计算方法课件 2.1-2.2

计算方法

第二章非线性方程的数值解法

2

非线性方程问题

问题

考虑方程

若F (X ) 是一次多项式，则称为线性方程；否则称为非线性方程

F (X ) = 0

若f (x ) = a 0 + a 1x + . . . + a n x n ，则称为代数方程

1212(,,,), ()((),(),,())T

T

n

n n X x x x F X f X f X f X

n =1, 2, 3, 4 时有相应的求根公式，n 5 时不存在求根公式

非线性方程可能有(无穷)多个解，求解时必须强调求解区间 非线性方程一般没有直接解法，通常都使用迭代算法求解

本章内容简介

§2.1 二分法法

§2.2 弦截法

§2.3 Picard迭代法

§2.4 Aitken加速迭代法

§2.5 Newton迭代法

§2.6 Newton迭代法的推广与改进

§2.7 迭代法的收敛阶

3

4

一元标量非线性方程问题

问题

考虑方程

f (x ) = 0

, ()[,]

x R f x a b 几个基本概念

实根与复根 根的重数

f (x )=(x –x *)m ·

g (x ) 且g (x*) 0, 则x *为f (x )=0 的m 重根

有根区间[a , b ]：[a , b ] 上存在f (x ) = 0的一个实根 隔离区间[a , b ]：且f (x ) = 0在[a , b ] 内唯有一个实根

研究内容：在有根的前提下求出方程的近似根

()[,], ()()0,

f x a b f a f b y b a x*

x

f (x )

[,]

a b

5

§2.1 二分法

基本思想

将隔离区间进行对分，找出根所在的小区间，然后再对该小区间对分，依次类推，直到隔离区间的长度满足给定的精度为止

数学原理：介值定理

设f (x )在[a, b ]上连续，且f (a )f (b )<0，则由介值定理可得，在(a , b )内至少存在一点 使得f ( )=0

适用范围

求隔离区间内的根，f (a )f (b )<0

用二分法求根，通常先给出f (x )草图以确定有根区间

二分法

6

二分法几何图示

二分法几何图示

7

二分法计算流程

二分法的计算流程：

Step1:把区间[a ,b ]二等分，记等分节点计算处的函数值，若则取否则，转至Step2;

000,,.

2a b

a a x

b b 0x 0f x 00,f x *

;

2a b x Step2:若则记若则记取近似根 0,2a b f a f

11,;2a b a a b 0,2a b f f b

11,.2a b

a b b 11111,;2

a b x a b Step3:重复上述步骤，得根的下列隔离区间序列:

*

x 001122,,,,.

k k a b a b a b a b

二分法的误差分析

二分法的误差与迭代次数的关系：

这里，二分k 次后隔离区间的长度为,k k a b 1

,

2

k k k b a b a 近似根其有误差估计：,,2

k k

k k k a b x a b *

1.

22

k k k k b a b a x x 因此，若要近似根达到预定精度，只需k x *

:k x x 1,

2

k b a

即当

ln ln 2ln 2

b a k

时，可终止迭代，取作为欲求近似根。

2

k k

k a b x 8

算法2.1 二分法

9

例求方程在区间内的一个实根，

要求准确到小数点后的第2位。

3

()10f x x x [1.0,1.5]这里0

)(,5.1,0.1 b f b a f a 0,)( 解：二分法解题过程见下表：

k

k

a k

b k

x )

(k x f 0 1.0 1.5 1.25 -1 1.25 1.5 1.375 +2 1.25 1.375 1.3125 -3 1.3125 1.375 1.3438 +4 1.3125 1.3438 1.3281 +5 1.3125 1.3281 1.3203 -6 1.3203 1.3281 1.3242 -

10

11

7

(1)10, (1.5)0.

8

f f 例2.1 应用二分法求解方程在区间[1,1.5]内的

数值解，要求绝对误差小于。

k x -8

103

10x x 解：记，易知，且其满足

3

()1f x x x ()1,1.5f x C 1.324717957526445,x 运行MATLAB 命令得满足精度要求的

数值解其需迭代27次.

