所以BE∥平面PAD.

(III)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形

所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD,

所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD

所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD和PC的中点

所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.

33【答案】【答案】(I)取AB 的中点O,连接OC O 、1OA O 、

1A B ,因为CA=CB,所以OC AB ⊥,由于AB=A A 1,∠BA A 1=600

,故,AA B ?为等边三角形,所以OA 1⊥

AB.

因为OC ?OA 1=O,所以AB ⊥平面OA 1C.又A 1CC 平面OA 1C,故AB ⊥AC. (II)由题设知

12ABC AA B ??与都是边长为的等边三角形，12AA B 都是边长为

的等边三角形，所以

2111

11.OC OA AC AC OA OA OC ===+⊥又，故 111111111,-3-= 3.

ABC

AB O OA ABC OA ABC A B C ABC S

B C V S

OA =⊥?=?=因为所以平面，为棱柱的高，

又的面积，故三棱柱ABC 的体积

34【答案】

40【答案】

41【答案】

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