特征值解法
《结构动力学》大作业
结构大型特征值问题的求解
0810020035 吴亮秦
1振动系统的特征值问题
1.1实特征值问题
n 自由度无阻尼线性振动系统的运动微分方程可表示为：
[]{}[]{}()M u K u F t += （1.1）
其中，{}u 是位移向量，[]M 和[]K 分别是系统的质量矩阵和刚度矩阵，都是n 阶正定矩阵，()F t 是激励向量。
此系统的自由振动微分方程为
[]{}[]{}0M u K u += （1.2）
设其主振型为： {}{}sin()u v t ω?=+ （1.3） 其中，{}v 为振幅向量，ω为圆频率，?为初相位。将(1.3)代入自由振动微分方程(1.2)， 得：
[]{}[]{}K v M v λ= （1.4） 其中2
λω=，(1.4)具有非零解的条件是
()[][]det 0M K λ-= (1.5)
式(1.4)称为系统的特征方程，由此可以确定方程的n 个正实根1{}n i i λ=，称为系统的特征值，1{}n i i ω=称为系统的固有频率，{}i v （i=1,2,…..n ）为对应于特征值的特征向量或称为系统的振型或模态。
因为[]M 矩阵正定，则[]M 有Cholesky 分解：
[][][]T
M L L = (1.6)
其中，[]L 是下三角矩阵。引入向量{}x 满足：{}[]{}T
x L v =，则：
1
{}([]){}T v L x -= (1.7) 代入(1.4)，得：
([][]){}0I P x λ-= (1.8)
其中，(
)
1
1
[][][][]
T
P L K L --=，式(1.8)称为标准实特征值问题。
1.2复特征值问题
多自由度阻尼自由振动系统的运动方程为如下二阶常系数微分方程组：
[]{()}[]{()}[]{()}0 M x t C x t K x t ++= (1.9) 其中 []M ，[]C ，[]K 分别是n 阶的质量、阻尼和刚度矩阵，{()}q t 是n 维可微向量函数。用分离变量法，设{()}{}t
x t e λφ=，其中{}φ是与时间t 无关的常向量，λ为待定参数。将
{()}{}t
x t e λφ=代入上述齐次方程，得确定参数λ,{}φ的特征方程：
()
2
[][][]{}0M C K λλφ++= (1.10)
(1.10)具有非零解的条件是
()2det [][][]0M C K λλ++= (1.11)
式(1.11)的求解就是复特征值问题。
2 实特征值求解方法 2.1特征方程法
求解实特征值最直接的方法就是特征方程法，即把式(1.5)展开得到特征值多项式：
11100n n n C C C λλλ--++++= (2.1)
求解(1.10)即得特征值，特征方程法仅适用于3n ≤的低阶情况特征值求解，并不是求解特征值的一般方法，实际求解大型结构的实特征值问题的方法很多，归纳起来大致分为两类，即基于矩阵相似变换原理的相似变换法和基于瑞利—李兹（Rayleigh-Ritz ）法、迭代方法的瑞利—李兹类方法。
2.2相似变换法
相似变换法基于矩阵的相似变换原理，即相似矩阵与原矩阵有相同的特征值，主要有以下几种方法。
2.2.1雅克比法（Jacobi ）
雅克比法是求解实对称矩阵全部特征值的简单有效的方法。它的基本思想是，通过正交 相似变换使矩阵对角化，从而求出矩阵的全部特征值，进行步骤如下：
（1） 将系统的自由振动微分方程：
[]{}[]{}0M u K u += 化为标准实特征值形式：([][]){}0I P x λ-=；
(2)找矩阵[P]中绝对值最大的非对角线元素0uv p ，构造正交矩阵[]1S ，对[P]矩阵作正交变换[][][][]T
111S P S =P 使元素0uv p 化成0；
（3）找矩阵[]1P 中的绝对值最大非对角线元素1uv p ，构造正交矩阵[]2S ，对[]1P 矩阵作正交变换[][][][]T
2122S P S =P 使元素1uv p 化成0；
（4）依次进行下去，每次找矩阵[]i P 中的最大非对角线元素i uv p ，构造正交矩阵[]i+1S ，对[]i P 矩阵作正交变换[][][][]T
i+1i i+1i+1S P S =P 使元素i uv p 化成0。
重复使用该变换，每次变换可使矩阵[]i P 更接近于对角矩阵，若干次变换厚，原矩阵[P]化成对角矩阵，对角线元素即是原矩阵的特征值。
每步变换的关键在于构造正交矩阵[]i+1S ，实际采用吉文斯（Givens ）旋转矩阵，通过多次坐标系的旋转来实现原矩阵的对角化，[]i+1S 取如下形式：
[]1
1cos sin 11sin cos 1
1θθθθ?????????
??
?????=?
????
?-?
???????
????
i+1S 其中，u 、v 为[]i P 中最大非对角线元素所在的行列序号，θ为旋转角，由正交变换
[][][][]T
i+1i i+1i+1S P S =P 使矩阵[]i+1P 的元素uv p =vu p =0来确定，计算得到：
arctan 2i i vv uu i
uv
p p p θ-1
=
2.2.2 豪斯厚德三对角化法（Householder ）
当矩阵[]P 的阶数较高，非对角元素较稠密，且数值较大时，使用雅克比法的收敛速度就不快，为了谋求更快更有效的算法，吉文斯（Givens ）首先提出了一个将实对角矩阵三对角化的方法，将矩阵三对角线外的元素利用正交变换逐一化成0.而豪斯厚德（Householder ）则改进了这一方法，即将三对角线外的元素逐行变换成0，最后将矩阵三对角化，在三对角化的基础上便可结合别的方法迅速地求出全部或部分特征值。豪斯厚德方法基本思路如下：
（1）寻找一个对称的正交矩阵[]1S ，通过正交变换[]
[][][]T
=111S P S P ，将矩阵[]P 的
最后一行实现三对角化，因为[]P 是对称矩阵，这样同时也实现了[]P 的最后一列三对角化；
（2）寻找一个对称的正交矩阵[]2S ，通过正交变换[][][][]T
=2122S P S P ，将矩阵[]1P 的
倒数第二行（列）三对角化；
（3）寻找一个对称的正交矩阵[]i S ，通过正交变换[][][][]T =i i-1i i S P S P ，
将矩阵[]i-1P 的第n-i+1行（列）三对角化；
（4）依次进行下去，经过n-2次正交变换后，原矩阵[]P 即变换成了三对角矩阵[]n-2P 。
与雅可比法一样，上述过程的关键就是如何构造每步变换的正交矩阵[]i S ，豪斯厚德的主要贡献就是构造出了满足这一要求的矩阵，表达如下：
[][]{}{}
/T
i i i u u H =-i S I
其中，{}{}12
T
i i i H u u =
，[]I 为单位矩阵，{}i u 是列向量，取值为： {
}()
,1
,2,1,,0T
i i i i l l l l u p
p p
-=
1l n i =-+是当前处理的行列号，,i l j p 是矩阵i P 的第l 行第j 列元素。
=当,10i l l p -≥时，前面取正号，当,10i
l l p -<时，取负号。
2.2.3斯特姆排序法（Sturm ） 将矩阵三对角化后，运用斯特姆排序法计算三对角矩阵的全部或部分特征值时非常有效的，该方法基于如下思想：
经三对角化后，矩阵P 的特征方程方程为：
[]11122231
1000[]000
n n n c b b c b b c P I b b c λλ
λλλ
------=
=-
定义它的零阶主子式为：
1=0p
以后各阶为首的主子式为：
111221112212()()()(r 2,3...,)r r r r c c b c c b b c c p b p n λ
λλλλλ--?=-?