8

(1,1.5,10)half 1,1.5x 2()3-10,f x x 此外，

有因此，原方程在区间[1,1.5]内有唯一根.

即在区间[1,1.5]上单调递增.

()f x

12

§2.2 弦截法（割线法）

适用范围：

求隔离区间内的根，f (a )f (b )<0

弦截法几何图示

y = f (x )

x 0

x 1y

x

O

x*

x 2

x 3

x 4

收敛性依赖于f (x )的性质和初值的选取

13

设方程中函数在隔离区间[a ,b ]上满足如下条件：存在精确解的一个邻域，使得在该邻域内二阶连续可微，且

()0f x *

x

*

*

,:,S x x x x a b ()f x *

()0,(,),

f x x S x **

(,)

(,)

m a x

(): 1.

2

m i n ()

x S x x S x f x Q f x

()f x

14

今在邻域内任取二点，

**,:S x x x x 01,x x

1011110

:f x f x l y f x x x x x

其与x 轴相交于点

10

21110;

x x x x f x f x f x

00,x f x

11,x f x 作以和为端点的弦

15

弦截法（割线法）公式：

1

1

1()()(, 1,2,.

)

k k k k k k k x x x x f x f x f x k 进一步，作以和为端点的弦

11,x f x

22,x f x

2122221:f x f x l y f x x x x x

21

32221;

x x x x f x f x f x 其与x 轴相交于点*

x 01,,,,.

k x x x 如此循环往复，可得一列逼近的点

算法2.2

弦截法

16

17

弦截法收敛性

则由弦截法产生的序列收敛于精确解，且有如下误差估计

k x *

x

*

*

115,25*

,2min '.

max ''k

x S x k x S x f x x x Q

f x

设方程中函数在隔离区间[a ,b ]上满足如下条件：存在精确解的一个邻域，使得在该邻域内二阶连续可微，且

()0f x *

x

*

*

,:,S x x x x a b ()f x *

()0,(,),

f x x S x **

(,)

(,)

m a x (): 1.

2m i n ()x S x x S x f x Q f x ()f x

18

弦截法示例

例2.2 应用弦截法求解方程在区间[1,1.5]内的数值解，要求k x 8

110.

k k x x 3

10x x 解：记3

() 1.

f x x x 1.324717957244753,x 得到该方程满足精度要求的数值解

其仅需迭代6次.

1

11, 1,2,.k k k k k k k x x x x f x k f x f x

应用弦截法011, 1.5,

x x 今取初始迭代点 0f x 方程在区间[1,1.5]内有唯一根.例2.1的求解过程已经表明：

19

Steffensen （斯特芬森）方法

弦截法：

k k k k k k k x x x x f x f k x f x 1

1

1()()(, 1,2,)

当时，*

k x x 1()0k k k x x f x 收敛速度比二分法快，但需要用到前两次迭代值

Steffensen 方法：

改造弦截法得Steffensen 方法：

k k k k k k f x x x k f x f x f x 2

1

()

, 0,1,()(())

收敛速度比弦截法快，且仅需用到前一次迭代值

算法2.3 Steffensen方法

20

计算方法的课后答案

《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称

李庆扬-数值分析第五版第7章习题答案(0824)汇编

第7章复习与思考题

求f (X )= 0的零点就等价于求(x )的不动点，选择一个初始近似值X 0，将它代入X =「(X ) 的右端，可求得 X 1 h%X °)，如此反复迭代有 X k 1 二(X k ), k =0,1,2,..., (X)称为迭代函数，如果对任何 X 。? [a,b]，由x k 卜h%x k ),k =0,1,2,...得到的序列 〈X k 1有极限 则称迭代方程收敛，且X* =?(x*)为?(X )的不动点 故称 X k q 二(X k ), k =0,1,2,...为不动点迭代法。 5?什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定 X k 1 二「(X k )(k =0,1,2,...)的收敛阶 P219 设迭代过程X k 1'h%X k )收敛于 (X)的根X*，如果当k > 时，迭代误差 e k = x k - x *满足渐近关系式 —t C,C =const 式 0 e/ 则称该迭代过程是 p 阶收敛的，特别点，当 p=1时称为线性收敛，P>1时称为超线性收敛， p=2时称为平方收敛。 以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。 6?什么是求解f(x)=0的牛顿法？它是否总是收敛的？若 f(X*) =0，X*是单根，f 是光 滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。 牛顿法: 当| f (X k )卜J 时收敛。 7?什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。 在牛顿法的基础上使用 2点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。 收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2 计算量弦截法 <牛顿法(减少了倒数的计算量) 8?什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？ P229 X - m X k 1 =X k f (X k ) f (X k )

