第四篇振动与波动
第十二章机械振动
§12-1 简谐振动
1、弹簧振子运动
如图所取坐标,原点 O 在m 平衡位置。现将 m 略向右移到 A,然后放开,此时,由于弹簧伸长而出现指向平衡位置的弹性力。在弹性
力作用下,物体向左运动,当通过位置 O 时,作用
在m 上弹性力等于 0,但是由于惯性作用,m 将继续向
O 左边运动,使弹簧压缩。此时,由于弹簧被压缩,
而出现了指向平衡位置的弹性力并将阻止物体向左
运动,使 m 速率减小,直至物体静止于 B(瞬时静
止),之后物体在弹性力作用下改变方向,向右运动。
这样在弹性力作用下物体左右往复运动,即作机械振动。图12-1
2、简谐振动运动方程
由上分析知,m 位移为 x(相对平衡点 O)时,它受到弹性力为(胡克定律):
(12-1)
式中:当x > 0 即位移沿+x 时,F 沿-x,即F<0当x < 0 即位移沿-x 时,F 沿+x,即F>0 k 为弹簧的倔强系数,“—”号表示力 F 与位移 x(相对 O 点)反向。
定义:物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。由定义知,弹簧振子做谐振动。由牛顿第二定律知,m 加速度为
a =
F
m d 2x =-
kx
m
d 2x k
(m 为物体质量)
a =
∵dt 2∴dt 2+x = 0 m
∵k 、m 均大于 0,∴可令可有:k
=2
m
F =-kx
d 2x
+2
dt 2
x = 0
(12-2) 式(12-2)是谐振动物体的微分方程。它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程,它的解为
x =A sin(t+')
或?
='-
?
(12-3)
(12-4)
?
? 2 ?
式(12-3)(12-4)是简谐振动的运动方程。因此,我们也可以说位移是时间t 的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。本书中用余弦形式表示谐振动方程。
3、谐振动的速度和加速度
?物体位移:x=A cos(t+)
?dx
?V =
?速度:dt
=-A sin(t +)
(12-5) ?
? a =
??加速度:
可知:?
?
?
d 2x
dt 2
=-2A cos(t +)=-2x
(12-6) x -t 、V -t 、a -t 曲线如下
图 12-2
图 12-3
x=A cos(t+)
max
a =2A
V
max
=A
说明:(1)
F = -kx 是谐振动的动力学特征; (2)
a = -2 x 是谐振动的运动学特征; (3) 做谐振动的物体通常称为谐振子。
§12-2 谐振动的振幅 角频率 位相
上节我们得出了谐振动的运动方程 x = A cos (t +),现在来说明式中各量意义。 1、振幅
做谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值称为振幅,记做 A 。 A 反映了振动的强弱。
2、角频率(圆频率)
为了定义角频率。首先定义周期和频率。
物体作一次完全振动所经历的时间叫做振动的周期,用T 表示; 在单位时间内物体所作的完全振动次数叫做频率,用v 表示。
v = 1 由上可知: T T = 1
或
v ∵
T 为周期,∴ x = A cos (t +) = A cos [(t + T ) +] ∵从t 时刻经过 1 个周期时,物体又首次回到原来t 时刻状态,∴T = 2(余弦函数周期为2)
= 2 = 2v ? T
可见:表示在2秒内物体所做的完全振动次数,称为角频率(圆频率)
=
∵
T = 2 = 2 m ? k ? ? ? v = = ? 2 对于给定的弹簧振子, m 、k 都是一定的,所以T 、v 完全由弹簧振子本身的性质所决定,与其它因素无关。因此,这种周期和频率又称为固有周期和固有频率。 3、位相
在力学中,物体在某一时刻的运动状态由位置坐标和速度来决定,振动中,当 A 、
k m 1 k 2 m
∴
?
? 给定后,物体的位置和速度取决于(t +), (
t +
)称为位相(或周相、相位)。由
上可见,位相是决定振动物体运动状态的物理量。是t = 0 时的位相,称为初相。 4、 A 、的确定
对于给定的系统,已知,初始条件给定后可求出 A 、。
初始条件: t = 0 时?
? ? ?
x = x 0 v = v 0
由 x 、v 表达式有
?
x = A cos ? ? v 0 ?
= -A sin 即
x 0 = A cos ?
? ? v 0 ? ?
- ? = A sin ?
? ?
?