-?
==---?-??=--=?
12r p p p
则0p ，1p ，2p ,……n p 构成一个多项式序列（斯特姆序列）。任何一个斯特姆序列都与一个―整数函数‖ λS()相联系。当λ取任意一个实数值，斯特姆序列的各项多项式都可分别算出具体数值：λ0p ()，λ1p ()……λn p ()，而从λ0p ()到λn p ()所发生的符号改变数就是
λS()之值。
在数学上可证明，λS()值即为矩阵[P]的小于λ的特征值的个数。例如，由(2.5)2S =，即说明矩阵[P]有两个特征值是小于2.5的；若(0)0S =，说明矩阵[P]没有负特征值。还可以证明，仅当自变量λ的值是矩阵[P]的某一特征值时λS()值才会发生改变，例如，若有
(2.1)2S =，(2.2)3S =，则矩阵[P]肯定有一特征值介于2.1和2.2之间，只要将λ值分得
足够细，总可以根据λS()的变值特性按任意精度计算处矩阵[P]的某一特征值。
2.2.4 QL(或QR)法
实对称矩阵P 也可借助于QL 算法通过多次正交变换而按指定的精度逼近对角矩阵。如果事先将矩阵P 变换成三对角化矩阵，然后再施行QL 变换则是特别有效的，进行QL 变换变换的基本步骤如下：
（1）寻找正交矩阵[]1Q ，使：
[][][]L =11P Q
[]L 1为一个下三对角矩阵（若[]L 1取上三角矩阵则是QR 法）。 （2）由[][]
[][][]L -1
T
111=Q P =Q P 作正交变换：
[][][][][][]L ==T
11111P Q Q P Q
（2） 矩阵[]1P 作相同分解：
[][][]L =122P Q
再做变换：
[][][][][][]L ==T
222212P Q Q P Q
（4）这样反复按下式进行：
[][][]L =s-1s s P Q
[][][][][][]L ==T
s s s s s-1s P Q Q P Q
当→∞s 时，矩阵[]s P 可按任意精度逼近对角矩阵。
与前面介绍的方法一样，QL 法的关键也是在每步变换中寻找到满足条件的正交矩阵
[]s Q ，[]s Q 可由n-1个正交矩阵[]si Q (i=1,2,……n -1)组成。每个[]si Q 的功能是消去矩阵[]
s P
中一个非对角线元素，实际[]si Q 取为吉文斯旋转矩阵。
2.3 瑞利—李兹类方法
上述求解实特征值的第一大类方法-矩阵变换法可求出系统的全部特征值，而第二大类
方法—瑞利—李兹法及其相关方法主要用于求解大型系统的部分特征值的近似值。
2.3.1瑞利—李兹法（R-R ）
Rayleigh-Ritz 法（简称R-R 法）是一种缩减自由度的方法，用于求解大型系统部分特征值的近似值，R-R 法在理论上的根据是，各阶特征值是Rayleigh 商的极值或驻值。其基本思想是：选择m 个线性无关的Ritz 基向量{}i q （i=1，2，……m ），它们张成一个m 维子空间
m V ，而Rayleigh 商在子空间m V 中存在m 个极值点。这m 个极值点就是系统前m 阶特征值
在m V 子空间的最佳近似值，同时也求出相应的特征向量近似值，R-R 法的具体做法如下：
（1）令2ωλ=，把特征方程2([][]){}0K M x ω-=化成
[]
{}{}[]
K x x M λ=； （2）把结构体系自由度折减为m 个，选取m 个线性无关的Ritz 基向量，则向量{}x 可表示成m 个基向量的线性组合：
{}[]{}1
{}n
i i x z Q z ===∑i q
其中，[]{}{}{}Q =???? 12m q ，q ，q ，{}[]12m z z z z = ，，
分别称为Ritz 基向量和Ritz 坐标向量；
（3）给出向量{}x 的Rayleigh 商：
**
{}[]{}{}[]{}
{}[]{}{}[]{}
T T T T x K x z K z x M x z M z ρ= = 式中，[][]*[][]T
K Q K Q =、[][]*
[][]T
M Q M Q =，分别是矩阵[]K 和[]M 在Ritz 基
向量所张子空间的投影，都是m m ?阶矩阵； （4）由（3）式可见，Rayleigh 商是Ritz 坐标向量的函数，因此它的极值条件可表示为：
{}
0ρ
?=?z 将（3）式代入，得到：
{}{}**[][]i i i K z M z ρ=
这是m 阶广义特征值问题，它的特解为{}i z 和i ρ（i=1，2，……m ），则前m 阶特征值
的近似值：i i λρ=。
2.3.2 子空间迭代法
子空间迭代法实质是由R-R 法和逆迭代法有机结合组成的。它的基本思想是，选择m 个线性无关的初始向量，而后相继使用逆迭代法和R-R 法进行迭代。求得系统前m 阶特征解的近似值。其中同时逆迭代法的作用是，使m 个选代向量所张子空间m V 向前m 阶持征向量所张子空间m E 逼近，R —R 法的作用是，便迭代向量正交化，并且当m V 很接近m E 时，用它就可求得较精确的前m 阶特征解,其迭代步骤如下：
（1） 设向量{}
(1)
i q (i ＝l ，2，，……m )是选择的m 个线性无关的初始向量，它们组成
矩阵：[]{}{}{}??
=?? (1)
(2)(n)11
1
1
Q q q q
（2）对这m 个向量进行逆迭代，即对i ＝l ，2，……m 进行下列计算：
[][][]1
k k Q
Q +??=??