计算方法作业第一章

习题二 1. 用二分法求方程0134=+-x x 在区间【0.3,0.4】内的根，要求误差不超过2102 1-?。 3.方程0123=--x x 在1.5附近有根，把方程写成4种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式。 （1）231x x +=，32 11n n x x +=+ （2）211x x + =，=+1n x 211n x + （3）1 1 2 -= x x ，=+1n x 1 1-n x

（4）132-=x x ，= +1n x 13-n x 4.用迭代法求02.05 =--x x 的正根，要求准确到小数点后第5位 解：迭代公式:512.0+=+x x n 7.用迭代-加速公式求方程x e x -=在x=0.5附近的根，要求准确到小数点后第4位 解：迭代公式：x n e x -+=1，n n x q q x q x ---= +1111 8用埃特金加速法求方程13 -=x x 在区间【1,1.5】内的根，要求准确到小数点后第4位 解：迭代公式：13 1-=+x x n ，13 12-=++n n x x ，n n n n n n n x x x x x x x +--= ++-++122 1 212

9.用牛顿法求方程0133=--x x 在20=x 附近的根，要求准确到小数点后第3位 解：迭代公式：3 31 32 31 ----=+n n n n n x x x x x 11.分别用单点和双点弦截法求方程013 =--x x 在【1,1.5】内的根，要求 51102 1 ||-+?≤ -n n x x 解：单点：)111() 111()1(1 13 1--------- =+n n n n x x x x 双点：)1() 1()1(3 13 1311--------- =---+n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x

(完整版)数值分析第7章答案

第七章非线性方程求根 一、重点内容提要 （一）问题简介 求单变量函数方程 ()0f x = (7.1) 的根是指求*x （实数或复数），使得(*)0f x =.称*x 为方程(7.1)的根,也称*x 为 函数()f x 的零点.若()f x 可以分解为 ()(*)()m f x x x g x =- 其中m 为正整数,()g x 满足()0g x ≠,则*x 是方程(7.1)的根.当m=1时,称*x 为单根;当m>1时,称*x 为m 重根.若()g x 充分光滑,*x 是方程(7.1)的m 重根,则有 (1)() (*)'(*)...(*)0,(*)0m m f x f x f x f x -====≠ 若()f x 在[a,b]上连续且()()0f a f b <,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得. (二)方程求根的几种常用方法 1.二分法 设()f x 在[a,b]上连续,()()0f a f b <,则()0f x =在(a,b)内有根*x .再设()0f x =在 (a,b)内仅有一个根.令00,a a b b ==,计算0001 ()2x a b =+和0()f x .若0()0f x =则*x x =,结束计算;若00()()0f a f x >,则令10,1a x b b ==,得新的有根区间11[,]a b ;若 00()()0 f a f x <,则令 10,10 a a b x ==,得新的有根区间 11[,]a b .0011[,][,]a b a b ?,11001()2b a b a -=-.再令1111 ()2x a b =+计算1()f x ,同上法得 出新的有根区间22[,] a b ,如此反复进行,可得一有根区间套 1100...[,][,]...[,] n n n n a b a b a b --????

