关于力学量算符本征函数的正交归一性

读书如饭，善吃饭者长精神，不善吃者生疾病。——章学诚
关于力学量算符本征函数的正交归一性

一、余雷，力学量算符本征函数的正交归一性，贵州师范大学学报(自然科学版)，1998年第16卷第1期
量子力学中关于力学量的基本假设要求：
设某力学量用算符表示，则
（分立谱） （1）
（连续谱） （2）

1 力学量用线性厄米算符表示；
2 表示力学量算符的本征函数构成完全集，即任一波函数可用力学量算符的本征函数或展开：
（3）
（4）
3 几率描述：
在（3）或（4）的态中测力学量A所得的值必在（1）的或（2）的之内。若、、均是归一化的，则在（1）中测得A的值为的几率为；在（4）中测A得的值在内的几率为
* 同一力学量算符的线性无关的本征函数的归一化系数一般不同。
例如，一维线性谐振子的能量算符的本征函数的归一化系数与量子数有关；轨道角动量平方算符、轨道角动量第三个分量算符的共同本征函数的归一化系数与量子数和有关；当然，也有例外，如一维无限深势阱能量算符的本征函数

其归一化系数，所有线性无关的本征函数的归一化系数相同。
又如，轨道角动量第三个分量算符的本征函数的归一化系数为，也是所有线性无关的本征函数的归一化系数相同；再有，动量分量算符的所有线性无关的本征函数的归一化系数相同。
* 力学量算符线性无关的本征函数并不全部正交
力学量算符是厄米算符，厄米算符具有属于不同本征值的本征函数正交的重要性质，而对于同一本征值的多个线性无关的本征函数（有简并情况）并不一定正交。此时，对属于同一本征值的多个线性无关的本征函数，可以把它们线性叠加为个数相同的线性无关且相互正交的本征函数。正交化方法很多，常用的方法是选择一组力学量，这组力学量算符间两两对易，它们的本征值能对简并的本征函数分类，此时，正交性问题自动得到解决。
* 力学量算符本征函数的正交归一性是力学量几率描述假设的要求
几率描述假设要求力学量算符的本征函数正交
几率描述假设要求力学量算符的本征函数是归一化的

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