K M
（3）以1k Q +???
?
作为Ritz 基向量，进行R —R 法计算。这时有：
111[][][][]T k k k M Q M Q +++=
111[][][][]T k k k K Q K Q +++=
它们都是m m ?阶矩阵，并形成m 阶广义特征值问题：
11111[][][][[]]k k k k k K Z M Z +++++=Λ
其中，
{}{}{}111
112[]k k k k m Z z z z ++++??=??
{}11[]k k i diag λ++??Λ=?? （i ＝l ，2，……m ）
原广义特征值问题的前m 阶特征值的近似值为1k i i λλ+=，当迭代精度不满足时，
111[][][]k k k Q Q Z +++=作为新的迭代向量，回到第（2）步进行新的迭代，直到达到指定的迭
代精度为止。
2.3.3 兰索斯法（Lanczos ）
Lanczos 法简称L 法，本质上也是逆迭代法和R —R 法结合的一种方法，不过它们结合得很巧妙，使计算过程大大简化。以致对同样的问题它比子空间迭代法快5—10倍。
L 法的基本思想是，选择一个初始向量，通过多次逆迭代、正交化和模规范化处理，形成m 个Lanczos 向量，而正交和模规范化系数形成一个三对角矩阵，这个三对角阵的特征解，与原广义特征问题的前若干阶特征值有一定的关系，利用此关系，就求得了原广义特征
问题的前若干阶特征解。求解步骤如下：
（1） 令2
ωλ=，把特征方程2([][]){}0K M x ω-=化成：
[]{}{}S x x μ=
式中，1[][][]S K M -=1
μλ
-=；
（2）是1{}q 第一个迭代向量，它的模已用广义内积规范化，即：
11{}[]{}1T
q M q =
（3）对k=1,2……，m 进行如下迭代： a.进行向量逆迭代：
1{}[]{}k k q S q +=
b.使向量1?{}k q
+与前两个Lanczos 向量正交： 111?{}{}{}{}k k k k k k q
q q q αβ++-=-- 式中，k α和k β是正交化系数，由下式确定： 1{}[]{}T k k k q M q α+=
11{}[]{}T k k k q M q ββ+-=1 （=0）
c.对1?{}k q
+进行规模范化处理，形成新的Lanczos 向量1{}k q +： 111?{}{}/k k k q q
γ+++= 1
2
111??{}({}[]{})T
k k k q
M q γ+++= （4）综合得：
111[]{}{}{}{}1,2,......,k k k k k k k S q q q q k m γαβ++-=++= （）
把这m 个式合并成一个矩阵方程
11[][][][]{}{}
T
m m m m m m S Q Q T q e γ++=+
{}m e 是单位向量， []m Q 是Lanczos 向量矩阵，[]m T 是三对角矩阵，分别为
12m [][]{}{}.......{}m Q q q q =
[]12122
2322333
33
000000000000
m m m m m m
m T αβαβγαβ
βαβγαβαββγαβα==??
??
????
???
??????
??
??????????
??
?????
（5）以[]m Q 作为Ritz 基向量，对（1）采用R-R 得到如下m 阶特征值问题：
[]{}{}1,2,......,m i i i T z z i m ρ== （）
用QL(或QR)法法求解上式即得到前m 阶特征值的近似值：
1
1,2,......,i i i m λρ-== （）
2.3.4 模态综合法
模态综合法也是一种基于R-R 法原理的缩减自由度方法，它的基向量是各子结构的分模态综合而成的，由子结构模态的数目远小于子结构的自由度数达到缩减自由度的目的，它的具体思路是：
（1）将复杂结构划分成几个便于进行动力分析的子结构；
（2）对每个子结构都计算出少数几个固有模态及静变位模态； （3）将所有子结构的模态集合起来，作为对整个结构进行李兹法分析的广义坐标基底，按这些广义坐标就可以建立降阶的广义特征值问题。其低阶特征值就是原结构低阶特征值的近似值。
子结构的交界面，通常是弹性连接的。但在计算子结构的固有模态时，一般令交界面完全固定，或完全自由。这样模态综合法又可分为固定交界面法和自由交界面法，在报告第四节以例子表述。
3复特征值求解方法
3.1 改进的直接法
如1.2节所述，求解方程(1.9)称为广义复特征值问题，直观的解法是直接解高次代数方程(1.11)，求出2n 个根即原方程的特征值。这样做虽然简单，但要进行大量的复数运算，很
不经济。改进的直接法思路是：引进系统的状态向量，把广义位移{()}x t 和广义速度()x t 都当成独立的未知量，这样原来n 个自由度的二阶系统（方程1.10）就可以化为2n 个未知
数的一阶系统：
00[]{()}[]{()}0M y t K y t += （3-1）
其中，0[0][][][][]M M M C =??????，0[][0][][0][]M K K =-??
????，{()}()()y t x t x t =??????
。 令方程（3-1）解的形式为：{()}{}t
y t e αφ= （3-2） 代入（3-1）并写成下列标准形式：
0[()]1
[]{}{}[]f D I αφφα
-
==??
??
?
（3-3）
其中10011[][][0][][][][][]K D I
M K M K C ---=-=--?
??
?
??