数值计算方法第一章

第一章 绪 论 本章以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法相关的基本概念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传播规律，最后，结合数值实验指出了算法设计时应注意的问题． §1.1 引 言 计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，目的是在有限的时间段内利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。 由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各种各样的、复杂的. 复杂性表现在如下几个方面：求解系统的规模很大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数据处理等等，这样就使得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算结果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法． 这门课程则是针对从各种各样的数学模型中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效的串行求解算法，它们包括 (1) 非线性方程的近似求解方法； (2) 线性代数方程组的求解方法； (3) 函数的插值近似和数据的拟合近似； (4) 积分和微分的近似计算方法； (5) 常微分方程初值问题的数值解法； (6) 优化问题的近似解法；等等 从如上内容可以看出，计算方法的显著特点之一是“近似”． 之所以要进行近似计算，这与我们使用的工具、追求的目标、以及参与计算的数据来源等因素有关． 计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含有无穷多个数据，这样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算结果用机器数表示时就不可避免的引入了误差，称之为舍入误差． 我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过程截断， 从而产生截断误差． 如 +++=! 21 !111e 的计算是无穷过程，当用 ! 1 !21!111n e n ++++= 作为e 的近似时，则需要进行有限过程的计算，但产生了 截断误差e e n -．

数值计算方法第七章习题 2013

计算方法 第七章 习题 复习与思考题 1．设f ∈C [a , b ]，写出三种常用范数2 1 f f 及∞ f 。 2．f , g ∈C [a , b ]，它们的内积是什么？如何判断函数族{? 0, ? 1, …, ? n }∈C [a , b ]在[a ,b ]上线性无关？ 3．什么是函数f ∈C [a , b ]在区[a , b ]上的n 次最佳一致逼近多项式？ 4．什么是f 在[a , b ] 上的n 次最佳平方逼近多项式？什么是数据{}m i f 0的最小二乘曲 线拟合？ 5．什么是[ a , b ]上带权ρ (x )的正交多项式？什么是[ -1, 1 ]上的勒让德多项式？它有什 么重要性质？ 6．什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？ 7．用切比雪夫多项式零点做插值得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同？ 8．什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n 较大时为什么不直接求解法方程？ 9．哪种类型函数用三角插值比用多项式插值或分段多项式插值更合适？ 10．判断下列命题是否正确？ （1）任何f (x ) ∈C [a , b ]都能找到n 次多项式P n (x ) ∈ H n ，使| f (x ) - P n (x ) | ≤ ε ( ε 为任给的误差限)。 （2）n n H x P ∈)(* 是f (x )在[ a , b ]上的最佳一致逼近多项式，则)()(lim * x f x P n n =∞ →对 ],[b a x ∈?成立。 （3）f (x ) ∈C [a , b ]在[a , b ]上的最佳平方逼近多项式P n (x ) ∈ H n 则)()(lim x f x P n n =∞ →。 （4）)(P ~ x n 是首项系数为1的勒让德多项式，Q n (x ) ∈ H n 是任一首项系数为1的多项式，则 ? ? --1 1 21 1 2d )(d )](P ~ [x x Q x x n n 。 （5）)(T ~ x n 是[-1 , 1]上首项系数为1的切比雪夫多项式。Q n (x ) ∈ H n 是任一首项系数为1的多项式，则 .)(max )(~ max 1 11 1x Q x T n x n x ≤≤-≤≤-≤ （6）当数据量很大时用最小二乘拟合比用插值好。