?
tg = -
即
x 0
(12-6)
值所在象限: 1)
x 0 > 0 , v 0 < 0 :在第Ⅰ象限 2)
x 0 < 0 , v 0 < 0 :在第Ⅱ象限 3)
x 0 < 0 , v 0 > 0 :在第Ⅲ象限 4)
x 0 > 0 , v 0 > 0 :在第Ⅳ象限 5、两个谐振动物体在同一时刻位相差
(12-7)
设物体 1 和 2 的谐振动方程为 图 12-4
x 1 = A 1 cos (1t +1 ) x 2 = A 2 cos (2t +
2
)
任意t 时刻二者位相差为 ?= [(2t + 2 ) - (1t +1 )] = (2 - 1 )t + (2 -1 )
> 0 :2 的位相比 1 超前 = 0 :2、1 同位相 < 0 :2 的位相比 1 落后
= arctg - v
x 0
2
x +
2 v
2 A =
k m x + 2 v 2 0
2
x 2 + 0 v 2
0 2 0.102
+ (- 0.20)2
22
? ? 例 12-1:如图所示,一弹簧振子在光滑水平面上,已知k = 1.60N / m , m = 0.40kg ,试
求下列情况下m 的振动方程。
(1) 将m 从平衡位置向右移到 x = 0.10m 处由静止释放;
(2) 将m 从平衡位置向右移到 x = 0.10m 处并给以m 向左的速率为0.20m / s 。
解:(1)
m 的运动方程为 x = A cos (t +)
=
= 由题意知:
= 2 / s 初始条件: t = 0 时, x 0 = 0.10m , v 0 = 0
A = = 可得:
= 0.10m 图 12-5
= arctg - v
0 x 0
= arctg 0
∵
x 0 > 0 , v 0 = 0 ,∴= 0 ? x = 0.10cos (2t )m
2) 初始条件: t = 0 时, x 0 = 0.10m , v 0 = -0.20m / s
A = = = 0.1 2m
= arctg - v 0 = arctg ?- - 0.20 ?
= arctg 1
x 0 ?
? 2 ? 0.10 ?
=
∵
x 0 > 0 , v 0 < 0 ,∴ 4 x = 0.1 ? 2 c os 2t + ? ?
4 ? 可见:对于给定的系统,如果初始条件不同,则振幅和初相就有相应的改变。 例 12-2:如图所示,一根不可以伸长的细绳上端固定,下端系一小球,使小球稍偏离平
衡位置释放,小球即在铅直面内平衡位置附近做振动,这一系统称为单摆。(1)证明:当摆角很小时小球做谐振动;
(2)求小球振动周期。
证:(1)设摆长为l ,小球质量为m ,某时刻小球悬线与铅直线夹角为,选悬线在平衡位置右侧时,角位移为正,由 转动定律:
M = J 有
(- ) =
2 d 2
mg sin l
ml dt 2
图 12-6
1.60 0.40
0.102 + 0 m
g l
A
d 2
+ g
sin = 0 即
dt 2 l ∵很小。∴sin ≈ 0
d 2+ g =
? dt 2 l 0
∵这是谐振动的微分方程(或与正比反向) ∴小球在做谐振动。 (2)
T = 2
=
2 = 2 l
g (注意做谐振动时条件,即很小)
§12-3 表示谐振动的旋转矢量方法
在中学中,为了更直观更方便地研究三角函数,引进了单位圆的图示法,同样,在此为了更直观更方便地研究简谐振动,来引进旋转矢量的图示法。
一、旋转矢量
自 ox 轴的原点 o 作一矢量 A
,其模
为简谐振动的振幅 A ,并使 A
在图面内 绕 o 点逆时针转动,角速度大小为谐振动
角频率,矢量
称为旋转矢量。
二、简谐振动的旋转矢量表示法 图 12-7
(1) 旋转矢量 A 的矢端 M 在 x 轴上投影坐标可表示为 x 轴上的谐振动,振幅为 A
A (2) 旋转矢量 以角速度 旋转一周,相当于谐振动物体在x 轴上作一次完全振动,
即旋转矢量旋转一周,所用时间与谐振动的周期相同。
(3) t = 0 时刻,旋转矢量与 x 轴夹角为谐振动的初相, t 时刻旋转矢量与 x 轴夹角(t +
)为t 时刻谐振动的位相。
说明:(1)旋转矢量是研究谐振动的一种直观、简便方法。 (2)必须注意,旋转矢量本身并不在作谐振动,而是它矢端在 x 轴上的投影
点在 x 轴上做谐振动。
旋转矢量与谐振动 x - t 曲线的对应关系(设
= 0 )
? ? ?
?