与（3-3）式对应的特征方程是：
[()]0f α= （3-4）
采用行列式方程法来即可从方程（3-4）解出全部特征值(1,2,...2)k k n α=
3.2 投影法
解决大规模矩阵特征问题的最常用方法是投影类方法。其基本思想是将原大规模矩阵
[]A 向某低维子空间进行特定的投影，将原大规模间题约化为中、小规模矩阵特征问题，用
标准方法求所产生的中、小规模矩阵特征对，用其作为大规模矩阵[]A 的部分特征对的近似。投影类方法的特点是仅需一个矩阵[]A 乘向量的子程序(或矩[]A 乘向量和共扼转置矩阵
*[]A 乘向量的子程序)，在计算过程中，不需要对[]A 作任何的改变。
投影方法有很多，大致分成如下三类：（1）正交投影法；（2）斜投影法；（3）精化投影法。
正交投影法包括：Arnoldi 法，子空间迭代法，Davids 二方法，Jacobi-Davidson 法，块Lanczos 法，块Arnoldi 方法，块IOM 法，块Jacobi-Davidson 等； 斜投影法有：调合Arnoldi 方法，双正交Lanczos 方法等；
精化投影法有：重启Arnoldi 法，精化Jacobi-Davidson 法和精化子空间迭代法等。
3.3摄动法
多自由度阻尼自由振动系统的运动方程为如下二阶常系数微分方程组：
[]{()}[]{()}[]{()}0 M q t C q t K q t ++= (3-5) 针对结构体内阻尼较小这一特点，可以在方程(1)中对阻尼矩阵进行分解，即将原来阻
尼矩阵[]C 重新记成两部分为[]C ε，从而构造出一个新的阻尼矩阵，满足小阻尼振动系统的基本特征。其中ε为一小参数，[]C 为一新的比原来阻尼矩阵范数略大的矩阵。这样就保证了当ε发生微小变化时，作为摄动项的阻尼矩阵[]C 发生微小变化，从而引起特征值只有小变化。而方程(3-1)这时就可重新被写成：
[]{()}[]{()}[]{()}0 M q
t C q t K q t ε++= (3-6) 运用拉普拉斯变换可将方程(4-2)变换成以s i σω=+为参数的复域(简称s 域)中的方程: 2
([][][]) {}0 M s C s K z ε++= (3-7)
式中，s 是复变量，{}z 是{}q 的拉氏变换。
引入状态向量{}u ，其相应的右状态特征值问题为:
2([][][]) {}0 M s C s K u ε++= (3-8)
引入状态向量{}v ，其相应的左状态特征值问题为:
2([][][]) {}0 M s C s K v ε++= (3-9)
令i s λ=，将该式代入(3-8)式和(3-9)式，则复特征值问题的两个方程变为：
2
([][][]) {}0 i C K M u ελλ+-= (3-10)
2{}([][][]) 0 T v i C K M ελλ+-= (3-11)
其中，{}u ,{}v 分别为左右特征向量，λ为特征值。
按摄动法思想，待求的特征值和特征向量又, {}u ,{}v 均可展成关于小参数ε的幕级数形式。
2
012{}{}{}{}......u u u u εε=+++ (3-12) 2012{}{}{}{}......v v v v εε=+++ (3-13)
2021......ελλελλ=+++ (3-14)
显然，0λ、0{}u 、0{}v 为上述在0ε=，即一般无阻尼自由振动时的特征值及特征向量，0{}u 、0{}v 均为实向量，0{}u =0{}v 。
将式(3-12)，(3-13),( 3-14)取前三项代入式(3-10)、(3-11)中，得到复特征间题的两个摄动方程为:
2222020201211([]()[]()[])({}{}{})0i C K M u u u εεελελλλελλεε+++++-++= （3-15） 2222020201211([]()[]()[])({}{}{})0T i C K M v v v εεελελλλελλεε+++++-++=（3-15-1） 令方程两边ε同次幂的系数相等，可以得到:
200([][]){}0M K u λ-+= （3-16） 2010010([][]){}([]2[]){}0M K u i C M u λλλλ-++-= （3-17） 2202001111020([][]){}([]2[]){}([](2)[]){}0M K u i C M u i C M u λλλλλλλλ-++-+-+=（3-18）
200{}([][])0T v M K λ-+= （3-16-1） 2100001{}([][]){}([]2[])0T T v M K v i C M λλλλ-++-= （3-17-1） 2
2
20100101102{}([][]){}([]2[]){}([](2)[])0T
T
T
v M K v i C M v i C M λλλλλλλλ-++-+-+= （3-18-1）
其中,
0λ为原系统的特征值, 1λ，2λ分别为特征值的一阶和二阶摄动解。在式(3-17)
和(3-17-1)中，分别左乘右特征向量0{}T u 和左特征向量0{}T v ，得：
200100010{}([][]){}{}([]2[]){}0T T u M K u u i C M u λλλλ-++-= （3-19） 200100010{}([][]){}{}([]2[]){}0T T T T v M K v v i C M v λλλλ-++-= （3-19-1） 对（3-16）、（3-16-1）转置，并由[]K ，[]M 矩阵对称得：
200{}([][])0T u M K λ-+= （3-20） 200{}([][])0T T v M K λ-+= （3-20-1） 将(3-20)和(3-20-1)式代入(3-19)和(3-19-1)式，得特征值的一阶摄动解：
00
0100
00
[][]2[]2[]T
T
T
T
u C u v C v i i u M u v M v λ=
=
（3-21）
当结构参数变化较大时，一阶摄动解得不到必要精度的解，这就需要求解二阶摄动解。 分别在(3-18)和(3-18-1)式左乘右特征向量0{}T u 和左特征向量0{}T v ，得
2002000112011
020{}([][]){}{}([]2[]){}{}([](2)[]){}0
T T T
u M K u u i C M u u i C M u λλλλλλλλ-++-+-+= （3-22）
2002000112
011
020{}([][]){}([]2[]){}([](2)[])0
T T T
v M K v v i C M v v i C M v λλλλλλλλ-++-+-+= （3-22-1）
将(3-20)和(3-20-1)式代入(3-22)和(3-22-1)式，得特征值的二阶摄动解：
220001110010000
200011100100000
1(([]2[])[][])
2[]1(([]2[])[][])
2[]T T T
T T T T T
u i C M u iu C u u M u u M u v i C M v iv C v v M v v M v λλλλλλλλλλλλλ=
-+-=
-+- （3-23）
4运用和算例
4.1固定交界面模态综合法算例
图 4-1
图4-1(a)是为L ，质量为M ，张力为T 的弦。用几种质量法等分为8段计算低阶自振频率。在7个分点上个集中质量8
M
m =
。现将它等分为两个子结构，如图（b ），（c ）所示，并分别记作1,2r =号子结构。先看左半部分的1号子结构，当交界点固定时：
210[]121012F K k -??
??=--??
??-??
100[]010001F M m ??
??=??
????
其中，8T k L =
，8
M
m =。取前二阶模态参加综合，即：
1110[]1100F ????Φ=??-??
????
最后一行零元素表示固定界面不允许有位移，得该子结构的模态矩阵为：
111
1/401/2[]113/40
01?
?
?
?
Φ=??-??
???
?
与之相应的位移向量是：
12
134{}x x u x x ??????=??????
当边界条件放松后，该子结构的刚度与质量矩阵是：
121001210[]01210011K k -????
--?
?=??--??-?? 110000
100[]00100
00.5M m ?????
?=??
????
得到解耦形式的广义刚度矩阵和质量矩阵：
1111800[][][][]040001/4T
K K k ??-??=ΦΦ=??????
111124021[][][][]0
22211122
8T
M M m ??????
=ΦΦ=-???
???-???
?
对第二个子结构作相同处理，得到：
21/400[]040008K k ??
??
=???-?
211128
221[]2020
4M m ?-???
?
?=-
?????