成本会计第七章 分步成本法

《成本会计》第七章分步成本法 一、分步成本法的含义 分步成本法是按照产品的生产步骤归集生产费用，计算各步骤半成品和最后完工产品成本的一种方法，简称分步法。它主要适用于大量大批的多步骤生产的企业或车间。如纺织、冶金、化工制品、肉类加工、造纸等制造企业。 二、分步法的特点 分步法是按照产品的生产步骤归集生产费用，计算产品成本的一种方法。分步法的特点主要表现在以下几个方面： 1.成本计算对象 在分步法下，成本计算对象是各个生产步骤的各种产品，因此，在进行成本计算时，需为每个生产步骤的每种产品设置产品成本计算单，用来归集生产费用，计算产品成本。对于生产过程中发生的费用，凡是直接计入费用，应直接记入各成本计算单中；间接计入费用则应先按生产步骤归集，然后按一定标准在该步骤的各种产品之间进行分配。必须注意，产品成本计算的分步与实际的生产步骤不一定完全一致，也就是分步法的步骤与产品的生产车间有时相同，有时并不完全相同。产品成本计算的分步是根据简化成本计算工作和管理上的要求来确定的，一般来说，分步计算成本也就是分车间计算成本，但根据成本管理的需要，有时可将几个车间合并为一个步骤，有时一个车间又分为几个步骤。因此，分步计算成本不一定就是分车间计算成本。 2.成本计算期 在采用分步法计算产品成本的企业里，成本计算期是定期的，即成本计算工作在每月末定期进行，因此，成本计算期与产品生产周期不一致，而与会计核算期一致。 3.生产费用在完工产品与在产品之间的分配 在大量大批多步骤生产的企业里，其产品往往跨月陆续完工，月末经常有一定数量的在产品，因此，归集在各生产步骤产品成本计算单中的生产费用，大多要采用适当的分配方法，在完工产品与月末在产品之间进行分配，计算出完工产品成本和月末在产品成本。如采用约当产量比例法，在产品又按先进先出法计价，在这种方法下，是假设生产的产品按投入生产的时间先后顺序完工，那么月初在产品应先于本月投产产品完工，在产品生产周期小于一个月的情况下，月初在产品将在本月全部完工，这样，月初在产品成本应全部计入本月完工产品成本，而本月发生的生产费用只需在本月完工产品与月末在产品之间进行分配。

计算方法第七章上机报告

实验报告名称求解常微分方程 班级：020991 学号：02099037 姓名：杜凡成绩： 1实验目的 1）熟悉求解常微分方程初值问题的有关方法和理论，主要是改进欧拉法、四阶龙格-库塔法与阿当姆斯方法。2）会变质上述方法的计算程序，包括求解常微分方程组的计算程序。 3）通过对各种求解方法的计算实习，体会各种解法的功能、优缺点及适用场合，会选取适当的求解方法。 2 实验内容 实习题7.1用改进欧拉法与四阶龙格-库塔公式求解所给微分方程初值问题； 7.2 用四阶龙格-库塔公式解下列微分方程初值问题； 7.3用阿当姆斯方法解微分方程初值问题； 3实验步骤 7.1 1）根据改进欧拉法的算法编写改进欧拉法求微分方程的函数 // 实验环境的配置，例如添加什么函数，库，头文件等，以及你的思路都可以写。 3 程序设计 // 程序流程图、代码。 以下均用matlab编写 1）改进欧拉法 function Heun2(f,a,b,y0,n) h=(b-a)/n; x=a:h:b; %ytrue=f1(-1*x); y=y0*ones(1,n+1); for j=2:n+1 yp=y(j-1)+h*f(x(j-1),y(j-1)); yc=y(j-1)+h*f(x(j),yp); y(j)=(yp+yc)/2; end for i=1:n+1 fprintf('x[%d]=%f\t y[%d]=%f\n',i-1,x(i),i-1,y(i)); %fprintf('x[%d]=%f\t y[%d]=%f\t ytrue[%d]=%f\n',i-1,x(i),i-1,y(i),i-1,%ytrue(i)); end 4实验结果及分析 // 程序运行的结果，可以添加截图以说明问题。 7.1 1）改进欧拉法

计算方法第一章习题

第一章习题 2．按四舍五入原则，将下列各数舍入成5位有效数字： 816．9567 6。000015 17。32250 1．235651 93。18213 0。01523623 答案：816。96 6。0000 17。323 1．2357 93。182 0。015236 3．下列各数是按四舍五入原则得到的近似数，它们各有几位有效数字？ 81．897 0。00813 6。32005 0。1800 答案：5 3 6 4 4．若1/4用0。25来表示，问有多少位有效数字？ 答案：任意多位 5．若a=1.1062 , b=0.947 是经过舍入后得到的近似值，问：a+b, ab 各有几位有效数字？ 答案：3 ， 3 因为45110211021--?=?= da 33102 11021--?=?=db 31234102 1102110211021)(----?=?≤?+?=+=+db da b a d 4)15(102110121---?=??=a d r ，2)13(1018 110921---?=??=b d r 22410181101811021)(---?≈?+?=+=b d a d ab d r r r 6．设y 1=0.9863, y 2=0.0062是经过舍入后作为x 1和x 2的近似值，求1/y 1和1/y 2的计算值与真值的相对误差限及y 1y 2和真值的相对误差限。 答案： 53)14()1(*1*111*11*1*11*11*1*1 1106.51018 110921102111 11------?=?=??=?≤-=-=-=-n y y y y y y y y y y y y y y α也可用5)14(111 121111106.5109 21111)1(1---?=??====y dy y dy y y y d y d r 同理 31)12()1(*2*22*2*2 2103.81012 11062110211 11------?=?=??=?≤-==-n y y y y y y α 3 35*2*22)1*11*2*1*2*12*12*121*2*1*2 *121104.8103.8106.5---?≈?+?≤-+-=-+-=-y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