图 12-8
三、旋转矢量法应用举例
例 12-3: 一物体沿x 轴作简谐振动,振幅为0.12m ,周期为2s 。t = 0 时,位移为
0.06m ,且向 x 轴正向运动。
(1) 求物体振动方程;
(2) 设t 1 时刻为物体第一次运动到 x = -0.06m 处,试求物体从t 1 时刻运动到平
衡位置所用最短时间。
解:(1)设物体谐振动方程为
x = A cos (t +)
由题意知 A = 0.12m
= 2 = 2 = S -1 T 2
= ?
〈方法一〉用数学公式求
x 0 = A cos
∵
A = 0.12m , x 0 = 0.06m cos = 1
∴
2 = ± ?
3 ∵ v 0 = -A sin > 0 = -
∴
3 x = 0.12cos t - ? ? ? 3 ?
〈方法二〉用旋转矢量法求
根据题意,有如左图所示结果 = -
∴
3
图 12-9
x = 0.12cos t - ? ? ?
3 ? m m
? ?
由上可见,〈方法二〉简单 (2)〈方法一〉用数学式子求?t (- 0.06) =
?
t
- ?
0.12cos 1 3 ? t < T = 2 t 1 - < 2 由题意有: ? ? (∵ 1 ∴ 3 )
t - = 2 4 ? 1 3 3 或 3 v = - A sin ?
t - ? < 0
1
∵此时
1 ? ? 3 ? t - =
2 ∴
1
3 3 ? t 1 = 1s
设t 2 时刻物体从t 1 时刻运动后首次到达平衡位置,
0 = ? ?
0.12cos t 2 - 3 ?
有: ? ? t - = 3 t -
< 2
? 2 3 2 或 2 (∵t 2 < 2∴ 2
3 )
v = - A sin ?t ∵
2 ? 2
- ?
> 0 3 ? t - = 3 2
∴
? t 2 3 2 = 11 s 6
?t = t - t = 11 - 1 = 5
s
2 1
6 6
〈方法二〉用旋转矢量法求?t
t 由题意知,有左图所示结果,M 1 为 1 时刻 A
t
末端位置,M 2 为 2 时刻 A 末端位置。从
t 1 - t
2 内 A 转角为
?= (t - t ) = ∠M OM = + = 5
2
?t = t 1 1
5 - t =
6 2
3 2 6
5 5 s
? 2 1 = ? = 6 6
显然〈方法二〉简单。
图 12-10
例 12-4:图为某质点做谐振动的 x - t 曲线。求振动方程。
解:设质点的振动方程为 x = A cos (t +)
由图知: ? ? A = 10cm
2 2 ?
= ? T
= = s -1 2
?
?
?
图 12-11
=-
3
用旋转矢量法(见上页图)可知, 2 (或 2 )
x = 10cos t -
??
?
cm
2 ?
例 12-5:弹簧振子在光滑的水平面上做谐振动,A 为振幅,t = 0 时刻情况如图所示。O 为原点。试求各种情况下初相。
图 12-12
§12-4 谐振动的能量
对于弹簧振子,系统的能量E =E k (物体动能)+
E
p (弹簧势能)
已知:?物体位移
?
物体速度
x=A cos(t+)
v=-A sin(t+)
E =E +E =
1
mv2+
1
kx2
?k p 2 2
E = 1 kA 2 = 1
m 2 A 2
2 2
p = 1 ? m [-A sin (t +)]2 + 1 k [A cos (t +)]2
2 2 = 1 m 2 A 2 sin 2 (t +) + 1
kA 2 cos 2 (t +)
2 2 (m
2
= k )
= 1 kA 2
[sin 2 (t +) + cos 2 (t +)]
2 = 1 kA 2 2
(11-8)
说明:(1)虽然 E k 、 E p 均随时间变化,但总能量 E = E k + E p
且为常数。原因是系
统只有保守力作功,机械能要守恒。
(2) E k 与 E p 互相转化。当 x = 0 时, E p = 0 , E k = E k max = E 。在 x = A 处, E k = 0 , E p = E p max = E 。
E = 1 E
例 12-6:一物体连在弹簧一端在水平面上做谐振动,振幅为 A 。试求 k
2 的位置。
解:设弹簧的倔强系数为k ,系统总能量为
E = E k + E p
= 1 kA 2 2
E = 1 E 在 k 2
p 时,有 E + E = 3 E = 3 ? 1
kx 2 k p
2 p 2 2
3 kx 2 = 1 kA 2 ?