?
?
结构未经耦合的广义质量、刚度矩阵为：
40000102000221
110002
2
8[]11100082
1000202200
4
2
M m ?
???????-???
???-??=?
?-?????-?????????
?
80000
00
40000001/40
00[]0
001/40000004
00008K k ??-?
??????
?=??????-? 与之相应的广义位移向量为：
12112234{}{}{}a a b p p b p a a ??
????
??????==????????
????????
其中，1a ，2a 是与子结构1的两个主模态对应的广义位移；3a ，4a 是与2号子结构的两个主模态相应的广义位移。1b ，2b 是与1号和2号子结构的约束模态相应的广义位移。由
44x y =，知：12b b =，则有：
112212233441
0000010000010000100000100
0001a a a a b b b a a a a ????
??????????????????????=??????????
????????????????????
??
即：{}[]{}p q β=
由上述[]β及K ????，M ????便可求得结构的耦合形式刚度、质量矩阵：
80000040
001[][][][]0
00020004
08T
K K k ββ??-??????==???????-??
24000210200221
2212[][][][]22
82
2100202200
4
2
T M M m ββ??-??????-???
--?==--?????-????-?????
?
即化成了由[]K ，[]M 确定的特征值问题：
[][]2{}{}K A M A ω=
得原结构的前两阶频率：
1ω=
20.76ω=
4.2固定交界面模态综合法算例
图 4-2
如图4-2所示为弹簧质量系统，将原结构图（a ）等分成左右两部分，分别叫做1、2号子结构，如图（b ）（c ）所示。
子结构1的刚度和质量矩阵为：
1210[]120011K k -??
??=-??
??-??
1[]100010001M m ????
=??????
取前两阶模态参加综合：
111{}[]{}u p =Φ
具有下列形式：
1112122212311111.8020.4452.2470.802x a a x a a x b b c c ??
??????????????==??????????
????????????????
- 第一次坐标变换产生：
111
11201.8410[][][][]00 3.396T
k K K k k ????=ΦΦ==????????
11111209.9260[][][][]00
1.841T
m M M m m ????=ΦΦ==???????? 由对称关系，子结构2可写出下列各种结果：
2110[]121012K k --??
??=--??
??-??
2[]100010001M m ????
=??????
32
13222
141{}11y c c a u y b b a y ????
??????==?????????????
?
??
22103.396
0[]00 1.841k K k k ??
??==???????? 22101.8410[]00
9.296m M m m ??
??==????????
子结构的连续条件是：33x y =-，即：
[][]31122124a a c c c c a a ????
=-????????
解出：
[]3121214221
a c a a c c a c c ??=--????
得到：
211334411000
100
01a a a a a a a αα????
????????????=??????????????
?????? 其中，1
2
2.802c c α=-
=。这就是第二次坐标变换的表达式，即： []{}{}p q β=
为耦合的结构刚度、质量矩阵为：
2121000000000000k k K k k ????????=???????? 21210000000000
m m M m m ????????=????????
由第二次坐标变换得到耦合形式刚度、质量矩阵：：
[][][][]28.509.51626.669.516 6.7929.51626.669.51628.50T K K ββ-??
??==--????-??
[][][][]23.75 5.15914.455.159 3.682 5.15914.45 5.15923.75T M M ββ-??
??==--????-??
即化成了由[]K ，[]M 确定的特征值问题：
[][]2{}{}K A M A ω=
得原结构的前两阶频率：
1ω=
2ω=
4.3 摄动法算例
设系数矩阵分别为：
[]100010001M ????=??
???? []1
111211
1
2K ????=??????
[]1010102
001C ε??
??=??????
其中，小参数ε=0.1
由无阻尼振动微分方程[]{}[]{}0M u K u += ，求得特征值：
1,21λ=±
2,3λ=
2,3λ=
不失一般性，取11λ=为研究对象，当10
1λ=时，其对应的模规范化特征向量为：
100{}u ??
?????
?
????= 求得特征值10λ的一阶摄动值11λ为：
10101111{}[]{}24
T u C u λ==
特征值10λ的一阶摄动值11λ所对应的右特征向量为：
201110101010[][]([]{}[]{}[]){}(){}T M K i C u C u M u u λλ+=---
取一特解为：
*
11{}u ???????
????????
= 特征值10λ的一阶摄动值11λ所对应的左特征向量为：
201110101010[][]([]{}[]{}[]){}(){}T T T M K i C v C v M v v λλ+=---
取取一特解为：
*
11{}011v ??????????
=-
根据式*
11111110{}{}{}u u u α+=求出特征值的一阶摄动解所对应的右特征向量。其中：
**1110101011010111({}[]{})({}[]{}{}[]{})4282
T T T
v C u v M u v M u i αλ-
-+=-
=，得：
111
212{}u ?
?????
?-????+????
= 同理，根据式*
11111110{}{}{}v v v α+=求出特征值的一阶摄动解所对应的左特征向量：
1101
{}212v ??
????