计算方法(李有法版)第一章课件

第一章 误差 §1.误差的来源 实际问题——?建立数学模型—?确定数值计算方法——?编制程序上机算出结果 模型误差 截断误差或方法误差 舍入误差 §2. 绝对误差、相对误差与有效数字 (1) 绝对误差与绝对误差限 定义： 绝对误差 x x x e e ?==***)( . 近似值------↑ ↑------精确值 通常，由于x 不知道，所以无法得*e ，故估计*e 的上界*ε，即 ***||||ε≤?=x x e 或 **ε±=x x . ↑------称为近似值*x 的绝对误差限，简称误差限。 (2) 相对误差与相对误差限 110 ,210021±=±=x x 定义： 相对误差 .)(**** x x x x e x e e r r ?=== 由于x 未知，所以** * x e e r ≈； Q **2*****1)(x e x e x e x e ?=?，当||**x e 较小时，***x e x e ?是**x e 的平方级，可以忽略不计，∴ 取** *x e e r =. 与绝对误差类似，只能估计相对误差绝对值的某个上界*r ε，即 **||r r e ε≤ ↑------近似值*x 的相对误差限， 得（差）。（好），%1010 1|)(| %21002|)(|2*1*=≤=≤x e x e r r .

(3) 有效数字 若近似值*x 的误差不超过某位数字的半个单位，而从该位数字到*x 最左边的那个非零数字（即自左向右看，第一个出现的非零数字）共有n 位，那么这n 位数字都称有效数字，并称*x 具有n 位有效数字。 X XX x L L =* 自左向右看，第一个非零数----↑ ↑-----误差不超过该位数的半个单位 例：L 14159.3==πx ，若取近似值14.3*≈x ，则01.0210015.0|)(|*×≤=L x e ，故*x 具有三位有效数字。 (4) 有效数字、绝对误差、相对误差之间关系如何呢？ 一般(*) )1010(10)1(121*???×++×+×±=n n m a a a x L 01≠a ，即n a a a ~ ;9~1:21是.9~0 且1)1(*102 1101021||+???×=××≤?n m n m x x m m a x a 10)1(||101*1×+≤≤×Q 111121***10211010| |||||+?+?×=××≤?=∴n m n m r a a x x x e 定理1：若用） （*式表示的近似值*x 具有n 位有效数字，则其相对误差满足不等式 11 *1021||+?×≤n r a e 其中1a 为*x 的第一个非零数字。 反之，有 定理2：若近似值*x 的相对误差满足不等式 11*10) 1(21||+?×+≤n r a e 其中1a 为*x 的第一个非零数字， 则它至少具有n 位有效数字。 证明： ,102 110)1(10)1(21||||||1111***+?+?×=×+?×+≤?=?n m m n r a a x e x x 所以*x 至少具有n 位有效数字。

计算方法第一章作业

1.题目 (1)将ln(1+x)进行Taylor展开，展开到第11项，令x=1，计算ln2的近似值； (2)将ln(1+x)进行Taylor展开，展开到第11项，令x=-1/2，计算ln2的近似值； (3)将ln (1+x)/(1-x)进行Taylor展开，经过简单运算，求出ln2的近似值； (4)比较上述三种方法的计算精度，并给出简单的解释； (5)编写一段循环程序，对于(2) (3) 两种方法，使用累加和的方法求出ln2的近似值，循环结束的条件是累加和不再变化(使用双精度进行计算)，统计累加次数并比较精度。 2.编程计算 (1) 计算结果： Out[6]: ln(1+x)的Taylor展开式； Out[7]: x=1时，ln2的近似计算结果； Out[8]:计算误差。 (2) 计算结果： Out[14]: ln(1+x)的Taylor展开式； Out[15]: x=-1/2时，ln2的近似计算结果；