4 2
x = ± 2 A
∴
3
例 12-7:如图所示系统,弹簧的倔强系数k = 25N / m ,物块m 1 = 0.6kg ,物块m 2 = 0.4kg ,
m 1 与m 2 间最大静摩擦系数为= 0.5 , m 1 与地面间是光滑的。现将物块拉离平衡
位置,然后任其自由振动,使m 2 在振动中不致从m 1 上滑落,问系统所能具有的
最大振动能量是多少。
解:系统的总能量为
E = 1 kA 2
2
E = E = 1
kA 2 k max
2 (此时 E p = 0 )
m 2 不致从m 1 上滑落时,须有
m 2a ≤ m 2 g
图 12-13
2
?
极限情况 a max = g = A
2
A = g = g ? (m 1 + m 2
) 即 2 1 ?
k m + m ?2 1
( ) g 22
? E k max = k ? g 1 2 ? k 2 ? = ? 2 m 1 + m 2 k = 1 (0.6 + 2
0.4 )2 ? 9.82 ? 0.52 25 = 0.48J
§12-5 同方向同频率两谐振动合成
一个物体可以同时参与两个或两个以上的振动。如:在有弹簧支撑的车厢中,人坐在车厢的弹簧垫子上,当车厢振动时,人便参与两个振动,一个为人对车厢的振动,另一个为车厢对地的振动。又如:两个声源发出的声波同时传播到空气中某点时,由于每一声波都在该点引起一个振动,所以该质点同时参与两个振动。在此,我们考虑一质点同时参与两个在同一直线的同频率的振动。
取振动所在直线为 x 轴,平衡位置为原点。振动方程为
? x 1 = A 1
cos (t +1 ) ? x = A cos (t + )
? 2 2 2
?
A 1 、 A 2 分别表示第一个振动和第二个振动的振幅;1 、2 分别表示第一个振动和第二 个振动的初相。
是两振动的角频率。由于 x 1 、 x 2 表示同一直线上距同一平衡位置的位移,所以合
成振动的位移 x 在同一直线上,而且等于上述两分振动位移的代数和,即
x = x 1 + x 2
为简单起见,用旋转矢量法求分振动。
图 12-14
图 12-15 如图所示, t = 0 时,两振动对应的旋转矢量为 A 、 A ,合矢量为 A = A
+ A
。∵ A 、
A
1
2
A A
1 2 1
2 以相同角速度 转动,∴转动过程中 1 与 2 间夹角不变,可知 A 大小不变,并且 A
tg =
A 1 sin 1 + A 2 sin
2
=
PM
A 1 cos 1 + A 2 cos 2 OP
( 3 ?10-1
)2 + 0.22
- 2 ?
?10-1
? 0.2cos
6
- = 2 1 2 1 2 t A
也以 转动。任意时刻 ,
矢端在 x 轴上的投影为:
x = x 1 + x 2 因此,合矢量 A 即为合振动对应的旋转矢量, A 为合振动振幅,为合振动初相。合振动方程为:
x = A cos (t +)(仍为谐振动) 由图中三角形OM 1M 2 知:
(12-9)
由图中三角形OMP 知:
讨论:(1)2 -1 = 2k
(k = 0,±1,±2,? ? ?)
时(称为位相相同)
? (12-10)
A = A 1 + A 2 (2)2 -1 = (2k + 1)
(k = 0,±1,±2,? ? ?) 时(称为位相相反) ? A = A 1 - A 2
例 12-8:有两个同方向同频率的谐振动,其合成振动的振幅为0.2m ,位相与第一振动
的位相差为 6 ,若第一振动的振幅为
振幅及第一、第二两振动位相差。
解:(1)
A 2 = ? ?10-1 m ,用振幅矢量法求第二振动的 A = A 2 + A 2 - 2 A A cos
=
2
1
1
6
= 0.1m
(2)∵ A 2 = A
2 + A 2
∴
图 12-16
例 11-9: 一质点同时参与三个同方向同频率的谐振动, 他们的振动方程分别为
x = ? ?
?
2 ?
x = A cos t 2
A cos t + ? 3 x 3 = A cos t + 3? 1 ,
振动方程。
? ? , ? ? ,试用振幅矢量方法求合 =
解:如左图,
3 ( A 1 、 A 2 、 A 3 、 A 构成一等腰梯形) A = 2 A cos
+ A = 2 A cos
+ A = 2 A
1
2
3
x = ? ?
2 A cos t + ?
? ?
3 ? 图 12-17
A = A + A + 2 A A cos ( 2 2
1 2 1 2
-) 2 1
3 3