???????-??= 求得特征值10λ的一阶摄动值12λ为：
10101011111010102
111010*********
({}([]2[]){}2{}[]{}
{}[]{}{}[]{})
1
32
T T
T T u i C M u u M u i u C u u M u λλλλλλλ=
-+-=-
将相关值代入式21
101112λλελελ++=中的特征值的最后摄动结果为：
10.99968750.025i λ+=
采用直接法求得精确解为10.99968740.025i λ+=，说明对于此问题用摄动法求解的误差很小。
为方便计算和说明上述算例均取简单低阶结构，对于高阶的特征值问题的求解，模态综合法、摄动法以及前面所介绍的大型特征值问题的求解方法的优势才能得到体现。
关于特征值与特征向量的求解方法与技巧
关于特征值与特征向量的求解方法与技巧 摘 要:矩阵的初等变换是高等代数中运用最广泛的运算工具，对矩阵的特征值与特征向量的求解研究具有一定意义。本文对矩阵特征值与特征向量相关问题进行了系统的归纳，得出了通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值及特征向量的结论。文章给出求解矩阵特征值与特征向量的两种简易方法: 列行互逆变换方法与列初等变换方法。 关键词: 特征值，特征向量; 互逆变换; 初等变换。 1 引言 物理、力学、工程技术的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题，直接由特征方程求特征值是比较困难的，而在现有的教材和参考资料上由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求出特征值才可由方程组求特征向量。一些文章给出了只需通过行变换即可同步求出特征值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带参数行列式的计算问题。本文对此问题进行 了系统的归纳，给出了两种简易方法。 一般教科书介绍的求矩阵的特征值和特征向量的方法是先求矩阵A 的特征方程()0A f I A λλ=-=的全部特征根(互异) ，而求相应的特征向量的方法则是对每个i λ 求齐次线性方程组()0i I A X λ-=的基础解系，两者的计算是分离的，一个是计算行列式，另一个是解齐次线性方程组, 求解过程比较繁琐，计算量都较大。
本文介绍求矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法， 只用一种运算 ——矩阵运算， 其中的列行互逆变换法是一种可同步求出特征值与特征向量的方法， 而且不需要考虑带参数的特征矩阵。而矩阵的列初等变换法， 在求出特征值的同时， 已经进行了大部分求相应特征向量的运算， 有时碰巧已完成了求特征向量的全部运算。两种方法计算量少， 且运算规范，不易出错。 2 方法之一： 列行互逆变换法 定义1 把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换: 1. 互换i 、j 两列()i j c c ?，同时互换j 、i 两行()j i r r ? ； 2. 第i 列乘以非零数()i k kc ， 同时第i 行乘11i c k k ?? ?? ? ； 3. 第i 列k 倍加到第j 列()j i c kc +， 同时第j 行- k 倍加到第i 行 ()i j r kr -。 定理1 复数域C 上任一n 阶矩阵A 都与一个Jordan 标准形矩阵 1212,,....r k k kr J diag J J J λλλ? ? ???????? ??? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ?=相似， 其中 111110...0001...00..................000...1000...0ki ki J λλλλ?? ?? ?? ??=????????称为Jordan 块， 12r k k k n ++ +=并且 这个Jordan 标准形矩阵除去其中Jordan 块的排列次序外被矩阵A 唯一确定， J 称为A 的Jordan 标准形。 定理2 A 为任意n 阶方阵, 若T A J I P ?? ????????→ ? ????? 一系列列行互逆变换其中
特征值解法
《结构动力学》大作业 结构大型特征值问题的求解 0810020035 吴亮秦 1振动系统的特征值问题 1.1实特征值问题 n 自由度无阻尼线性振动系统的运动微分方程可表示为： []{}[]{}()M u K u F t += （1.1） 其中，{}u 是位移向量，[]M 和[]K 分别是系统的质量矩阵和刚度矩阵，都是n 阶正定矩阵，()F t 是激励向量。 此系统的自由振动微分方程为 []{}[]{}0M u K u += （1.2） 设其主振型为： {}{}sin()u v t ω?=+ （1.3） 其中，{}v 为振幅向量，ω为圆频率，?为初相位。将(1.3)代入自由振动微分方程(1.2)， 得： []{}[]{}K v M v λ= （1.4） 其中2 λω=，(1.4)具有非零解的条件是 ()[][]det 0M K λ-= (1.5) 式(1.4)称为系统的特征方程，由此可以确定方程的n 个正实根1{}n i i λ=，称为系统的特征值，1{}n i i ω=称为系统的固有频率，{}i v （i=1,2,…..n ）为对应于特征值的特征向量或称为系统的振型或模态。 因为[]M 矩阵正定，则[]M 有Cholesky 分解： [][][]T M L L = (1.6) 其中，[]L 是下三角矩阵。引入向量{}x 满足：{}[]{}T x L v =，则： 1 {}([]){}T v L x -= (1.7) 代入(1.4)，得： ([][]){}0I P x λ-= (1.8) 其中，( ) 1 1 [][][][] T P L K L --=，式(1.8)称为标准实特征值问题。 1.2复特征值问题 多自由度阻尼自由振动系统的运动方程为如下二阶常系数微分方程组： []{()}[]{()}[]{()}0 M x t C x t K x t ++= (1.9) 其中 []M ，[]C ，[]K 分别是n 阶的质量、阻尼和刚度矩阵，{()}q t 是n 维可微向量函数。用分离变量法，设{()}{}t x t e λφ=，其中{}φ是与时间t 无关的常向量，λ为待定参数。将
43多项式方法求特征值问题
4．3多项式方法求特征值问题 4.3.1 F-L 方法求多项式系数 我们知道，求n 阶方阵A 的特征值就是求代数方程 0||)(=-=I A λλ? （4.3.1） 的根。)(λ?称为A 的特征多项式。上式展开为 n n n n p p p ++++=--.....)(2211λλλλ? （4.3.2） 其中n p p p ,...,21为多项式)(λ?的系数。 从理论上讲，求A 的特征值可分为两步： 第一步 直接展开行列式|I A λ-|求出多项式)(λ?； 第二步 求代数方程0)(=x ?的根，即特征值。 《 对于低阶矩阵，这种方法是可行的。但对于高阶矩阵，计算量则很大，这种方法是不适用的。这里我们介绍用F-L （Faddeev-Leverrier ）方法求特征方程（4.3.2）中多项式)(λ?的系数。由于代数方程求根问题在第2章中已经介绍，所以本节中解决特征值问题的关键是确定矩阵A 的特征多项式)(λ?，所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。 记矩阵A=n n ij a ?)(的对角线元素之和为 nn a a a trA +++=...2211 （4.3.3） 利用递归的概念定义以下n 个矩阵:),....,2,1(n k B k = ???????????????-=-=-=-==----),(................),(...............),(),(,11112231121I p B A B I p B A B I p B A B I p B A B A B n n n k k k n n k k trB n p trB k p trB p trB p trB p 11312133221 1===== （4.3.4） 可以证明,(4.3.4)式中,,...,2,1,n k p k =即是所求A 的特征多项式)(λ?的各系数。用（）式求矩阵的特征多项式系数的方法称为F-L 方法。相应特征方程为： 0).....()1(2211=-------n n n n n p p p λλλ （4.3.5） 而且可证矩阵A 的逆矩阵可表示为 )(1111I p B p A n n n ----= (4.3.6) ? 例1 求矩阵 ??????????=324202423A