Out[16]:计算误差。 (3) 计算结果： Out[22]: ln (1+x)/(1-x)的Taylor展开式； Out[23]: x=1/3时，ln2的近似计算结果； Out[24]:计算误差。 (4)比较分析 从上述三种计算结果，可以看出方法（3）计算误差最小，即计算精度：方法（1）<方法（2）<方法（3）。原因：利用泰勒公式进行数值的近似计算，根据泰勒公式： 其中是n阶泰勒公式的拉格朗日余项： 可见近似计算的误差即为。对于方法（1），方法（2） ，方法（3），可见三 种方法下的大小关系是：方法（1）>方法（2）>方法（3），所以说方法（3）的计算误 差最小。 此外，方法（3）计算结果out[22]可看出，在相同阶数的导数下，收敛速度更快，在有限的展开项中，原函数的导数收敛越快，结果越精确。 (5)方法（2）累加求和

计算方法第1章习题 - 参考答案

答案： 1.1 求下列各数的具有四位有效数字的近似值, 并指出其绝对误差限和相对误差限 根据绝对误差计算相对误差的公式： *2121** .0105.010 .01021 r n n m n n m a a a a a a x x x ε=?≤??≤--- (1) 05.10,0498756.10101* 11===x x 5 * * **52310975.4102 1 1012437.005.10101---?<= =?< ?=-x r εεε (2) 2* 22109901.0,990099009900.0101 1-?=== x x 5 * * **528-10055.0102 1109909900.0990100.01011---?<= =?

位效数字 ，有，位效数字或精确值 ，有位效数字，有位效数字 ，有位效数字，有2101,1021 100.54101,102 1 ,5000410159.0,1021 ,50.31410166.0,1021 ,3015.0310159.0,1021 ,0315.02*24*3*5 4*44**44*42**34*40**23*31**1-----------?=?=?=?=?==?=?==?=?==?=?==r r r r r x x x x x εεεεεεεεεε 1.3 为了使 3 1 的近似值的相对误差不超过0.1%, 问应取几位有效数字? %1.010105.1333.0105.03--* *=≤=?=?≤--n n x x x ，取n=4位有效数字 1.4 怎样计算下列各题才能使得结果比较精确? (1) 2 sin )2 cos(2sin )sin(ε ε ε+=-+x x x (2) )1(11arctan arctan )1arctan(11 2 ++=-+=+? +N N N N x dx N N 或2)5.0(11 ++N 三个公式计算结果比较 1e+001 9.00876529e-003 9.00876529e-003 8.98876404e-003 1e+002 9.90000987e-005 9.90000987e-005 9.89976488e-005 1e+003 9.99000001e-007 9.99000001e-007 9.98999751e-007 1e+004 9.99899998e-009 9.99900000e-009 9.99899998e-009 1e+005 9.99991042e-011 9.99990000e-011 9.99990000e-011 1e+006 1.00010961e-012 9.99999000e-013 9.99999000e-013 1e+007 1.00944643e-014 9.99999900e-015 9.99999900e-015 1e+008 -4.33680869e-019 9.99999990e-017 9.99999990e-017 1e+009 7.80625564e-017 9.99999999e-019 9.99999999e-019 1e+010 -6.94973593e-017 1.00000000e-020 1.00000000e-020 (3) x x x x x x x x x x x cos 1sin sin )cos 1(sin sin )cos 1()cos 1)(cos 1(sin cos 12+= +=++-=- (4) o o o o o o o 21sin 21cos 11cos 11sin 1cos 11cos 11cos 1222=-+=+-=-或 (5) +?+?+ =-9-6-3-001 .01031 1021101！ ！e (6) ) 11010(1 ln ) 11010() 11010)(11010(ln )11010ln(8 4 8 4 848484-+=-+-+--=--