特征值和特征向量的性质与求法
特征值和特征向量的性质与求法 方磊 （陕理工理工学院（数学系）数学与应用数学专业071班级，陕西汉中 723000）” 指导老师：周亚兰 [摘要] ：本文主要给出了矩阵特征值与特征向量的几个性质及特征值、特征向量的几种简单求法。 [关键词]：矩阵线性变换特征值特征向量
1 特征值与特征向量的定义及性质 定义1：（ⅰ）设A 是数域p 上的n 阶矩阵，则多项式|λE-A|称A 的特征多项式，则它在 c 上的根称为A 的特征值。 （ⅱ）若λ是A 的特征值，则齐次线性方程组(λE-A) X =0的非零解，称为A 的属于特征值λ的特征向量。 定义2：设α是数域P 上线性空间v 的一个线性变换，如果对于数域P 中的一数0λ存在一个非零向量ξ，使得a ξ=0λξ，那么0λ 成为α的一个特征值而ξ称为α的属于特征值0λ的一个特征向量。 性质1： 若λ为A 的特征值，且A 可逆，则0≠λ、则1-λ 为1-A 的特征知值。 证明： 设n λλλ 21为A 的特征值，则A =n λλλ 21ο≠ ∴λi≠0(i=1、2…n) 设A 的属于λ的特征向量为ξ 则ξλξi =?A 则λ1 -A ξ=ξ即有 1 -A ξ=1 -λ ξ ∴1 -λ 为1 -A 的特征值，由于A 最多只有n 个特征值 ∴1 -λ 为1 -A ξ的特征值 性质2：若λ为A 的特征值，则()f λ为()f A 的特征值 ()χf =n n a χ +1 0111 1x a x a x a n n +++-- 证明：设ξ为A 的属于λ的特征向量，则A ξ=λξ ∴ ()A f ξ=(n n A a +E a A a A a n n 011 1+++-- )ξ = n n A a ξ+ 1 1--n n A a ξ+… +E a 0 ξ =n n a λξ+1 1--n n a λ+…+E 0a ξ =()λf ξ 又ξ≠0 ∴ ()λf 是()A f 的特征值 性质3：n 阶矩阵A 的每一行元素之和为a ，则a 一定是A 的特征值
求矩阵特征值算法及程序
求矩阵特征值算法及程序简介 1.幂法 1、幂法规范化算法 （1）输入矩阵A 、初始向量)0(μ ，误差eps ； （2）1?k ； （3）计算)1()(-?k k A V μ； （4）)max (,) max ()1(1)(--??k k k k V m V m ； （5）k k k m V /)()(?μ； （6）如果eps m m k k <--1,则显示特征值1λ和对应的特征向量)1(x ),终止； （7）1+?k k ,转（3） 注：如上算法中的符号)max(V 表示取向量V 中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。 2、规范化幂法程序 Clear[a,u,x]; a=Input["系数矩阵A="]; u=Input["初始迭代向量u(0)="]; n=Length[u]; eps=Input["误差精度eps ="]; nmax=Input["迭代允许最大次数nmax="]; fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2}, Do[m1=Abs[x[[k]]]; If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1], {k,1,Length[x]}]; m2] v=a.u; m0=fmax[u]; m1=fmax[v]; t=Abs[m1-m0]//N; k=0; While[t>eps&&k m0=m1; m1=fmax[v]; t=Abs[m1-m0]//N; Print["k=",k," 特征值=",N[m1,10]," 误差=",N[t,10]]; Print[" 特征向量=",N[u,10]]]; If[k ≥nmax,Print["迭代超限"]] 说明：本程序用于求矩阵A 按模最大的特征值及其相应特征向量。程序执行后，先通过键盘输入矩阵A 、迭代初值向量)0(μ、精度控制eps 和迭代允许最大次数max n ，程序即可给出每次迭代的次数和对应的迭代特征值、特征向量及误差序列，它们都按10位有效数输出。其中最后输出的结果即为所求的特征值和特征向量序列。如果迭代超出max n 次还没有求出满足精度的根则输出迭代超限提示，此时可以根据输出序列判别收敛情况。 程序中变量说明 a:存放矩阵A ； u:初始向量)0(μ和迭代过程中的向量)(k μ及所求特征向量； v:存放迭代过程中的向量)(k V ； m1:存放所求特征值和迭代过程中的近似特征值； nmax:存放迭代允许的最大次数； eps:存放误差精度； fmax[x]: 给出向量x 中绝对值最大的分量； k:记录迭代次数； t1:临时变量； 注：迭代最大次数可以修改为其他数字。 3、例题与实验 例1. 用幂法求矩阵???? ? ??---=9068846544 1356133A 的按模最大的特征值及其相应特征向量，要求误差410- #include 4．3多项式方法求特征值问题 4.3.1 F-L 方法求多项式系数 我们知道，求n 阶方阵A 的特征值就是求代数方程 0||)(=-=I A λλ? （4.3.1） 的根。)(λ?称为A 的特征多项式。上式展开为 n n n n p p p ++++=--.....)(2211λλλλ? （4.3.2） 其中n p p p ,...,21为多项式)(λ?的系数。 从理论上讲，求A 的特征值可分为两步： 第一步 直接展开行列式|I A λ-|求出多项式)(λ?； 第二步 求代数方程0)(=x ?的根，即特征值。 对于低阶矩阵，这种方法是可行的。但对于高阶矩阵，计算量则很大，这种方法是不适用的。这里我们介绍用F-L （Faddeev-Leverrier ）方法求特征方程（4.3.2）中多项式)(λ?的系数。由于代数方程求根问题在第2章中已经介绍，所以本节中解决特征值问题的关键是确定矩阵A 的特征多项式)(λ?，所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。 记矩阵A=n n ij a ?)(的对角线元素之和为 nn a a a trA +++=...2211 （4.3.3） 利用递归的概念定义以下n 个矩阵:),....,2,1(n k B k = ???????????????-=-=-=-==----),(................),(...............),(),(,11112231121I p B A B I p B A B I p B A B I p B A B A B n n n k k k n n k k trB n p trB k p trB p trB p trB p 11312133221 1===== （4.3.4） 可以证明,(4.3.4)式中,,...,2,1,n k p k =即是所求A 的特征多项式)(λ?的各系数。用（4.3.4）式求矩阵的特征多项式系数的方法称为F-L 方法。相应特征方程为： 0).....()1(2211=-------n n n n n p p p λλλ （4.3.5） 而且可证矩阵A 的逆矩阵可表示为 )(1111I p B p A n n n ----= (4.3.6) 例1 求矩阵 ??????????=324202423A PCA(协方差矩阵和奇异值分解两种方法求特征值特征向量) 2015-12-30 10:43 1157人阅读评论(0) 收藏举报 分类： 模式识别（1） 1.问题描述 在许多领域的研究与应用中，往往需要对反映事物的多个变量进行大量的观测，收集大量数据以便进行分析寻找规律。多变量大样本无疑会为研究和应用提供了丰富的信息，但也在一定程度上增加了数据采集的工作量，更重要的是在大多数情况下，许多变量之间可能存在相关性，从而增加了问题分析的复杂性，同时对分析带来不便。如果分别对每个指标进行分析，分析往往是孤立的，而不是综合的。盲目减少指标会损失很多信息，容易产生错误的结论。 2.过程 主成分分析法是一种数据转换的技术，当我们对一个物体进行衡量时，我们将其特征用向量 （a1,a2,a3,...an）进行表示，每一维都有其对应的variance（表示在其均值附近离散的程度）；其所有维的variance之和，我们叫做总的variance；我们 对物体进行衡量时，往往其特征值之间是correlated 的，比如我们测量飞行员时，有两个指标一个是飞行技术（x1）,另一个是对飞行的喜好程度（x2），这两者之间是有关联的，即correlated的。我们进行PCA （主成分分析时），我们并没有改变维数，但是我们却做了如下变换，设新的特征为（x1,x2,x3...,xn）; 其中 1)x1的variance占总的variance比重最大； 2)除去x1,x2的variance占剩下的variance比重最大； .... 依次类推； 最后，我们转换之后得到的(x1,x2,...xn)之间都是incorrelated，我们做PCA时，仅取（x1，x2,....xk）,来表示我们测量的物体，其中，k要小于n。主成分的贡献率就是某主成分的方差在全部方差中的比值。这个值越大，表明该主成分综合X1，X2，…，XP信息的能力越强。如果前k个主成分的贡献率达到85%，表明取前k个主成分基本包含了全部测量指标所具有的 第3章 矩阵特征值与特征向量的计算 一些工程技术问题需要用数值方法求得矩阵的全部或部分特征值及相关的特征向量。 3.1 特征值的估计 较粗估计ρ(A ) ≤ ||A || 欲将复平面上的特征值一个个用圆盘围起来。 3.1.1 盖氏图 定义3.1-1 设A = [a ij ]n ?n ，称由不等式∑≠=≤-n i j j ij ii a a z 1 所确定的复区域为A 的第i 个盖氏图， 记为G i ，i = 1，2，…，n 。 >≤-=<∑≠=}:{1n i j j ij ii i a a z z G 定理3.1-1 若λ为A 的特征值，则 n i i G 1 =∈ λ 证明：设Ax = λx (x ≠ 0)，若k 使得∞ ≤≤==x x x i n i k 1max 因为 k n j j kj x x a λ=∑=1 ?∑≠= -n k j j kj k kk x a x a )(λ ?∑∑∑ ≠=≠=≠≤≤= -n k j j kj n k j j k j kj n k j k j kj kk a x x a x x a a 11λ ? n i i k G G 1 =? ∈λ 例1 估计方阵????? ?? ?? ???----=41 .03.02.05.013.012.01 .035.03.02.01.01A 特征值的范围 解： G 1 = {z ：|z – 1|≤ 0.6}；G 2 = {z ：|z – 3|≤ 0.8}； G 3 = {z ：|z + 1|≤ 1.8}；G 4 = {z ：|z + 4|≤ 0.6}。 注：定理称A 的n 个特征值全落在n 个盖氏圆上，但未说明每个圆盘内都有一个特征值。 3.1.2 盖氏圆的连通部分 称相交盖氏圆之并构成的连通部分为连通部分。 孤立的盖氏圆本身也为一个连通部分。 定理3.1-2 若由A 的k 个盖氏圆组成的连通部分，含且仅含A 的k 个特征值。 证明: 令D = diag(a 11，a 12，…，a nn )，M = A – D ，记 )10(00 0)(2 1 22111222 11≤≤?? ?? ? ? ? ??+??????? ? ?=+=εεεε n n n n nn a a a a a a a a a M D A 则显然有A (1) = A ，A (0) = D ，易知A (ε)的特征多项式的系数是ε的多项式，从而A (ε)的特征 值λ1(ε)，λ2(ε)，…，λn (ε)为ε的连续函数。 A (ε)的盖氏圆为：)10(,}||||:{)(11≤≤?=≤ -=∑∑≠=≠=εεεεi n i j j ij n i j j ij ii i G a a a z z G 因为A (0) = D 的n 个特征值a 11，a 12，…，a nn ，恰为A 的盖氏圆圆心，当ε由0增大到1时，λi (ε)画出一条以λi (0) = a ii 为始点，λi (1) = λi 为终点的连续曲线，且始终不会越过G i ； 不失一般性，设A 开头的k 个圆盘是连通的，其并集为S ，它与后n – k 个圆盘严格分离，显然，A (ε)的前k 个盖氏圆盘与后n – k 个圆盘严格分离。 当ε = 0时，A (0) = D 的前k 个特征值刚好落在前k 个圆盘G 1，…，G k 中，而另n – k 个特征值则在区域S 之外，ε从0变到1时， k i i G 1 )(=ε与 n k i i G 1 )(+=ε始终分离（严格） 。连续曲线始终在S 中，所以S 中有且仅有A 的k 个特征值。 注：1) 每个孤立圆中恰有一个特征值。 2) 例1中G 2，G 4为仅由一个盖氏圆构成的连通部分，故它们各有一个特征值，而G 1，G 3构成的连通部分应含有两个特征值。 3) 因为例1中A 为实方阵，所以若λ为A 的特征值，则λ也是A 的特征值，所以G 2，G 4 摘要：首先给出了求解矩阵特征值和特征向量的另外两种求法,然后运用特征值的性质讨论了矩阵合同、相似的充要条件,以及逆矩阵的求解等相关问题. 关键词：矩阵的特征多项式,特征值,特征向量,对角矩阵,逆矩阵 Abstract：Firstly，it is given matrix eigenvalues and eigenvectors of two other methods, then with the properties of eigenvalue the contract of matrix discussed,we deeply discuss the sufficient and necessary conditions for the similar matrix contract, and the inverse matrix of the related problem solving. Keywords:matrix characteristic polynomial, eigenvalue, eigenvector, diagonal matrices, inverse matrix 目录 1 前言 (4) 2 矩阵的特征值和特征向量的求法 (4) 2.1 矩阵的初等变换法 (4) 2.2 矩阵的行列互逆变换法 (6) 3 矩阵特征值的一些性质及应用 (7) 3.1 矩阵之间的关系 (7) 3.1.1 矩阵的相似 (7) 3.1.2 矩阵的合同 (7) 3.2 逆矩阵的求解 (8) 3.3 矩阵相似于对角矩阵的充要条件 (8) 3.4 矩阵的求解 (9) 3.5 矩阵特征值的简单应用 (10) 结论 (11) 参考文献 (12) 致谢 (13)乘幂法求特征值及特征向量
43多项式方法求特征值问题
PCA(协方差矩阵和奇异值分解两种方法求特征值特征向量)
3矩阵特征值与特征向量的计算
矩阵的特征值与特征向量的求法